河南省商丘市部分学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

高二4月学业评估 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的 答案标号涂黑：非选择題请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区战内作答， 超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4,本卷命题范围：人教A版选择性必修第二册第五章，选择性必修第三册第六章第七章第3节 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要 求的， 1.有2位同学准备从6部不同的电影中各选一部观看，则不同的选法种数有 A.64种 B.36种 C.12种 D.6种 2.下列求导运算中正确的是 A.(x-x2)'=1-x Ba3Y=号 C.(2)'=21n2 D.(e)'=e 3.一个弹簧振子做简谐运动，其位移y(单位：cm)与时间t(单位：)之间的关系为y=si血(2+号)，该弹 簧振子在t=3πs时的瞬时速度为 A-君cm/s B.吾cm/s C.-1 cm/s D.1 cm/s 4.某公司生产的甲、乙、丙三种规格的产品分别有300件，200件，100件，其中甲、乙、丙三种产品的合格 率分别为号，专，是，则从所有产品中任取-件，是合格品的概率为 A器 品 c号 n 5.已知函数f八x)的导函数f(x)的图象如图所示，则函数f(x)的图象可能是 坏时渐码 【高二4月学业评估·数学第1页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 6.设A,B是一个随机实验中的两个事件，若P(A)=受，P(不B)=子，则P(B1不) A青 R寻 c D. 7.记(3-x)(1-x)22w=a0十a1x十a2x2+…+a2mx2咖，则a1十a,十as十…+a2om= A-2202 B.-22o2 C.22o2 D.22 8对任意x∈(0，+o∞)，ax(e+1)-(1+)lnx>0恒成立，则实数a的可能取值为 A若 B表 c号 D.-1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选 对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.关于（丘-）'的展开式，下列说法正确的是 A.展开式共有8项 B.展开式的二项式系数之和为256 C.展开式各项的系数之和为1 D.展开式中第5项的二项式系数最大 10.已知离散型随机变量X的分布列如下，则 X 0 P Aa=若 BEX0-号 C.E(3X-2)=1 D.D(3X-2)=3 11.已知函数f(x)=ax3一6x2+2ax一b(a≠0)有两个极值点，x2(x<x2),则 A.a的取值范围为（一√6,0）U(0w6) B.当f(x)·f(x2)>0时，f(x)仅有1个零点 C.当a·f(x2)<0时，f(x)仅有3个零点 D.若f(x)有3个零点，则函数f(x)在3个零点处的切线斜率的倒数之和为0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.设随机变量X服从两点分布，若P(X=1)一P(X=0)=0.24,则P(X=0) 13.函数f(x)=3x2一lnx图象上的点到直线5x一y一6=0的距离的最小值为 14.五一期间，某医院安排某科室的甲、乙、丙3名医生1至5日值班，规定每人至少值班1天，5天中每天 都有且仅有1人值班，其中医生甲在1日、2日中至少选择1天值班，则不同的安排方法共有 种（用数字作答）， 口是口 【高二4月学业评估·数学第2页（共4页）】 CS扫描全能王 ▣智 3亿人都在用的扫描APP 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(本小题满分13分) 甲、乙、丙等6名同学站成一排照相。 求：(1)甲与乙相邻，有多少种不同的站法？ (2)丙与甲和乙都相邻，有多少种不同的站法？ (3)甲不站在最左边，乙不站在最右边，有多少种不同的站法？ 16.(本小题满分15分) 袋中装有除颜色外均相同的3个红球，5个白球，现从中任取3个球 (1)记3个球中红球的个数为X,求X的分布列及数学期望； (2)当3个球均为一种颜色时，求这种颜色为白色的概率， 17.(本小题满分15分) 已知函数fx)=xlnx-2x+号 (1)求f(x)的单调区间： (2)证明：f(x)>-5x2 【高二4月学业评估·数学第3页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 18.(本小题满分17分) 已知(1十ax)=a0十a1x十a2x2+…+a,x",n∈N'. (1)当a=1,且a4=a时，求n的值； (2)当a=2,且aa>a1,aa>a,时，求n的值， (3)若a=2,n∈(10,15)，k∈N:,且在(1十ax)"的展开式中，存在连续三项X,士，x+1的项的系数 成等差数列，求n和k的值 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=g-lnz十x一m(m∈R). (1)若m=2,求曲线y=f(x)在点(1，f(1))处的切线方程： (2)若函数f(x)存在两个不同的零点，x2,且工1<x2 (1)求m的取值范围： (i)证明：x2-五<m二m-」 m-1 【高二4月学业评估·数学第4页（共4页）】 CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 高二4月学业评估·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B每位同学都有6种选择，则不同的选法种数有6×6=36种.故选B. 2.C(x-x3)'=1-3x2,A错误；(ln3)'=0,B错误；(2)'=2n2,C正确：(e2a)′=2e2,D错误.故选C 3.D由y=sin(21+)求导得y=2cos(21+苓)，依题意该弹簧振子在1=3xs时的瞬时速度为：y 2cos(2X3x+号)=1cm/s.故选D 4.A设任取一件甲产品为事件A,任取一件乙产品为事件B,任取一件丙产品为事件C,设任取一件是合格品为事件D, 则PA)--,P(B)=勰-=号PO-器-古，PDA=号，PDB)=号，PDO=,放PD)=合× 号+子×专+日×子器放证A 5.D由y=f(x)的图象可知：当x<-2和-1<x<1时，f(x)>0,故f(x)在（一∞，一2），(-1,1)上单调递增，当 一2x<一1和x>1时，f(x)<0,故f(x)在(-2，一1)，(1，+∞)上单调递减，D正确.故选D. 6.C因为P(A)=,所以PA)=1-PA)=号.又P(A=P(AB)+P(AB)=,且P(AB)=3,所以P(AB)= 1 合，PB1A=PB)百」 P(A) 1 子故选C 7.B对于(3-x)(1-x)226=an十a1x十a2x2+…十a227x227,令x=1,得a十a1十a2十…十227=0①，令x=-1,得 a-a1十a2-…-a227=2228②，①-②得2(a1十a3十a5十…十a227)=-22028,所以a1十a十a5十…十a227=-227. 故选B. 8.C当x>0时，由a.x(e2+1)-(1+)lnx>0,得a2(e2+1)>(x+1)lnx,所以(e2+1)lne2>(x+1)lnx.令 )=(+1Dn,则f0=h+1+子，令ga)=f)则g)=上=号，所以当o,10时g)< 0:当x∈(1，+∞)时，g'(x)>0,所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，十∞)上单调递增，所以f(x)≥f(1)=2>0, fx)在0，+eo)上单调递增.由(e+1he>(x+1Dnx知f(e)>f),所以e>x,即a>.令(= ,则M)=1-2L,所以当∈0O)时h'x>0,当rE66,十eo)时，N(<0所以在0，)上单调递 增，在(C,十∞)上单调递减，所以A()≤hWO)=6,所以a>6,所以ABD错误，C正确.故选C 9.CD展开式共8+1=9项，A错误：展开式的二项式系数之和为2=256，B正确：令x=1,则（反-二）°=1，故展开 式各项的系数之和为1，C正确；共9项，则展开式中第5项的二项式系数最大，D正确.故选BCD. 10,AB由离散型随机变量分布列的性质知之十}十a=1,所以a=合，A正确：E(X)=0X令十1×号十2×合=号，B 正确：B3X-2》)=3BX0-2=3×号-2=0.C错误：DX0=(0-号）×合+(1-号)×3+(2-号)厂×合 号，D3X-2)=3X号-5，D错误.放选AB CS扫描全能王 【高二4月学业评估·数学参考答案第1页（共4页）】 可3亿人都在用的扫描App 11.ABD由f(x)=a.x-6.x2+2a.x-b(a≠0)，得f(x)=3a.x2-12x+2a.因为函数f(x)有两个极值点x1,x2(x1<x2), 所以f(x)=0有两个不等的实数根，即3ax2一12x+2a=0有两个不等的实数根x1,2(1<2),所以 △=(-12)2-4X3a×2a>0, 解得-√6<a<0或0<a<6,A正确：当0a</6时，二次函数(x)=3a.x2-12x+ a≠0， 2a与x轴有两个不同的交点，开口向上，当x<x时，f'(x)>0:当x1<x<2,f(x)<0:当x>2,f(x)>0,所以 f(x1)是极大值，f(x2)是极小值，又f(x)·f(x2)>0,故f(x)仅有1个零点；同理可得当一√6<a<0时，f(x)仅有1 个零点，B正确；当0<a<6时，由B可知f(2)是极小值，又a·f(x2)<0,所以f(x2)<0,此时若f(x1)<0,则f(x) 仅有1个零点，C错误；设f(x)的3个零点分别为m,n,s,则f(x)=ax3-6x2+2ax一b=a(x-m)(x-n)(x-s), f(x）=a(x-n)(x-s)+a(x-m)[(x一n)+(x-s)],所以f(m)=a(m-n)(m-s),同理f(n)=a(n-m)(n-s), f(s)=a(s-m)(s-n),故子m+Tm+子=a(m-n(m-5+a(n-m(m+a(s-m(s-m= (1-)十(s一m)十(m一D=0,D正确.故选ABD. a(m-n)(m一s)(-s) 12.0.38随机变量X服从两点分布，由P(X=1)一P(X=0)=0.24,及P(X=1)十P(X=0)=1,解得P(X=0)=0.38. 13.22s 13 由题意，fx)=6x一士令f)=5,得x=1负值合去.因为I)=3,所以血线y=x)在点1,3)处的 切线与直线5江-一y一60平行.因为点1,3)到直线5x一y一6=0的距离为◆=22，所以函数f(x)图象上的点 到直线5x一y一6=0的距离的最小值为22⑧ 1488当医生甲选择1日，2日中的1天，且值班1天时，有G=2种选择，再将其他4天分给乙、丙，有(CG十9)AN =14种排法，共有2×14=28种排法：当甲只选择1日，2日中的1天，且值班2天时，有CC=6种选择，再将其他3 天分给乙、丙，有CC号A=6种排法，共有6×6=36种排法；当甲选择1日，2日中的1天，且值班3天时，有CC=6 种选择，再将其他2天分给乙、丙，有A=2种排法，共有6×2=12种排法；当甲选择1日2日值班，且值班2天时，只 需将其他3天分给乙，丙，有CC3A=6种排法：当甲选择1日2日值班，且值班3天时，有C=3种排法，只需将其他 2天分给乙，丙，有A3=2种排法，共有3×2=6种排法.综上，不同的安排方法共有28十36十12+6十6=88种. 15.解：(1)先将甲、乙捆绑有A号=2种方法；甲、乙两人捆绑后与其他四人一起排列有A=120种方法，…3分 所以甲与乙相邻的站法有A·A=240种. ……4分 (2)先将丙与甲、乙捆绑，有A=2种方法（甲、丙、乙，乙、丙、甲），然后总体与其余3名同学全排列，共有A=24种 方法，… …7分 所以丙与甲和乙都相邻的站法有2×24=48种. …8分 (3)甲站在最右边，其余5人全排列，有A=120种站法，甲不站在最右边，甲有4种站法，乙有4种站法，剩下4人全排 列，有4X4XA=384种站法，… 12分 所以甲不站在最左边，乙不站在最右边，共有120十384=504种不同的站法.…13分 16.解：(1)X的可能取值为0,1,2,3， PX=0)-g-是p0X=D-e-是PX-2)-9-品PX=3)-9- …6分 X的分布列为 回表效回 CS扫描全能王 【高二4月学业评估·数学参考答案第2页（共4页）】 简知3亿人都在用的扫描App X 0 1 2 3 15 1 …7分 P 28 2 6 56 所以50X0=0×是+1×崇+2×是+3×6-号 10分 (2)设从袋中任取3个球为一种颜色为事件A,则P(A)=C十C=是 C 56 12分 设从袋中任取3个球都为白色为事件B,则P(B)=g=克 13分 5 所以当3个球均为一种颜色时，这种颜色为白色的概率为P(B1A)= 10 11 11' 15分 56 17.(1)解：由题知f(x)的定义域为(0，+∞)，f(x)=lnx+1一2=nx-1. ……2分 令f(x)>0,得x>e;令f(x)<0,得0<x<e,… …… 4分 所以f(x)的单调递增区间为(e,十∞)，单调递减区间为(0，e).…5分 (2)证明：要证明/八>-52，只需证>-52+2x一是 …6分 设h(x)=xnx,则h'(x)=l十lnx, 所以当x∈(o,是)时，(x)<0:当x∈（日，+∞）时，n'(x)>0, 8分 所以函数(0在(0，。)上单调递减，在（日，十∞）上单调递增， …9分 所以函数()在(0，十∞)止的最小值为h(仁)=一日 10分 设函数u0=-5x+2x-=-5(x-号)》-号， 12分 所以u(在(0，+∞)上的最大值为u(兮)=一号 13分 因为-号<是，所以A()>u,即x)>-52。 15分 18.(1)解：当a=1时，(1十x)”=C”十Chx+C%x2+…+C%x”. 又(1十x)”=a十a1x+a2x2+…+ax",a4=a5, 所以C%=C阳，所以n=9.… …5分 C%28>C%2 (2)由题知 C828>C%2 解得11<5， ,n∈N, 所以n=12.… 10分 (3)因为x-1,x,x+1的项的系数分别为2-1C1,2C,2+1C+中， 且x1,,x+的项的系数成等差数列， 所以2×2*C=2-1C%-1+2+1C+1,整理得(3k-2n)2=3k+4,所以3k十4为完全平方数.…14分 又n∈(10,15)，所以k∈[1,15). 当k=4时，1=4或8，不满足题意；当k=7时，n=8(舍去)或13；当k=13时，n=19或26，不满足题意. 综上所述，n的值为13，k的值为7.… 回流回 CS扫描全能王 【高二4月学业评估·数学参考答案第3页（共4页）】 对3亿人都在用的扫描App 1.1)解：由题知f)=号-hx+x-2,f()=DE-1+1 1分 则f(1)=e-1,f(1)=0,… 2分 所以曲线y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程为y=e一1. …3分 (2)(1)解：由题知f(x)的定义域为(0，+∞)， fo)=-De-1+1=-1)e+x-D--De+2(>0. T2 .x2 令f(x)>0,得x>1:令f(x)<0,得0<x<1, 所以函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，+∞)上单调递增， 所以f(x)m=f(1)=e十1-m.… ……5分 因为函数f(x)存在两个不同的零点，所以e十1一m<0,即m>e十1， 所以m的取值范围为(e十1，十∞).…7分 (i)证明：下面找两个点a,b(0<a<1<b),使得g(a)>0,g(b)>0, 注意到"=m且0<<1<m,于是考虑找点m m-1 下面我们证明：)>0()>0.… …8分 ①要证fm)>0,即证g-1nm>0,设g(x)=g-lnx(x>2),证明g(x)>0, 要证>nx,即证号>， 易()=导()2 所以>lnx,即g(x)>0,f(m）>0 12分 又f(1)<0,所以1<x2<m.… 13分 @f()=m-1c六-h六十m 设(x)=lnx-x+1,则(x)=1工， x 易知t(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十o∞)上单调递减，所以t(x)≤1(1)=0，即1nx≤x-1.…14分 因为m>e+1,即0<马<所以n-1,且六-10 因此/(n马)≥(m-IDe六-(m-ID=(m-D(e时-1D>0, 因为f(1)<0,所以与0<1，- 16分 所以<m十，即证得< m-1 17分 CS扫描全能王 【高二4月学业评估·数学参考答案第4页（共4页）】 简延3亿人都在用的扫描App