精品解析：福建晋江市安海片区2026年春季期中教学质量监测八年级数学试卷

2026年春季期中教学质量监测 初二年数学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式的定义，可得答案． 【详解】解：是分式，，，是整式； 故选：C. 【点睛】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，注意π是常数不是字母． 2. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了关于原点对称点的性质，两点关于原点对称时，它们的横坐标和纵坐标分别互为相反数，根据此性质列出方程求解m和n，再计算的值即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴，， 解得：， ∴。 故选：A． 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】原式相乘，然后约分即可得到结果． 【详解】解：原式． 故选D 【点睛】此题考查了分式的乘法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 4. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. B. C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了最简分式的定义、分式的化简，根据最简分式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握最简分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、当时，，不是最简分式，故不符合题意； B、当时，，不是最简分式，故不符合题意； C、当时，，不是最简分式，故不符合题意； D、当时，，是最简分式，故符合题意； 故选：D． 5. 若一次函数中随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数中，y随x的增大而减小，推出2+k＜0即可找到k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数中，y随x的增大而减小， ∴2+k＜0， 解得：k＜-2． 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的性质以及不等式的解法，熟练掌握一次函数的性质特点，准确计算是解决本题的关键． 6. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第二、四象限内 C. 随的增大而增大 D. 图象关于原点对称 【答案】C 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质,图像的分布,对称性解答即可 【详解】∵x=-1时，, ∴图象必经过点, ∴A正确； ∵k=-3＜0, ∴图象在第二、四象限内, ∴B正确； ∵k=-3＜0, ∴在每一个象限内，随的增大而增大, ∴C错误； 根据反比例函数的性质，得图象关于原点对称, ∴D正确； 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数的图像分布，增减性，对称性，图像与点的关系，熟练掌握函数的性质和对称性，图像的分布特点是解题的关键． 7. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元，根据“用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍”列出分式方程即可． 【详解】解：设B款相册的单价为x元，则A款相册的单价为元， 由题意得：， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，找出合适的等量关系列出方程是解题的关键． 8. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（ ） x 0 2 3 y m 9 A. 4 B. 5 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用已知的x与y的对应值求出一次函数解析式，再将代入解析式即可求出m的值． 【详解】解：设该一次函数解析式为， 由表可知，当时，，可得， 将代入解析式得， 解得， 因此该一次函数解析式为， 将代入解析式得， 即． 9. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先求出A的坐标，然后通过图象比较函数值大小，根据图象在上方的函数值大求解即可． 【详解】解：∵在反比例函数图象上， ∴ ∴m=12 ∴ ∵在反比例函数图象上， ∴ ∴a=6 ∵ ∴或 故选：A 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点坐标，函数和不等式的关系，数形结合是解题的关键． 10. 新课标 跨学科试题 我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点H在y轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点B处时，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设恰好经过点，光线所在直线的表达式为，则，法线为直线，则关于的对称点在直线上，再由待定系数法求解直线表达式，即可求解点B坐标． 【详解】解：设恰好经过点，光线所在直线的表达式为，则，法线为直线， ∴关于的对称点在直线上 ∴光线经过点、， ∴， 解得， ∴光线所在直线的表达式为， ∴此时在平面镜上入射点． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分式有意义的条件是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零，据此建立不等式求解，即可解题． 【详解】解：分式的分母为，令分母不等于零， 即， 解得， 故分式有意义的条件是， 故答案为：． 12. 纳米机器人是由纳米尺度部件组装的机器人．在医学领域，它能够在人体内进行药物运输、病毒检测、组织修复等．一个用于药物运输的纳米机器人的长度为0.000000056m，将用科学记数法表示为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了绝对值小于1的数的科学记数法，按照左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，确定这两个关键要素是解题的关键． 先确定左边第一个非零数字前面零的个数，取其相反数得到n值；将小数点点在左边第一个非零数字后面，确定a值，写成的形式即可． 【详解】解：∵， 故答案为：． 13. 直线向上平移3个单位后的函数表达式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数的平移法则：左加右减，上加下减计算即可得解，熟练掌握一次函数的平移法则是解此题的关键． 【详解】解：直线向上平移3个单位后的函数表达式为， 故答案为：． 14. 若关于x的分式方程﹣3＝有增根，那么m＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根，把增根代入化为整式方程的方程，即可求出m的值． 【详解】解：方程两边同乘（x﹣2），得 x﹣1﹣3（x﹣2）＝m， ∵原方程增根为x＝2， ∴把x＝2代入整式方程，得m＝1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 15. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法式解题的关键． 利用待定系数法求解一次函数即可得解． 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系，可得棋子“马”所在的点的坐标为， 设经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为， ， 解得， ∴经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为． 故答案为： 16. 如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】设点的横坐标为，根据垂线定义及线段比例关系表示出点的横坐标，利用点、纵坐标相等建立关于的方程求出值，最后根据三角形面积公式求解 【详解】解：设点的坐标为，其中 过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为 轴，轴 点的坐标为，点的坐标为 的长度为 点在线段上，且 点的横坐标为 点在反比例函数的图象上，且点的纵坐标与点相同 点的坐标为 整理得： 解得： 为直角三角形 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂以及立方根，解题的关键是正确化简每个式子． 根据零指数幂，负整数指数幂以及立方根化简每个式子，然后求解即可． 【详解】解：， ， ． 18. 解方程． 【答案】 【解析】 【分析】先去分母化分式方程为整式方程，再解这个整式方程即可，注意解分式方程最后一步要写检验． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号得， 整理得， 解得， 检验：当时，， 所以是原方程的解． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【解析】 【分析】利用分式混合运算法则化简，得出最简结果，再把代入计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，求所挂物体的质量． 【答案】所挂物体的质量为千克 【解析】 【分析】先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 【答案】的面积为． 【解析】 【分析】根据题意可得，，，则，可得反比例函数解析式为，将代入可得，即，利用割补法求解面积即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， ∴， 将代入可得， ∴， 将代入可得，即， 如图，作轴于点E，于点F， 则的面积， 答：的面积为． 22. 防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． （1）求A 队、B队的每小时检查的户数； （2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 【答案】（1）A队每小时检查16户，B队每小时检查12户 （2）租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 【解析】 【分析】（1）设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户，根据“A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等”，可列方程分式方程，据此求解即可； （2）设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元，根据“总运货量吨”，列不等式求得m的范围，再利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设B队每小时检查x户，则A队每小时检查户， 根据题意得， 解得， 经检验，是原方程的解， ， 答：A队每小时检查16户，B队每小时检查12户； 【小问2详解】 解：设租用M型货车m辆，则租用N型货车辆，总费用为元， 由题意得， 解得， 由题意得， ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，w最小， w最小值元， ， 答：租用M型货车4辆，N型货车6辆时，运输总费用最低，最低总费用是440元． 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与x轴交于点． （1）求k，m的值； （2）过第一象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D，若，求n的值． 【答案】（1），； （2）． 【解析】 【分析】（1）分别将点，代入反比例函数，一次函数，即可求解； （2）由题意可得，，，三点的纵坐标相等，表示出、的坐标，求出，的长度，根据列方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，将点代入可得，，解得， 将点代入可得，解得， 则，； 【小问2详解】 解：由（1）可得，反比例函数为，一次函数为， 由题意可得，，，三点的纵坐标相等，为，且， 将代入可得，即， 将代入可得，解得，即， 则，， 由可得，解得， 检验，，符合题意， 则． 24. 综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． （1）计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． （2）证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② （3）结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 【答案】（1）①，；②，； （2） 证明： 当，，时，，，， ， ，即， ； （3） 证明：，，， 由（1）得，，， ， ， ； ，，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据浓度公式即可得到答案； （2）先求出，再证明，即可得到结论； （3）由（1）得到，，即可得到结论． 【小问1详解】 解：①根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变淡，可以得到不等式① ②根据题意得，糖水的质量百分比浓度变为， 因为糖水变甜，可以得到不等式②； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 略． 25. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为________． （2）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①若点为轴上不与原点重合的一个动点，且，求满足条件的点坐标． ②若P为x轴正半轴上一点，以为腰在左侧作等腰直角，且，连结，当取得最小值时，求点Q的坐标． 【答案】（1） （2）①或；②当取得最小值时，点的坐标为 【解析】 【分析】（1）根据“不动点”的定义求解即可； （2）①求出直线的解析式，得到，得到，设，求出或，即可得到满足条件的点坐标或；②过点作轴于点，证明，设，则，得到，得出当时，取得最小值，得到点的坐标为． 【小问1详解】 解：根据题意得，， 解得， 一次函数的“不动点”为； 【小问2详解】 解：①直线上没有“不动点”， ， ； 令，则，解得， ， 令，则， ， ， 点为轴上不与原点重合的一个动点，设 ， ， ， ， 或， 满足条件的点坐标或； ②过点作轴于点， 是等腰直角三角形，， ， ， ， 在和中，， ， ，， 设，则， ， ， ， 当时，取得最小值，最小值为， 把代入得，， 当取得最小值时，点的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春季期中教学质量监测 初二年数学科试卷 （考试时间120分钟，总分150分） 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列式子是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知点与点关于原点对称，则的值是（ ） A. B. C. 1 D. 8 3. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 4. 若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ） A. B. C. D. 1 5. 若一次函数中随的增大而减小，则的取值范围是（   ） A. B. C. D. 6. 已知反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. 图象在第二、四象限内 C. 随的增大而增大 D. 图象关于原点对称 7. 6月进入了毕业季，某校九年级班主任准备给自己的学生买一些相册，并把初中三年来学生的照片放进去，这些照片记录了他们初中三年的点点滴滴．目前有A，B两款相册比较合适，其中A款相册的单价比B款相册的单价贵3元，用1000元购买A款相册的数量是用425元购买B款相册数量的2倍，求B款相册的单价．若设B款相册的单价为x元，则根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知y是x的一次函数，下表列出了部分对应值，则m的值是（ ） x 0 2 3 y m 9 A. 4 B. 5 C. D. 9. 如图，一次函数与反比例函数相交于点和，当时，则的取值范围是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 10. 新课标 跨学科试题 我们学习过光的反射定律：反射光线和入射光线、法线在同一平面内，反射光线和入射光线分居法线两侧，反射角等于入射角．在平面直角坐标系中，放置一块平面镜（点H在y轴上），从点处发射的光线照射到平面镜的点B处时，反射光线为，如图所示．若恰好经过点，则点B的坐标为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 分式有意义的条件是______． 12. 纳米机器人是由纳米尺度部件组装的机器人．在医学领域，它能够在人体内进行药物运输、病毒检测、组织修复等．一个用于药物运输的纳米机器人的长度为0.000000056m，将用科学记数法表示为_______． 13. 直线向上平移3个单位后的函数表达式为_______． 14. 若关于x的分式方程﹣3＝有增根，那么m＝_____． 15. 象棋起源于中国，中国象棋文化历史悠久，如图所示是某次对弈的残图的一部分，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一坐标系下，经过棋子“帅”和“马”所在的点的一次函数表达式为______． 16. 如图，反比例函数，的图象在平面直角坐标系中，点为的图象上一点，过点分别向轴，轴作垂线，垂足分别为，，线段被的图象上一点分成两部分，且，连接，则的面积为________． 三、解答题（本大题共9小题，共86分） 17. 计算： 18. 解方程． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，求所挂物体的质量． 21. 如图，平行于y轴的直尺（一部分）与双曲线交于点A和C，与x轴交于点B和D，点A和B的刻度分别为和，直尺的宽度为，，（注：平面直角坐标系内一个单位长度为），连接，，求的面积． 22. 防蚊灭蚊是预防感染基孔肯雅热的有效措施，为了控制基孔肯雅热在社区中进一步传播，两支志愿者队伍需要合作检查，清除社区各家各户的蚊虫滋生地．已知A 队每小时检查的户数比B 队多4户，A队检查120户的时间与B队检查90户的时间相等． （1）求A 队、B队的每小时检查的户数； （2）两支志愿队在社区巡查过程中清除出废弃的瓶罐、塑料袋等废旧垃圾共17吨，需要租用10辆货车把这些废旧垃圾全部清理运走．M型、N型货车每次运货量与运货费用如下表所示，请问怎样租用货车才能使运输总费用最低？最低总费用是多少元？ 参数车型 运货量 (吨/车) 运货费用 (元/车) M 型 2 50 N型 1.5 40 23. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过点，直线与x轴交于点． （1）求k，m的值； （2）过第一象限的点作平行于x轴的直线，交直线于点C，交函数的图象于点D，若，求n的值． 24. 综合与实践：分式与糖水浓度． 数学活动：溶液的质量百分比浓度 素材一 溶液由溶质和溶剂组成，溶液的质量百分比浓度，其中，溶液质量溶质质量溶剂质量．例如，糖水是一种溶液，它由糖和水组成，其中糖为溶质，水为溶剂．10g糖溶于90g水，得到的糖水的质量百分比浓度为10％． 素材二 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 根据以上材料，分别完成下列的问题． （1）计算溶液浓度： 用数学知识解释：设原来的糖水中水的质量是克，糖的质量为克，假设糖均能完全溶于水．则糖水的质量百分比浓度浓度为． ①如果在原糖水中加入克水，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变淡，可以得到不等式①________； ②如果在原糖水中加入克糖，糖水的质量百分比浓度变为________，因为糖水变甜，可以得到不等式②________． （2）证明：当，，时，证明任务（1）中的不等式② （3）结论运用：请运用（1）的两个不等式证明：若，，，则． 25. 定义：我们把一次函数与正比例函数的交点称为一次函数的“不动点”，例如求的“不动点”联立方程，解得，则的“不动点”为． （1）由定义可知，一次函数的“不动点”为________． （2）若直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，且直线上没有“不动点”． ①若点为轴上不与原点重合的一个动点，且，求满足条件的点坐标． ②若P为x轴正半轴上一点，以为腰在左侧作等腰直角，且，连结，当取得最小值时，求点Q的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $