空间角 课件-2027届高三数学一轮复习

第46讲 空间角 1 能用向量方法解决简单的夹角问题,并能描述解决这一类问题的程序, 体会向量方法在研究几何问题中的作用. 课 标 要 求 2 1.异面直线所成的角 （1）定义：已知两条异面直线,,经过空间任一点 分别作直线 ,,把直线与所成的角叫作异面直线与 所成的_______ ___________. 角 （或夹角） （2）范围：_ _____. ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 （3）求法： ①几何法：平移补形法. ②向量法：若异面直线,所成的角为 ，其方向向量分别为, ， 则, . 课 前 基 础 巩 固 4 我们说它们所成的角是 ；一条直线和平面平行，或在平面内， 我们说它们所成的角是0. （2）直线与平面所成的角的取值范围：______. 2.线面角 （1）定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角， 叫作这条直线和这个平面所成的角.一条直线垂直于平面， 课 前 基 础 巩 固 5 （3）求法： ①几何法：求直线与平面所成角的关键是作出直线在平面上的射影， 常用方法是寻找经过此直线并与已知平面垂直的平面，利用面面垂直 的性质确定直线上一点在平面上的射影. 课 前 基 础 巩 固 6 ②向量法：如图,直线与平面 相交于点,设直线与平面 所 成的角为 ,直线的方向向量为,平面 的法向量为 ,则 , . 课 前 基 础 巩 固 7 3.二面角 （1）定义：在二面角 的棱上任取一点，以点 为垂足， 在半平面 和 内分别作__________的射线和，则射线 和 构成的 叫作二面角的平面角（如图）． 垂直于棱 （2）范围： . 课 前 基 础 巩 固 8 （3）求法： ①几何法：找到二面角的棱的一个垂面，即可确定平面角，作二面 角的平面角的常用方法是在二面角的棱上任取一点，以点 为垂足， 在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，，则射线和 构 成的 即为二面角的平面角. 课 前 基 础 巩 固 9 ②向量法：若平面 , 的法向量分别是和,则平面 与平面 的夹角即为向量和的夹角或其补角.设平面 与平面 的夹角为 ,则, （如图）. 特别注意：平面 与平面 相交,形成四个二面角,我们把这四个二 面角中________的二面角称为平面 与平面 的夹角. 不大于 课 前 基 础 巩 固 10 题组一 常识题 1.［教材改编］设直线的一个方向向量为，平面 的 一个法向量为，则直线与平面 所成角的正弦值为 _ ____. [解析] 设直线与平面 所成的角为 ， 则 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 11 2.［教材改编］已知两个平面的法向量分别为 ， ，则这两个平面的夹角为____. [解析] ，,， ， 故这两个平面的夹角为 . 课 前 基 础 巩 固 12 3.［教材改编］如图所示，在棱长为2的正方体 中，是底面的中心，，分别是， 的中点，那么异面 直线与 所成角的余弦值为_ ___. 课 前 基 础 巩 固 13 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，， ， ， ， ， 故异面直线与所成角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 14 题组二 常错题 ◆ 索引：线面角取值范围出错;异面直线夹角取值范围出错;二面角 取值范围出错，二面角与平面夹角混淆. 4.已知向量，分别是直线的方向向量和平面 的法向量，若 ，，则与 所成的角为____. [解析] 设与 所成的角为 ，， ， ，，又 ， . 课 前 基 础 巩 固 15 5.如图，圆锥的高，底面直径,是圆 上一点，且 ，则与 所成角的余弦值为_ __. 课 前 基 础 巩 固 16 [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则，， ，, 所以 ,, 所以, , 所以与所成角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 17 6.在长方体中，，，则 与平面所成角的正弦值为__，二面角 的余弦值 为____，平面与平面 的夹角的余弦值为__. [解析] 以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，， ，， . 设平面的法向量为 ，则 即 令，得. 课 前 基 础 巩 固 18 设与平面 所成的角为 ，则 ， ，即直线 与平面所成角的正弦值为. 易知平面 的一个法向量为， ， . 由图可知，二面角为钝角， 故二面角 的余弦值为. 因为平面与平面 的夹角的取值范围为， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为 . 课 前 基 础 巩 固 探究点一 异面直线所成的角 例1 如图，在长方体中， ， ，，分别是， 的中点，则异 面直线与 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. ［思路点拨］思路一：在长方体中建立空间直角坐标系， 利用向量法求异面直线所成的角； 思路二：在长方体中，通过补充新的长方体，结合平行关系， 将异面直线转化在同一平面中，利用解三角形求异面直线所成的角. √ 课 堂 考 点 探 究 20 [解析] 方法一：以为坐标原点，以，， 的方向分别为，， 轴的正方向，建立如图所示 的空间直角坐标系，则， ， ，，所以 , . 设异面直线与所成的角为 , 则 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 21 方法二：补充长方体 ，如图 所示，其中,取为的中点， 为 的中点，连接,,,则 （或其补角）即为异面直线与 所成的角. 由题知, , ,所以 .故选A. 课 堂 考 点 探 究 22 [总结反思] 求异面直线所成角的方法: 1.定义法 定义法求异面直线所成角的步骤 （1）找或作：在图中找或平移异面直线中的一条或两条构造异面直 线所成的角. （2）证：说明所作的角是异面直线所成的角. （3）算：寻找或作出含有此角的三角形并解之. （4）取舍：因为异面直线所成角 的取值范围是 ，所 以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角. 课 堂 考 点 探 究 23 2.向量法 向量法又分为坐标法和基本向量法，利用公式 求出异 面直线的方向向量的夹角.若向量夹角是锐角或直角，则该角即为异 面直线所成角；若向量夹角是钝角，则异面直线所成的角为该角的 补角. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题 在三棱锥中， 平面，， ， ，，为的中点，则异面直线与 所成角的 余弦值为( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 由，， ，得， 所以 . 方法一：如图，取的中点，连接， ，则， 所以或其补角即为异面直线与 所成的角. 易知， ， ， ，所以. 在 中，根据余弦定理可得 ， 所以异面直线与所成角的余弦值为 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 26 方法二：因为 平面，， 平面 ，所以， ，故以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则， ，，，， 所以 ，. 设与所成角为 ， 则 .故选D. 课 堂 考 点 探 究 探究点二 直线与平面所成的角 例2 如图，在三棱台中，平面 平面 ， ， . （1）证明： ； 课 堂 考 点 探 究 28 证明：如图，过点作，交直线 于点，连接 . 由 ,得 , 由平面 平面得 平面 ， 所以. 由 ， 得 . 所以 平面，故. 由三棱台得 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 29 （2）求直线与平面 所成角的正弦值. 课 堂 考 点 探 究 30 解：方法一：过点作，交直线 于点，连接 . 由三棱台得， 所以直线 与平面所成角等于直线与 平面 所成角. 由 平面得， 故 平面，所以 为直线与平面 所成角. 设.由，，得 ， ，所以 , 因此，直线与平面所成角的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 31 方法二：由三棱台得，所以直线与平面 所成角等于直线与平面所成角，记为 . 如图，以 为原点，分别以射线，为,轴的正半轴， 建立空间直角坐标系 . 设 .由题意知各点坐标如下： ，，， . 因此,, . 课 堂 考 点 探 究 设平面的法向量 . 由即可取 . 所以, . 因此，直线与平面所成角的正弦值为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）用几何法求线面角的三个步骤：一作（找）角，二证明，三计 算.其中作（找）角是关键，先找出斜线在平面上的射影，关键是作 垂线、找垂足，然后把线面角转化到三角形中求解.也可以利用等体 积法直接求出直线上一点到平面的距离，使问题得到解决. （2）对于建立空间直角坐标系比较方便的几何体,我们可以通过向量 法来解决；如果有特殊的几何背景,还可以通过补形等方法来解决. 课 堂 考 点 探 究 34 变式题 [2026·江苏南通质检] 如图， 已知圆台 的上、下底面半径分 别为3和6，母线与下底面所成的角 为 . （1）求圆台 的体积. 解：因为圆台 的上、下底面半径分别为3和6， 母线与下底面所成的角为 ，所以圆台的高为 ， 所以圆台的体积 . 课 堂 考 点 探 究 35 （2）设，分别是圆台 的两条母线. （ⅰ）求证： ； 证明：由圆台的定义知，母线，的延长线相交于一点 ， 所以，，， 四点共面. 又因为圆面与圆面平行，平面与圆面交于直线 ， 平面与圆面交于直线，所以 . 课 堂 考 点 探 究 36 （ⅱ）若 ，是圆 上的动点， 求直线与平面 所成角的正弦值的最 大值. 解：在圆面内作，垂足为， 以 为坐标原点，以,,的方向分别 为 ,, 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，， ， 由题可设， 所以， ，. 课 堂 考 点 探 究 37 设平面的法向量为 ， 则即 取，则 . 设直线与平面所成的角为 ，则 , ，所以直线与平面 所成角的正弦值的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 平面与平面的夹角 例3 如图，三棱柱的高为,,,分别是, , 的中点， 平面, . 课 堂 考 点 探 究 39 （1）证明：平面 ； ［思路点拨］取的中点，作出辅助线 , ， 可得到四边形 为平行四边形，所以， 进而可得平面 ，由中位线得到， 进而可得平面 ，进而得到平面平面 ， 从而可证明线面平行； 课 堂 考 点 探 究 40 证明：设的中点为，连接, ，如图， 因为是 的中点，所以且 ， 所以四边形 为平行四边形，所以， 又因为 平面, 平面 ， 所以平面 . 因为,分别是, 的中点，所以, ，又， 所以 ，又 平面, 平面，所以 平面 . 因为，, 平面 ，所以平面平面 ， 又 平面，所以平面 . 课 堂 考 点 探 究 41 （2）求平面与平面 的夹角. ［思路点拨］证明出线面垂直，建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，从而利用面面角的余弦公式进行求解. 课 堂 考 点 探 究 42 解：因为 平面， 平面 ， 所以平面 平面，如图，过点 作，垂足为， 所以 平面， 因为三棱柱的高为 ，所以. 因为 ，所以， 又，为 的中点，所以与 重合. 以为坐标原点，,,所在直线分别为轴、轴、 轴，建立如 图所示的空间直角坐标系，则,, ， 课 堂 考 点 探 究 43 所以, . 由（1）知，平面平面 ，所以平面的一个法向量 为 . 设平面的法向量为 ，则 令，得. 设平面 与平面的夹角为 ， 则 , ， 所以 ，故平面与平面 的夹角为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）求解二面角的大小问题,关键是要合理作出它的平面角,当找到 二面角棱的一个垂面时,即可确定平面角. （2）求解平面与平面夹角的大小问题时，对于建立空间直角坐标系 比较简便的几何体,我们可以直接利用向量求出两个平面的法向量,并 转化为求两个法向量的夹角来完成. 课 堂 考 点 探 究 45 变式题 [2024· 新课标Ⅰ卷］如图，四棱锥 中， 底面， ， ， . （1）若，证明：平面 ； 课 堂 考 点 探 究 46 证明： 平面， 平面 ，. 又，, , 平面， 平面， 平面，. 在 中，， . ，，，四点共面， ， 又 平面， 平面， 平面 . 课 堂 考 点 探 究 47 （2）若，且二面角的正弦值为,求 . 课 堂 考 点 探 究 48 解：方法一：以为原点，以， 所在直线分别为,轴， 以过点且与平面垂直的直线为 轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设,则,, , , . ,, 设平面 的法向量为，则 即不妨令 ,则,, 课 堂 考 点 探 究 49 故 , , 设平面的法向量为 , 则即不妨令 ,则 ,，故 二面角的正弦值为, 平面与平面 夹角的 余弦值为， ,，可得, . 课 堂 考 点 探 究 方法二：如图所示，过点作于， 过点作于 ，连接 平面， 平面， 平面 平面 ， 又平面 平面，， 平面 . 又 平面，，又， ， 平面，得， 根据二面角的定义可知， 即为二面角的平面角， 即 ，又为锐角， . 课 堂 考 点 探 究 设，则 ，由等面积法可得， ，则， 又 为等腰直角三角形，， 故 ， 解得，即 . 课 堂 考 点 探 究 【备选理由】例1考查正四棱柱中多方法求解异面直线所成角; 例1 ［配例1使用］在正四棱柱中，, , ,分别是,,的中点，则异面直线与 所成角的余弦 值为( ) A. B. C. D. √ 教 师 备 用 习 题 53 [解析] 方法一：以为原点，，， 所在直 线分别为,, 轴建立如图所示的空间直角坐标系. 设，则，可得, , ,，则 , ， 所以 ,， 故异面直线与 所成角的余弦值为 . 教 师 备 用 习 题 54 方法二：设，则 ，如图所示， 取的中点，连接,,, . 在正方形中，可得. 在中，因为, 分别是,的中点， 所以，所以 （或其补角）是异面直线与 所成的角. 在中，可得 ， 在中，可得， 在 中，可得. 教 师 备 用 习 题 55 在 中，由余弦定理得 ， 故异面直线与所成角的余弦值为 .故选D. 教 师 备 用 习 题 例2 ［配例2使用］如图，在三棱锥 中， 平面 平面， 是等边三角形， 是以为斜边的等腰直角三角形，， 分 别是，的中点，是 上一点（不含端点）. （1）证明：平面 . 证明：因为，分别是，的中点，所以 . 因为 平面, 平面，所以平面 . 【备选理由】例2考查利用向量法求线面角的正弦值的最大值,侧重 对学生基础知识的训练; 教 师 备 用 习 题 57 （2）若三棱锥的所有顶点都在球 的球面上， 且球的表面积为 . （ⅰ）求三棱锥 的体积； 教 师 备 用 习 题 58 解：如图，连接 .因为是以为斜边的等腰直角三角形， 为 的中点，所以点是 外接圆的圆心. 因为是等边三角形，是 的中点，所以的外接圆的 圆心在 上. 又平面 平面，所以球的球心即为 外接圆的圆心. 因为球的表面积为，所以球的半径 ， 所以，， ， 所以三棱锥 的体积 . 教 师 备 用 习 题 59 （ⅱ）求直线与平面 所成角的正弦值的最大值. 教 师 备 用 习 题 60 解：如图，以为原点，，， 所在直线分别为，， 轴， 建立空间直角坐标系，则,, , , ， 所以,, , . 设， , 则 . 教 师 备 用 习 题 61 设平面的法向量为 ， 则 令 ，则 . 设直线与平面所成的角为 ， 则 , . 教 师 备 用 习 题 令, ，则 ， 所以 ， 当且仅当，即 时取等号. 综上所述，直线与平面 所成角的正弦值的最大值为 . 教 师 备 用 习 题 例3 ［配例2使用］[2025·江苏泰州四调] 如图，已知四棱柱 的各棱长均为2，， ， ， . （1）证明： . 【备选理由】例3考查已知二面角求线面角； 教 师 备 用 习 题 64 证明：如图（a），取的中点 ，连接，， . 因为， ， 所以为正三角形，所以 ， 因为，为 的中点，所以 ， 又， 平面， ， 所以 平面 ， 又 平面，所以 . 教 师 备 用 习 题 65 （2）请从下列条件①，条件②，条件③中选出两个作为已知条件， 使得点 的位置确定. （ⅰ）求 的值； 条件①：三棱锥 的体积为1； 条件②： ； 条件③：二面角的余弦值为 . 教 师 备 用 习 题 66 解：若选①③： 在四棱柱中，点在棱 上. 因为， 平面， 平面 ， 所以平面 ， 由（1）可知， 平面 ， 所以 ， 所以，即，故，， 两两垂直. 教 师 备 用 习 题 67 以为坐标原点，，，所在直线分别为 , , 轴，建立空间直角坐标系，如图（b）， 则,,, ， 所以， ， 所以， ， 所以， . 设平面的法向量为 ， 教 师 备 用 习 题 68 则 令 ，则 . 易知平面的一个法向量为 ， 由二面角的余弦值为 ， 得, ， 即，又，所以 . 教 师 备 用 习 题 若选②③： 在中，, ，由余弦定理得 ， 因为四边形是平行四边形， 所以 . 在中， ， 由余弦定理得 . 教 师 备 用 习 题 因为，所以 ， 所以，故，， 两两垂直， 下同 的解法. 若选①②，则点 的位置不确定，与题意不符. 教 师 备 用 习 题 （ⅱ）求直线与平面 所成的角的正弦 值. 条件①：三棱锥 的体积为1； 条件②： ； 条件③：二面角的余弦值为 . 教 师 备 用 习 题 72 解：若选①③： 方法一：由知 ， 平面 的一个法向量为 . 设直线与平面所成的角为 ， 则 , ， 所以直线与平面 所成的角的正弦值为 . 教 师 备 用 习 题 73 方法二：由知点为棱 的中点，如图（c）， 连接，， 因为 ，，， 平面 ， ，所以 平面 ， 所以为直线与平面 所成的角. 在中，， ，所以 ， 所以直线与平面所成角的正弦值为 . 教 师 备 用 习 题 74 例4 ［配例3使用］如图①，在平面四边形 中， ， ， ，将 沿 翻折至，得到三棱锥 ，如图②. （1）当二面角的大小为 时，求三棱锥 的体积； 【备选理由】例4考查已知二面角求体积，考查建立空间直角坐标系求 平面与平面夹角的余弦值. 教 师 备 用 习 题 75 解：， ， ， ，则 . 过点作的垂线，交的延长线于点 ， , , . 二面角的大小为 ， 点 到平面的距离为 ， 三棱锥的体积为 . 教 师 备 用 习 题 76 （2）当时，求平面与平面 夹角的余弦值. 教 师 备 用 习 题 77 解：， ，， ， 则 .又，， 平面 . 平面，， 又，， 平面. 以为原点，，所在直线分别为,轴， 过点且与 平行的直线为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ，， ， ， ，， . 教 师 备 用 习 题 78 设平面 的法向量为 ， 则即 令 ，则 . 设平面 的法向量为 ， 则即 令 ，则 . 教 师 备 用 习 题 设平面与平面的夹角为 ， 则 , 故平面与平面 夹角的余弦值为 . 教 师 备 用 习 题 作业手册 81 1.若直线的一个方向向量为，平面 的一个法向量为 ，则与 所成的角为( ) A. B. C. D. [解析] 由已知得，则 ， 所以与 所成的角为 .故选A. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 2.已知两平面的法向量分别为， ，则两平面 的夹角为( ) A. B. C. 或 D. [解析] 因为 ， ， ，所以 ， 所以两平面的夹角为 .故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 3.如图，在正四面体中，点，， 分 别为棱，，的中点，则异面直线 ， 所成角的余弦值为( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 [解析] 如图，连接，设正四面体 的棱长为2， 因为,分别为, 的中点，所以， 所以异面直线， 所成的角为（或其补角）. 在 中，, ， 由余弦定理可得 ， 所以异面直线，所成角的余弦值为 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 4.在正方体中，是的中点，则与平面 所成角的正弦值为( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 [解析] 如图，以为坐标原点，分别以,, 所在直线为,, 轴 建立空间直角坐标系. 设正方体的棱长为2，则,,, ， 所以,, . 设平面的法向量为 ，则 令，则 . 设与平面所成角为 ， 则 .故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 87 5.[2026·福建漳州调研]如图，在三棱锥 中， ，且平面与平面垂直，为 中 点，若，则平面与平面 的夹角的余弦值为( ) A. B. C. D.1 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 88 [解析] 如图，连接, . 因为,为 中点， 所以,，又平面 平面 ， 平面 平面, 平面 ， 所以 平面，所以,,两两垂直. 以为坐标原点，， ，所在直线分别为,,轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 设 ，则,,,， 则 ,, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 89 设平面 的法向量为，则 令 ，得,，则 . 设平面的法向量为 ，则 令，得, ，则. 因为 ,， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为 .故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 6.（多选题）在三棱台中， 平面 ， ，，.以 为坐标 原点，，，所在直线分别为，， 轴建立空间直角坐标 系，如图所示，则( ) A. B. C.异面直线与所成角的余弦值为 D.点到直线的距离为 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 91 [解析] 根据题意可得，， ， 则，故A正确； ， , ,则 , 则 ，， 则 ， 因为 ，所以 ，故B正确； ， ， 则 ，， 设异面直线 与所成的角为 ， 则 , ，故C错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 92 ，则点到直线 的距离 ， 故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 7.如图是电商平台售卖的一种木制“升斗”，底部封闭，上部开口，把 该升斗看作一个正四棱台，尺寸如图所示，则该四棱台的侧棱与底 面所成角的余弦值为_ __. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 94 [解析] 如图所示，在正四棱台中， 设， 分别是底面、底面的中心，连接 ， ,， 过点作，垂足为 ， 底面， 该四棱台的侧棱与底面所成的角为 . 由题得， ，， ， ． 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 95 8.如图，在平行六面体中，已知 ， ，则直线与 所成角的余弦 值为_ __. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 96 [解析] 在平行六面体 中， ，. 记，则， ， ， ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 97 所以 ， 所以直线与所成角的余弦值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.如图，在四棱锥中，是以 为斜边的等腰直角三 角形，底面是等腰梯形，且， ， ，，为 中点. （1）求证： 平面 ； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 99 如图，取的中点， 底面 是等腰梯形， ， 连接,， , , , ，, , 在中，,, . 在中，,, ， , ， ， 又,, 平面， 平面 . 证明：设，为中点， 是以为斜边的等腰直角三角形， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 100 （2）求直线与 所成角的余弦值； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 101 解：如图，以为坐标原点，，， 所 在直线分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 则,,, , , ,. 设直线与 所成角为 ， 则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 102 （3）求平面与平面 的夹角的正弦值. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 103 解：由（2）知， ,， , . 设平面 的法向量是 ， 则即 令，则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 104 设平面的法向量是 , 则即 令，则. 设平面 与平面的夹角为 ,则 ， 故平面与平面 的夹角的正弦值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 10.[2023·全国乙卷]已知为等腰直角三角形， 为斜边， 为等边三角形，若二面角的平面角为 ,则直 线与平面 所成角的正切值为( ) A. B. C. D. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 106 [解析] 记的中点为，连接，，由题意可知 ， ，又,所以 平面， ， 又 平面，所以平面 平面. 在平面 中，过点作交的延长线于点， 则即为直线与平面 所成的角， 不妨设，则，得 , , , 所以 .故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 107 11.（多选题）如图，甲站在水库底面上的 点处，乙站在水坝斜面上的点 处，测得 从，到水库底面与水坝斜面的交线 A.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 B.水库底面与水坝斜面所成的二面角的余弦值为 C.直线与水库底面所成角的正弦值为 D.直线与水库底面所成角的正弦值为 的距离分别为，．又测得的长为， 的 长为 ，则( ) √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 108 [解析] 如图，作且 ，连接， 因为，所以四边形 是矩形， 所以，又 ， 所以是水库底面与水坝斜面所成的二面角的平面角， 因为 ,，所以，又，， , 平面，所以 平面， 又 平面 ，所以，则 ， 所以 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 109 又， ，所以 ， 故A错误，B正确； 由 为等腰三角形，得 , 则 , 设点到水库底面的距离为 ， 则 , 所以 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 所以直线 与水库底面所成角的正弦值为 ,故C正确，D错误.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 12.[2026·浙江宁波九校期末]如图，是正方体 的 体对角线（含端点）上的动点，为棱 （含端点）上的动点， 则下列说法正确的是( ) A.异面直线与所成角的最小值为 B.异面直线与所成角的最大值为 C.对于任意给定的，存在点，使得 D.对于任意给定的，存在点，使得 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 112 [解析] 方法一：以 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图. 设正方体的棱长为1，则，设 ， ，则 . 设异面直线与所成的角为 ， 则 , ， 令， , 因为 ，所以当时，取得最小值， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 113 又当时， ，当时，， 所以，的值域为 ， 所以，又，所以 ， 故A，B错误； 对于C，设，，则 ， ，所以 ， 当时，无解，故C错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D， ，令，得， 即对于任意给定的 ，存在点使得 ，故D正确.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：如图①，连接,异面直线与所成角为 , 连接,,设, 易证平面 平面 , , 设,设 ，由图②可求得 ,, , ，所以 , 故A，B 错误. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 如图③,设在平面内的射影为，在线段 上， 如图④，设是的中点，当点在线段上时， 存在 ,使得，由三垂线定理知， ；当在线段 上时，线段上不存在点， 使得，故C错误； 对于任意点，在 上选一点，当时， 连接，则 ，设, 则由三垂线定理知，存在,使得 ， 故D正确.故选D. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.（多选题）[2025·山东德州三模]在四棱锥 中，底面 是边长为1的正方形， 平面，且，，， 分别为棱,, 的中点，则( ) A. B.异面直线和所成的角为 C.平面与平面所成角的正弦值为 D.过点，，的平面截四棱锥 所得的截面图形为五边形 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 118 [解析] 如图①，以点为原点，,,所在直线 分别为,, 轴，建立空间直角坐标系， 则,,, ,,. 对于A，, ，则 ，所以，故A正确； 对于B，因为 是的中点，所以,又， 所以 ,， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 119 设和所成的角为 ，则 ,， 又，所以 ，故B错误； 对于C，因为 平面，所以平面 的 一个法向量为， 因为为棱的中点， 所以 ，则，， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 设平面 的法向量为，则 即 令，则， 设平面与平面所成角为 ， 则 ， 则，故C正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于D，如图②，延长 与直线交于点， 延长与直线交于点，连接与交于点 ， 连接与交于点，连接,， 则平面截四棱锥 的截面为 五边形，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.[2026·四川眉山质检] 在空间直角坐标系 中，过点 且一个法向量为的平面 的方程为 .已知平面 的方程为 ，直线是平面 与平面 的交线，则与 所成角的大小为__. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 123 [解析] 由题意可知平面 的一个法向量为， 平面 的一个法向量为，平面 的一个法向量为. 设直线 的方向向量为，则, , ，所以 即取，则. 设与 所成角为 ，则, 又，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 124 15.如图，圆锥的顶点为，点，，， 在 底面圆的圆周上，且， 的交点为圆心 ，，，，则平面 与平面的夹角的余弦值为__；若是母线 上一点，且，是平面内一点，则 的周长的最小值 为_____. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 125 [解析] 由圆心为, 的交点， 得 ，所以四边形为矩形. 又， ，所以，故矩形 为正方形. 由，得，又， 所以 为等腰直角三角形，故,. 如图，以 为坐标原点，,,所在直线分别为 轴、轴、 轴，建立空间直角坐标系， 则,, , , ,， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 126 所以 , , . 设平面 的法向量为， 则 取，则. 设平面 的法向量为 ， 则取 ，则. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 因为 ,， 所以平面 与平面的夹角的余弦值为. 由四边形 为正方形得. 因为， ，, 平面，所以 平面 ， 且点与点关于平面对称. 连接， ，则 ， 当且仅当,,三点共线时取等号. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 在中，由余弦定理得， 所以， 故 的周长的最小值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 16. 新课标Ⅰ卷］如图，在正四棱柱 中，，.点， , ，分别在棱，，， 上， ，， . （1）证明： ； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 130 证明：方法一：如图①，作交 于， 交于，连接 ， 易知，且， 所以四边形 是平行四边形，所以. 因为 ，， 所以四边形 是平行四边形， 所以，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 131 方法二：因为，,,,四点不共线， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 132 （2）点在棱上，当二面角为 时，求 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 133 解：方法一：如图②，以为原点，以,, 所在 直线分别为,,轴，建立空间直角坐标系， 则 ，，， 设 ，则， ，. 设, 分别为平面, 的法向量， 则取，得 ， 同理 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 134 由题得 ， 整理得，解得或， 则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 方法二：如图③，连接，易证四边形为菱形， 连接 ，设与相交于点 . 因为二面角为 ， 所以直线与平面 所成的角为 ， 易知，所以点 到平面的距离. 连接， ，，，，由， 得 ，由，得， 又，所以 平面. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 因为二面角为 ， 所以与平面 所成的角为 ，易知， 所以点到平面 的距离. 所以 . 又到平面和平面的距离都为2（平面和平面 为同一个平面）， 所以，所以 ，解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 17.[2025·河北保定三模] 如图，圆台 的下 底面的内接正方形的边长为4， 是上底面 圆周上的一点，且满足 ， . ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 138 （1）证明： 平面 ； 证明：因为， ， 所以，所以 . 由四边形为正方形，得 ， 又，， 平面 ， 所以 平面 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 139 （2）求三棱锥 的外接球的表面积； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 140 解：由 平面， 为等边三角形， 可将三棱锥补成正三棱柱 ，如图①. 设的中心为，的中心为， 则 的中点为外接球球心， 所以 的外接圆半径， ， 所以外接球的半径 ， 所以三棱锥 的外接球的表面积 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 141 （3）是的中点，是上底面圆周上的一点，求异面直线 与 所成角的余弦值的最大值. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 142 解：以为坐标原点，分别以,所在直线为, 轴， 建立如图②所示的空间直角坐标系， 则,,. 设 ，连接 ， 由 平面， 平面，得平面 平面 ， 则点到的距离为， 又 ，所以 . ， ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 143 设异面直线,所成角为 ，则 ， 所以 （当且仅当 时取等号），所以 ， 所以异面直线与 所成角的余弦值的最大值为 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【知识聚焦】 1.（1）角（或夹角） （2）<m></m> 2.<m></m> 3. （1）垂直于棱<m></m> （3） ② 不大于<m></m> 【对点演练】 1.<m></m> 2.<m></m> 3.<m></m> 4.<m></m> 5.<m></m> 6.<m></m> <m></m> <m></m> 课堂考点探究 例1 A 变式题 D 例2（1）略</m>.（2）</m>. 变式题（1）</m> . （2）（ⅰ）略</m>.（ⅱ）</m>. 例3（1）略</m>.（2）</m> . 变式题（1）略</m>. 答 案 核 查 145 基础热身 1.A 2.A 3.A 4.B 5.B 6.ABD 7.<m></m> 8.<m></m> 9.（1）</m>.（2）</m>. （3）</m>. 综合提升 10.C 11.BC 12.D 13.ACD 14.<m></m> 15.<m></m> <m></m> 16.（1）略</m>. （2）<m></m>. 能力拓展 17.（1）略</m>.（2）</m> . （3）<m></m>. 答 案 核 查 146 $