2.1 一元二次方程 课件 2025-2026学年九年级数学上册（湘教版 ）

2025 2.1 一元二次方程 参赛教师：刘瑶 湘教版数学九年级上册 2026年祁阳市优质教学资源评选活动 1 1. 理解一元二次方程的概念.（重点） 2. 掌握一元二次方程的一般形式 ax2 + bx+ c = 0（ a ≠ 0 ）， 正确认识二次项系数、一次项系数及常数项.（重点） 3. 能根据具体问题的数量关系，建立方程模型.（难点） 2025 教学目标 1. 下列式子哪些是方程？ ① 2＋3＝5　　 ② 3x＋2　　 ③ 5x＋3＝18 没有未知数 不是等式 含有未知数的等式叫方程 不是等式 方程的本质特征是什么？ √ √ 回顾旧知 ⑤ ④ 2025 2. 我们学过哪些方程？ 一元一次方程、二元一次方程、分式方程。 3. 什么叫一元一次方程？方程的“元”和“次”是什么意思？ 只含有一个未知数，并且未知数的次数是1次的整式方程叫一元一次方程。它的一般形式是：ax + b﹦0（a，b为常数，a ≠ 0）。 一元 一次 2025 问题1 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 2025 探究新知 分析: 等量关系是矩形的面积-圆的面积=矩形的面积× . 可列得方程: 整理得: 2025 问题1 如图，已知一矩形的长为200cm,宽150cm.现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面积为原矩形面积的四分之三.求挖去的圆的半径xcm应满足的方程（其中π取3）. 问题2 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. 分析: 设汽车年平均增长率为x. 已知前年该市汽车拥有量为75万辆，则一年后汽车拥有量为75(1+ x)万辆. 同样，第二年该市汽车拥有量又是前一年的(1+ x)万辆，即 75(1+ x)(1+ x) = 75(1+ x)2万辆. 2025 可列得方程: 整理得: 2025 问题2 据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为75万辆，两年后增加到108万辆.求该市两年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程. x2－2500=0 ① 25x2＋50x－11=0 ② 这两个方程都是不是一元一次方程？ 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？ 共同特点： （1）只含有一个未知数 （2）未知数的最高次数是2 （3）都是整式方程 一元 二次 方程 2025 观察与思考 一元二次方程的一般形式： ax2 + bx + c = 0(a,b,c是已知数，a ≠ 0) 二次项 一次项 常数项 二次项系数 一次项系数 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程 . 2025 归纳总结 x2－2500=0 ① 25x2＋50x－11=0 ② 指出方程①②的二次项系数、一次项系数和常数项. 0 – 2500 1 50 – 11 25 2025 判断下列方程是否为一元二次方程： ① 1 – x2 = 0 ② 2(x2 – 1) = 3y ③ 2x2 – 3x – 1 =0 ④ ⑤ (x + 3)2 = (x – 3)2 ⑥ 9x2 = 5 – 4x 是 不是 是 不是 不是 是 ①方程是整式方程; ②只含有一个未知数; ③可化为 ax2 + bx+ c = 0（ a ≠ 0 ）的形式. 小结：判断一个方程是否是一元二次方程，先经过整理后，再看是否符合三个要点： 2025 小试牛刀 2025 例1：下列方程是一元二次方程吗？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项. 注意：1.要将方程化成一般形式后再判断 2.确定系数时候注意系数符号 (1)去分母； (2)去括号； (3)移项； (4)合并同类项. 化一元二次方程为一般形式的步骤： 例题精讲 解：如果方程　　　　　　　　　　 是关于x的一元一次方程，则满足下列条件： 解得:m=1 ∴当m=1时,该方程为一元一次方程. 例2：当m满足什么条件时,方程(m－1)x2 －(2m－1)x+m=0是关于x的一元一次方程；当m满足什么条件时,上述方程才是关于x的一元二次方程． m－1=0 2m－1≠0 2025 解：如果该方程为关于x的一元二次方程,则应满足： m－1≠0 ∴当m≠1时,该方程为一元二次方程. 解得:m≠1 2025 例2：当m满足什么条件时,方程(m－1)x2 －(2m－1)x+m=0是关于x的一元一次方程；当m满足什么条件时,上述方程才是关于x的一元二次方程． 例3：根据下列问题，列出关于 x的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式. （1）4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长 x ； （2）一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ； 解：（1）4x2 = 25 （2）x（x – 2）= 100 一般形式: x2 – 2x – 100 = 0 一般形式: 4x2 – 25 = 0 2025 1. 试比较下面两个方程的异同： 方程 相同点 不同点 概念 是否是 整式方程 未知数个数 未知数的最高次数 5x = 20 x2+10x–900=0 是 是 1 1 1 2 一元一次方程 一元二次方程 课堂练习 2025 2. 将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. （1）5x2 – 1 = 4x （2）4x2 = 81 （3）4x(x+2)= 25 （4）(3x – 2)(x+1)= 8x – 3 解：（1）5x2 – 4x – 1 = 0 （2）4x2 – 81 = 0 5， – 4， – 1 4，0， – 81 （3）4x2 + 8x – 25 = 0 4，8， – 25 （4）3x2 – 7x + 1 = 0 3， – 7，1 2025 3.已知关于x的方程 (1)当m为何值时,方程为一元二次方程？ (2)当m为何值时,方程为一元一次方程？ 2025 根据题意可得：x·1 = ( 1 – x )2 一般形式：x2 – 3x + 1 = 0 4. 把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积等于较长一段的长的平方，求较短一段的长 x . 解： 2025 若 是关于x的一元二次方程,求a、b的值. 2025 拓展提升 1.一元二次方程的概念： 2.一元二次方程的一般形式： 其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项. 2025 课堂小结 如果一个方程通过整理可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程 . 1. 课本P28练习. 2. 完成《学法》本课时的习题. 2025 课后作业 $