精品解析：上海市新中高级中学2025-2026学年第二学期高二数学期中试卷

2025学年第二学期高二数学期中试卷 一、填空题：本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题满分4分，第7-12题每题满分5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 2. 某校高三年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为______． 3. 的二项展开式中的系数为__________. 4. 一组数的平均数为2，则这组数的方差为__________. 5. 已知事件相互独立，且，则__________. 6. 双曲线的焦距为__________. 7. 函数的严格增区间为__________. 8. 直线被圆截得的弦AB的长为________． 9. 设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为__________. 10. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 11. 若函数有最小值，则k的取值范围是________． 12. 法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 二、选择题：本大题共4题，满分18分，其中第13、14题满分4分，第15、16题满分5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号处，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 14. 已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（ ） A. 26 B. 6 C. 5 D. 4 15. 过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 16. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 三、解答题：本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线斜率为，且过定点，椭圆. （1）求直线的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 18. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分分），共有名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成、、、、五组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，再从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内的概率. 19. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球，所有小球的大小和质地完全相同，仅仅是颜色有区别. （1）若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望； （2）若先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，求取出的2个球都是红球的概率. 20. 已知为常数，且， ，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在处的切线过原点，求的值； （3）对于正实数，比较与的大小. 21. 已知双曲线 的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若 ，求的取值范围； （3）设椭圆 ，直线与椭圆的另一个交点为.记、的面积分别为、，求的最小值，并写出取得最小值时点的坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期高二数学期中试卷 一、填空题：本大题共有12题，满分54分，其中第1-6题每题满分4分，第7-12题每题满分5分，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果. 1. 投掷一颗质地均匀的骰子（每一面上分别标注数值1、2、3、4、5、6），得到点数为5的概率为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率计算即可. 【详解】因为投掷一枚质地均匀的骰子，有6种情况，所以得到点数为5的概率为. 2. 某校高三年级有男生490人，女生510人，张华按男生、女生进行分层，按比例分配的分层随机抽样的方法，抽取100人测量身高，则抽取的男生人数为______． 【答案】49 【解析】 【分析】先算抽样比，再求男生抽取人数. 【详解】总人数：，所以抽样比：， 所以抽取的男生人数为． 3. 的二项展开式中的系数为__________. 【答案】60 【解析】 【详解】该二项式通项为：，令可得，，所以系数为60. 4. 一组数的平均数为2，则这组数的方差为__________. 【答案】## 【解析】 【详解】由题意可知，解得， 则方差. 5. 已知事件相互独立，且，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据事件相互独立可知，再根据求解即可. 【详解】因为事件相互独立，, 所以， 所以 故答案为： 6. 双曲线的焦距为__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出的值，即可得出双曲线的焦距. 【详解】在双曲线中，，，则. 故该双曲线的焦距为. 7. 函数的严格增区间为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性与导数的关系可求得函数的严格增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由可得，故函数的严格增区间为. 8. 直线被圆截得的弦AB的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用点到直线的距离公式，结合几何法求圆的弦长. 【详解】圆心到直线的距离为：， 所以弦的长为：. 9. 设甲、乙两射手独立地射击同一个目标，他们的命中率分别为0.85和0.9，在一次射击中，目标被击中的概率为__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得目标被击中的概率为： . 10. 抛物线的焦点为，过该抛物线上的一点作其准线的垂线，垂足为，若，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用抛物线的性质和定义，结合等边三角形性质计算求解． 【详解】   抛物线，焦点为，准线为， 由抛物线的定义可知，又， 是等边三角形， 设点，则， 由等边三角形性质可得，，所以， . 11. 若函数有最小值，则k的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】讨论函数在区间内的值域，求最小值存在的条件. 【详解】当时，，， 时，函数单调递减，且； 时，函数单调递增， 可得函数在上最小值为，最大值为. 当时，， 若，函数在上单调递增，， 在上有最小值，有，即； 若，当时，在上有最小值； 若，函数在上单调递减，时， 在上没有最小值. 综上，的取值范围为. 12. 法国数学家蒙日发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”.已知椭圆的蒙日圆为圆，若直线与圆没有公共点，则椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据蒙日圆定义求得椭圆的蒙日圆方程，根据直线与圆的位置关系求出的取值范围，结合椭圆的离心率公式可求得结果. 【详解】因为，则椭圆的焦点在轴上， 因为直线，与椭圆都相切， 所以直线，所围成矩形的外接圆即为椭圆的蒙日圆， 且圆的圆心为坐标原点，半径为， 因为直线与圆没有公共点，所以，解得， 所以， 故椭圆的离心率为. 二、选择题：本大题共4题，满分18分，其中第13、14题满分4分，第15、16题满分5分.每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号处，将代表答案的小方格涂黑，选对得满分，否则一律得零分. 13. 从10名同学中，选出正班长1人，副班长1人，不同的选法种数是（ ） A. 70 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列计数问题列式得解. 【详解】依题意，不同选法种数是. 故选：C 14. 已知数据：6、46、29、15、4，这5个数据的第20百分位数是（ ） A. 26 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】将这组数据从小到大排列为：4、6、15、29、46， 由，故这5个数据的第20百分位数是. 15. 过定点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 【答案】B 【解析】 【分析】对直线的斜率是否存在进行分类讨论，写出直线的方程，将该直线方程与抛物线方程联立，根据直线与抛物线有且只有一个公共点求出参数的值，即可得出结论. 【详解】若直线的斜率不存在，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有两个公共点，不符合题意； 若直线的斜率为，则该直线的方程为，联立，解得， 此时直线与抛物线有且只有一个公共点，符合题意； 若直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为， 联立可得， 由，整理可得，解得， 此时直线的方程为，即. 综上所述，满足条件的直线共条. 16. 已知函数，关于的方程有且仅有4个不同的实根，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，即可作出其图象，由此可得到的图象，将方程有且仅有4个不同的实根，转化为和对应的方程的根的总数为4个，数形结合，即可求解. 【详解】由可得定义域为，且， 当且时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减， 所以：是极大值点，； 当时，；当时，； 由此可作出函数的图象： 令，则原方程可化为：， 得或， 原方程有且仅有4个不同的实根，等价于和对应的方程的根的总数为4个； 结合的图象可得的图象： 由题意知以及，故，且， 结合图象，要使得和有且仅有4个不同的实根， 需满足且，即得，此时有1个解，有3个解， 即. 三、解答题：本大题共有5题，满分78分，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 17. 已知直线斜率为，且过定点，椭圆. （1）求直线的方程； （2）若直线与椭圆交于、两点，求弦长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式可求得的值. 【小问1详解】 由题意可知，直线的方程为，即. 【小问2详解】 设点、，联立可得， ，由韦达定理可得，， 所以. 18. 某学校工会为了迎接“五一”劳动节，特举办一次“劳动法与安全教育”网络知识竞赛（满分分），共有名教职工参加，其成绩均落在区间内，将竞赛成绩数据分成、、、、五组，制成如图所示的频率分布直方图. （1）求的值，并估计竞赛成绩的平均值（同一组中的数据以该组数据所在区间的中点值作为代表）； （2）若用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人，再从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内的概率. 【答案】（1），平均成绩为分 （2） 【解析】 【分析】（1）在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为，可得出关于的等式，解之即可，将每个矩形底边的中点值乘以对应矩形的面积，再将所得结果全加可得竞赛的平均成绩； （2）分析可知竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为、、、，竞赛成绩在的教职工人数为人，分别记为、，利用列举法结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【小问1详解】 在频率分布直方图中，所有直方图的面积之和为， 即，解得. 竞赛的平均成绩为分. 【小问2详解】 用按比例分配的分层随机抽样的方法从样本中成绩在、内的两组教职工中抽取人， 其中竞赛成绩在内的教职工人数为人，分别记为、、、， 竞赛成绩在的教职工人数为人，分别记为、， 样本空间为 ，则， 记事件从这人中随机抽取人参加交流会，求其中恰有人的竞赛成绩在内， 则，则， 故. 19. 有甲、乙两个不透明的袋子，甲袋中有8个红球、2个黄球，乙袋中有9个红球、3个黄球，所有小球的大小和质地完全相同，仅仅是颜色有区别. （1）若从甲袋中随机一次性取出2个球，其中红球的个数为，求的分布列与数学期望； （2）若先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球，求取出的2个球都是红球的概率. 【答案】（1） 0 1 2 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，的所有取值为0,1,2，分别求出对应的概率即可得到分布列，再根据期望的公式求解即可； （2）根据全概率公式求解即可. 【小问1详解】 由题意，的所有取值为0,1,2， ，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为：. 【小问2详解】 设选中甲袋为事件，从所选的袋子中随机一次性取出2个球都是红球为事件， 由题意知，，. 则. 故先从甲、乙两个袋子中任选一个袋子，再从所选的袋子中随机一次性取出2个球都是红球的概率为. 20. 已知为常数，且， ，. （1）当时，求函数的最小值； （2）若函数在处的切线过原点，求的值； （3）对于正实数，比较与的大小. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）当时，利用导数分析函数的单调性，即可得出该函数的最小值； （2）求出函数的解析式，利用导数求出切线方程，将原点坐标代入切线方程，即可得出的值； （3）设函数，求得，求得函数的单调性和最小值为，得到，即可得证. 【小问1详解】 当时，，该函数的定义域为，， 由可得，由可得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以. 【小问2详解】 ，则， 所以，， 所以函数在处的切线方程为， 将原点坐标代入切线方程得，解得. 【小问3详解】 ，理由见解析： 设函数， 可得，其中， 则， 令，可得，即，即，解得， 令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 可得的最小值为，所以， 又由， 所以. 21. 已知双曲线 的左、右顶点分别为、，设点在第一象限且在双曲线上，为坐标原点. （1）求双曲线的两条渐近线夹角的余弦值； （2）若 ，求的取值范围； （3）设椭圆 ，直线与椭圆的另一个交点为.记、的面积分别为、，求的最小值，并写出取得最小值时点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）， 【解析】 【分析】（1）利用双曲线的渐近线方程及其方向向量，再利用向量的夹角公式计算得解. （2）设出点的坐标，利用数量积及向量模的坐标表示，结合双曲线有范围求解即得. （3）求出椭圆方程，设出直线方程，与椭圆、双曲线方程联立分别求出点的坐标，再建立的关系式，利用基本不等式求解即得. 【小问1详解】 双曲线的两条渐近线方程为，则它们的方向向量， 设两条直线夹角为，则， 所以双曲线的两条渐近线夹角的余弦值为. 【小问2详解】 设，，显然、，，， 则，即， 又点在双曲线上，有，即， 从而，解得，而点是双曲线在第一象限的点，则， ， 所以. 【小问3详解】 在椭圆标准方程为， ，焦点在轴上， 设，，直线的斜率为，， 则直线的方程为， 由，得， 该方程的两根分别为和， 由，得，同理， 于是， 记，， 则 ，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为，此时点的坐标为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $