精品解析：陕西西安中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试题

西安中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 根据复数的除法运算以及复数的几何意义即可求解. 【详解】z＝， 故复数z在复平面内对应的点位于第一象限． 故选：A. 【点睛】本题考查了复数的除法运算以及复数的几何意义，需掌握复数的四则运算，属于基础题. 2. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【详解】由三角形面积公式，得. 3. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用直观图还原原图形，再求出面积即可. 【详解】 如图所示，根据斜二测画法可知原图形为平行四边形，其中 所以原图形的面积为. 故选：D. 4. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据圆锥和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】设圆锥和圆柱的底面半径为， 因为圆锥的轴截面是等边三角形，所以圆锥的母线长为， 则圆锥和圆柱的高为， 所以圆锥的侧面积为， 圆柱的侧面积为， 所以圆锥和圆柱的侧面积之比为, 故选:C. 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用线线平行的传递性与平面公理的推论即可判断AB；利用平面的基本事实推理判断C；举反例即可判断D. 【详解】对于A，在三棱柱中，分别为的中点， 连接， 由是的中位线，得， 由，且，得四边形是平行四边形， 则，，因此四点共面，A正确； 对于B，因为平面，平面，， 所以与是异面直线，正确； 对于C，延长，相交于点， 由，平面，得平面， 由，平面，得平面， 而平面平面，则，三线共点，C正确； 对于D，由，且可知，四边形是梯形， 若∠=∠，则梯形是等腰梯形，而题设条件无法得出， 所以D不一定正确. 6. 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算出圆台的高，再利用圆台的体积计算公式计算即可. 【详解】由题意，如图， 所以. 故选：A 7. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出棱锥的斜高和高，求外接球的半径，由球的表面积公式即可求解. 【详解】设正四棱锥的斜高为，高为h，外接球的半径为R，相交于点， 因为正四棱锥侧面积为，则，解得， 故，取的中点，连接，故， 则正四棱锥的高， 其中，则， 其中， 则，即，解得， 则该四棱锥的外接球的表面积 故选：B. 8. 如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则( ) A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量加法法则，，再利用数量积的运算法则计算即可. 【详解】 . 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有错选的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，是单位向量，则 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若向量和，满足，，则 D. 若向量，，则在方向上的投影向量是 【答案】BC 【解析】 【详解】单位向量模长为 1，但方向可以不同，例如，都是单位向量，但不相等，故选项A错误； 由向量共线定理，若且，则存在唯一实数使得，故选项B正确； 已知，，由，代入得：.计算得，所以，故选项C正确； 投影向量公式为，其中，，所以，则在方向上的投影向量是，故选项D错误. 10. 设z为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（ ） A. 若，则z为正实数 B. 若，则 C. 若，则 D. 对任意z，都有 【答案】ACD 【解析】 【分析】设，根据求模公式，可判断A的正误，根据复数的运算法则，整理化简，可判断B、C的正误，根据共轭复数的概念及运算法则，可判断D的正误. 【详解】选项A：设，则， 由，得，所以，解得， 又z为非零复数，所以z为正实数，故A正确； 选项B：， 由，得，则或， 当，时，为纯虚数，故B错误； 选项C：由，得， 解得或（舍），所以，故C正确； 选项D：，， 所以，故D正确. 11. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的体积为8π B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A. 由圆锥的体积公式求解判断；B.由，高为定值2求解判断；C.由长度范围为，由 求解判断；D.将平面沿AB展开与平面ABC共面，由的最小值为线段求解判断. 【详解】A. AC为圆锥SO底面圆O的直径，且，所以圆锥SO的体积为，故错误； B. 因为，所以三棱锥体积，故正确； C.在中，，因为 AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，所以长度范围为，即， 则 ，易知为锐角，则 ，故错误； D. 因为点B是圆O上异于A，C的动点，则，，将平面沿AB展开与平面ABC共面， 设展开后点S的位置为，则的最小值为线段，又， 在 中，由余弦定理得， ，则，故正确； 故选：BD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分 12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________. 【答案】 【解析】 【详解】， 因为复数 是纯虚数，故即. 13. 如图所示，直角梯形ABCD中，，，，，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是______． 【答案】1 【解析】 【详解】设，以为轴，为轴，建立直角坐标系，，所以；，所以；，且，所以；在的右侧，且，所以，如下图所示： 点在线段上，是从到的竖直线段，所以，其中. ，，因为，由题意已知，所以，化简得，则，满足，所以唯一一个点为中点，故满足条件的点的个数是1. 14. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________. 【答案】米 【解析】 【分析】设，即可得到，再利用余弦定理建立方程，求解高度即可. 【详解】设，由题意得， 而， 则，， 所以， 在中，，， 由余弦定理得，解得（负值舍去）， 所以铁塔的高度为米. 故答案为：米. 四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意先求，再结合向量垂直的坐标表示运算求解； （2）根据题意先求，再结合向量共线的坐标表示运算求解. 【小问1详解】 由题意可得：， 若与垂直，则，解得. 【小问2详解】 由题意可得：，， 若三点共线，则， 可得，解得或． 16. 已知，，分别为三个内角,,的对边，. (Ⅰ)求； (Ⅱ)若=2，的面积为，求，. 【答案】(1) (2)=2 【解析】 【详解】(Ⅰ)由及正弦定理得 由于，所以， 又，故. (Ⅱ)的面积==,故=4， 而故=8，解得=2 17. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉的正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）由三棱柱的体积公式计算即可； （2）根据几何图形性质解得圆锥底面圆半径和圆锥高，利用圆锥表面积、矩形的面积公式计算即可. 【小问1详解】 因为正三棱柱的底面边长为，高为2， 则， 所以正三棱柱的体积． 【小问2详解】 在正三棱柱中，由（1）知，， ， 设圆锥的底面圆圆心为O，则O是矩形的中心，设圆O半径为， 有，即， 令的中点为，连接，则， 且，，， 于是，解得， 则圆锥的母线长， 圆锥的底面圆面积，侧面积， 三棱柱的表面积为， 所以该几何体的表面积为： . 18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由已知结合正弦定理及余弦定理进行化简可求，进而求得B. （2）结合（1），利用两角和差角公式及辅助角公式进行化简，再利用正弦函数的性质即可求解. 【详解】（1）由已知 利用正弦定理得：，即 由余弦定理得： 又， （2）由（1）知，故 由，知， 利用正弦函数性质知 故原式的取值范围为 【点睛】方法点睛：在解三角形题目中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则常用： （1）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“角化边”； （2）若式子含有的齐次式，优先考虑正弦定理，“边化角”； （3）代数变形或者三角恒等变换前置； （4）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到. 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）利用给定的基底表示向量. （2）利用向量的数量积定义、运算律及夹角公式求解. （3）利用共线向量的推论及基本不等式求出最小值. 【小问1详解】 由，得，所以. 【小问2详解】 在等边中，， 由（1）得， ，，， ， 所以. 【小问3详解】 由（1）知，，而，， 因此，而共线，则， 又，于是， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安中学2025-2026学年度第二学期期中考试 高一数学试题 （时间：120分钟 满分：100分） 一、选择题：本题共8小题，每小题3.5分，共28分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的． 1. 已知复数z满足(2＋i)z＝1＋i，则z在复平面内对应的点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则的面积为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 3. 正方形的边长为2，它是水平放置的一个平面图形的直观图（如图），则原图形的面积是（ ） A. B. 4 C. D. 4. 已知一个圆锥和圆柱的底面半径和高分别相等，若圆锥的轴截面是等边三角形，则这个圆锥和圆柱的侧面积之比为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，三棱柱中，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则下列说法错误的是（ ）． A. E，F，G，H四点共面 B. 与是异面直线 C. ，，三线共点 D. 6. 已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知正四棱锥的底面边长为2，侧面积为，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在同一平面内沿平行四边形ABCD两边AB、AD向外分别作正方形ABEF、ADMN，其中，，，则( ) A. B. C. 0 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得4分，部分选对的得2分，有错选的得0分． 9. 下列命题中正确的是（ ） A. 若，是单位向量，则 B. 若，则存在唯一的实数，使得 C. 若向量和，满足，，则 D. 若向量，，则在方向上的投影向量是 10. 设z为非零复数（i是虚数单位），下列命题正确的是（ ） A. 若，则z为正实数 B. 若，则 C. 若，则 D. 对任意z，都有 11. 如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥SO的体积为8π B. 三棱锥体积的最大值为 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段AB上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分 12. 是虚数单位，若复数 是纯虚数，则实数的值为____________. 13. 如图所示，直角梯形ABCD中，，，，，点E是线段BC上的动点，，则满足条件的点E的个数是______． 14. 如图，为了测量某铁塔的高度，测量人员选取了与该塔底在同一水平面内的两个观测点与，现测得，米，在点处测得塔顶的仰角为，在点处测得塔顶的仰角为，则铁塔的高度为__________. 四、解答题：本题共5小题，共48分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设为实数，若向量． （1）若与垂直，求的值； （2）当为何值时，三点共线． 16. 已知，，分别为三个内角,,的对边，. (Ⅰ)求； (Ⅱ)若=2，的面积为，求，. 17. 如图，一个圆锥挖掉一个内接正三棱柱（棱柱各顶点均在圆锥侧面或底面上），若棱柱侧面落在圆锥底面上．已知正三棱柱底面边长为，高为2． （1）求挖掉的正三棱柱的体积； （2）求该几何体的表面积． 18. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求角B的大小； （2）求的取值范围. 19. 如图，在等边中，，点O在边BC上，且.过点O的直线分别交射线AB，AC于不同的两点M，N. （1）设，，试用，表示； （2）求； （3）设，，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $