卷15 简单的图案设计 & 卷16专题最值问题、构造旋转-【真题圈】2025-2026学年八年级下册数学真题天天练（北师大版·新教材）

答案与解析 5.B【解析】如图，连接BB. B ·将△ABC绕点C按逆时针方向旋 转得到△A'B'C,∴.∠BCB'=∠ACA', CB=CB',CA CA'.LA=60, ∴.△ACA'是等边三角形，∠ACA'=60°， .∠BCB'=∠ACA'=60°，.△BCB A A 是等边三角形，∴.BB=BC在Rt△ABC 第5题答图 中，∠ABC=90°-∠A=30°，.AB=2AC=4,∴.BC= √AB2-AC2=V42-22=2√5，BB'=2√3.故选B 6.697.减小15 8.15【解析】在等边三角形ABC中，AC=BC=8.,将△BCD 绕点B逆时针旋转60°得到△BAE,∴BD=BE,∠DBE= 60°，CD=AE,∴.△DBE是等边三角形，DE=BD=7, .△AED的周长=AE+AD+DE=CD+AD+DE=AC+BD=8+7 =15.故答案为15. 9.2√3-3【解析】如图，延长AK,BG交于点M 由题意知，∠ABM=∠MKG=30°.，正方形ABCD的边长为V3, ∴.AB=V3,∠BAD=90°，∴.∠BAM=90°，∴.BM=2AM, 由勾殷定理得B=BM-M-5M,:M=号B =1,BM=2AM=2.由旋转的性质得，BG=BA=V5,∠BGF =∠BAD=90°，.MG=BM-BG=2-√5.∠MGK= 90°，∠MKG=30°，.MK=2MG=2(2-V3)=4-2W3, .AK=AM-MK=1-(4-2V5)=25-3.故答案为2√3-3. y 5-4-3-210 2345x M. B G B A, 第9题答图 第10题答图 10.【解(1)如图，△A,B,C即所求 (2)如图，△A,B,C,即所求。 (3)(0,-2) 11.(1)【证明】，△ABC绕点B逆时针旋转60°得到△DBE, ∴∠DBE=∠ABC,∠EBC=60°，BE=BC.:∠DBC= 90°，.∠DBE=∠ABC=30°，.∠ABE=30°.在△ABC 与△ABE中，BC=BE,∠ABC=∠ABE=30°，BA=BA, ,∴.△ABC≌△ABE(SAS). (2)【解】如图，：△ABC绕点B逆时针旋转60得到△DBE, DE=AC=2,∠BED=∠C ,·△ABC≌△ABE, ∴.∠BEA=∠C,AE=AC=2 .∠C=45°， .∠BED=∠BEA=∠C=45° ∴∠AED=90°，DE=AE,.AD= B 第11题答图 √AE2+DE2=√2AE2=V2AE=22, 12.【证明】(1)由旋转的性质得，∠DAE=a,AD=AE, 又∠BAC=a,∴.∠BAC=∠DAE,∴.∠BAD=∠CAE. 又AB=AC,.△BAD≌△CAE(SAS),.BD=CE. (2).在△ABC中，AB=AC,∠BAC=a=60°， .△ABC是等边三角形，∴.AB=BC,∠B=∠ACB=60° :EF∥CB,.∠AFE=∠B=60°，∠ANF=∠ACB=60°. :把AD绕着点A逆时针旋转60°，得到AE, ∴.∠DAE=60°，AD=AE. .·∠DAC=∠DAE-∠CAE=60°-∠CAE,∠AEF=∠ANF -∠CAE=60°-∠CAE,.∠DAC=∠AEF 又∠AFE=∠ACB=60°，AD=AE, ∴.△CAD≌△FEA(AAS),.CD=AF, .BC-CD AB-AF,.'BD BE 卷15简单的图案设计 1.A2.B 3.B【解析】如图所示，再摆一黑一白两枚棋子：黑(3,1)，白(3， 3),即可使这9枚棋子组成的图案既是轴对称图形又是中心对 称图形.故选B. 2 0123456 M HE O 第3题答图 第4题答图 4.12【解析】如图，过点A作AH⊥EF于点H, △AEO≌△ADO≌△BCO≌△BFO, ∴.∠AOE=∠AOB=∠BOF,OE=OF :∠AOE+∠AOB+∠BOF=180°，.∠AOE=∠AOB=∠BOF =60°，∴∠HA0=30°.0A=16,∴0H=0A=8, 由勾股定理得AH=8√3. 在Rt△AEH中，EH=√AE2-AH2=2, ∴.OE=OH-EH=6,∴.EF=20E=12.故答案为12 5.【解(1)图形如图①所示.（答案不唯一） （2)图形如图②所示.（答案不唯一） (3)图形如图③所示.（答案不唯一） ⑦ ② ③ 第5题答图 卷16专题最值问题、构造旋转 1.D【解析】如图，作A点关于直线x=4的对称点A'(8,4), B点向上平移1个单位长度 y 20=4 得到点B(3,1),再连接AB, 交直线x=4于点D,此时四 ------A 边形ABCD的周长最小，最 B 小值为AB+CD+AB.A(O, 4),B(3,0),.AB=5. 0 B A(8,4),B(3,1),.B 第1题答图 =V34.又CD=BB=1, .AB+CD+A'B=5+1+V34=6+√34， .四边形ABCD周长的最小值为6+√34.故选D. 2.D【解析】在Rt△ACB中，∠B=30°，AC=3V2,.AB= 6V2.如图，在AB上取一点E,使 AE=AC=3V2,连接PE, B ∴BE=AB-AE=32. 由旋转的性质得，AQ=AP,B ∠PAQ=60°. 第2题答图 .∠ABC=30°，.∠EAC=60°，∴.∠PAQ=∠EAC, ∴.∠CAQ=∠EAP,∴.△CAQ≌△EAP(SAS),∴.CQ=EP 由垂线段最短可知，当EP⊥BC时，EP的值最小，即CQ的值 最小，此时，∠EP8=90,∠B=30EP=号BE=3 2 故线段cQ的最小值是3y5,故选D. 2 3.B【解析】如图，过点C作CF⊥ED于点F,过点A作 AG⊥ED于点G,:∠CAB=90°，AB=4,AC=3,△ADE是 由△ABC旋转得来，.∠DAE=90°，AE=4,AD=3, .ED=√AE2+AD=V④+3=5.又：SA0e=)ED:AG =74D·AE,即3×5×AG=7×4×3,AG=24当点F, G重合，C,A,G三点共线时，CF的值最大，此时CF=3+2.4 =5.4.DE的长不变，∴.此时△CDE的面积最大， ·最大面积为}DB·CF=方×5×54=受.放选B G B 第3题答图 第4题答图 4.4+√2【解析】如图，连接AM:M为DE的中点，且△ADE 为等腰直角三角形，.AMLDE,AM=)DE=DM 在Rt△ADE中，AD=2.由勾股定理可知AD2=AM2+DM2, 即AM=DM=√2. 当A,B,M三点不共线时，由三角形的三边关系可知，此时一定 有BM<AB+-AM;当A,B,M三点共线且点M不位于点A,B之 间时，此时有BM=AB+AM,∴.BM≤AB+AM=4+√2，即点 B到点M的距离的最大值为4+√2.故答案为4+√2. 5.3√7【解析】如图，作C点关于BD的对称点C,连接C'D', CC,.CCL BD,CD'=CD'.向下平 A 移C'D',使点D'与点B'重合，得到 A GB,连接CG,CG,.CD'=BG, C BD=GC,GC∥BD,∴.CB+CD= CB+B'G≥GC,∠CCG=90°， .当C,G,B三点共线时，CB'+CD的 G B 值最小. 第5题答图 ,AD=BC=3,∠DBC=60°， .BD =B'D'=CG=6,..CD=33 在Rt△BDC中，BC·CD=BD·)CC,解得CC=35, 在Rt△CCG中，由勾股定理得CG=37.故答案为3√万. 真题圈数学八年级下12N 6.1+3y2【解析】如图，将线段EB绕点E顺时针旋转45得到 2 线段ET,连接TG,连接DE交CG A D 于点J.四边形ABCD是长方形， G ∴.AB=CD=3,∠B=∠BCD= 90°.∠BET=∠FEG=45°， .∠BEF=∠TEG.:EB=ET,EF =EG,.△BEF≌△TEG(SAS),BE G ∴.∠B=∠ETG=90°，.点G 第6题答图 在射线TG上运动，.当CG⊥TG时，CG的值最小.：BC =4,BE=1,CD=3,∴.CE=CD=3,∴.∠CED=∠BET =45°，.∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°，.DE∥GT, ∴.∠JEG=∠TGE,∠GJE=∠ETG=90°，又EG=GE, ∴.△JEG≌△TGE(AAS),∴.GJ=TE=BE=1,.CJ⊥DE, C.C(c)co-ch Q=1429,cG的最小值为4 2 7.B【解析】如图，将△ABP绕点A顺时针旋转60°得到△AMG, ∴.MG=PB.连接PG,CM :AB=AC,AH⊥BC,AH垂直平分BC,∴PB=PC :AG=AP,∠GAP=60°，∴.△GAP是等边三角形， ∴.PA=PG,∴.PA+PB+PC=PG+GM+PC, .当M,G,P,C四点共线时，PA+PB+PC的值最小，最小值为 线段CM的长.·AP+2BP的最小值为2W2,.CM=2W2 :∠BAM=60°，∠BAC=30°，.∠MAC=90°， :由勾股定理易得AM=AC=2CM=2.故选B. 2 M B E C B4 C 第7题答图 第8题答图 8.2√5【解析】如图，将△4DC绕点A顺时针旋转120°，得到 △AEB,连接DE,过点A作AH⊥DE于点H. 由旋转的性质可得，△ADC≌△AEB,∴.AE=AD,BE= CD=8,∠BEA=∠CDA=60°，∠DAE=120°，.∠AED= ∠ADE=30°，∴.∠BED=∠BEA+∠AED=90°，∴.DE= √BD2-BE2=10-82=6.:AH⊥DE,∠ADH=∠AEH= 30,Dn=方0E=3,40=2mAD=号0+ 2 解得AD=2V3.故答案为2√3 9.9√5【解析】△4ABC是等边三角形， .BC=AC,∠BCA=60°， 如图，将△BCD绕着C点顺时针旋转60°至△ACE,连接DE, 则△BCD≌△ACE,CD=CE, ∠DCE=60°， △DCE是等边三角形， .∠CDE=∠DEC=60° 又：∠ADC=120°， .∠ADE=∠ADC-∠CDE=60°， ∠ADE=∠DEC,.AD∥CE, 第9题答图 答案与解析 SAACE=SADCE 又'：SAD=SACESARCD=S△CE 过点D作DF⊥CE于点F, 则cF=F=cB=c0=3, DF=√CD2-CF2=6-32=3V5, 5c CE+DF 1 SAcn=9V3.故答案为9V3 10.FA+FC=FB2或FB2=FA+FC+√5FA·FC 【解析】：BA=BC,∠ABC=60°， ,△ABC是等边三角形，.∠ACB=60°，CA=CB. 将△BCF绕点C顺时针旋转60°得到△ACE,连接EF, ∴.CE=CF,∠FCE=60°，FB=AE, ∴△CEF为等边三角形，∴.EF=CF,∠CFE=60°. ①当点F在△ABC内部时，如图①， :∠AFC=150°，∠CFE=60°，∴.∠AFE=90°. 在Rt△AEF中，FAP+FE=AE,.FAP+FC=FB. ②当点F在△ABC外部时，如图②， :∠CFE=60°，∴.∠AFE=360°-150°-60°=150° 过点E作EM⊥AF,交AF的延长线于点M,如图③，则∠EFM =30° 在财△BN中，BM-号，RM=号R 在Rt△AME中，AE=AMP+EP, 12 M=(P+9F+(传r小， 2 2 ,∴.AE=AF2+EF2+V3AF·EF :AE=FB,EF=FC,∴.FB2=FA+FC+V3FA·FC 综上所述，FAP+FC=FB2或FB2=FA?+FC+√5FA·FC, D A D ② F E ③ 第10题答图 11.【解(1)5 分析：如图①，将△APC绕点A逆时针旋转60°得到△AP'C', 连接P'P,BC'.易知△APP是等边三角形，∠CAB=90°， AC'=AC=3,P'C'=PC,.'.PA P'P. 在Rt△CAB中，BC'=VAC2+AB2=5. PA+PB+PC=PP+PB+PC'≥BC,∴.PA+PB+PC≥5， ∴.当B,P,P,C四点共线时，PA+PB+PC的最小值为5. (2)如图②，将△APC绕点A顺时针旋转90°得到△AP'C',连 接PP,BC, .AP=AP',∠PAP=90°，AC=AC'=3, ∴△PAP是等腰直角三角形，.由勾股定理易得PP=√2PA. 过点B作BH⊥C'A的延长线于点H, ∠BAC=45°，LCAC'=90°， .∠BAC=135°，.∴.∠BAH=45° 在Rt△AHB中，∠H=90°，∠HAB=45°，AB=2N2, .由勾股定理易得AH=BH=2. 在Rt△BHC中，由勾股定理得BC=V(2+3)2+22=√29 :√2PA+PB+PC=PP'+PB+P'C≥BC, .∴.√2PA+PB+PC≥V29, ∴.当B,P,P',C四点共线时，√2PA+PB+PC的最小值为√29 Hg------ B δ A C : i. C A B ① ② 第11题答图 第四章因式分解 卷17因式分解 1.C2.C 3.D【解析】-(3x-1)(x+2y)=-(3x2-x+6xy-2y)=-3x2+x- 6+2y,.x+2y-3x2-6y因式分解的结果为-(3x-1)(x+2y). 故选D. 4.B【解析】：x2+x-12=(x+p)(x+9)=x2+(p+q)x+p9,p+9 =1,p9=-12,∴p=-3,9=4符合要求.故选B. 5.A【解析】设x3-12x+16=(x+4)(x2+ax+4),(x+4)(x2+ax+4) =x3+(a+4)x2+(4+4a)x+16,∴.a+4=0,4+4a=-12,解得 a=-4,∴.x3-12x+16=(x+4)(x2-4x+4)=(x+4)(x-2)2.故选A 6.2m【解析】.m(3m2-5m-2)=3m3-5m2-2m,而3m3-5m2-▲ =m(3m2-5m-2),∴.▲=2m.故答案为2m. 7.(2a+b)(2b+a)【解析】大长方形面积为2ad2+5ab+2b2=(2a+ b)(2b+a).故答案为(2a+b)(2b+a). 8.【解】(1)不是，是整式的乘法，故(1)不是因式分解：(2)不是， 没有把一个多项式转化成几个整式积的形式，故(2)不是因式 分解；(3)是，一个多项式转化成几个整式积的形式，故(3)是因 式分解：（④）不是，二是分式，不是整式，不符合因式分解的前 提条件，故(4)不是因式分解；(5)不是，左边是单项式，故(5)不 是因式分解 9.【解】设另一个因式为x+a, ∴.(x+a)(x+5)=x2+mx+10,即x2+(5+a)x+5a=x2+mx+10, 5+a=m解得)另一个因式是x+2,m的值为7 5a=10, 卷18提公因式法 1.A2.A3.C4.A 5.A【解析】：多项式的公因式是各项的数字因式的最大公约 数与同底数幂的最低次幂的乘积，∴.n≥4.卷15简单 建议用时：20分 一、选择题（每小题3分，共9分） 1.（期中·深圳福田区)在俄罗斯方块游戏中， 已拼好的图案如图，现 出现一L型图形正向 下运动，为了使L型图 形与已拼好的图案组 合成一个完整的长方 形，你必须进行以下哪 项操作( ) 第1题图 A.顺时针旋转90°，向右平移 B.逆时针旋转90°，向右平移 C.顺时针旋转90°，向下平移 D.逆时针旋转90°，向下平移 2.利用图形的旋转可以设计出许多美丽的图 案.图②中的图案是由图①中的基本图 形以点O为旋转中 心，顺时针旋转4次 而生成的，每一次旋 转的角度均为a,则 a至少为() A.36° B.72° 第2题图 C.90° D.108° 3.如图，是用围棋子摆出的图案（把棋子的位 置用有序数对表示，如A 6 点在(5,1)，如果再摆一 黑一白两枚棋子，使9枚 棋子组成的图案既是轴 2 对称图形又是中心对称 图形，则下列摆放正确的 4 第3题图 是() A.黑(3,3)，白(3,1) B.黑(3,1)，白(3,3) C.黑(1,5)，白(5,5) D.黑(3,2)，白(3,3) 二、填空题（共3分） 4.图形①是小明设计的花边作品，该作品是由 形如图形②通过对称和平移得到.在图② 中，△AEO2△ADO≌△BCO≌△BFO,点E, 真题天天练 的图案设计 钟满分：21分 O,F均在直线MN上，OA=16,AE=14, 则EF的长为 ① E ② 第4题图 三、解答题（共9分） 5.阅读理解，并解答问题： 【观察发现】 如图①是一块正方形瓷砖，分析发现这块瓷 砖上的图案是按图②所示的过程设计的，其 中虚线所在的直线是正方形的对称轴 【问题解决】 用四块如图①所示的正方形瓷砖按下列要 求拼成一个新的大正方形，并在图③、图④ 和图⑤中各画一种拼法 (1)图③中所画拼图拼成的图案既是轴对称 图形，又是中心对称图形 (2)图④中所画拼图拼成的图案是轴对称图 形，但不是中心对称图形 (3)图⑤中所画拼图拼成的图案是中心对称 图形，但不是轴对称图形 ① ② ③ ④ ⑤ 第5题图 21 真题圈数学八年级下12N 卷16专题 最 类型一最值问题 1.(月考·西安铁一中)四边形ABCD的四个 顶点分别为A(0,4),B(3,0),C(4,y),D(4, y+1),则四边形ABCD周长的最小值为( A.12 B.6+2√5 C.6+√17 D.6+V34 2.(期中·济南天桥区)如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°，∠B=30°，AC=3√2，P是 BC边上一动点，连接AP,把线段AP绕点A 逆时针旋转60得到线段AQ,连接CQ,则线 段CQ的最小值为( A.1 B.√2 C.3 D.3v2 第2题图 第3题图 3.如图，△ABC中，∠CAB=90°，AB=4,AC =3,将△ABC绕点A旋转得到△AED,连接 CD,CE,在旋转过程中，△CDE面积的最大 值是() A号 B.27 2 C.15 D.18 4.(期中·贵阳市)如图，等腰直角三角形ABC 和等腰直角三角形ADE的腰长分别为4 和2，其中∠BAC= ∠DAE=90°，点M 为边DE的中点.若 等腰直角三角形 ADE绕点A旋转，则 点B到点M的距离 第4题图 的最大值为 22 直问题、构造旋转 5.(月考·沈阳一二六中学)如图，在长方形 ABCD中，AD=BC=3,∠DBC=60°，将 △DAB沿射线DB方向平移得到△D'A'B', 连接CD'和CB',则CD'+CB'的最小值 为 D G A B B E 第5题图 第6题图 6.(期中·重庆南开中学改编)如图，在长方 形ABCD中，AB=3,BC=4,E为BC 边上一点，且BE=1,F为AB边上的一 个动点，连接EF,将EF绕着点E顺时针 旋转45°到EG的位置，连接FG和CG,则 CG的最小值为 类型二构造旋转 7.(期中·西工大附中)如图，在△ABC中，AB= AC,∠BAC=30°，点P是底边上的高AH上 一点，若AP+2BP的最小值为2W2,则AC的 长为( A.√2 B.2 C.22 D.4 第7题图 第8题图 8.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC= 120°，点D为△ABC外一点，连接BD,AD, CD,∠ADC=60°，BD=10,DC=8,则AD 9.(期末·深圳龙华区)如图，D是等边三角 形ABC内一点，∠ADC=120°，CD=6,则 △BDC的面积为 第9题图 第10题图 10.(期中·深圳福田外国语学校)如图，在四 边形ABCD中，BA=BC,∠ABC=60°， ∠ADC=30°，连接四边形对角线BD,F是 对角线BD上一点，且满足∠AFC=150°， 连接AC,FA和FC,则线段FA,FB和FC 之间的数量关系为 11.方法探索【问题提出】 已知△ABC是边长为1的等边三角形，P为 △ABC内部一点，连接PA,PB,PC,求PA+ PB+PC的最小值 【方法分析】 通过转化，把由三角形内一点发出的三条 线段（星形线）转化为两定点之间的折线 (化星为折)，再利用“两点之间线段最短” 求最小值（化折为直） 【问题解决】 如图①，将△BPA绕点B逆时针旋转60°至 △BP'A',连接PP',A'C,记A'C与AB交 于点D,易知BA'=BA=BC=1,∠A'BC =∠A'BA+∠ABC=120°.由BP'=BP, ∠PBP=60°，可知△P'BP为等边三角形， 有PB=P'P故PA+PB+PC=P'A'+PP+ PC≥A'C=V3.因此，当A',P',P,C四 点共线时，PA+PB+PC有最小值√3， 【学以致用】 (1)如图②，在△ABC中，∠BAC=30°， AB=4,CA=3,P为△ABC内部一点， 真题天天练 连接PA,PB,PC,则PA+PB+PC的最小值 是 (2)如图③，在△ABC中，∠BAC=45°，AB= 2√2，CA=3,P为△ABC内部一点，连接 PA,PB,PC,求√2PA+PB+PC的最小值. B ① ② P A ③ 第11题图 清品图书 23