专题10 统计与概率（题型专练）（北京专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

专题10 统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 概率 题型02 用样本估计总体 题型03 数据统计与数据分析 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 概率 典例引领 【典例01】(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】通过树状图列举所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，利用概率公式求解. 【详解】解：树状图如下所示， 由上可得，一共有种等可能性，其中两次摸球摸到不同颜色球的可能性有种， ∴两次摸球摸到不同颜色球的概率是. 【典例02】(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键． 列表可得出所有等可能的结果数以及摸到一个红球和一个绿球的结果数，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：根据题意列表如下： 红 红 绿 红 （红，红） （红，绿） 红 （红，红） （红，绿） 绿 （绿，红） （绿，红） 共有6种等可能的结果，其中摸到一个红球和一个绿球的结果有4种， ∴摸到一个红球和一个绿球的概率为． 故选：A． 方法透视 考向解读 1.判断必然事件、不可能事件、随机事件，准确区分三类事件，是中考选择填空基础常考题型。 2.辨别简单事件概率计算方法，总数做分母，符合条件数量做分子，直接列式求解基础概率。 3. 区分列表法与树状图法，两步及以上随机试验，合理选用方法，不重不漏列举所有等可能结果。 4. 理解频率与概率的关系，大量重复试验下，频率稳定于概率，可用频率估计整体概率。 5. 易错点判断，概率取值在 0～1 之间；摸球、抽奖类问题注意放回与不放回，避免结果算错。 方法技能 必然不可能随机，等可能数算概率； 列表树图防遗漏，放回不放要留意； 频率稳定估概率，取值零一莫忘记。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京十一学校·月考)一个不透明的袋子中有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列表法求概率，掌握概率公式是解题关键，通过列举所有等可能的结果，找出两次颜色相同的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：设两个红球分别为红1、红2，黄球为黄，列表得所有等可能结果如下： 红1 红2 黄 红1 红1红1 红2红1 黄红1 红2 红1红2 红2红2 黄红2 黄 红1黄 红2黄 黄黄 共有种等可能的结果，其中两次摸出的小球颜色相同的结果有种， 故两次都摸到相同颜色的小球的概率为 【变式02】(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】北京市昌平区第二中学2025--2026学年下学期九年级数学统练6 【分析】本题考查的是利用概率求解随机事件的概率，根据题意可得有四组插孔，又两组可插上，再利用概率公式可得答案． 【详解】解：将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是： ， 故选：A 【变式03】（2026·北京燕山区·一模）将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的4张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先找出随机抽取两张卡片所有等可能的结果数，再找出抽出卡片为“文”“化”的结果数，根据概率公式计算即可． 【详解】解：将4张卡片分别记为中、华、文、化，列举随机抽取两张的所有等可能结果： (中，华)，(中，文)，(中，化)，(华，文)，(华，化)，(文，化)， ∴共有种等可能的结果，其中抽出卡片上汉字为“文”“化”的结果有种， ∴所求概率为． 题型02 用样本估计总体 典例引领 【典例01】(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)某中学举办跳绳比赛，并随机抽取了部分学生分钟跳绳的成绩，统计结果列表如下： 成绩/次 人数/名 当成绩大于等于次小于次为良好，大于等于次为优秀．根据以上数据，估计全校参加跳绳比赛的这名学生中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生人数有________名． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是由样本所占百分比估计总体的数量，解题关键是熟练掌握由样本所占百分比估计总体的数量． 根据题意找出样本中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生的概率，即可估计总体的数量． 【详解】解：分钟跳绳的成绩大于等于次小于次为良好，大于等于次为优秀， 估计全校参加跳绳比赛的这名学生中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生人数为：（名）． 故答案为：． 【典例02】(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)某校九年级共有1300名学生．为了解学生的睡眠时间分布情况，从中随机抽取了100名学生，调查他们每天的睡眠时间，并根据教育部门相关标准整理如下： 等级 睡眠不足 睡眠基本达标 睡眠充足 睡眠时间 小时 睡眠时间小时 小时 人数 20 70 10 根据以上信息，估计该校九年级学生中睡眠基本达标的人数是______． 【答案】 910 【分析】根据样本中睡眠基本达标所占的百分比乘以九年级总人数，即可估计出总体中睡眠基本达标的人数． 【详解】解：由题意可得，估计该校九年级学生中睡眠基本达标的人数为． 方法透视 考向解读 1. 分清总体、个体、样本、样本容量，准确辨析统计基本概念，是中考填空选择常考基础题型。 2. 辨别普查与抽样调查，范围大、破坏性强适合抽样，数量少、要求精准适合全面普查。 3. 区分样本平均数、方差、频率，利用样本数据特征，合理推测整体的平均水平与波动情况。 4. 理解样本估计总体核心思想，样本具有代表性、随机性，才能科学反映整体实际情况。 5. 易错点判断，样本容量不带单位；频率、百分比、样本占比可结合运算，估算总体数量。 方法技能 抽样代替整体看，样本随机才规范； 频率占比求总数，平均方差估一般； 普查抽样分场景，容量无数记心间。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京十一学校·月考)某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生的身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲队”或“乙队”）． 【答案】甲队 【分析】本题考查了平均数、方差，熟记方差的计算公式和方差的意义是解此题的关键． 分别计算出两队同学的身高的平均数和方差，比较方差大小即可得出答案． 【详解】甲队的平均身高， 甲队的方差， 乙队的平均身高， 乙队的方差， ， 甲队舞台呈现效果更好． 故答案为：甲队． 【变式02】(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共_________千克． 【答案】145.6 【分析】本题考查了扇形统计图的应用以及用样本估计总体，解题的关键是先根据样本求出可回收物在样本中的投放量，再通过比例关系估计总体中可回收物的投放量． 先算出30户家庭中可回收物的投放量，再根据小区家庭总数与调查家庭数的比例，求出240户家庭中可回收物的投放量． 【详解】已知30户家庭各类生活垃圾投放总量是70千克，由扇形统计图可知可回收物占比，根据“部分量总量部分量所占百分比”， 可得30户家庭中可回收物的投放量为千克， 小区有240户家庭，30户家庭是样本，，即240户家庭是30户家庭的8倍． 那么240户家庭中可回收物的投放量为千克， 故答案为：145.6． 【变式03】（2026·北京燕山区·一模）国家卫生健康委员会将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了不完整的统计图． 这次抽样调查中，选择羽毛球人数是36%，样本中个体的数目是_____个，若该校有2500名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有______人． 【答案】 50 800 【分析】本题考查的是条形统计图，用样本估计总体，根据羽毛球人数的百分比，可以求出样本中个体的数目，再求出选择篮球人数和它的占比，即可估算出该校最喜爱篮球运动的学生数． 【详解】解：样本中个体数目为：， 该校最喜爱篮球运动的学生有（人）． 题型03 数据统计与数据分析 典例引领 【典例01】(25-26九下·北京第四中学·零模)校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 、甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图： ．丙运动员次测试成绩： ．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 (1)表中______（填“”“”或“”）； (2)求表中和的值； (3)根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_____． 【答案】(1) (2)， (3)乙、丁、甲、丙 【分析】本题考查折线统计图、求方差、求中位数及平均数，熟练从折线统计图上获取信息是解题的关键． （1）根据方差的定义求出，再进行比较即可； （2）根据中位数、平均数的定义计算即可得答案； （3）先比较平均数得出丙最弱，再比较方差得出乙最强，最后根据比较测试成绩小于平均数的次数得出结论即可． 【详解】（1）解：甲的次测试成绩从小到大排列为： ， ∴， ∵， ∴， 故答案为： （2）解：乙的次测试成绩从小到大排列为： ， ∵第个和第个数据分别为，， ∴乙的次测试成绩的中位数， ∵丙运动员次测试成绩： ， ∴丙运动员次测试成绩的平均数， （3）解：∵甲、乙、丙、丁的测试成绩的平均数分别为、、、， ∴由平均数比较甲、乙、丁的实力较强，丙的实力较弱， ∵甲、乙、丁的方差分别为、、， ∴乙的实力较强，甲、丁的实力较弱， ∵丁的测试成绩中位数为， ∴第次、第次成绩总和为， ∴则前次测试的成绩小于平均数， ∵甲的成绩小于平均数的次数为次， ∴丁的实力较强，甲的实力较弱， ∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙． 故答案为：乙、丁、甲、丙 【典例02】(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68    69    70    70    71    73    77    78    80    81 82    82    82    82    83    83    83    86    91    94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： (1)m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）； (2)若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 (3)为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 【答案】(1)82， (2)D (3)91或92 【分析】本题考查频数分布直方图，平均数、众数、中位数、方差． （1）根据众数以及中位数的定义解答即可； （2）根据方差的定义意义求解即可； （3）根据方差的定义和平均数的意义求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，二队成绩中82出现的次数最多， 故众数， 一队成绩的中位数位于， 二队成绩的中位数为， ∴， 故答案为：82，； （2）解：若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，两队的成绩波动都变小，则两队成绩的方差都减小； 故答案为：D； （3）解：甲选手的平均数为：，甲选手的方差为：， 乙选手的平均数为：，乙选手的方差为：， 丙选手的平均数为：， ∵丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前． ∴， 解得， ∵k为整数， ∴当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时甲丙平均数一致，但是丙的方差更小，符合排名； 当时，丙选手的平均数为：，丙选手的方差为：，此时乙丙平均数一致，但是乙的方差更小，符合排名； ∴k（k为整数）的值为92或91， 故答案为：92或91． 方法透视 考向解读 1. 区分普查与抽样调查，根据调查范围、破坏性、精准要求合理选择，是中考基础高频题型。 2. 辨别平均数、中位数、众数、方差，明确各自实际意义，平均数看整体水平，中位数看中间水平，众数看出现次数。 3. 区分条形图、折线图、扇形图、直方图，读懂图表信息，会提取数据、补全图表、计算占比与总量。 4. 理解数据波动程度，方差越小数据越稳定，方差越大波动越大，常用于成绩、稳定性分析。 5. 易错点判断，中位数需先排序；扇形图只体现占比，不体现具体数量；众数可以不唯一。 方法技能 平均中位与众数，数据分析用处足； 方差距定稳与变，四类图表读清楚； 抽样普查分情况，排序再找中位数。 变式演练 【变式01】(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段． (1)初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分： 84  86  88  90  90  90  91  91  92  95  97  98 b．群众评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 m n 群众评委 p 91 根据以上信息，回答下列问题： ①写出表中m，n的值； ②比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到90分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手_______（能/不能）直接进入复赛； ③比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级．当有一半及以上的评委打分超过95评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90评为二级；当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过85评为三级．那么该选手的受欢迎等级为_______（一级/二级/三级）； (2)复赛由5名专家评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是________（打分为整数）． 【答案】(1)①，；②能；③二级 (2)93 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）①根据众数、中位数的定义解答即可； ②根据算术平均数的定义解答即可； ③根据题意规则划分等级即可 （2）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，由分值进行讨论，求解即可． 【详解】（1）解：①专业评委打分从小到大排序后位于中间位置的两个数分别为90和91， ∴， 专业评委打分中出现次数最多的是90分， ∴； ②专业评委打分的平均分为， ∴该选手能进入复赛， 故答案为：能； ③由直方图可得，群众评委打分中，有人超过95，人数不足一半； 位评委打分超过90，人数超过一半； ∴该选手的受欢迎等级为二级， 故答案为：二级； （2）解：甲选手的平均分为（分） ∴甲选手的方差为， 设第五名评委给乙选手的打a分 ∵乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致， ∴，解得， 当整数时， 此时， 当及以上时，方差增大， 故答案为：93． 【变式02】(25-26九下·北京十一学校·月考)某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． (1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60  60  70  70  72  75  80  80  80  80 80  80  81  81  81  82  82  85  90  91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； (2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【答案】(1)①80；3；②180； (2)①92.2；②91 【分析】（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可； ②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解． （2）①利用加权平均数的计算方法计算即可； ②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可． 【详解】（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，因此甲组数据的众数为80， 所以，；乙组数据的中位数在第3组中． ②． 故答案为：①80；3；②180； （2）解：①（分）； ②由题意得， 解得 ∴k的最小整数值为91. 故答案为：①92.2；②91 【点睛】本题考查了综合利用表格和频数直方图分析数据，众数、中位数的定义，加权平均数的计算方法，用样本估计总体等知识．熟练掌握以上知识是解题的关键． 【变式03】(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C、为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 运动能力测试成绩 方差 A m 85 B 87 C 8 n (1)任务1：________，________； 【数据分析与运用】 (2)任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？并说明理由． (3)任务3：对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是________． ①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变； ②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变； ③新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差减小． 【答案】(1)9；83 (2)A款机器人 (3) 【分析】本题考查折线统计图和扇形统计图的综合，从统计图获得信息是解题的关键． （1）根据折线统计图将A款机器人测试员打分从低到高排列计算的值，根据扇形统计图计算的值即可； （2）按照加权平均数进行计算即可； （3）根据计算由10人测试员打分和新增四个分数后C款机器人运动能力得分的平均数、中位数、方差，逐一进行判断即可． 【详解】（1）解：由折线统计图可知，A款机器人测试员打分从低到高排列为：6，7，7，8，9，9，9，10，10，10， 则A款机器人测试员打分的中位数， 由扇形统计图可知，C款机器人运动能力测试成绩为： ； （2）解：A款机器人的综合成绩为：分， B款机器人的综合成绩为：分， C款机器人的综合成绩为：分， 由于 因此，综合成绩最高的是A款机器人； （3）解：由扇形统计图可知，测试员打6分有人，打8分有人，打9分有人，打10分有人， ①原来C款机器人运动能力成绩的平均数为：分， 新增四个分数后，平均数为：分， 则C款机器人运动能力得分的平均数不变， 故①说法正确； ②新增四个分数后，C款机器人测试员打分从低到高排列为：6，6，，，8，8，8，8，9，，，10，10，10， 此时C款机器人运动能力得分的中位数为， 而原来C款机器人运动能力得分的中位数为8分， 因此，C款机器人运动能力得分的中位数不变， 故②说法正确； ③原来C款机器人运动能力得分的方差为， 新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差为：， 由于， 则新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差减小， 故③说法正确； 综上所述，说法正确的是． 题●型●训●练 1．（2026·北京西城区·一模）一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．先从袋子中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，那么第一次摸到的球是红球、第二次摸到的球是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出树状图，由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种，所以第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的情况出现，其中第一次摸到红球，第二次摸到黄球的情况共有种， 第一次摸到红球，第二次摸到黄球概率为． 2．（2026·北京海淀区·一模）不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定所有可能的结果总数，以及符合要求的结果数，再代入概率公式计算即可． 【详解】解：盒子中共有个小球，其中写着数字“”的小球共个， 则随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是． 3．（2026·北京通州区·一模）在一个不透明的袋子中装有个红色小球，个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过列举所有等可能结果，再根据概率公式计算目标事件的概率即可. 【详解】解：根据题意，列举所有等可能结果： 所有等可能结果为：(红，红)，(红，绿)，(绿，红)，(绿，绿)，共种， ∵其中两次都摸到红色小球的结果有种， ∴两次都摸到红色小球的概率 . 4．（2026·北京平谷区·一模）一个盒子中有2个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意画树状图，列出所有等可能的结果，再计算两次摸到不同颜色的球的概率． 【详解】解：由题意，画树状图如下 所有等可能的结果共9种，其中两次摸到不同颜色的球有4种， 即两次摸到不同颜色的球的概率为 故选：D． 【点睛】本题考查列表法或画树状图法求概率，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 5．（2026·北京昌平区第二中学·一模）北京是一座历史悠久的城市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到北京旅游，两人分别从三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了画树状图法或列表法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握画树状图法或列表法求概率是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由图可知，共有种等可能的情况，其中甲、乙两人同时选择景点的情况有种， ∴甲、乙两人同时选择景点的概率为， 故选：A． 6．（2026·北京三帆中学·零模）围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 【详解】解：列表如下： 黑 黑 白 白 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 黑 （黑，黑） （白，黑） （白，黑） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 白 （黑，白） （黑，白） （白，白） 由表知，共有12种等可能结果，其中摸出的两个棋子中至少有1个是白子的有10种结果， 所以摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为． 故选：A． 7．(25-26九·北京文汇中学·零模)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列表法与树状图法，熟练掌握列表法与树状图法是解答本题的关键．列表可得出所有等可能的结果数以及两次摸出相同颜色的小球的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 红 黄 红 (红，红) (红，黄) 黄 (黄，红) (黄，黄) 共有4种等可能的结果，其中两次摸出相同颜色的小球的结果有2种， ∴两次摸出的都是红球的概率为． 故选：C． 8．（2026·北京西城区·一模）某中学九年级共有名学生，为了解他们一周（天）课外阅读的时长分布情况，从中随机抽取了名学生，获得他们阅读时长的数据（单位：小时），数据整理如下： 时长x 人数 8 12 25 5 根据以上信息，估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数是________． 【答案】 【分析】先求出抽取样本中课外阅读时长不少于小时的频率，再用九年级总人数乘以该频率，即可得到估计结果． 【详解】解：由表格可得，抽取的名学生中，一周课外阅读时长不少于小时的人数为， 该组数据的频率为， 估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数为． 9．（2026·北京海淀区·一模）有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 【答案】2700 【分析】根据总人数乘以达到骨骼健康受益标准的学生的百分比即可得解． 【详解】解：该校达到骨骼健康受益标准的学生约有人． 10．（2026·北京通州区·一模）某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 【答案】1900 【分析】先计算抽取样本的总户数和样本的生活垃圾总量，再利用样本估计总体计算该小区的生活垃圾总量； 【详解】解：抽取样本的总户数为（户）， 样本中住户当日生活垃圾总量为， 估计该小区1000个住户当日生活垃圾总量为：． 11．（2026·北京平谷区·一模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 【答案】240 【分析】先计算样本中视力在范围内的频数，再计算该范围频数占样本容量的比例，最后用八年级总人数乘以该比例，即可得到估计的人数． 【详解】解：由题意可得，样本中视力在范围内的频数为， 估计名八年级学生中视力在该范围的人数为：（人）． 12．（2026·北京三帆中学·零模）某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________人． 每周课外阅读时间x （小时） 人数 6 9 13 12 【答案】300 【分析】本题考查了频数（率分布表：在统计数据时，经常把数据按照不同的范围分成几个组，分成的组的个数称为组数，每一组两个端点的差称为组距，称这样画出的统计图表为频数分布表．也考查了样本估计总体．用800乘样本中每周课外阅读时间不超过2小时的学生所占的百分比即可． 【详解】解：（人）， 估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生大约有300人． 故答案为：300． 13．(25-26九·北京文汇中学·零模)某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 【答案】360 【分析】此题考查了扇形统计图和统计表．先求出样本容量，得到的值，再利用样本估计总体即可求出答案． 【详解】解：由题意得，样本容量为：， 故， （人， 即该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有360人． 故答案为：360 14．（2026·北京西城区·一模）国家卫生健康委员会将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了不完整的统计图． 这次抽样调查中，选择羽毛球人数是36%，样本中个体的数目是_____个，若该校有2500名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有______人． 某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 【答案】(1)，， (2)乙，丁，丙，甲 【分析】（1）根据甲的数据求出平均数；把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列中间两数的平均数即为丙的中位数；计算出丙的方差和比较； （2）按照要求先比较平均数、平均数相等的再比较方差、如果方差也相等，则通过中位数的大小确定使用时长小于平均数的次数． 【详解】（1）解：分钟； 由折线统计图可知，把丙同学使用手机的时长按照从小到大的顺序排列如下： 、、、、、、、、、， 共有个数据，其中第和第个数据是和， 丙同学使用手机时长的中位数为； 丙同学使用手机的时长的方差为， ； （2）解：由平均数可知，甲和丙的平均数都是，乙和丁的平均数都是， 乙和丁优先， 甲的方差是，丙的方差是， 丙比甲优先， 乙和丁的方差都是， 乙的中位数是，丁的中位数是， 乙使用时长小于平均数的次数较多， 乙比丁优先， 四名同学的经验分享顺序依次为乙、丁、丙、甲． 15．（2026·北京海淀区·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 【答案】(1)8 (2)，9 (3)丙，甲 【分析】（1）根据出现次数最多的数据是众数即可得解； （2）先把数据从小到大排序，中间两个数据的平均数即为中位数，根据平均数的定义列方程即可求出x； （3）将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，先比较平均数，丙的平均数最大，即可判断满意度最高的课程，再比较甲乙的平均数与方差，即可得解； 【详解】（1）解：由折线统计图可知：课程甲的满意度评分中8分出现次数最多，众数为8； （2）解：学生对课程乙的满意度评分从小到大排序为：5，5，6，6，7，8，8，9，9，10， 中位数为， 学生对课程丙的满意度评分的平均数为， ， 解得：； （3）解：甲课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是3， 则甲课程剩余数据从小到大排序为4，6，6，6，8，8，8，8，9， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 乙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是10， 则乙课程剩余数据从小到大排序为5，5，6，7，7，8，8，8，9， 中位数为7，平均数为 ， 方差为 丙课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据是4， 则丙课程剩余数据从小到大排序为5，6，6，7，8，9，9，9，10， 中位数为8，平均数为 ， 方差为， 因为丙的平均数大于甲，乙的平均数，所以这三门课程中满意度最高的是丙； 因为甲，乙的平均数都是7，而甲的方差大于乙的方差，所以这三门课程中满意度最低的是甲． 16．（2026·北京通州区·一模）根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 (1)表中______，______； (2)从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； (3)该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)应该推荐乙选手，理由见解析 【分析】本题主要考查了平均数，中位数，方差与稳定性之间的关系，读懂折线统计图是解题的关键． （1）根据平均数与中位数的定义求解即可； （2）根据统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，即可判断； （3）从平均成绩，中位数和稳定性等角度出发进行描述即可． 【详解】（1）解：甲得分排列为：8.3，8.4，9.1，9.3，9.4， ∴中位数为9.1， ∴； ， 故答案为：9.1，9.1； （2）解：由统计图可知，乙的成绩的波动比甲的成绩的波动小，则选手乙发挥的稳定性更好， ∴， 故答案为：； （3）解：应该推荐乙选手，理由如下： 乙的中位数最高，乙的平均数和丙一样都比甲高， ∴应该推荐乙选手． 17．（2026·北京平谷区·一模）北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为___________，的值为___________； (2)表中___________1.2（填“”“”或“”） (3)大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）； 第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是______同学，该同学的W分是_______分． 【答案】(1)94，94 (2) (3)甲，282 【分析】（1）根据中位数和平均数的计算方法进行计算即可； （2）根据折线图判断波动性大小，即可得出结果； （3）先确定进入第三轮的选手，根据计算公式进行计算后，判断即可． 【详解】（1）解：甲同学成绩的10个数据排序为92，93，93，94，94，94，94，95，95，96，第5个和第6个数据均为94， 故； ； （2）解：由折线图可知，乙同学成绩的波动性明显高于甲同学成绩的波动性， 故乙同学成绩的稳定性低于甲同学成绩的稳定性，即乙同学的方差大于甲同学， ∴； （3）解：∵四位同学成绩的平均数相同，甲和丁两位同学的方差相同且均比乙和丙两位同学的方差小， ∴甲和丁两位同学进入第三轮， ∵甲同学在10次测试中，出现次数最多的分数是94分，丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分， ∴甲同学的分数的众数为94分，丁同学的分数的众数为93分， 又∵甲同学的分数的中位数为94分，丁同学的分数的中位数为93.5分， ∴（分），（分）， ∵， 故最终当选正式参赛队员的是甲同学，该同学的W分是282分． 18．（2026·北京昌平区第二中学·一模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． (1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79  84  85  85  88  88  88  89  90  93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； (2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 【答案】(1)①88，3；②平均数； (2)94 【分析】本题考查求中位数，众数和方差，直方图，熟练掌握相关数据的计算方法，从统计图中有效的获取信息，是解题的关键： （1）①根据众数是出现次数最多的数据，中位数为排序后，位于中间一位或中间两位数据的平均数，进行判断即可；②根据中位数和众数，平均数的确定方法，进行判断即可； （2）根据平均数和方差的计算方法，结合，，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：①教师评分中出现次数最多的数据位88，故众数为88，即：； 由直方图可知，学生评分数据的第25个和第26个数据均位于第三组；故中位数位于第三组； ②学生评分的众数为87，与数据70无关，故众数不变，中位数由第25个数据和第26个数据的平均数变为第25个数据，中位数可能不变，也可能变小，平均数受极端值影响，去掉一个比平均数小的数，平均数会变大，故一定变大的是平均数； （2）；， ， ∵， ∴，解得：， 当时： ，满足题意； 当时： ，满足题意； 当时：，不满足题意； 当时，，不符合题意； 故整数的最大值为94． 19．（2026·北京三帆中学·零模）在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 【答案】(1)， (2)B (3)C，B，A 【分析】（1）由折线图得到A款软件得分，求和即可求出a的值．根据扇形图求出C款软件打分情况，根据中位数的定义即可求出m的值； （2）根据方差的计算公式求出A，B两款软件的方差，比较方差即可解答； （3）根据加权平均数的计算公式求出这三款软件的综合成绩，根据排序规则即可解答． 【详解】（1）解：由折线图可得，A款软件得分为7，10，10，7，9，9，8，9，10，6， 使用体验评分为， 即． 由扇形图可得，C款软件打分中，6分有（个）；8分有（个）；9分有（个）；10分有（个）； 中位数是第5个，第6个数据的平均数即（分）， 即． （2）解：A款软件得分的平均数为， 方差； B款软件得分的平均数为， 方差． ∵C款软件得分的方差为，而 ∴可以发现专业测试员对B款软件的软件使用体验评分评价更一致． （3）解：A款软件综合成绩为：（分）， B款软件综合成绩为：（分）， C款软件综合成绩为：（分）， 所以C款软件综合成绩最高，A款和B款软件综合成绩相同， 又B款软件使用体验评分比A款软件高， 故这三款软件中排序由前到后依次是C，B，A． 20．(25-26九·北京文汇中学·零模)为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 乙 根据以上信息、解答下列问题： (1)表格中的值为________；的值为________； (2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）； (3)若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”） 【答案】(1)，； (2)甲； (3)二，减小． 【分析】（）根据众数，中位数定义，结合信息处理速度得分统计图中的数据进行计算即可； （）根据折线统计图，方差的定义分析即可； （） 根据平均数和方差的定义分析即可． 【详解】（1）解：根据信息处理速度得分统计图中可以得到甲款软件分人数最多， ∴甲的众数， 根据中位数的定义，乙款软件信息处理速度的中位数是第个数据的平均数，第个是分，第个是分， ∴ ， 故答案为：，； （2）解：从折线图可看出，乙的信息识别准确度得分波动更大，甲得分更集中，因此甲的方差更小， 因为“方差越小，识别度越高”， 所以识别度更高的是甲， 故答案为：甲； （3）解：方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分， 虽然平均数提升分，但方差不变； 方案二：∵低分组每位用户的评分将提升，高分组不变将会提升平均数，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， ∴分数波动变小， ∴方差将减小， ∴该公司应该选用方案二，采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将减小， 故答案为：二，减小． 21．（2026·北京燕山区·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________； (2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； (3)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： (4)Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 【答案】(1)； (2) (3)人 (4) 【分析】本题考查统计量的计算， 扇形统计图，用样本估计总体，掌握统计量的计算是解题关键． （1）先找出甲款评分中出现次数最多的数得到众数，再根据乙款各等级人数确定中位数位置，取第、个数的平均数得到； （2）先算出乙款组人数占样本的比例，再用乘以该比例得到对应圆心角； （3）分别计算甲、乙款样本中“非常满意”的比例，再用各自总人数乘以该比例，最后相加得到总人数估计值； （4）用树状图列出所有种等可能结果，数出至少一人选丙的种情况，用符合条件的结果数除以总结果数得到概率． 【详解】（1）解：根据题意可知，甲款满意度的众数为，故； 乙款、组共有个数据，则乙组的中位数为第个、第个数的平均数，即，故． 答：，． （2）解：根据（1）可知，乙款组人数为人，则组人数为人， 则其对应圆心角：． 答：． （3）解：乙款组人数为人， 组人数占比为， 组人数占比为， 组人数为人， 在乙款调查用户中，非常满意的人数为人， 在甲组用户中，非常满意的人数为人， 对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． 答：对甲、乙两款聊天机器人非常满意的用户总人数为人． （4）解：画树状图列出所有可能的结果为： 共有种等可能的结果数，其中两人中至少有一人选择Deepseek的结果数为种， 故两人中至少有一人选择Deepseek的概率为． 答：． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 统计与概率 内●容●导●航 第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学 典例引领 方法透视 变式演练 题型01 概率 题型02 用样本估计总体 题型03 数据统计与数据分析 第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战 题●型●破●译 题型01 概率 典例引领 【典例01】(25-26九下·北京西城区北京师范大学附属中学·零模)不透明的袋子中有两个红球和一个黑球，三个球除颜色外无其他差别．从中随机摸出一个球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色球的概率是（   ） A． B． C． D． 【典例02】(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)在一个不透明的袋子里装有两个红色小球和一个绿色小球，它们除颜色外无其他差别．从中随机摸出两个小球，那么摸到一个红球和一个绿球的概率是（   ） A． B． C． D． 方法透视 考向解读 1.判断必然事件、不可能事件、随机事件，准确区分三类事件，是中考选择填空基础常考题型。 2.辨别简单事件概率计算方法，总数做分母，符合条件数量做分子，直接列式求解基础概率。 3. 区分列表法与树状图法，两步及以上随机试验，合理选用方法，不重不漏列举所有等可能结果。 4. 理解频率与概率的关系，大量重复试验下，频率稳定于概率，可用频率估计整体概率。 5. 易错点判断，概率取值在 0～1 之间；摸球、抽奖类问题注意放回与不放回，避免结果算错。 方法技能 必然不可能随机，等可能数算概率； 列表树图防遗漏，放回不放要留意； 频率稳定估概率，取值零一莫忘记。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京十一学校·月考)一个不透明的袋子中有2个红球和1个黄球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出一个小球后，放回并摇匀，再随机摸出一个，两次都摸到相同颜色的小球的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式02】(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)将图1的三脚插头随机插到图2的插座面板的四组插孔上，能恰好插上的概率是（   ） A． B． C． D． 【变式03】（2026·北京燕山区·一模）将分别标有“中”“华”“文”“化”汉字的4张卡片放在一个不透明盒子中，这些卡片除汉字不同外其余均无差别，随机抽出其中两张，抽出的卡片上汉字为“文”“化”的概率为（　　） A． B． C． D． 题型02 用样本估计总体 典例引领 【典例01】(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)某中学举办跳绳比赛，并随机抽取了部分学生分钟跳绳的成绩，统计结果列表如下： 成绩/次 人数/名 当成绩大于等于次小于次为良好，大于等于次为优秀．根据以上数据，估计全校参加跳绳比赛的这名学生中分钟跳绳成绩达到良好和优秀的学生人数有________名． 【典例02】(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)某校九年级共有1300名学生．为了解学生的睡眠时间分布情况，从中随机抽取了100名学生，调查他们每天的睡眠时间，并根据教育部门相关标准整理如下： 等级 睡眠不足 睡眠基本达标 睡眠充足 睡眠时间 小时 睡眠时间小时 小时 人数 20 70 10 根据以上信息，估计该校九年级学生中睡眠基本达标的人数是______． 方法透视 考向解读 1. 分清总体、个体、样本、样本容量，准确辨析统计基本概念，是中考填空选择常考基础题型。 2. 辨别普查与抽样调查，范围大、破坏性强适合抽样，数量少、要求精准适合全面普查。 3. 区分样本平均数、方差、频率，利用样本数据特征，合理推测整体的平均水平与波动情况。 4. 理解样本估计总体核心思想，样本具有代表性、随机性，才能科学反映整体实际情况。 5. 易错点判断，样本容量不带单位；频率、百分比、样本占比可结合运算，估算总体数量。 方法技能 抽样代替整体看，样本随机才规范； 频率占比求总数，平均方差估一般； 普查抽样分场景，容量无数记心间。 变式演练 【变式01】(25-26九下·北京十一学校·月考)某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生的身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲队”或“乙队”）． 【变式02】(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)为了解所在小区居民各类生活垃圾的投放情况，小宇同学随机调查了该小区30户家庭某一天各类生活垃圾的投放量，统计得出这30户家庭各类生活垃圾的投放总量是70千克，各类生活垃圾投放量分布情况的扇形统计图如下图所示，若该小区有240户家庭，则可估计该小区这一天投放的可回收物共_________千克． 【变式03】（2026·北京燕山区·一模）国家卫生健康委员会将2025年定为“体重管理年”，并实施为期三年的体重管理行动．某校计划组织全校学生开展足球、排球、篮球、羽毛球四个球类运动的体育社团．为了解学生对这四项球类运动的喜爱情况，随机抽取部分学生，对其进行了“我最喜爱的球类运动项目”的问卷调查（每名学生在这四项球类运动项目中选择且只能选择一项），将这部分学生的问卷进行整理，依据样本数据绘制了不完整的统计图． 这次抽样调查中，选择羽毛球人数是36%，样本中个体的数目是_____个，若该校有2500名学生，估计该校最喜爱篮球运动的学生有______人． 题型03 数据统计与数据分析 典例引领 【典例01】(25-26九下·北京第四中学·零模)校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参加米比赛．对这四名运动员最近次米跑测试成绩（单位：）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． 、甲、乙两名运动员次测试成绩的折线图： ．丙运动员次测试成绩： ．四名运动员次测试成绩的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 中位数 方差 (1)表中______（填“”“”或“”）； (2)求表中和的值； (3)根据这次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_____． 【典例02】(25-26九下·北京师范大学实验华夏女子中学·零模)一项知识问答竞赛要求以团队方式参赛，每个团队20名选手．某校准备参加此项竞赛，前期组建了两个团队，经过一段时间的培训后，对两个团队进行了一次预赛，对成绩（百分制）进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．一队成绩的频数分布直方图如下（数据分成4组：）： b．二队成绩如下： 68    69    70    70    71    73    77    78    80    81 82    82    82    82    83    83    83    86    91    94 c．一、二两队成绩的平均数、众数、中位数如下： 平均数 众数 中位数 一队 79.6 77 P 二队 79.25 m q 根据以上信息，回答下列问题： (1)m的值为___________，p___________q（填“”“”或“”）； (2)若两队都各去掉一个最高分和一个最低分，则下列判断正确的是___________； A．一队成绩的方差增大，二队成绩的方差减小 B．两队成绩的方差都增大 C．一队成绩的方差减小，二队成绩的方差增大 D．两队成绩的方差都减小 (3)为了选出冲击个人冠军的种子选手，学校对这次成绩90分以上的甲、乙、丙三位同学又单独进行了5次测试，平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前．这5次测试的成绩如下： 测试1 测试2 测试3 测试4 测试5 甲 90 94 90 94 91 乙 91 92 92 92 93 丙 93 90 92 93 k 若丙的排序居中，则表中k（k为整数）的值为___________． 方法透视 考向解读 1. 区分普查与抽样调查，根据调查范围、破坏性、精准要求合理选择，是中考基础高频题型。 2. 辨别平均数、中位数、众数、方差，明确各自实际意义，平均数看整体水平，中位数看中间水平，众数看出现次数。 3. 区分条形图、折线图、扇形图、直方图，读懂图表信息，会提取数据、补全图表、计算占比与总量。 4. 理解数据波动程度，方差越小数据越稳定，方差越大波动越大，常用于成绩、稳定性分析。 5. 易错点判断，中位数需先排序；扇形图只体现占比，不体现具体数量；众数可以不唯一。 方法技能 平均中位与众数，数据分析用处足； 方差距定稳与变，四类图表读清楚； 抽样普查分情况，排序再找中位数。 变式演练 【变式01】(25-26下·北京顺义牛栏山第一中学实验学校·零模)某社区举办“家园好声音”歌唱比赛，分为初赛和复赛两个阶段． (1)初赛由12名专业评委和50名群众评委给每位选手打分（百分制）．对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．专业评委打分： 84  86  88  90  90  90  91  91  92  95  97  98 b．群众评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： c．评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 专业评委 91 m n 群众评委 p 91 根据以上信息，回答下列问题： ①写出表中m，n的值； ②比赛规定初赛专业评委打分的平均分达到90分及以上的选手可直接获得复赛资格，则该选手_______（能/不能）直接进入复赛； ③比赛同时依据群众评委打分来评估选手的受欢迎等级．当有一半及以上的评委打分超过95评为一级；当没有达到一级，且有一半及以上的评委打分超过90评为二级；当没有达到二级，且有一半及以上的评委打分超过85评为三级．那么该选手的受欢迎等级为_______（一级/二级/三级）； (2)复赛由5名专家评委打分（百分制）．如果某选手得分的5个数据的方差越小，则认为评委对该选手的评价越一致．5名评委给甲选手打分为92，91，93，92，91．前4名评委给乙选手打分为92，91，92，92，乙选手的平均得分高于甲选手的平均得分，且5名评委对乙选手的评价更一致，则第五名评委给乙选手的打分是________（打分为整数）． 【变式02】(25-26九下·北京十一学校·月考)某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）． (1)邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息： a．甲款软件评分： 60  60  70  70  72  75  80  80  80  80 80  80  81  81  81  82  82  85  90  91 b．乙款软件评分频数分布直方图如下：（数据分5组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组） c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下： 软件 平均数 中位数 众数 甲 78 80 乙 78 72 根据以上信息，解答下列问题： ①的值为______，的值位于乙款软件评分的第______组； ②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分满足的约为______个； (2)邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下： 维度软件 维度1 维度2 维度3 维度4 甲 94 92 93 乙 91 93 93 92 ①乙款软件的评分为______； ②若甲款软件的评分更高，则表中（为整数）的最小值为______． 【变式03】(25-26九下·北京昌平区第二中学·零模)某科技公司科研团队研发了三款智能机器人，分别命名为A、B、C、为测试这三款机器人在图象识别能力和运动能力方面的综合表现，团队对它们进行了全面测试．在图象识别能力测试中，A、B、C三款机器人的得分（满分为100分）分别为90分、85分、83分．运动能力测试由10位专业测试员打分，每位测试员最高打10分，各位测试员打分之和为运动能力测试成绩．现需对三款机器人的运动能力测试数据进行详细分析． A、B、C三款机器人运动能力测试情况统计表 机器人 测试员打分的中位数 运动能力测试成绩 方差 A m 85 B 87 C 8 n (1)任务1：________，________； 【数据分析与运用】 (2)任务2：按图象识别能力测试成绩占，运动能力测试成绩占计算综合成绩，请你判断A、B、C三款机器人中综合成绩最高的是哪一款？并说明理由． (3)任务3：对于C款机器人的运动能力，又有四位人工智能技术员进行了打分，分数分别为：，，，．下列说法正确的是________． ①新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的平均数不变； ②新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的中位数不变； ③新增四个分数后，C款机器人运动能力得分的方差减小． 题●型●训●练 1．（2026·北京西城区·一模）一个不透明的袋子中装有个红球、个黄球，这些球除了颜色外无其他差别．先从袋子中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从袋子中随机摸出一个小球，那么第一次摸到的球是红球、第二次摸到的球是黄球的概率是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·北京海淀区·一模）不透明的盒子中一共有四个小球，分别写着数字，，，，这些小球除数字外无其他差别．小明从盒子中随机摸出一个小球，摸出的小球是写着数字“”的小球的概率是（    ）． A． B． C． D． 3．（2026·北京通州区·一模）在一个不透明的袋子中装有个红色小球，个绿色小球，除颜色外无其他差别，随机摸出一个小球后放回并摇匀，再随机摸出一个，则两次都摸到红色小球的概率是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·北京平谷区·一模）一个盒子中有2个红球、1个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，记下颜色后放回摇匀，再从中随机摸出一个球，则两次摸到不同颜色的球的概率是（    ） A． B． C． D． 5．（2026·北京昌平区第二中学·一模）北京是一座历史悠久的城市，有着丰富的旅游资源．甲、乙两人相约来到北京旅游，两人分别从三个景点中随机选择一个景点游览，甲、乙两人同时选择景点的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·北京三帆中学·零模）围棋起源于中国，有着悠久的历史和丰富的文化内涵．在一个不透明的袋子中放入除颜色外完全相同的4个围棋棋子，其中黑子2个，白子2个，从袋子中随机摸出2个棋子，则摸出的两个棋子中至少有1个是白子的概率为（   ） A． B． C． D． 7．(25-26九·北京文汇中学·零模)不透明袋子中仅有红、黄小球各一个，这两个小球除颜色外都相同．从中随机摸出一个小球，记下颜色后，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，则两次摸出相同颜色的小球的概率为（　　） A． B． C． D． 8．（2026·北京西城区·一模）某中学九年级共有名学生，为了解他们一周（天）课外阅读的时长分布情况，从中随机抽取了名学生，获得他们阅读时长的数据（单位：小时），数据整理如下： 时长x 人数 8 12 25 5 根据以上信息，估计该校九年级名学生中这一周课外阅读时长不少于小时的人数是________． 9．（2026·北京海淀区·一模）有研究表明，中学生通过肌肉锻炼可有效强健骨骼、促进骨骼健康发育，每周肌肉锻炼时长不少于可达到骨骼健康受益标准．某中学共有3000名学生，为了解该校学生肌肉锻炼时长是否达到骨骼健康受益标准，在该校随机抽取100名学生，获得他们每周肌肉锻炼时长的数据，整理如下： 每周肌肉锻炼时长 人数 2 8 69 21 根据以上信息，估计该校达到骨骼健康受益标准的学生约有______人． 10．（2026·北京通州区·一模）某小区有A、B、C、D四栋楼共1000个住户，为了解小区住户的生活垃圾量（单位：），物业公司某日在该小区内随机抽取四栋楼的住户进行调查，结果如表所示．根据表格，估计该小区住户当日生活垃圾总量为______． 所抽取的居民楼 A栋 B栋 C栋 D栋 住户数（户） 30 40 10 20 被抽取住户当日产生的生活垃圾总量（） 40 45 70 35 11．（2026·北京平谷区·一模）每年的6月6日是全国爱眼日．某校为了解八年级学生的视力健康状况，从该年级学生今年的体检结果中随机抽取了40名学生的视力数据，将所得视力数据进行整理后分为5组，得到如下的频数分布表： 分组 A B C D E 人数（频数） 2 8 14 12 4 该校八年级共有600名学生．根据上表数据，请估计这600名八年级学生的视力在范围内的人数为_____； 12．（2026·北京三帆中学·零模）某学校为了解九年级800名学生的课外阅读情况，从全体学生中随机抽取了40名学生进行调查，并将调查结果绘制成如下的统计表，根据表中信息估计全校每周课外阅读时间不超过2小时的学生有 ________人． 每周课外阅读时间x （小时） 人数 6 9 13 12 13．(25-26九·北京文汇中学·零模)某学习小组想了解本校学生课外阅读时间的情况，在全校随机调查了部分学生，对他们一周的课外阅读时长进行统计、整理，并绘制成两幅不完整的统计图表． 编码 课外阅读时长（分钟） 人数 10 25 如果该校有1200名学生，那么该校一周课外阅读时长超过240分钟的学生大约有__人． 14．（2026·北京西城区·一模）某校开展合理使用手机的宣传活动，某班班长选取甲、乙、丙、丁四名同学进行经验分享，他收集了这四名同学最近天使用手机的时长（单位：分钟）的数据，并进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．甲同学天使用手机时长：                   b．乙、丙同学天使用手机时长的折线图： c．四名同学天使用手机时长的平均数、中位数、方差： 甲 乙 丙 丁 平均数 m 16 17 16 中位数 15.5 15 p 16.5 方差 15 7.8 n 7.8 (1)表中的值为 ，的值为 ， （填“”“”或“”）； (2)根据这天使用手机的数据，班长按如下方式决定四名同学的分享顺序：首先比较平均数，平均数较小者优先；若平均数相等，则比较方差，方差较小者优先；若平均数、方差分别相等，则使用时长小于平均数的次数较多者优先．四名同学的经验分享顺序依次为 ． 15．（2026·北京海淀区·一模）某校新增了甲、乙、丙三门选修课程，为了解学生对这三门课程的满意度，学校在每门课程的选课学生中分别随机抽取了10名学生，记录他们对所选课程的满意度评分（满分10分，分值为整数），并对数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．学生对课程甲、乙的满意度评分的折线统计图： b．学生对课程丙的满意度评分：7，8，6，4，5，9，x，6，10，9 c．三门课程的满意度评分的平均数、中位数如下： 课程名称 平均数 中位数 甲 7 乙 m 丙 根据以上信息，回答下列问题： (1)课程甲的满意度评分的众数为______； (2)表中m的值为______，信息b中x的值为______； (3)考虑到极端数据对结果的影响，学校先将每门课程的满意度评分中与平均数的差的绝对值最大的一个数据去掉，再计算剩余数据的平均数、方差和中位数，并按照如下方法评估这三门课程：首先比较平均数，平均数较大者学生更加满意；若平均数相等，则比较方差，方差较小者学生更加满意；若平均数、方差分别相等，则中位数较大者学生更加满意．按照这种评估方法，这三门课程中满意度最高的是______，最低的是______（填“甲”“乙”或“丙”）． 16．（2026·北京通州区·一模）根据最新的教育政策，从2025年春季学期开始，全国义务教育阶段的学校将逐步实施每天一节体育课的规定．这一政策旨在增强学生的体质健康，确保他们有足够的体育活动时间．某中学充分利用体育活动时间举行跳远比赛，每位选手从预赛到决赛要进行五轮比赛，张老师对参加比赛的甲、乙、丙三位选手的得分（单位：分，满分10分）进行了数据的收集、整理和分析，信息如下：根据信息，解答下列问题： 信息一：甲、乙选手的得分折线图如图所示． 信息二：选手丙五轮比赛部分成绩：其中三个得分分别是9.0，8.9，8.3． 信息三：甲、乙、丙三位选手五轮比赛得分的平均数、中位数数据如下表所示： 选手统计量 甲 乙 丙 平均数 8.9 b 9.1 中位数 a 9.2 9.0 (1)表中______，______； (2)从甲、乙两位选手的得分折线图可知，甲、乙选手五轮得分的方差，的大小关系为______（填“”“”或“”）； (3)该校准备推荐一名选手参加市级比赛，你认为应该推荐哪位选手，请说明理由． 17．（2026·北京平谷区·一模）北京市举办“未来之城”青少年人工智能与无人机综合应用大赛．某校“凌云”科技社团要从进入大赛名单的甲、乙、丙、丁四名同学中选拔一名正式参赛队员．选拔赛共进行10轮，主要测试无人机在复杂环境下的“定点精准空投”能力（各项测试综合成绩满分为100分，成绩均为整数）．教练组对这四名同学最近10次模拟测试的成绩数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分信息： a．甲、乙两名同学10次测试成绩的折线图如下： b．丙同学10次测试成绩：90，91，92，94，94，94，95，96，97，97； c．丁同学在10次测试中，出现次数最多的分数是93分；d．四名同学10次测试成绩的平均数、中位数、方差情况如下： 甲 乙 丙 丁 平均数 94 94 94 中位数 94 94 93.5 方差 1.2 5.2 1.2 根据以上信息，回答下列问题： (1)表中的值为___________，的值为___________； (2)表中___________1.2（填“”“”或“”） (3)大赛组委会引入了全新的“综合评估系统”来选拔最终的参赛选手．评估流程包含三轮： 第一轮（平均水平初筛）：四名同学进行比较，平均水平最高者进入第二轮候选名单（若最高平均水平有多人并列，则均进入第二轮）； 第二轮（极度稳定复筛）：在进入第二轮的同学中，比较他们测试成绩的稳定性，成绩最稳定的两名选手才能入选第三轮候选名单． 第三轮（核心战力比拼）：针对进入第三轮候选名单的选手，组委会将计算他们的“核心战力指数W”．组委会认为，中位数代表了选手的中等水平，众数代表了选手最常出现的典型状态．设核心战力指数的计算公式为：中位数众数．分最高者最终当选为正式参赛队员． 你认为经过三轮的严格评估，最终当选正式参赛队员的是______同学，该同学的W分是_______分． 18．（2026·北京昌平区第二中学·一模）某校调研教师、学生、家长对科技节的满意度． (1)从全校教师和学生中分别随机抽取了10人和50人对科技节的满意度进行评分（百分制），对他们的评分进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．教师评分： 79  84  85  85  88  88  88  89  90  93 b．学生评分的频数分布直方图如下（数据分成4组：第1组，第2组，第3组，第4组）： c．师生评分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师 86.9 88 m 学生 81.38 n 87 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为______，的值位于学生评分数据分组的第______组； ②若在分析学生评分数据时发现一个记录为“70”的数据有误，如果去掉该数据，那么其余49个数据的平均数、中位数、众数与原来的50个数据的平均数、中位数、众数分别相比，一定变大的是______（填“平均数”“中位数”或“众数”）； (2)学校邀请了四位家长对科技节的“活动丰富”与“学生参与”的满意度进行评分（百分制），评分如下： 家长1 家长2 家长3 家长4 活动丰富 90 93 94 91 学生参与 91 91 93 记四位家长对“活动丰富”满意度评分的平均数、方差分别为，对“学生参与”满意度评分的平均数、方差分别为，，若，，则（为整数）的最大值为______． 19．（2026·北京三帆中学·零模）在人工智能时代，AI软件迅猛发展，某团队测评了A、B、C三款软件，本次测评由软件性能评分（满分100分）和软件使用体验评分（满分100分）两个部分构成．其中A、B、C三款软件的软件性能评分分别为85分，82分，90分．软件使用体验评分由10位专业测试员对软件分别打分，打分之和为该款软件使用体验评分，以下是A、B、C三款软件的软件使用体验评分的部分数据信息： A、B、C三款AI软件的软件使用体验打分情况统计表 AI软件名称 中位数 方差 软件使用体验评分 A 8.5 p a B 8.5 q 87 C m 2.01 83 根据以上信息，回答下列问题： (1)写出表中m，a的值； (2)通过分析，可以发现专业测试员对________款软件的软件使用体验评分评价更一致（填写A、B或C）； (3)按照软件性能评分占，软件使用体验评分占来计算综合成绩，综合成绩较高的软件排序靠前，若综合成绩一致，则软件使用体验评分较高的软件排序靠前，则这三款AI软件中排序由前到后依次是________． 20．(25-26九·北京文汇中学·零模)为了解甲、乙两款软件的使用效果，数学兴趣小组从甲、乙两款软件使用者中各随机抽取名，记录使用者对两款软件的相关评价，并进行整理、描述和分析如下： a．信息处理速度得分统计图 b．信息识别准确度得分统计图 c．信息处理速度和信息识别准确度得分统计表 AI软件 信息处理速度得分 信息识别准确度得分 平均数 中位数 众数 平均数 甲 乙 根据以上信息、解答下列问题： (1)表格中的值为________；的值为________； (2)若软件信息识别准确度得分的方差越小，则认为该软件识别度越高、更方便、据此推断：甲、乙两款软件中，在使用时识别度更高、更方便的软件是________（填“甲”或“乙”）； (3)若用户对软件评分大于分视为高分，否则视为低分．甲软件的开发公司计划加大研发投入来提升用户对信息识别准确度的满意度．该公司邀请这名用户做进一步的测试，该公司准备了两套优化方案．方案一：面向全体用户优化识别准确率，所有用户对信息识别准确度的评分将提升分；方案二：针对低分组用户定向提升准确度，低分组每位用户的评分将提升分，高分组不变．为最大程度提升信息识别准确度评分的平均数，该公司应该选用方案________（填“一”或“二”）；采用该方案后，用户对信息识别准确度评分数据的方差将________．（填“增大”“减小”或“不变”） 21．（2026·北京燕山区·一模）百度推出了“文心一言”聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了对甲，乙两款聊天机器人的使用满意度评分测验，并分别随机抽取份评分数据，对数据进行整理、描述和分析，评分分数用表示，分为四个等级： （：，：，：，：） 下面给出了部分信息： 甲款评分数据：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 乙款评分数据中组包含的所有数据：，，，，，，，． 甲、乙款评分统计表： 设备 平均数 中位数 众数 甲 乙 乙款聊天机器人的评分人数扇形统计图： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中___________，___________； (2)计算乙款聊天机器人的评分扇形统计图中组对应的圆心角； (3)在此次测验中，有人对甲款进行评分、人对乙款进行评分．请通过计算，估计其中对甲、乙两款聊天机器人非常满意（）的用户总人数： (4)Deepseek（简称丙款）推出后引发广泛讨论．现有甲、乙、丙三款聊天机器人，小明和小红各自随机选择其中一款进行体验测评．请用列表法或树状图法列出所有可能的结果，求出两人中至少有一人选择Deepseek的概率． 公司2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $