专题11 填空压轴（题型专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题11 填空压轴 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 填空压轴 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 填空压轴 典例引领 【典例01】(25-26九·北京清华大学附属中学数学·零模)随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活，某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作，该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率，已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完，现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成___个单位的家务工作． 【答案】78 【分析】本题考查有理数混合运算的实际应用，解题的关键是要得到24小时内的最大工作量，需先计算不同模式单次满电的工作量和周期耗时，通过计算不同安排的总工作量，即可得到最大值． 【详解】解：由题意得，机器人初始为满电状态， “快速模式”：单次工作量（单位），单次耗时（小时）， “节能模式”：单次工作量（单位），单次耗时（小时）， 安排2次“快速模式”，再安排2次“节能模式”，总耗时为（小时）， 总工作量为：（单位）； 验证其他安排： 若全为“快速模式”，最多可安排5次工作（最后一次无需充电），总耗时（小时），总工作量； 若全为“节能模式”，最多可安排3次工作（最后一次无需充电），总耗时（小时），总工作量； 其他混合安排的总工作量均小于78个单位， 小时内最大完成工作量为78个单位． 【典例02】(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·月考)甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 【答案】 75 【分析】（1）根据每门功课的分数计算五人总分之和， （2）结合已知条件，逐步推理出各人的总分，再根据分数限制推出乙的各科分数. 【详解】解：（1）每门功课五个人分数为，每门功课分数和为，共有门功课，因此五人总分之和为； （2）∵甲总分为，五门满分， ∴甲的分数为个分和个分， ∵戊语文得分， ∴语文分在戊，甲的个分分布在数学，英语，物理，政治，甲语文得分； 根据条件③，丙有四门分数相同， ∵所有分已经用完（甲个，戊个）， ∴相同分数不可能为； ∵共有个分，已经用了甲语文分，丁英语分，仅剩个分，不够丙拿四门， ∴相同分数不可能为； 若相同分数为，则丙总分最多为，戊已有分，剩余三门最少加分，总分最少，此时丁需要小于，戊小于丁，矛盾， ∴相同分数不可能为； ∴丙四门相同分数只能为， 又∵戊数学已经得分，因此丙的数学不为，其余四门（语文，英语，物理，政治）均为，丙总分为，为丙数学分数，只能为； ∵总分排序甲>乙>丙>丁>戊，五人总分为， ∴乙+丙+丁+戊， 若丙总分或，总和超出， ∴丙总分只能为，得，即丙数学为，丙总分， ∴乙>>丁>戊，戊总分最少， ∴只能是乙，丙，丁，戊，满足， ∵戊已有语文，数学，剩余三门分数和为， ∴三门均为分，即戊英语，物理，政治都是， ∴英语剩下分给乙，乙英语得分； ∵丁总分，英语已经得分，因此剩下四门分数和为，物理，政治已经没有分， ∴丁物理+政治最少分， ∴丁语文+丁数学，可得丁语文，丁数学，丁物理，丁政治，满足和为； ∴乙各科分数： 语文：剩余分数为，得分； 数学：剩余分数为，得分； 英语：得分； 物理：剩余分数为，得分； 政治：剩余分数为，得分； ∴乙的五门分数依次为. 方法透视 考向解读 1.逻辑推理、方案选择、时间最短，是中考最常考题型。 方法技能 枚举法解题，优化时间线题目。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·零模)某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下： 修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色 甲 60天 30天 120天 乙 60天 20天 90天 丙 80天 20天 80天 在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短______天可以修复一件文物；最短______天可以完成全部文物的修复工作． 【答案】 160 300 【分析】根据题意找出最优方案是解题的关键．根据题意选择最优方案，进而作答． 本题主要考查逻辑推理与时间统筹，有理数的加法，根据加工要求得出加工顺序是解题关键． 【详解】根据题意，三位文物修复师通力合作修复一件文物，那么选择甲或乙师傅清洁去污，乙或丙师傅结构修复与加固，丙师傅画面修补与全色， 则最短时间需：（天）； 若完成全部文物的修复工作，将文物分成A，B，C，D，E，由题意得： 则最短时间需：天． 故答案为：；． 【变式02】(25-26九下·北京师达中学·零模)某校科技艺术节上有A（无人机表演）、B（机器人对抗）、C（打印文创）、D（航天模型制作）四个项目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始，一个项目彩排完毕，下一个项目彩排立即开始，无换场时间．每个项目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表： 项目 A B C D 演员人数 12 3 12 2 彩排时长 25 10 20 10 已知每位演员只参演一个项目．一位演员的候场时间是指：从第一个彩排的项目开始，到这位演员参演的项目开始的时间间隔． （1）若项目按的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_____； （2）若要使这29位演员的候场时间之和最小，则四个项目应按的先后顺序为_____． 【答案】 55 【分析】（1）节目D的演员的候场时间为节目A、B、C的彩排时长之和，据此求解即可； （2）先确定C在A的前面，B在D前面，然后分类讨论计算出每一种情况下，所有演员候场时间，比较即可． 【详解】解：（1）由题意得，节目D的演员的候场时间为； （2）由题意得节目A和C的演员人数一样，彩排时长不一样，那么彩排时长长的节目应该放在后面，那么C在A的前面，B和D彩排时长一样，人数不一样，那么人数少的应该往后排，这样候场时间会短一些，那么B在D前面， 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间； 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间为； 当按照的顺序时，则候场时间为． ∴按照顺序彩排，候场时间之和最小． 【变式03】(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·月考)2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则•活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 24点 2 数独 2 华容道 3 魔方 3 鲁班锁 4 小云参与了所有活动． (1)若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； (2)若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 【答案】(1)鲁班锁； (2)1或2或3 【分析】本题考查了推理能力，关键是注意分类讨论． （1）因为小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个，所以推断小云只能参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，足够她参与其余四个活动； （2）小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功，所以推断小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁，分别讨论参与的第一个活动为华容道、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量的可能． 【详解】（1）解：∵小云参与了所有活动，且小云只挑战成功一个， ∴小云用活动前发放的一枚“π币”参与了鲁班锁，且挑战成功，赢得4枚“π币”，再次参与了其余四个活动，未挑战成功， 故答案为：鲁班锁； （2）∵小云共挑战成功两个，且参与的第四个活动成功， ∴小云参与的第一个活动成功，且为华容道、魔方或鲁班锁， 若参与的第一个活动为华容道，则参与的第四个活动可能为24点、数独、魔方或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为魔方，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或鲁班锁，最终剩下的“π币”数量可能是1枚、2枚或3枚， 若参与的第一个活动为鲁班锁，则参与的第四个活动可能为24点、数独、华容道或魔方，最终剩下的“π币”数量可能是2枚或3枚， 故答案为：1或2或3． 题●型●训●练 1．（2026·北京西城区·一模）某体育馆有三块场地，分别记为场地1，2，3．三块场地每次用完后，需安排甲、乙、丙三名员工进行维护，每个场地都要完成A，B，C三个项目才算维护完成．要求：甲只负责A，乙只负责B，丙只负责C；同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护，C必须最后完成．下表是这三名员工在维护这三个场地时每个项目所需时间（单位：分钟）：         项目场地 A B C 1 6 8 2 2 5 4 1 3 7 6 3 （1）若只维护场地1和场地2，则最少需要________分钟； （2）若三块场地都要维护，则最少需要________分钟． 【答案】 16 21 【分析】本题考查了逻辑推理，理解题意，结合题干“每个场地都要完成A，B，C三个项目才算维护完成．要求：甲只负责A，乙只负责B，丙只负责C；同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护，C必须最后完成”进行分析，再算出对应的时间，即可作答． 【详解】解：（1）理解题意，假设早上点开始进行维护， 当早上开始计时，乙去场地1进行场地的维护，同时甲去场地2进行场地的维护， 即在，乙维护场地1； 即在，甲维护场地3； ∵同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护， ∴早上甲去场地1进行场地的维护，乙去场地2进行场地的维护， 则 ∴乙已结束场地2的维护，丙再去场地2进行场地的维护， 故丙已结束场地2的维护， ∵， ∴在，甲进行场地1的维护 ∴甲已结束场地1的维护，丙再去场地1进行场地的维护， 则， 故丙已结束场地1的维护， ∴只维护场地1和场地2，则最少需要16分钟； （2）理解题意，假设早上点开始进行维护， 当早上开始计时，乙去场地1进行场地的维护，同时甲去场地3进行场地的维护， 即在，乙维护场地1； 即在，甲维护场地3； 在，甲维护场地2； ∴在，乙维护场地3； 此时在，乙维护场地3结束后，丙再去场地3进行场地的维护， ∴在，丙结束场地3的维护， ∴在，甲维护场地1； 此时在，甲维护场地1结束后，丙再去场地1进行场地的维护， 即在，丙维护场地1； 当丙维护场地1结束后，马上去场地2进行场地的维护， ∴在，丙结束场地2的维护， 若三块场地都要维护，则最少需要21分钟． 2．（2026·北京海淀区·一模）陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 【答案】 75 【分析】（1）（2）工序同一时间只能进行一项，静置工序，不需要理发师操作，合理安排工序顺序，利用静置等待时间完成其他人工工序，计算不同顺序的总时间，选取最短总时间即可． 【详解】解：（1）仅爸爸和妈妈理发，分两种情况讨论： 情况1：先完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置工序，结束最早为； 在妈妈静置期间，理发师完成爸爸的人工工序，耗时，结束时间为； 理发师等待至，完成妈妈的工序，耗时，总时间为． 情况2：先完成爸爸的工序，耗时，再完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置，结束最早为，再完成妈妈的工序，总时间为． 因为，所以最短时间为． （2）一家三口理发，最优工序安排如下（按理发师操作顺序）： ①：完成陈老师的工序，耗时，结束后陈老师开始第一次静置，第一次结束最早为． ②：完成妈妈的工序，耗时，结束后妈妈开始静置，妈妈结束最早为． ③：完成陈老师的工序，耗时，结束后陈老师开始第二次静置，第二次结束最早为． ④：完成爸爸的工序，耗时，爸爸理发完成． 此时，妈妈静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑤：完成妈妈的工序，耗时，妈妈理发完成． 此时，陈老师静置已满足要求，可以进行下一步工序． ⑥：完成陈老师的工序，耗时，陈老师理发完成． 总时间为，该安排为最优安排，故最短时间为． 3．（2026·北京通州区·一模）某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 【答案】 丁 40 【分析】（1）5个任务分给四款软件，每款至少1个任务，因此仅1款软件分配2个任务，其余各分配1个任务，分别计算四种情况的总效率分，比较得最大值对应的软件； （2）将6个任务按不同分拆方式分配给软件，计算每种分拆的总效率分，比较得到最大值． 【详解】解：（1）根据题意，个任务分配给四款软件，每款软件至少处理1个任务， 只有一款软件分配个任务，其余三款各分配个任务， 若甲分配个任务，总效率分为：； 若乙分配个任务，总效率分为：； 若丙分配个任务，总效率分为：； 若丁分配个任务，总效率分为：； ， 为了使总效率分最大，应向丁分配个任务； （2）分配个任务给其中一款软件或多款软件，枚举所有可能： 个任务均分配给其中一款软件：全部分配给丁，总效率分最大，最大总效率分是分； 个任务分配给其中两款软件：甲丁或甲丁或甲丁最大，最大总效率分为均为分； 个任务分配给其中三款软件：甲丙丁最大，最大总效率分为分； 个任务分配给四款软件：甲乙丙丁最大，最大总效率分为分； 综上，甲分配1个任务，丙分配个任务，丁分配个任务，可获得的总效率分最大，最大总效率分为分． 4．（2026·北京平谷区·一模）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 【答案】 12 17 【分析】先根据总人数相等计算的值，再结合已知限定条件，根据求最大值的要求推理求解 【详解】解：由题意，该班男生总人数为运动能力I各项目的人数之和， 即， 因为素质项目II人数之和等于总人数，因此 已知选择排球的2位同学均选择健身长拳和立定跳远组合， 选择游泳的4位同学的运动能力I和素质项目II组合各不相同， 所有可能的不同组合共4种， 为（篮球，立定跳远），（篮球，实心球），（足球，立定跳远），（足球，实心球）， 因此4位游泳同学中，有2人选择立定跳远，2人选择运动能力I的篮球， 要使目标组合人数最多，应将剩余立定跳远名额尽可能分配给目标组合， 立定跳远总人数为21，已被排球占用2个名额，被游泳占用2个名额， 因此剩余立定跳远名额为， 运动能力I的篮球总人数为19，其中2人选择游泳， 因此最多有名篮球考生选择健身长拳， 健身长拳总人数为29，已被排球占用2个名额，剩余名额为， 足球总人数12，其中2人选择游泳，剩余10名足球考生均可选择健身长拳，，刚好满足健身长拳的名额限制， 因此选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有17人． 5．（2026·北京昌平区第二中学·一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为______元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是______． 【答案】 6100 3，6，1或9，2，1或6，4，1 【分析】（1）列式计算即可求解； （2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，分①，或②，或③，三种情况讨论，利用a，b，c都是正整数以及一次函数的性质求解即可． 【详解】解：（1）依题意得(元)； 故答案为：6100； （2）设甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是a，b，c，租车的总费用为y， 则，即， 整理得， ∵a，b，c都是正整数， ∴则必须是3的倍数， ∴①，或②，或③，； 分类讨论， ①当，，时，，不合题意，舍去； 当时，，， ∴， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时； ②当，，时，由（1）得，不合题意，舍去； 当时，，， ∴， ∵， ∴c最小时，y最小，即时，最小值为5700元，此时； ③当，时，，，或，或 当，，时，，不合题意，舍去； 当，或时，； 综上，如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是3，6，1或9，2，1或6，4，1． 故答案为：3，6，1或9，2，1或6，4，1． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，正确的分类是解题的关键，注意租用甲型客车有优惠活动． 6．（2026·北京三帆中学·零模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 【答案】 42 【分析】根据表格中的数据计算出按的先后顺序制作时间即可； 要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给道具制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造，再按照或分类讨论即可． 【详解】解：（1）甲先制作用10分钟， 然后乙再给包装8分钟，这8分钟甲可以给制作，（分）， 还剩下的时间制作2分钟，这时还需要（分）， 乙开始给包装又花了8分钟，这8分钟甲给制作，还留有（分）， 这1分钟甲给制作，在乙完成的包装时甲给制作还需要（分），这分钟乙同时可以包装完， 综上，按照的顺序制作，等甲做完且乙包装完， 需要（分）， 最后，甲制作完之后，乙再给包装花费（分） 所以总时长为（分）； （2）要用最短的时间完成这四个产品的制作，开始的时候要让甲给产品制作的时间最短， 即开始应该让甲按照的顺序制造， 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）； 当按照的顺序制作时，按照（1）中方法，需要（分）， 所以按照的顺序制作所需总时间最短． 7．(25-26九·北京文汇中学·零模)某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 【答案】 54 28 【分析】本题主要考查了有理数的加减运算，两人合作的最短时间的关键在于合理分配任务，让两人的工作时间尽可能均衡且不出现等待时间． 三种产品各个阶段所需时间相加即可；一人依次完成A产品第一阶段，B产品的第一阶段，C产品的第二阶段，另一人依次完成C产品第一阶段，A产品的第二阶段，B产品的第二阶段，则至少需要28小时． 【详解】解：（小时）； 为使总时间最少，应合理分配6项任务使两名工人的总工时尽量均衡．一种最优分配为：工人甲负责制作A、制作B、包装C（总工时26h），工人乙负责制作C、包装A、包装B（总工时28h）．经调度，在满足“先制作后包装”的条件下，所有任务完成的最短时间为28h． 故答案为：54；28． 8．（2026·北京燕山区·一模）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟． 【答案】 7 12 【分析】本题考查了推理论证，实际问题的方案设计，事件的统筹安排，有理数的混合运算，尽可能让①和②在同一时段进行时解此题的关键． （1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，由此计算即可得解； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，画出流程图，结合流程图即可得解． 【详解】解：（1）由题意可得，两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，同时执行步骤①和②，再执行③所需时间最短，为（分钟）， 故答案为：7； （2）设工作人员1负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面；工作人员2负责②清洁椅面与地面；工作人员3负责③摆放新餐具，具体流程如下图： ， 由流程图可得，将三张桌子收拾完毕最短需要12分钟， 故答案为：12． 9．(25-26九下·北京昌平区第二中学·月考)化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 【答案】 【分析】（1）分别求出整理大实验台和小实验台的时间，即可得到答案； （2）根据所需要的时间，多人协作分析最优耗时得到答案． 【详解】（1）解：整理大实验台：分钟， 整理小实验台：分钟； 一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费分钟， 故答案为：； （2）解：设学生负责步骤①，学生负责步骤②，学生负责步骤③， 由题意可知，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，学生总任务时长分钟，且必须在①②完成后再进行， 则学生和学生两个人可以在分钟内做完三个实验台的步骤①和步骤②，在此期间学生可以做一个小实验台的步骤③，耗时分钟是包含在前面两人的分钟里的，然后等学生和学生两人做完后，学生再分别整理大试验台和小试验台的步骤③，耗时分钟，所以一共是分钟． 10．(25-26九下·北京十一学校·月考)某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_________； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_________． 【答案】 8 24 【详解】解：设安排加工A零件的工人人数为人，因为加工A零件和C零件总数相等，且每名工人只能加工A零件3件或C零件1件，所以加工C零件的工人人数为人， 由题意得，解得， 所以安排加工A零件的工人人数为8人； 设加工B零件的工人人数为y人，加工A零件的工人人数为x人，则加工C零件的工人人数为人， 满足：，即且， 即， 解得， 同时x为正整数； 利润计算：A零件利润：， B零件利润：，代入，得：， C零件利润：， 总利润W为：， 展开并整理得， 这是一个开口向下的二次函数，对称轴为：， 此时，且，符合条件； 所以加工B零件的人数为24人． 11．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)某陶艺工坊有和两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次共生产了18个大尺寸陶艺品，69个中尺寸陶艺品，138个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用______次； （2）若款电热窑每次烧制成本为55元，款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为______元． 【答案】 【分析】（1）设烧制这批陶艺品，款电热窑使用了次， 根据“共生产了个大尺寸陶艺品”列不等式求解即可； （2）根据款电热窑至少使用次，分别讨论款使用次和次时的情况，结合替换规则计算中、小尺寸陶艺品的剩余需求量，确定款电热窑的使用次数，最后比较总成本得出最低费用． 【详解】解：（1）设烧制这批陶艺品，款电热窑使用了次， 根据题意得， 解得， 为正整数， 的最小值为， 即烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用次； （2）由（1）知款电热窑至少使用次，当款电热窑使用次时， 款电热窑提供的大尺寸位置总数为（个）， 烧制个大尺寸陶艺品后，剩余大尺寸位置（个）， 设剩余的个大尺寸位置中，有个替换为中尺寸，个替换为小尺寸， 则，且，为非负整数， 此时款电热窑共提供中尺寸个，小尺寸个， 还需款电热窑提供的中尺寸为个， 还需款电热窑提供的小尺寸为个， 若款电热窑使用次，可提供个中尺寸和个小尺寸， 需满足， 解得， 为整数， ， 又， 当时，，满足条件， 此时总成本为（元）； 若款电热窑使用次，可提供个中尺寸和个小尺寸， 则，解得， ， ，矛盾，故款至少使用次； 当款电热窑使用次时， 仅款成本为（元）， ， 烧制这批陶艺品成本最低为元． 12．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟． 【答案】 【分析】本题考查了本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 因为家务的第二阶段可以由机器完成，小明在完成家务的第一阶段后，就可以开始完成家务，小明在完成家务的时间段内，机器可以完成家务的第二阶段，所以小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 因为家务的第二阶段需要分钟，完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，家务的第二阶段需要分钟，而完成家务需要分钟，所以把家务和分为一组，这样一来，完成家务和需要分钟，完成家务和需要分钟，所以 这四项家务全部完成最少需要分钟． 【详解】解：小明先完成家务的第一阶段，用时分钟， 由机器完成家务的第二阶段，同时小明开始家务的第一阶段， 小明完成家务的第一阶段和第二阶段共用时分钟， 在小明完成家务（第一阶段和第二阶段）时间段内，机器完成了家务的第二阶段， 小明完成家务和家务，则至少需要分钟； 小明和哥哥合作完成四项家务，把和分为一组，和分为一组， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 和分为一组，最少需要的时间是分钟， 小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要分钟． 故答案为：，． 13．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为________分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为________分钟． 【答案】 14（答案不唯一） 12 【分析】根据规则解答即可． 本题的关键在于每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 【详解】解：每次两人拿接力棒过桥后，必须还要有一人拿接力棒返回，（明确游戏规则）然后继续两人拿接力棒过桥后一人返回，直到四人全部过桥，因此若想时间最短，每次返程的人所用时间应尽可能地短． 该组同学完成项目所需的时间规划可以为：甲、乙拿接力棒一起过桥（计时2分钟），甲拿接力棒返回（计时1分钟）；丙、丁拿接力棒过桥（计时5分钟），丙拿接力棒返回（计时3分钟）；甲、丙拿接力棒过桥（计时3分钟），此时全部过桥，所用时间为：（分钟）；该组完成项目需要的最短时间为：甲、乙一起过桥（计时2分钟），甲返回（计时1分钟），甲、丙一起过桥（计时3分钟），甲返回（计时1分钟），最后甲、丁再一起过桥（计时5分钟），共需要：（分钟） 故答案为：14，12． 14．(25-26九下·北京第四中学·零模)某物流公司有一批货车，计划分配给甲、乙、丙、丁四个配送点使用．每个配送点分配到m辆货车时，公司获得的日收益（单位：万元）如下表： … 甲 25 45 / / / / / 乙 20 38 52 62 68 70 / 丙 15 30 45 55 63 69 … 丁 10 26 42 58 74 90 … （1）若将5辆货车分配给四个配送点，且每个配送点至少分配1辆，为使日总收益最大，应向______分配2辆货车（填“甲”，“乙”，“丙”或“丁”）； （2）若将6辆货车分配给这四个配送点中的一家或多家，日总收益的最大值为______万元． 【答案】 甲 113 【分析】（1）根据5辆货车分给4个配送点，每个至少1辆，因此恰好有1个配送点分2辆，其余3个各分1辆，计算所有情况的总收益即可求解． （2）要得到6辆货车的最大总收益，分四种情况，选择收益最高的分配组合，列举所有可能的高收益组合解答即可． 【详解】解：（1）5辆货车分给4个配送点，每个至少1辆，因此恰好有1个配送点分2辆，其余3个各分1辆， 计算所有情况的总收益： 甲分2辆：万元， 乙分2辆：万元， 丙分2辆：万元， 丁分2辆：万元， 总收益最大时，应给甲分配2辆货车． （2）要得到6辆货车的最大总收益，我们选择收益最高的分配组合， 列举所有可能的高收益组合： ①全部分配给其中一个配送点时，最高收益为90万元； ②分配给两个配送点时，分配方式：；分配方式：；分配方式：； 其中甲2辆、乙4辆收益最高，最高收益为万元； ③分配给三个配送点时，分配方式：最高为；分配方式：最高的三种或或； 故甲2辆、乙2辆、丙2辆收益最高，最高收益为万元； ④分配给四个配送点时，分配方式：最高的两种或；分配方式：最高的两种或； 故甲2辆、乙2辆、丙1辆、丁1辆收益最高，最高收益为万元； 综上，日总收益的最大值为113万元． 15．(25-26九·北京第二中教育集团·零模)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 【答案】 53 28 【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案． 【详解】解：由题意得：（分钟）， 即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟； 假设这两名学生为甲、乙， ∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成， ∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟， 然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟， 最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟， ∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要（分钟）， 故答案为：53，28； 【点睛】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键． 16．(25-26九下·北京第六十五中学·零模)某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与的对应关系如下： 投入n（万元） 渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向______渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为______千人． 【答案】 甲 180 【分析】（1）分别求出向各渠道投入2万元后新增用户量，比较即可解答； （2）列举出所有分配方案，比较即可解答． 【详解】解：（1）若向甲渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向乙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丙渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； 若向丁渠道投入2万元，则新增用户量为（千人）； ∵， ∴为使总新增用户量最大，应向甲渠道投入2万元． （2）将6万元广告预算进行分配，方案如下： 甲 乙 丙 丁 总新增用户量 0 0 0 6 0 0 1 5 0 0 2 4 0 0 3 3 0 0 4 2 0 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 5 0 1 1 4 0 1 2 3 0 1 3 2 0 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 4 0 2 1 3 0 2 2 2 0 2 3 1 0 2 4 0 0 3 0 3 0 3 1 2 0 3 2 1 0 3 3 0 0 4 0 2 0 4 1 1 0 4 2 0 0 5 0 1 0 5 1 0 0 6 0 0 1 0 0 5 1 0 1 4 1 0 2 3 1 0 3 2 1 0 4 1 1 0 5 0 1 1 0 4 1 1 1 3 1 1 2 2 1 1 3 1 1 1 4 0 1 2 0 3 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 3 0 1 3 0 2 1 3 1 1 1 3 2 0 1 4 0 1 1 4 1 0 1 5 0 0 2 0 0 4 2 0 1 3 2 0 2 2 2 0 3 1 2 0 4 0 2 1 0 3 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 3 0 2 2 0 2 2 2 1 1 2 2 2 0 2 3 0 1 2 3 1 0 2 4 0 0 因此，总新增用户量的最大值为180千人． 17．(25-26九·北京第八中学·零模)A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 【答案】 21 17 【分析】本题考查推理与论证，解本题关键根据题目提供的特征和数据，分析其存在的规律和方法，并递推出相关的关系式，从而解决问题． ①先确定了B、C之间打了9局，A与B打了8局，A与C打了4局，进而确定三人一共打的局数； ②可推导出A当裁判9局，B当裁判3局，C当裁判5局，A当裁判的局次只能是1，3，5，…15，17，由此能求出结果，即可得到答案． 【详解】解：①∵A当了9局裁判， ∴B、C之间打了9局， 又∵B，C分别进行了17局，13局比赛， ∴A与B打了局，A与C打了局， ∴三人共打了局， 故答案为：21． ②∵A当了9局裁判，而从1到17共9个奇数，8个偶数， ∴A当裁判的局为奇数局， ∴三人至少进行了17局比赛， 故答案为：17． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 填空压轴 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 填空压轴 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 填空压轴 典例引领 【典例01】(25-26九·北京清华大学附属中学数学·零模)随着科技的发展，智能机器人逐渐走进了我们的生活，某科技公司研发了一种新型智能机器人（充电款），用于协助完成家务工作，该机器人在工作过程中，会根据不同的任务模式调整其工作效率，已知该机器人在“快速模式”下，每小时可以完成5个单位的家务工作；在“节能模式”下，每小时可以完成4个单位的家务工作．该机器人充一次电需要2小时（每次必须充满才可断电），在满电状态下“快速模式”可连续工作3小时，“节能模式”可连续工作6小时，且选定模式后无法切换模式直至电量用完，现给你一台满电状态下的机器人，24小时内，该机器人最多可以完成___个单位的家务工作． 【典例02】(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属实验中学·月考)甲、乙、丙、丁、戊五名同学的各科考试成绩如下表所示，已知： ①每门功课五个人的分数各不相同，恰好分别为1，2，3，4，5； ②五个人的总分互不相同，按从高到低的顺序排列是：甲、乙、丙、丁、戊； ③丙有四门功课的分数相同． 姓名 语文 数学 英语 物理 政治 总分 甲 24 乙 丙 丁 4 戊 5 3 （1）这五人的总分之和是_____________； （2）乙的语、数、英、物、政五门功课的分数依次是：_____________． 方法透视 考向解读 1.逻辑推理、方案选择、时间最短，是中考最常考题型。 方法技能 枚举法解题，优化时间线题目。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·零模)某种文物的修复工作共三道工序，依次为清洁去污、结构修复与加固、画面修补与全色，同一件文物的三道工序必须依次进行，不能调换顺序，一道工序只能由一人完成，此工序完成后该人才能进行其它工序．现有甲、乙和丙三位文物修复师修复此种文物共五件，每件文物各道工序所需时间如下： 修复师 清洁去污 结构修复与加固 画面修补与全色 甲 60天 30天 120天 乙 60天 20天 90天 丙 80天 20天 80天 在不考虑其他因素的前提下，三位文物修复师通力合作，最短______天可以修复一件文物；最短______天可以完成全部文物的修复工作． 【变式02】(25-26九下·北京师达中学·零模)某校科技艺术节上有A（无人机表演）、B（机器人对抗）、C（打印文创）、D（航天模型制作）四个项目需要彩排．所有演员到场后节目彩排开始，一个项目彩排完毕，下一个项目彩排立即开始，无换场时间．每个项目的演员人数和彩排时长（单位：）如下表： 项目 A B C D 演员人数 12 3 12 2 彩排时长 25 10 20 10 已知每位演员只参演一个项目．一位演员的候场时间是指：从第一个彩排的项目开始，到这位演员参演的项目开始的时间间隔． （1）若项目按的先后顺序彩排，则节目D的演员的候场时间为_____； （2）若要使这29位演员的候场时间之和最小，则四个项目应按的先后顺序为_____． 【变式03】(25-26九下·北京中国人民大学附属中学·月考)2019年11月，联合国教科文组织将每年的3月14日定为“国际数学日”，也被许多人称为“节”．某校今年“节”策划了五个活动，规则见图： “节”活动规则•活动前每人先发放一枚“币” •每参与一个活动消耗一枚“币” •没有“币”不能参与活动 •每个活动至多参与一次 •挑战成功，按右表发放奖励 •挑战失败，谢谢参与 活动名称 奖励的“币”数量/枚 24点 2 数独 2 华容道 3 魔方 3 鲁班锁 4 小云参与了所有活动． (1)若小云只挑战成功一个，则挑战成功的活动名称为______； (2)若小云共挑战成功两个，且她参与的第四个活动成功，则小云最终剩下的“币”数量的所有可能取值为______． 题●型●训●练 1．（2026·北京西城区·一模）某体育馆有三块场地，分别记为场地1，2，3．三块场地每次用完后，需安排甲、乙、丙三名员工进行维护，每个场地都要完成A，B，C三个项目才算维护完成．要求：甲只负责A，乙只负责B，丙只负责C；同一场地同一时间只进行一个项目的维护，一个人维护完一个场地后才能进行下一个场地的维护，C必须最后完成．下表是这三名员工在维护这三个场地时每个项目所需时间（单位：分钟）：         项目场地 A B C 1 6 8 2 2 5 4 1 3 7 6 3 （1）若只维护场地1和场地2，则最少需要________分钟； （2）若三块场地都要维护，则最少需要________分钟． 2．（2026·北京海淀区·一模）陈老师计划带父母一起去理发店理发，并提前预约了一位理发师为他们服务．根据三人的不同需求，理发师需按相应流程完成A，B，C，D，R五种工序，其中A，B，C，D为人工工序，R为静置工序．他们一家三口所需的理发工序流程如下表： 顾客 爸爸 妈妈 陈老师 所需工序流程 D C→R→D A→R→B→R→D 各工序完成的要求如下： ①人工工序，必须由理发师操作才能完成，且这位理发师同一时间只能服务一位顾客，各工序所需时间如下表： 工序 A B C D 所需时间/min 10 20 25 20 ②静置工序，不需要理发师操作，顾客只需静置等待，时长不少于即可．在此期间这位理发师可去服务其他顾客， （1）若只有爸爸和妈妈理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们俩的服务； （2）若他们一家三口都理发，则这位理发师最短需要______min可以完成为他们三人的服务． 3．（2026·北京通州区·一模）某科技公司对四款AI软件（甲、乙、丙、丁）进行效率测试．每款软件处理不同数量的任务所获得的“效率分”如下表所示（分数越高代表效率越高）．在分配任务时，每款软件只能被分配一次任务． 1个任务 2个任务 3个任务 4个任务 5个任务 6个任务 甲 7 13 19 24 28 31 乙 5 10 15 20 25 29 丙 6 11 18 23 27 30 丁 8 15 20 26 30 33 （1）现需将5个任务分配给这四款软件处理，且每款软件至少处理1个任务．为了使总效率分最大，应向______（填“甲”、“乙”、“丙”或“丁”）软件分配2个任务； （2）如果共有6个任务，可以分配给其中一款或多款软件处理，那么这6个任务全部处理后，可获得的最大总效率分是______分． 4．（2026·北京平谷区·一模）根据北京初中学业水平体育与健康科目现场考试的要求，考生除了素质项目I必选外，还需要从运动能力、运动能力、素质项目中各自主选择1项，即每名考生应参加共四项考试内容．某班所有男生的自主选择项目及人数统计如下表所示： 运动能力I 人数 运动能力Ⅱ 人数 素质项目Ⅱ 人数 篮球 19 健身长拳 29 立定跳远 21 足球 12 游泳 4 实心球 m 排球 2 表中的____；若已知选择排球的两位同学均选择了健身长拳和立定跳远的组合，选择游泳的四位同学选择其他两类组合的情况各不相同，则选择篮球、健身长拳、立定跳远组合最多有____人． 5．（2026·北京昌平区第二中学·一模）某校计划租用甲，乙，丙三种型号客车送师生去综合实践基地开展活动．每种型号客车的载客量及租金如下表所示： 客车型号 甲 乙 丙 每辆客车载客量/人 20 30 40 每辆客车的租金/元 500 600 900 其中租用甲型客车有优惠活动：租用三辆或三辆以上每辆客车的租金打8折．现有280名师生需要前往综合实践基地，要求每种型号的客车至少租1辆，且每辆车都坐满． （1）如果甲，乙，丙三种型号客车的租用数量分别是2，4，3，那么租车的总费用为______元； （2）如果租车的总费用最低，那么甲，乙，丙三种型号客车的租用数量可以分别是______． 6．（2026·北京三帆中学·零模）甲、乙两位工人要生产A，B，C，D四个产品，每个产品的生产都需要制作和包装两道工序，先由甲工人进行制作，制作完成后再由乙工人进行包装．两位工人完成每个产品各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： 产品 A B C D 甲需要的时间 10 6 9 7 乙需要的时间 8 8 4 10 （1）若按照的顺序制作，两位工人合作完成这四个产品的总时长最少为________分钟； （2）若使完成A，B，C，D四个产品的总时间最短，则应按照________的顺序生产． 7．(25-26九·北京文汇中学·零模)某工厂需要生产三种产品A，B，C，每种产品的生产分为两个阶段：第一阶段是制作，第二阶段是包装，每种产品在每个阶段所需的时间（单位：小时）如表所示： A B C 制作 10 8 12 包装 6 10 8 若由一名工人单独完成三种产品的生产，那么总共需要_____小时；若由两位工人合作完成这三种产品的生产，每个阶段由一个人单独完成，每种产品制作完才可以包装，那么完成这三种产品的生产最少需要_____小时． 8．（2026·北京燕山区·一模）某餐厅在客人用餐完毕后收拾餐桌分以下几个步骤：①回收餐具与剩菜、清洁桌面；②清洁椅面与地面；③摆放新餐具．前两个步骤顺序可以互换，但摆放新餐具必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤时间（分钟）桌别 回收餐具与剩菜、清洁桌面 清洁椅面与地面 摆放新餐具 大桌 5 3 2 小桌 3 2 1 （1）两名餐厅工作人员一起收拾一张大桌，最短需要_____分钟． （2）若三名餐厅工作人员分别负责①回收餐具与剩菜、清洁桌面，②清洁椅面与地面，③摆放新餐具，且每张桌子同一时刻只允许一名工作人员进行工作．现有两张小桌和一张大桌需要收拾，那么将三张桌子收拾完毕最短需要_____分钟． 9．(25-26九下·北京昌平区第二中学·月考)化学实验课结束后需要重新整理实验台，包含以下三个步骤：①登记旧实验器材与废弃物；②清洁实验台面；③摆放新实验器材．前两个步骤顺序可以互换．但步骤③摆放新实验器材必须在前两个步骤都完成之后才可进行，每个步骤所花费时间如下表所示： 步骤① 登记旧实验器材与废弃物 步骤② 清洁实验台面 步骤③ 摆放新实验器材 大实验台 4 5 2 小实验台 3 1 （1）现有一名学生负责这三个步骤，那么一张大实验台整理完毕比一张小实验台整理完毕多花费_________分钟． （2）现有三名学生分别负责步骤①登记旧实验器材与废弃物、步骤②清洁实验台面、步骤③摆放新实验器材，每张实验台同一时刻只允许一名学生整理，且每位同学只负责自己的步骤、不互相帮忙．现有2张小实验台和1张大实验台需要整理，那么将三张实验台整理完毕最快需要_________分钟． 10．(25-26九下·北京十一学校·月考)某工厂响应绿色环保政策，安排60名工人在规定时段内全部参与加工A，B，C三种零件，其中A零件为可回收材料制成，B零件生产过程需节能减排，C零件为新材料研发产品．在该时段内，每名工人只能加工A零件3件，或B零件1件，或C零件1件．工厂要求加工A零件和C零件总数相等，B零件总数至少8件．若加工的零件都能销售出去，扣除各种成本，加工A零件每件获利9元；加工B零件总数为8件时，每件获利64元，每多加工1件，则所有B零件每件获利减少1元；加工C零件每件获利20元，同时每生产一件C零件可获得政府的环保研发补贴3元． （1）当安排28名工人加工B零件时，安排加工A零件的工人人数为_________； （2）合理安排工人分工使工厂在规定时段内获利最大时，加工B零件的人数为_________． 11．(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)某陶艺工坊有和两款电热窑，可以烧制不同尺寸的陶艺品．两款电热窑每次可同时放置陶艺品的尺寸和数量如下表所示． 烧制一个大尺寸陶艺品的位置可替换为烧制两个中尺寸或六个小尺寸陶艺品，但烧制较小陶艺品的位置不能替换为烧制较大陶艺品． 某批次共生产了18个大尺寸陶艺品，69个中尺寸陶艺品，138个小尺寸陶艺品． （1）烧制这批陶艺品，款电热窑至少使用______次； （2）若款电热窑每次烧制成本为55元，款电热窑每次烧制成本为25元，则烧制这批陶艺品成本最低为______元． 12．(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)某周末，小明家有，，，四项家务要完成，已知完成每项家务都需两个阶段，工作要求如下： 每项家务的第二阶段须在第一阶段完成后进行且各阶段只能由一人或机器完成； 每人同一时间只能进行一项工作： “家务”与“家务”的第二阶段由机器完成； 每项家务的各阶段所需时间如下表所示： 家务类别 阶段用时 第一阶段用时（分） 第二阶段用时（分） 家务 家务 家务 家务 在不考虑其他因素的前提下，若由小明完成家务和家务，则至少需要______分钟；若由小明和哥哥合作完成四项家务，则至少需要______分钟． 13．(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)某校举行“趣味运动会”，其中有一项目为“接棒过桥”，具体规则为：每组四人手持接力棒过一座独木桥，接力棒只有1根，每次过桥时最多允许两人同时握住接力棒出发（记过桥较慢的人的时间），要求不论去程或者返程时必须有接力棒，当四人全部过桥后记为游戏结束． 已知某组的甲，乙，丙，丁四位同学单独过桥所需时间（单位：分钟）分别为1，2，3，5，请写出一种该组同学完成项目可能需要的时间为________分钟，该组同学完成项目所需的最短时间为________分钟． 14．(25-26九下·北京第四中学·零模)某物流公司有一批货车，计划分配给甲、乙、丙、丁四个配送点使用．每个配送点分配到m辆货车时，公司获得的日收益（单位：万元）如下表： … 甲 25 45 / / / / / 乙 20 38 52 62 68 70 / 丙 15 30 45 55 63 69 … 丁 10 26 42 58 74 90 … （1）若将5辆货车分配给四个配送点，且每个配送点至少分配1辆，为使日总收益最大，应向______分配2辆货车（填“甲”，“乙”，“丙”或“丁”）； （2）若将6辆货车分配给这四个配送点中的一家或多家，日总收益的最大值为______万元． 15．(25-26九·北京第二中教育集团·零模)学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B，C，D，E，F，G七道工序，加工要求如下： ①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行； ②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示： 工序 A B C D E F G 所需时间/分钟 9 9 7 9 7 10 2 在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要______分钟． 16．(25-26九下·北京第六十五中学·零模)某互联网公司计划将广告预算分配给甲、乙、丙、丁四个推广渠道．当向一个渠道投入万元广告费时，公司从该渠道获得的新增用户量（单位：千人）与的对应关系如下： 投入n（万元） 渠道 1 2 3 4 5 6 甲 50 75 乙 35 59 80 95 105 110 丙 25 45 60 70 78 84 丁 20 43 64 80 92 100 （1）如果公司将5万元广告预算分配给这四个渠道，且每个渠道至少投入1万元，为使总新增用户量最大，应向______渠道投入2万元（填“甲”“乙”“丙”或“丁”）； （2）如果公司将6万元广告预算分配给这四个渠道中的一个或多个，那么总新增用户量的最大值为______千人. 17．(25-26九·北京第八中学·零模)A、B、C三人进行乒乓球比赛赛前训练，每局两人进行比赛，第三个人做裁判，每一局都要分出胜负，胜方和原来的裁判进行新一局的比赛，输方转做裁判，依次进行．半天训练结束时，发现A共当裁判9局． ①若B，C分别进行了17局，13局比赛，则这半天训练中，三人共进行了_______局比赛； ②三人至少进行了_______局比赛． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $