专题09 二次函数（题型专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以题型为载体，通过典例引领-方法提炼-变式演练-实战训练的系统架构，聚焦二次函数核心考向与解题方法，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型破译|2典例+3变式|提炼“a定开口、对称轴分增减、三式转化、区间最值”口诀，强调易错点|从二次函数概念（基本形式、a的作用）到解析式转化，再到图象性质（对称轴、顶点、增减性），最终应用于区间最值与取值范围问题，形成完整逻辑链| |题型训练|15题|迁移“垂线交图象求距离”“动态过程中变量关系分析”等方法|整合翻折变换、面积计算等综合考法，强化知识应用的模型意识与几何直观|

专题09 二次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且，可知抛物线的对称轴为，根据对称轴公式可得与关系； （2）根据的取值范围与二次函数图象的性质分情况讨论． 【详解】（1）解：当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，且， 二次函数图象的对称轴为， ， ； （2）解：当，时，二次函数为 设点，，则，， 解方程， 可得：，， 当时，可得：， 当时，可得：， 与的交点坐标为和， 设点与点的距离为， （ⅰ）如下图所示， 当时，， ， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， ； （ⅱ）如下图所示， 当时，， 当时，随的增大而增大， 当时，随的增大而减小， 当时，的最大值为； （ⅲ）如下图所示， 当时，， 此时随的增大而增大， ， 令，则， ， ， 令， 解得： 依题意，得， 解得：， 当时，存在最大值， 结合函数的图象，得． 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①或；② 【分析】（1）待定系数求解； （2）①联立解析式求解； ②表示出的表达式，然后分情况讨论，利用二次函数的性质确定最值． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点O， ∴； 将代入得， ， ∴； （2）解：①根据题意得，联立， 整理得， 解得或， 即或； ②由①可得直线和抛物线的交点横坐标分别为或， ， 当时，随的增大而减小， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 当时，， ∴当时，取最大值，此时， ∴， ∴； 又∵， ∴． 方法透视 考向解读 1. 判断二次函数基本形式，区分二次、一次、反比例函数，最高次数为 2，是中考函数核心必考题型。 2. 辨别二次项系数a的作用，a>0开口向上，a<0开口向下，∣a∣越大图象开口越窄。 3. 区分三种解析式形式，一般式、顶点式、交点式，根据已知条件灵活选用，快速求解解析式。 4. 理解对称轴、顶点、增减性与最值，结合图象判断取值范围、函数大小比较、区间最值问题。 5. 易错点判断，增减性以对称轴为分界；求最值要看取值范围，顶点不一定在取值区间内。 方法技能 二次图象抛物线，a定开口窄与宽； 对称轴分增减段，顶点决定最大端； 三式灵活来转化，区间最值仔细看。 变式演练 【变式01】（2026·北京通州区·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)①；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①代入数据，求得点，，利用两点之间的距离公式求解即可； ②根据题意构造新函数，画出草图，根据二次函数的图象和性质分析求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线：经过原点和点， ∴分别代入得：，， ∴； （2）解：①当时，抛物线：，抛物线：， ∵过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N， ∴当时，对于抛物线：，对于抛物线：， ∴点，， ∴； ②∵点， ∴点，点， ∴构造新函数：， 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴左侧，如图， 的长随的长的增大而增大，符合题意． 当时，，P从点运动到点的过程中，“起点”和“终点”都在轴右侧，如图， 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则，，解得； 若“起点”和“终点”都在这一段内， 则； 综上，或或． 【变式02】（2026·北京平谷区·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据抛物线的对称性求解即可； （2）先由求得，由题意，，则，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点和点， ∴点A、B关于对称轴对称，又抛物线的对称轴方程为， ∴，则； （2）解：由（1）得， ∵点在抛物线上，且，， ∴，则， 由题意，，， ∴， 解方程得，， ∵的长随着的增大而增大， ∴或， 解得：无解或， 故满足条件的a的取值范围为． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点．交直线于点． ①若，直接写出的长； ②已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）直接将代入计算即可； （2）由（1）知，进而化为顶点式，得到抛物线顶点坐标为，对称轴为直线，抛物线交x轴于，设直线解析式为，将代入求出，即直线解析式为，根据题意得到，，则； ①直接将代入计算即可； ②由可知，则分、两种情况求出的解析式，根据二次函数的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， ， ， ； （2）解：∵， ∴抛物线 ， 即抛物线顶点坐标为，对称轴为直线， ∵当时， ∴抛物线交x轴于， 设直线解析式为， 则， 解得：， 即直线解析式为， ∵过点作轴的垂线，交抛物线于点．交直线于点， ∴，， ∴ ； ①若，则 ； ②解：∵， ∴， 如图，当时， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，的长随的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴且， 解得且， 即； 如图，当时， ∵，， ∴ ， ∵， ∴当时，的长随的增大而增大， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∵， ∴； 综上所述，或． 题●型●训●练 1．（2026·北京三帆中学·零模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)________（用含b的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】（1）将代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点、的坐标，即可获得答案； ②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式， 得，即； （2）解：①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，有点，如图， ， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ； ②将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ， 若，即点在轴右侧，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得， ； 若， 令， 解得，， 故当时，抛物线与直线的交点在轴右侧或轴上，如图， 此时点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大恒成立； 若，抛物线与直线的交点在轴左侧和轴上，如图， 要使点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大， 则点的纵坐标小于点的纵坐标， ， 对称轴为直线， 可得， 解得，不成立， 综上，或． 2．(25-26九·北京文汇中学·零模)已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)2； (2)①；②或 【分析】本题考查二次函数综合，涉及到求抛物线解析式，二次函数与线段综合； （1）把和代入抛物线解析式计算即可； （2）①当，时，，，计算即可； ②由题意可得，，，，则，，， 再根据和分情况讨论，根据的值始终随的增大而增大，求的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点和点， ∴，， ∴， 解得， 故答案为：2；； （2）解：①∵， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，，， ∴，， ∴， 故答案为：； ②由题意可得，，，， ∴，，， ∵点从点沿着直线运动到点， ∴点在上，即在上， ∴， 解得， 当时，此时， 函数图象大致如下： ∴，，， ∴，， ∴， ∵，且的值始终随的增大而增大， ∴，即恒成立， ∴， 解得； 当时，此时， 函数图象大致如下： 则，点P从点A沿直线向左上方运动， 此时抛物线，开口向下， ∵对称轴为， ∴在y轴的左侧，y随x的增大而增大， 对于直线、，y随x的增大而减小， ∴、的值始终随的增大而增大， ∴时始终满足条件， 综上所述，的值始终随的增大而增大，的取值范围为或． 3．(25-26九下·北京昌平区第二中学·月考)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1) (2)①或 ② 【分析】（1）通过配方法将抛物线解析式化为顶点式，直接得出顶点坐标； （2）①分和两类讨论图形的解析式：当时，结合图像可直接判断随增大而增大；当时，写出，坐标并表示出关于的二次函数，利用二次函数的图像和性质解不等式得到的范围；②当时，先确定抛物线的解析式，设，则可转化为，则，结合，解不等式得到的取值范围． 【详解】（1）解：， 则抛物线的顶点坐标为． （2）①解：由（1）可知，抛物线的对称轴为， 当，图形如下图所示， 据图可知，当点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大； 当，图形如下图所示， 当，解析式为， 则点的坐标为，点的坐标为， 可得， 令，即当，随着的增加而增加， 的对称轴为， 则，解得， 综上，的取值范围为或． ②解：如图，当，抛物线为，当，，当，， 即在图形上，随着的增大而增大， 设，则，可转化为， 若对任意的，都有， 则，解得， 其中，则， 解得． 4．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值（用含a，h的式子表示）； (2)将抛物线在直线右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G．已知，，当时，对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，求h的取值范围； (3)为抛物线上一点，在（2）的条件下，若m的最大值小于6，求a的取值范围． 【答案】(1)， (2)且 (3) 【分析】（1）根据抛物线的对称轴为直线，，求解即可； （2）根据题意，得轴，且，在抛物线顶点的上方，当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，分两种情况讨论求解即可； （3）把代入抛物线解析式，化简得，时，m取得最小值1，当时，，由m的最大值小于6，故，再求解即可． 【详解】（1）解：抛物线的顶点坐标为， 故直线，， ， ，． （2）解：根据题意，得的对称轴为直线， ，的纵坐标相同， 轴，且， ， 在抛物线顶点的上方， 直线与抛物线的交点为， 当时，要使对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点， 当时， 只需满足， ∴， 当时， 同理可得：， ∴， 综上：且． （3）解：为抛物线上一点， ， ， ， ， 时，m取得最小值1， 由且． 当时，取得最大值，且， 由m的最大值小于6， 故， 解得， ， 故． 5．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)在平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， 若，，直接写出的长； 若线段的长度随的增大而减小，求出的取值范围． 【答案】(1)， (2)；的取值范围为或 【分析】（1）分别将点，的坐标代入抛物线解析式，即可得解； （2）结合题意，分别确定点、的坐标，即可得解； 先表示出， 令，解方程求得的值，根据的值分段讨论：，，，根据二次函数的图象与性质即可得解． 【详解】（1）解：将原点代入抛物线， 可得， 该抛物线解析式为， 将点代入抛物线， 可得， 解得； （2）解：由（1）可知，抛物线的解析式为， 若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，则有， 如图， 过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， ， 将代入，可得， ， 将代入，可得， ， ； 过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， ， 将代入，可得， ， 将代入，可得， ， ， 令，即，解得或， 如图，当时，则有， ， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而减小，故此时符合题意； 如图，当时，则有， ，则， 函数图象开口向下，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而增大，故此时不符合题意； 当时，线段的长度随的增大而减小，故此时符合题意； 如图，当时，则有， ， 函数图象开口向上，对称轴为直线， 当时，线段的长度随的增大而增大，故此时不符合题意； 综上所述，的取值范围为或． 6．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）把，代入，解方程组求出a，c的值 即得答案； （2）①由直线经过点，得，当时，， 可得点M、N的纵坐标，即可得的长；②由，得，求出，得，得四边形的面积为，得当时，四边形的面积随m的增大而减小，结合，得m的取值范围． 【详解】（1）解：∵抛物线（）与x轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：①∵直线经过点， ∴， ∴， ∴， ∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴当时，， ∴， ∴; ②∵过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N， ∴， ∴， 对， 令， 则， 解得， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， ∵， ∴当时， 四边形的面积随m的增大而减小， ∵点M在抛物线上的点A与点B之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 【点睛】根据四边形的面积的图象开口向下，可知当时，四边形的面积随m的增大而减小，加上点M在抛物线上的点A与点B之间，的限制． 7．(25-26九下·北京第四中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线和x轴正半轴交于点． (1)求b的值； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线于点Q．已知当时，线段的长随m的增大而增大，求k的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用点在抛物线上，将点坐标代入解析式即可求解b的值． （2）先根据（1）确定抛物线解析式，再得到、两点坐标，得到，结合二次函数增减性，分三情况讨论即可． 【详解】（1）解：将代入得， 解得：． （2）解：由（1）得抛物线解析式为， 根据题意，过作轴垂线，得， ∴， 令，则或， 即的函数图象与轴的交点为，对称轴为， 当时，，即时，线段的长随m的增大而增大恒成立； 当时，如图，或时，线段的长随m的增大而增大， ∵当时，线段的长随m的增大而增大， ∴或， 解得：； 当时，， 根据图象得或时，线段的长随m的增大而增大， 即当时，线段的长随m的增大而增大，恒成立； 综上，或时，线段的长随m的增大而增大． 8．(25-26九下·北京第六十五中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． (1)用含a的式子表示b； (2)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 【答案】(1) (2)， (3)①1；②或 【分析】（1）把点代入即可得； （2）由对称轴公式可得抛物线的对称轴为直线，由抛物线对称性得点坐标； （3）①当时，，即得抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为，当图象为对称图形时有最小值，可得，，即得的最小值为； ②由（1）知抛物线为，得，，，顶点坐标为，可分四种情况讨论的取值：（Ⅰ）当，且时，，解得，可得；（Ⅱ）当，且时，，可得，（Ⅲ）当，且时，，可得；（Ⅳ）当，且时，，可得，即知当时，，同理可得：当时，也符合条件． 【详解】（1）解：把点代入得： ， ； （2）解：由（1）知抛物线为， 抛物线的对称轴为直线， 而关于直线的对称点是， 由抛物线对称性得：点坐标； （3）解：①如图： 当时，， 抛物线与轴交点坐标为，，与轴交点坐标为，顶点坐标为， 由图象知：当图象为对称图形时有最小值， 又，，， ， ， 过点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， ，， 顶点坐标为， 的最小值为； ②点和点作轴的垂线，交抛物线于点和点， 由（1）知抛物线为， ，，， 又抛物线对称轴为直线，顶点坐标为， 根据、点的相对位置和抛物线的开口方向可分以下四种情况讨论的取值： （Ⅰ）当，且时，即图象在对称轴左侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ； （Ⅱ）当，且时，即图象在对称轴右侧时， 此时点的纵坐标最大，点的纵坐标最小， ， 解得， 又，， 且， ， （Ⅲ）当，且时，即最低点是抛物线顶点且点纵坐标大时， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， ； （Ⅳ）当，且时，即最低点是抛物线顶点时且点纵坐标大， 此时，， ， 解得， 又，， ， ， 综上所述，当时，， 同理可得：当时，也符合条件， 的取值范围为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，难度较大，解题的关键是分类讨论图象上纵坐标的大小值． 9．(25-26九·北京第八中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示． (2)点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，则___________； ②若线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1) (2)①6；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）①根据可得抛物线的解析式和点P的坐标，据此求出直线的解析式，再求出点E和点F的坐标即可得到答案；②根据（1）所求可得抛物线的解析式，求出直线的解析式，再求出点E和点F的坐标，进而可表示出的长，根据点M的纵坐标始终小于点的纵坐标可求出t的取值范围，再讨论的取值范围，结合线段的长随的增大而增大求解即可． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，抛物线经过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）得，当时，抛物线的解析式为，， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴； ②由（1）得抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴抛物线的开口向上， ∴离对称轴越远，函数值越大， ∵点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标， ∴点M到对称轴的距离小于点P到对称轴的距离， ∴， ∴； 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，，则， 在中，当时，，则， ∴ 当时，则， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∴当时，随t的增大而增大， 又∵当时，随t的增大而增大， ∴， 解得，即此时满足， 当时，则， ∴， ∵， ∴当时，随t的增大而增大， ∵当时，随t的增大而增大， ∴， 解得，不符合题意； 当时，则， ∴ ∵， ∴当时，随t的增大而减小， ∴当时，随t的增大而减小，不符合题意； 综上所述，． 10．(25-26九·北京清华大学附属中学数学·零模)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 【答案】(1)对称轴为直线，点的坐标为 (2) 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式计算即可； （2）求出原抛物线的顶点坐标，结合折叠的性质得出翻折后的抛物线的解析式，从而得出图形，表示出，再结合二次函数的性质计算即可 【详解】（1）解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，， ∴点的坐标为； （2）解：∵过点作轴的垂线， ∴垂线的方程为， ∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折， ∴翻折后的抛物线的顶点坐标为，即， ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∴图形为， ∵点和点是图形上的点，且， ∴，， ∴， ∵过点作轴的垂线交轴于点， ∴， ∵随着的增大而增大， ∴随着的增大而增大， ∵，且， ∴当时，随着的增大而增大． 【点睛】某点关于水平线对称后的新点为． 11．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，长为． (1)求出抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于、两点，点在点左侧．，为抛物线上不同的两点．抛物线上、两点及之间的部分记为图形；、两点及之间的部分记为图形．若存在点， 分别位于，上，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2)或且 【分析】（1）对称轴为直线，可得、坐标，代入，可得，即可得抛物线的解析式； （2）抛物线与直线解析式联立，得到抛物线与直线交点坐标为和，根据题意，结合二次函数的图象和性质，进行分类讨论即可得的取值范围． 【详解】（1）解：， ∴抛物线对称轴为直线， ∵， ∴、分别为和， ∴ ∴， ∴解析式为； （2）解：， 解得或， ∴抛物线与直线交点坐标为和， ∵，为抛物线上不同的两点， ∴， ∴， 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大． 点关于直线的对称点为， 点关于直线的对称点为， 当时，点在点右侧， 此时，只要让点在点的左侧即可， 即； 当时，点在点右侧， 此时只要让点在点的左侧即可， 即， 解得； 综上，或且． 12．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象关于中心对称，得到一个新的函数图象，经过的顶点，过点作垂直于轴的直线，与、分别交于、（、不重合），若长度随的增大而增大，结合函数图象，求的值和的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)；或或． 【分析】（1）①将二次函数配方得出对称轴为直线，再结合点的坐标可得，将点代入二次函数，求出的值，即可得到解析式；②由①可知，二次函数图象的开口向下，对称轴为直线，当时，随的增大而减小，再结合函数值的取值范围，即可求解； （2）先得到的顶点坐标，设图象上任意一点，则点关于中心对称的点在图象上，再结合经过的顶点，求出的值，从而得到和的解析式，用含的式子表示出和，再结合图象求解即可． 【详解】（1）解：①， 二次函数的对称轴为直线， 图象与轴交于、两点，点在点的左侧，且， ， 将点代入二次函数可得， ， ， 解得：，（舍）， ； ②由①可知，， 二次函数图象的开口向下，对称轴为直线， 当时，随的增大而减小， 当时，是最大值；当时，是最小值， 函数值的取值范围是， ， 整理得 解得：，， ， ； （2）解：， 顶点坐标为， 二次函数图象关于中心对称得到新的函数图象， 设图象上任意一点， 点关于中心对称的点在图象上， ， ， 经过的顶点， ， 整理得：， 解得：，（舍）， 的解析式为， 的解析式为， 令，则，解得：，， 点在点的左侧， ， 过点作垂直于轴的直线、与、分别交于、（、不重合）， ，，， ， 联立，解得：，， 如图所示，当直线在点和抛物线与轴左侧的交点之间时，,当时最大， 若长度随的增大而增大，结合函数图象可知，的取值范围为或或． 13．(25-26九下·北京师达中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点位于点的左侧）． (1)直接写出点、的横坐标：_____，_____； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，线段的长为_____； ②在点从运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)0；2 (2)①1；②且 【分析】（1）令整理后解方程即可； （2）分和两种情况讨论画出图形解答即可． 【详解】（1）解：根据题意得， 即， 解得或2， ∵点位于点的左侧， ∴，； （2）①解：若，，则，， ； ②解：由（1）得，， 过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． 当时，如图 ， ， 当时，最大， ∵点从运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大， ∴， 解得， ∴， 当时，如图 的面积随的长的增大而增大， 综上，且． 14．(25-26九下·北京第四中学·月考)在平面直角坐标系中，抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)若，，求的长的最大值； (2)在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置使得长度相等，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【来源】北京市第四中学2025-2026学年九年级下学期数学统练3试题 【分析】（1）因为已知，所以先将代入抛物线和直线解析式，再根据点的垂线与抛物线、直线的交点，用t表示出M、N的纵坐标，进而得到的长度表达式；因为该表达式是二次函数形式，所以可利用二次函数的性质，结合的范围求最大值． （2）先用t和a表示出的长度表达式；因为至少存在两个不同位置使长度相等，所以该表达式对应的函数在存在不同的增减情况，据此进行分类讨论来确定a的取值范围． 【详解】（1）当时，抛物线为，直线为， 过点作x轴的垂线，则，． 所以 ∵，∴， ∴． 当时，取得最大值． （2）由题意，，，则 ， 由于是常数，的长度相等等价于的值相等． 当时，，所以． 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为． 在上，随t的增大而增大； 在上，随t的增大而减小． 当时，，当时，， 当时，，所以． 这是一个开口向上的二次函数，对称轴， 在时，随t的增大而减小． 当时，在这个范围中是随t的增大而减小，不存在两个不同的 t 使相等，所以不满足条件． 当时，在这个范围内存在两个不同的 t 使 相等，必须让这个范围覆盖对称轴 的两侧，或者包含端点 0和 3． 若，完全在对称轴左侧，随t的增大而增大，每个函数值只对应一个 t，不满足． 若，包含 0到 的上升段和 到 a 的下降段，因此存在两个不同的 t 使 相等，满足条件． 若，包含 0 到 3 的整个部分，又因为和都在这个范围内，所以存在两个不同的位置（和）使长度相等，同时，对于其他值也有对称点，因此也满足条件． 综上，当时，满足“至少存在两个不同位置使长度相等”． 15．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·月考)在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）； (2)若该二次函数的图象经过点，求b的值； (3)当时，函数值y的最大值为M，最小值为m，若，结合函数图象，求b的取值范围． 【答案】(1) (2)； (3)． 【分析】（1）化成顶点式即可； （2）代入点的坐标计算即可； （3）用b表示函数的最大值和最小值，再求范围． 【详解】（1）解：， ∴该二次函数的顶点坐标为； （2）解：将代入二次函数得：， ∴； （3）解：抛物线开口向上，对称轴为直线，， 当，即时， ∴当时，函数有最小值， ∴， 若，即时，当时，函数有最大值， ， 此时，符合题意； 当，即时，当时，函数有最大值， 此时， ∵， ∴， ∴或， ∵， ∴不合题意，舍去； ∴符合题意； 当，即时， ∵抛物线开口向上，对称轴是直线， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，函数有最小值， 当时函数有最大值， ∴，， ∴， 且， ∴， ∵，∴， 综上：． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 二次函数 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 二次函数 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 二次函数 典例引领 【典例01】（2026·北京西城区·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，用等式表示与关系，并说明理由； (2)当，时，将二次函数的图象记为，一次函数的图象记为，过点作轴的垂线分别交，于点，．当时，点与点的距离存在最大值，求的取值范围． 【典例02】（2026·北京海淀区·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N，记点M与点N之间的距离为m，当M与N重合时，． ①若，求t的值； ②若对于，都有，求a的取值范围． 方法透视 考向解读 1. 判断二次函数基本形式，区分二次、一次、反比例函数，最高次数为 2，是中考函数核心必考题型。 2. 辨别二次项系数a的作用，a>0开口向上，a<0开口向下，∣a∣越大图象开口越窄。 3. 区分三种解析式形式，一般式、顶点式、交点式，根据已知条件灵活选用，快速求解解析式。 4. 理解对称轴、顶点、增减性与最值，结合图象判断取值范围、函数大小比较、区间最值问题。 5. 易错点判断，增减性以对称轴为分界；求最值要看取值范围，顶点不一定在取值区间内。 方法技能 二次图象抛物线，a定开口窄与宽； 对称轴分增减段，顶点决定最大端； 三式灵活来转化，区间最值仔细看。 变式演练 【变式01】（2026·北京通州区·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线：经过原点O和点，抛物线：． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交于点M，交于点N（点M与点N不重合）． ①当，时，求的长； ②若点P从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【变式02】（2026·北京平谷区·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)用含a的式子表示b； (2)点在抛物线上，且．过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点的长随着的增大而增大，求的取值范围． 【变式03】（2026·北京昌平区第二中学·一模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点．交直线于点． ①若，直接写出的长； ②已知当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 题●型●训●练 1．（2026·北京三帆中学·零模）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)________（用含b的式子表示）； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求b的取值范围． 2．(25-26九·北京文汇中学·零模)已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点和点． (1)________，________（用含的代数式表示）； (2)直线上有一动点，设点的横坐标为，过点作轴的垂线，分别交轴，抛物线，直线于点，，． ①当，时，则的长度为________； ②当点从点沿着直线运动到点时，的值始终随的增大而增大，求的取值范围． 3．(25-26九下·北京昌平区第二中学·月考)在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)求抛物线的顶点坐标（用含的式子表示）； (2)将抛物线在轴右侧的部分沿轴翻折，其余部分保持不变，组成图形． ①过点作轴的垂线，交图形于点，交直线于点，已知点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求的取值范围； ②若，且点，在图形上，对任意的，都有，直接写出实数的取值范围． 4．(25-26九下·北京十一学校·月考)在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为． (1)求b，c的值（用含a，h的式子表示）； (2)将抛物线在直线右侧的部分沿直线l翻折，其余部分保持不变，得到图形G．已知，，当时，对于t的每一个值，总存在s，使线段与图形G有两个不同的交点，求h的取值范围； (3)为抛物线上一点，在（2）的条件下，若m的最大值小于6，求a的取值范围． 5．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·月考)在平面直角坐标系中，抛物线经过原点和点． (1)求的值，并用含的式子表示； (2)过点作轴的垂线，交该抛物线于点，交直线于点， 若，，直接写出的长； 若线段的长度随的增大而减小，求出的取值范围． 6．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线（）与x轴交于点和点B，与y轴交于点，直线经过点． (1)求抛物线的表达式； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，求的长； ②若点M在抛物线上的点A与点B之间，连接，当四边形的面积随m的增大而减小时，求m的取值范围． 7．(25-26九下·北京第四中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线和x轴正半轴交于点． (1)求b的值； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点P，交直线于点Q．已知当时，线段的长随m的增大而增大，求k的取值范围． 8．(25-26九下·北京第六十五中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线与x轴的交点为点和点B． (1)用含a的式子表示b； (2)求抛物线的对称轴和点B的坐标； (3)分别过点和点作x轴的垂线，交抛物线于点M和点N，记抛物线在M，N之间的部分为图象G（包括M，N两点）．记图形G上任意一点的纵坐标的最大值是m，最小值为n． ①当时，求的最小值； ②若存在实数t，使得，直接写出a的取值范围． 9．(25-26九·北京第八中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)用含的式子表示． (2)点是抛物线上一个动点，且其纵坐标始终小于点的纵坐标，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，则___________； ②若线段的长随的增大而增大，求的取值范围． 10．(25-26九·北京清华大学附属中学数学·零模)在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点． (1)求抛物线的对称轴和点的坐标（用含的代数式表示）； (2)过点作轴的垂线，将抛物线在轴左侧的部分沿直线翻折，将翻折得到的图象与原抛物线剩余部分的图象组成新的图形，记为图形，已知点和点是图形上的点．设，过点作轴的垂线交轴于点，当随着的增大而增大时，求的取值范围． 11．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点、，长为． (1)求出抛物线的解析式； (2)直线交抛物线于、两点，点在点左侧．，为抛物线上不同的两点．抛物线上、两点及之间的部分记为图形；、两点及之间的部分记为图形．若存在点， 分别位于，上，使得，求的取值范围． 12．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·零模)在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点（点在点的左侧）． (1)若点的坐标为， ①求此时二次函数的解析式； ②当时，函数值的取值范围是，求的值； (2)将该二次函数图象关于中心对称，得到一个新的函数图象，经过的顶点，过点作垂直于轴的直线，与、分别交于、（、不重合），若长度随的增大而增大，结合函数图象，求的值和的取值范围． 13．(25-26九下·北京师达中学·零模)在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，两点（点位于点的左侧）． (1)直接写出点、的横坐标：_____，_____； (2)过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． ①若，，线段的长为_____； ②在点从运动到点的过程中，的面积随的长的增大而增大，求的取值范围． 14．(25-26九下·北京第四中学·月考)在平面直角坐标系中，抛物线，过点作轴的垂线，交抛物线于点，交直线于点． (1)若，，求的长的最大值； (2)在点从点运动到点的过程中，至少存在两个不同位置使得长度相等，求的取值范围． 15．(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·月考)在平面直角坐标系中，已知二次函数． (1)求该二次函数图象顶点的坐标（用含b的代数式表示）； (2)若该二次函数的图象经过点，求b的值； (3)当时，函数值y的最大值为M，最小值为m，若，结合函数图象，求b的取值范围． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $