湖南衡阳县第一中学等校2025-2026学年高二下学期期中校内检测数学试卷

2026年上学期高二期中校内检测 数学 (试卷满分：150分，考试时间：120分钟) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指 定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5mm的黑色字迹签字笔将 答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3.考试结束后，请将答题卡上交。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. 1.在空间直角坐标系中，点A(2,一1,3)关于原点对称的点的坐标为 A.(2,1,3) B.(-2,1,-3) C.(2,-1,-3) D.(-2,-1,-3) 2.在等差数列{an}中，a1十a7=a2十a5十2，则{an}的公差为 A.-1 B.-2 C.1 D.2 3.已知f)是定义在R上的可导所数，若m1+,1D=子，则f() 2△x A-2 c D 4.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点M在C上，MF=3,则点M到直线x=一3的距离为 A.3 B.4 C.5 D.6 5.如图，一圆形信号灯分成A,B,C,D四块灯带区域，现有3种不同的颜色供灯 D 带使用，要求在每块灯带里选择1种颜色，且相邻的2块灯带选择不同的颜 色，则不同的信号总数为 A.18 B.24 C.30 D.42 6.已知随机事件A,B互相独立，满足P(A+B)=号，P(AB)=子则P(B) 7 A.8 c易 5 D.16 【高二数学第1页（共4页）】 1.已知双由线C:号芳-1(a>0,>0)的左，右焦点分别为F,,左，右顶点分别为A,A、 点P在双曲线C的右支上，且|A1A2,PF2|,F1F2|,PF1成等差数列，则双曲线C的离 心率为 A.2 B.2 C.√3 D.3 8.甲、乙两人进行羽毛球比赛，现采用三局两胜的比赛制度，规定每局比赛都没有平局（必须分出胜 负)，且每一局甲赢的概率都是p,随机变量X表示最终的比赛局数，者X的数学期望为号，则少 A c D.或号 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.以下能够判定空间中四点A,B,C,D共面的条件是 A.AB-AC+3AD B.0i=2oi+10心+1oi C.CD.AB=0 D.AB=2 CD 10.已知圆C1:x2+y2+2mx-10y+m2+9=0,圆C2:x2+y2-4y+3=0,则 A.C1的半径为4 B.若C1,C2相切，则m=士4 C.当m=2时，C1,C2相交弦所在直线的方程为2x一3y+5=0 D.当m-2时，C.C相交孩的长度为2图 11.某单位安排甲、乙、丙3人在5月1日~5月5日这5天假期中值班，要求每天只有1人值 班，每个人至少值1天班，则 A.一共有243种安排方法 B.若每个人最多值2天班，一共有90种安排方法 C.若甲值2天班并且连续值2天，一共有48种安排方法 D.若甲、乙均值2天班，丙值1天班，但甲、乙均不连续值班，则有12种安排方法 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知二项式(2x十√)，则展开式中x3的系数为 13.等比数列{an}的各项均为正数，且a3·a13=4,则log2a1十log2a2十…十log2a1s= 14已知雨数《✉)的导函数为了若对任意的ER都有含2：)成立.且)=1， 则不等式f(log)>的解集为 【高二数学第2页（共4页）】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知数列{an}是等差数列，且a4=10,S9=117. (1)求数列{an}的通项公式； （2)设么=2，数列认的前n项和为工，证明：<号 16.(本小题满分15分) (1)某公司年会安排了5个表演节目：街舞，歌曲串烧，小品，古筝演奏，脱口秀，5个节目排 定5个时段依次表演，已知古筝演奏不能安排在第一个和最后一个表演时段，则共有多 少种方案？ (2)已知二项式(1十3x)”的展开式中前3项的二项式系数之和为56，记(1+3x)”=a。十a1x +…十anx",求a1十a2十…十an的值. 17.(本小题满分15分) 为迎接美国数学竞赛(AMC),选手们正在刻苦磨练，积极备战，假设模拟考试成绩从低到高 分为1,2,3三个等级，某选手一次模拟考试所得成绩等级X的分布列如下： X 1 2 3 0.3 0.5 0.2 现进行两次模拟考试，且两次互不影响，该选手两次模拟考试中成绩的最高等级记为 (1)求此选手两次成绩的等级不相同的概率； (2)求的分布列和数学期望. 【高二数学第3页（共4页）】 18.(本小题满分17分)》 已知椭圆C号+芳-1a>6>0)的右焦点为R,离心率为7，圆O:x+y°=(>0)，过F 的直线与C交于A,B两点，当直线AB垂直x轴时，AB=3. (1)求椭圆C的标准方程； (2)当r=1时，设D在圆O上，且D也在AB上，判断是否存在点D满足AD=DB引，若 存在，求直线AB的方程；若不存在，说明理由； (3)当r=2时，直线AB交圆0于P,Q两点，求的最大值. AB 19.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=-xe+. (1)证明：f(x)≤1； (2)若直线y=a与函数f(x)图象有两个不同交点A(x1,y),B(x2y2),且x1<x2· (i)若3x2一x1<0,求实数a的取值范围； (ii)证明：x1十2x2<-2. 【高二数学第4页（共4页）】 2026年上学期高二期中校内检测·数学 参考答案、提示及评分细则 题号 2 4 5 6 7 8 答案 B D A C A B B D 题号 9 10 11 答案 ABD AC BD 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.【答案B 【解析】因为点A(2,一1,3)，所以点A(2,一1,3)关于原点对称的点的坐标为（一2,1，-3）.故选B. 2.【答案D 【解析】设等差数列{an}的公差为d,又因为a1十a=a2十a5+2,所以(a一a5)十(a1一a2)=2,所以2d-d= 2,即d=2,故选D. 3.【答案】A 【解析】因为lim △* 0+2fD=-},即号=0+21D=-子，即f0=-则 2△x △x 1 ∫(1)=一2故选A 4.【答案】C 【解析】抛物线C:y=4x,其准线方程为：x=一1，因为|MF|=3,且点M在C上，由抛物线定义可知，点M 到直线x=一1的距离为3，因为x=-3与x=-1平行，且距离为2，所以点M到直线x=一3的距离为5， 故选C. 5.【答案】A 【解析】由A,B不同色，共有A种涂色方法，若D和B同色，则C有C种涂色方法；若D与B不同色，则C 只有1种涂色方法，故不同的信号总数为A(C+1)=18.故选A. 6.【答案】B 【解析】因为随机事件A,B互相独立，所以P(AB)=P(A)P(B),则P(AB)=PAB-P(A)P(B) P(B) P(B) =P(A) =,PA+B)=PA)+P(B)-PAB)=PA)+P(B)-P(A)P(B)=十P(B)-子P(B)=名，解得 P(B)=,所以P(B)=1-号-号，故选B. 7.【答案】B 【解析】因为AAe|=2a,|FFz|=2c,因为点P在双曲线C的右支上，所以|PF1|-PF2|=2a,因为|AA2|, |PF2|,FF2|,|PF|成等差数列，设公差为d,则2d=|PF|-|PF2|=2a,所以d=a,所以|PF2=2c a,|PF1|=2c+a,即2a,2c-a,2c,2c十a成等差数列，且公差d=a,所以2c-a=2a十a,即c=2a,所以双曲 线的离心率e=S=2(或者：因为AA,PF2|,FF,,|PF|成等差数列，所以FF1-AA=PF|一 |PF21,即2c-2a=2a,即c=2a,所以双曲线的离心率e=C=2),故选B. 8.【答案D 【解析】随机变量X可能的取值为2,3， P(X=2)=C8p2+C(1-p)2=2p2-2p+1. P(X=3)=Cp(1-p)p+C2p(1-p)(1-p)=2p-2p, 【高二数学参考答案第1页（共5页）】 故X的分布列为： X 2 3 P 2p2-2p+1 2p-2p 故E(X)=2×(2r-2p+1)+3×(2p-2p2)=-2P+2p+2,由-2r+2p+2=2 ，解得=子或号故 选D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6 分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.【答案】ABD 【解析】对于A,因为Ai=AC+3AD,所以AB,AC,AD共面，又因为有公共点A,所以四点A,B,C,D共面： 对于B因为空十十=1，所以四点A,B,CD共面： 对于C,因为CD·AB=0,所以AB⊥CD,即直线AB和CD可能异面，四点A,B,C,D不一定共面； 对于D,因为A苏=2C市，所以AB∥CD,所以四点A,B,C,D共面.故选ABD. 10.【答案】AC 【解析】C:x十y2+2mx一10y十m十9=0整理为C:(x十)2十(y一5)2=16，所以C1的半径为4，A选项 正确； 易知C(-m,5),C2(0,2),且C2的半径为1，若C,C2相切，则1C1C2|=5或1C1C|=3,解得m=±4或m= 0,B选项错误； 当m=2时，C:(x十2)2十(y一5)2=16，C2:x2十(y一2)2=1，两圆方程相减可得相交弦所在直线l:2x一3y十5 =0,C选项正确： C2(0,2)到直线l:2x-3y十5=0的距离为d= 所以C,C相交弦的长度为2-d=2√1-吉 √/13 4四，D选项错误，故选AC 13 11.【答案】BD 【解析】对A,将5月1日~5月5日这5天分成三组，然后再将一个组分给1个人.(1)分成3,1,1时，则有 心N=60种安排方法，(2)分成2,21时，则有9A=的种方法，所以共有90十60=150种安排方法，所以 A错误； 对B若每个人最多值2天班，将5天分成2,21三组，然后再将1个组分给1个人则有架A成=90种安排 方法，所以B正确； 对C,因为甲连续值2天班，先安排甲，共有4种方法：然后将剩下的3天分成2组，即分成2,1，然后再将这两 个组分给乙、丙两人，一组分给1个人，则有CA号=6种安排方法，由分步乘法计数原理得，共有4×6=24种 方法，所以C错误； 甲一 1乙-丙 甲一丙 丙-乙 丙一甲 甲 甲一乙 甲一乙 对D,由树形图：甲 丙一 乙-甲 ,乙 丙一 乙-甲 丙一 2~甲乙一年因此，共 甲-乙一甲一乙 丙一 甲-乙-乙(×) 甲一乙一甲 乙-甲-乙 乙一甲一甲(×) 有12种方法，所以选项D正确.综上，故选BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】10 【解析】2x十)展开式的通项T+1=C(2)(丘=2Cx,其中=01,2,3,45.令5-乞=3，得 r=4,所以x3的系数为2i-4·C=2×5=10. 【高二数学参考答案第2页（共5页）】 13.【答案】15 【解析】由已知得数列{am》是各项均为正数的等比数列， 则a1·a15=a2·a14=…=a=a3·a13=4,ag=2. 所以log2a1+log2a2+…+loga1s=log2a85=15log:2=15. 14.【答案】(4，十∞) 【解折因为号>2f,所以f)>2n2.即了0-fh>0,令8)=号，则g)= f(x)·4-f)·4ln4_∫(x)-f）·ln4>0在R上恒成立，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为 42x 4 )=1,所以g)=-,则不等式f1g)>子，因为>0，所以可以转化为：1g>,因为 4 g卫-12-gg,-f-g1D,即fog>可转化为：glog,x)>g1D,因为g在R x 4 上单调递增，所以ogx>1,解得x>4,即不等式fogz)>千的解集为：(4，十∞). 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.【答案】(1)am=3一2(2)详见解析 【解析】(1)设等差数列{a.}的公差为d, a=a1+3d=10 由a4=10,S4=117,可得 =0a+24=1r ………………2分 解得：a1=1,d=3, …………044…04…+4…小4…44……0……4……4…0…4……◆…+…………+………………+……… 4分 所以an=a1十(7n-1)d=3-2;……………5分 (2)由1)知am=3n-2,由6，=2.，得6.=2-2=1 4 7分 则数列{bn}是首项为2，公比为8的等比数列，……8分 所以T.=2(1-8”)=2(8-1) ………………。…………小…+… 1-8 10分 所以5=号(。）号(1-)<号 13分 16.【答案】(1)72(2)1048575（写作4°-1也可给分） 【解析】(1)先安排第一个时段，则有4种选择，………………………………………………………1分 再安排最后一个时段，则有3种选择， …2分 最后对于中间三个时段，剩余3个节目全排列，有A=6种，………4分 故共有方案4X3X6=72种；………………………6分 (2)(1十3x)”展开式前3项的二项式系数分别为C,C,C%,……………7分 则C%十C以十C%=56,整理可得十n110=0,…9分 解得：n=一11（舍）或n=10,……11分 令fx=(1十3x)0=a十a1x十…十a10x2°，故f(0)=a0=1,…13分 f(1)=a0十a1十…十a0=4l0,…… 14分 故a1十a,+…十a.=f(1)-f(0)=4°-1=1048575（写作4°-1也可给分）.…15分 17.【答案】(1)0.62(2)分布列详见解析，E(匀)=2.27 【解析】(1)此选手连续两次成绩的等级相同的概率为0.32十0.52十0.22=0.38，…4分 此选手两次成绩的等级不相同的概率为1一0.38=0.62；……………………7分 (2)由题意可知，的所有可能取值为1,2,3，…………………………………………………………8分 P(g=1)=0.3X0.3=0.09;……9分 P(g=2)=0.5X0.3+0.3X0.5十0.5X0.5=0.55;………… 10分 【高二数学参考答案第3页（共5页）】 P(g=3)=0.2×(0.3+0.5)×2+0.2×0.2=0.36. 11分 .的分布列为 1 2 0.09 0.55 0.36 ……… 13分 则数学期望E()=1×0.09十2×0.55十3×0.36=2.27. 15分 18.【答案11)片+苦=1(2x=1(3)5y厅 27 【解析11)伥题意，后-士，所以名- a21 1分 当x=(时，可得二+若=1，解得y-名 所以AB=2沙=3，解得6=5，a=2,… 3分 a 所以C的标准方程为子+苦-1： 4分 (2)易知F(1,0),设D(0,%),显然当直线AB斜率为0时，不符题意，…5分 当直线AB斜率不存在时，D1,0),满足题意，此时直线方程为x=1: 6分 当直线AB斜率存在时，设A,B两点的坐标分别为(x1M),(x2,2),则x1十x=2x0,y十=2%， +- 则 ,两式相减可得，一立+正=0， …7分 4 3 即物十油高=0，易知总物合白六 3% 所以系十3D0.因为店+=1， 即(x一1)(x0十4)=0，解得x0=1或x6=-4,均不符题意； ……9分 综上所述，存在点D满足AD=|DB,此时直线AB的方程为x=1;…10分 ③0当直线AB的斜李为0时.A=4,PQ=2E,所以哈-号 2 11分 ②当直线AB的斜率不为0时，设直线AB:x=my十1， 2+y 联立直线（与C的方程 4 ,得(3m2十4)y2+6y-9=0, (x=y+1 .△=36m2-4·(3m2+4)(-9)=144(m2+1)>0, -6m -9 由韦达定理得：y十=3m千41y一3m干4' 12分 则|AB|=√1十m√(y1十)-4y=√1+m -6m -9 12(2+1) ,37m2+4 -4· 3m2+4 3十4， ……13分 圆心(0,0)到直线AB的距离d= 1 √/1+ 则|PQ|=2√2-严=2 2m2+1 +1=2√m+1 ……14分 因此， PQ (2m+1)(3m+4) AB 61 (m2+1)3 【高二数学参考答案第4页（共5页）】 令=m+1>1,期2mtD3+w_24-D3少-(2-)(3+)'， (m2+1)3 设f(x)=(2-x)(3十x)(0<x<1),… 15分 则f(x)=-(3+x)2+(2-x)2(x十3)=(x十3)(1-3x), 所以当=号时，)取得极大值，也是最大值（号）=号×(9)， 所以品<√号x(得)- 27 16分 因为Y严号所以品的录大值为 27 27 17分 19.【答案】1详见解析2)D(。加3，)（详见解折 【解析】(1)因为f(x)=一x+1,定义域为R,f(x)=-e+1(x十1)，…1分 令f(x)=0,得x=-1,当x<-1时，f(x)>0:当x>-1时，f(x)<0, 所以函数f(x)在（一∞，一1）上单调递增，在（一1，十∞）上单调递减，……3分 且当x=一1时，函数f(x)取得最大值，且最大值为f(一1)=1，故f(x)≤1；……4分 (2)(i)因为f(0)=0,且当x<0时，f(x)>0:当x>0时，f(x)<0, 再结合函数f(x)的单调性和f(x)≤1，作出函数f(x)的大致图象如下图所示，……5分 若直线y=a与函数f(x)的图象有两个不同交点，则0<a<1, …………………………………6分 且z<一1<<0，又因为3x2一x1<0,所以32<x1<-1,即 y=a f(3x2)<f(x1)=f(x2),……7分 有一3x,e+<,即3e1之e,所以e<, <h号-n3,n3-(-=1-2n3=1-h5> 0,所以-1<<-3. 2 所以5cn3-f(-3）<fx)<f-)=1, 6 ………………8分 又因为a=),所以实数a的取值范围为：(3，)： …9分 (i)因为f()=f(xm),即x1的1+l=2,则=e,… 10分 令头=c2有=，则有= 12分 x2-x=In t 因为x<x2<0,所以t>1, 要证：十2<一2，即证n·告号<-2，图为>1，即证：>2 t+2 14分 令8)=ln-2吊>1D 则g().=1-2+2-十1=2，因为=2t十4=(t一1)2十30，…回 (t+2)2 15分 所以g(t)>0,则函数g(t)在(1，十o∞)上单调递增，………………16分 又因为>1，所以g)>g①)=0，即n>2》在>1时成立，所以西+2<一2成立。17 【高二数学参考答案第5页（共5页）】