高一数学下学期第三次月考01（苏教版，范围：必修第二册第9章～第14章，举一反三）

2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷01 参考答案与试题解析 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【解题思路】根据复数的除法法则化简，再结合共轭复数的定义及复数的几何意义即可求出. 【解答过程】，则， 则对应的点在第二象限. 故选：B. 2．（5分）某区县共有在校中小学生15000人，为了解学生对人工智能AI技术认知情况，用分层抽样的方法从小学、初中、高中三个学段中抽取容量为200的样本，其中小学段抽取80人，高中段抽取40人，则初中段的学生人数为（    ） A．3000 B．4000 C．4500 D．6000 【答案】D 【解题思路】利用分层抽样比即可求解. 【解答过程】由题，抽取容量为200的样本中，初中段的学生人数为80， 所以在校初中段的学生人数为. 故选：D. 3．（5分）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知条件求出的值，再利用两角差的正弦公式计算． 【解答过程】由得到，即，即， 已知，则， 根据两角差的正弦公式，得． 故选：C． 4．（5分）数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 【答案】C 【解题思路】将数据按从小到大排序，根据众数和中位数的定义即可求解. 【解答过程】数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87从小到大排序可得：78，79，81，81，82，84，85，85，86，86，86，87，88，90，93， 所以该组数据的众数为86，中位数为. 故选：C. 5．（5分）古时“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.现有一个可盛米的“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的时，“方斗”中米的总质量为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用棱台的体积公式求容器和米的体积，利用体积比求米的质量. 【解答过程】若容器的高为 ，上下底面面积为 ， ， 由题设，容器的体积为， 米的高度是“方斗”高度的时，易知米最上方是边长为的正方形，面积 ， 所以米的体积为， 综上，若“方斗”中米的总质量为 ，则，可得 . 故选：C. 6．（5分）已知单位向量，，，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由，化简可得，再由，是单位向量结合数量积的定义可求得结果. 【解答过程】因为，，，， 所以，即， 所以，即， 设与的夹角为，则，得， 因为，所以， 所以与的夹角为， 故选:C. 7．（5分）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用正弦定理化角为边，再利用余弦定理求得，根据基本不等式及三角形面积公式求解面积的最大值． 【解答过程】在中，， 由正弦定理得，即， 由余弦定理得， ∵，∴， ∵，当且仅当时取等号， 因此， ∴面积， ∴当时，的面积取得最大值． 故选：C． 8．（5分）如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】过点作，过作，求证为二面角的平面角，最后在中求出余弦值即可. 【解答过程】过点作，垂足为，过作，垂足为，连接， 因平面平面，平面平面，平面， 则平面，又平面，则， 又，，平面，则平面， 又平面，则， 则为二面角的平面角， 因，，则为的中点，，， 因，，则为等边三角形， 则为边上靠近点的四等分点，， 则，则， 则， 故二面角的余弦值为. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 【答案】ABD 【解题思路】对于A，由诸频率和为1可求，故可判断正误，对于B，由频率求出人数后可判断正误，对于C，由直方图可得90分以上的频率，故可估计相应人数后判断正误，对于D，求出前四组的频率之和后可得上四分位数. 【解答过程】对于A，由频率分布直方图可得， 解得，故A正确； 对于B，成绩在内的人数为人，B正确； 对于C，90分以上的频率为，故估计有的学生获一等奖，故C错误； 对于D，上四分位数即为第百分位数， 而前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故名学生成绩的上四分位数为分， 故选：ABD. 10．（6分）已知，且，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由已知条件，商数关系及和角正弦公式整理求值判断A；由A及平方关系得，再应用和角余弦公式及已知求值判断B；根据A、B及差角余弦公式求函数值，进而得角的大小判断C；由C分析及差角正切公式求得，结合已知求函数值判断D. 【解答过程】由，得， 所以，则，所以 ，A正确； 由，得，则，解得 ，B正确； 又，又，所以，C错误； 由，得， 所以 ，与 联立，得，D正确. 故选：ABD. 11．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 的外接圆半径为 C．若 且有一解，则b的取值范围为 D．若 ，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 【答案】ABD 【解题思路】对于A，由正弦定理边角互化结合题意可得；对于B，由题可得，然后由正弦定理可得外接圆半径；对于C，考虑B为直角的特殊情况，可判断选项正误；对于D，由正弦定理边角互化结合和差化积公式可得，由为锐角三角形可得， 又由正弦定理可得，据此可得范围. 【解答过程】对于A，由正弦定理边角互化可得，故A正确； 对于B，， 则由正弦定理，外接圆半径r满足：，故B正确； 对于C，当B为直角时，该三角形为等腰直角三角形，显然满足题意的三角形只有一个， 但此时，不在中，故C错误； 对于D，由正弦定理边角互化可得， 注意到， 由和差化积公式可得 ， 因为，所以，所以， 所以，则. 因三角形为锐角三角形，则. 又由正弦定理可得，又， 则，故D正确. 故选：ABD. 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若一组数据、、、、，这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为___________. 【答案】 【解题思路】利用平均数公式求出的值，再利用中位数的定义可求得这组数据的中位数. 【解答过程】因为一组数据、、、、的平均数为， 由平均数公式可得，解得， 故这组数据由小到大排列依次为、、、、， 因此，这组数据的中位数为. 故答案为：. 13．（5分）如图，为中边的中点，过点的直线与所在直线分别交于点，满足，若，则的值为__________．    【答案】 【解题思路】利用、三点共线得，再由求出可得答案. 【解答过程】连接，则， 因为三点共线，所以， 又因为， 可得， 所以，得，所以， 解得，可得. 故答案为：.    14．（5分）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为____________． 【答案】 【解题思路】首先，根据正四棱台的体积公式求出棱台的高；然后，通过建立关于外接球半径的方程来求解外接球半径；最后，利用球的表面积公式计算出外接球的表面积. 【解答过程】已知，，则上底面积，下底面积，体积 ， 由棱台体积公式得， 设外接球球心到下底面中心的距离为，则到上底面中心的距离为， 由正四棱台的上下底面都是正方形可得，， 设外接球半径为，则. 展开并化简：（负值舍去）， 则， 最终外接球表面积：， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知. (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角三角函数平方关系求，由，利用两角差的正弦公式即可求解； （2）由（1）得，进而求，利用二倍角公式求，最后利用诱导公式和两角和的余弦公式即可求解. 【解答过程】（1）由有，又，所以， 所以 ； （2）由（1）有，，所以， 所以， 所以， 所以. 16．（15分）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据向量的加法和数乘运算求出与的坐标，利用向量垂直的坐标表示求出的值，再求出的坐标并求其模. （2）根据向量平行的性质求出的值，再求出与的坐标，最后利用向量夹角的余弦公式计算即可. 【解答过程】（1）已知，，则， 又，所以，即，解得. 所以，则， 所以. （2）因为，所以，解得，所以，则. 则，， ， 设与夹角为，则. 所以与夹角的余弦值为. 17．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 【答案】(1) (2)第75百分位数为84，平均数为 (3)， 【解题思路】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据百分位数和平均数的计算公式即可求解， （3）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得. 【解答过程】（1）由每组小矩形的面积之和为1得，， 所以. （2）成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. 平均数约为 ； （3）由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23． 18．（17分）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据诱导公式和正弦定义边角互化，求出三角形三边之间的关系，再根据余弦定理解三角形即可. （2）由三角形形状和角的大小，求出另外两个角的范围，根据正弦定理，用正弦值表示三角形各边长，再根据角的范围，求出三角函数值的范围，根据函数性质判断三角形周长的范围. 【解答过程】（1）在中，， 所以， 即． 由正弦定理可得，即． 由余弦定理，得， 因为为锐角三角形的内角，所以． （2）由（1）知，．因为是锐角三角形， 所以，，解得． 由正弦定理，得， 所以，， 所以的周长． 因为，且， 所以． 因为，，所以， 所以， 即的周长的取值范围是. 19．（17分）如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【解题思路】（1）只需证明平面，再结合面面垂直的判定定理证明即可； （2）由等体积法，求点面距离即可； （3）由定义说明为二面角的平面角，再结合解三角形知识求解即可. 【解答过程】（1）由题意知，所以， 即，所以， 又在矩形中，且平面， 所以平面， 而平面，故平面平面． （2）由可得，又由（1）知平面， 所以， 设点到平面的距离为，则， 又，所以，即． （3）在平面内作，垂足为；在平面内作，垂足为， 连接，由平面平面，故， 因为平面，所以平面， 由（2）知，因为平面，故，又，平面，所以平面， 又平面，所以，又， 则为二面角的平面角， 又平面，故，所以． 由题意知直角三角形中，， 故， 又，则，所以， 故二面角的余弦值为． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年高一数学下学期第三次月考卷01 【苏教版】 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上； 2.回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效； 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效； 4.测试范围：苏教版必修第二册第9章~第14章； 5.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题 共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。 1．（5分）已知复数（是虚数单位），则对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（5分）某区县共有在校中小学生15000人，为了解学生对人工智能AI技术认知情况，用分层抽样的方法从小学、初中、高中三个学段中抽取容量为200的样本，其中小学段抽取80人，高中段抽取40人，则初中段的学生人数为（    ） A．3000 B．4000 C．4500 D．6000 3．（5分）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 4．（5分）数据86，82，78，93，86，84，81，90，85，79，86，85，88，81，87的众数和中位数分别为（    ） A．85，86 B．85，85 C．86，85 D．86，86 5．（5分）古时“方斗”常作为盛米的一种容器，其形状是一个上大下小的正四棱台.现有一个可盛米的“方斗”容器如图所示，已知，，现往容器里加米，当米的高度是“方斗”高度的时，“方斗”中米的总质量为（    ） A． B． C． D． 6．（5分）已知单位向量，，，，且，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（5分）在△ABC中，已知，则△ABC面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．（5分）如图，平面四边形中，，，，沿对角线折叠之后，使得平面平面，则二面角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9．（6分）我国载人航天技术飞速发展，神舟十四号于年月日发射成功．某学校举行了一次航天知识竞赛活动，有名学生参加学校决赛，把他们的成绩均为整数分成六组得到如下频率分布直方图．则下面结论正确的是（   ） A．直方图中的值为 B．在参加学校决赛的名学生中，成绩落在区间内的有人 C．如果规定分以上学生为一等奖，估计有的学生获得一等奖 D．根据此频率分布直方图可计算出这名学生成绩的上四分位数为分 10．（6分）已知，且，若，，则（   ） A． B． C． D． 11．（6分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. 则下列说法正确的是（    ） A． B．若，则 的外接圆半径为 C．若 且有一解，则b的取值范围为 D．若 ，且为锐角三角形，则c 的取值范围为 第II卷（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（5分）若一组数据、、、、，这组数据的平均数为，则这组数据的中位数为___________. 13．（5分）如图，为中边的中点，过点的直线与所在直线分别交于点，满足，若，则的值为__________．    14．（5分）如图，在正四棱台中，，，若该四棱台的体积为，则该四棱台的外接球表面积为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。 15．（13分）已知. (1)求的值； (2)求的值. 16．（15分）已知向量，. (1)若，求； (2)若向量，，求与夹角的余弦值. 17．（15分）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. (1)求频率分布直方图中的值； (2)求样本成绩的第75百分位数和平均数； (3)已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差. 18．（17分）在锐角三角形中，，，分别为内角，，所对的边，且． (1)求角； (2)若，求周长的取值范围． 19．（17分）如图1，在矩形中，，，将沿翻折至，且，如图2所示． (1)求证：平面平面； (2)求点到平面的距离； (3)求二面角的余弦值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $