精品解析：北京市第一六一中学2025-2026学年第二学期期中阶段练习高一数学

北京市第一六一中学2025—2026学年第二学期期中阶段练习 高一数学 2026.4 本试卷共3页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 为平面非零向量，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. ，则 D. 若，则 5. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 6. 如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数的最小正周期为； ②函数为偶函数； ③方程有无穷多个实根； ④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与图象重合. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 8. 已知函数，则“”是“的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 9. 已知正方形的边长为，为正方形所在平面上的动点，且，则的最大值是（ ） A. 8 B. 4 C. D. 10. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共5小题，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上． 11. 函数的定义域为______． 12. 已知平面向量，则______． 13. 若，且，则______． 14. 位于我国山东潍坊滨海技术开发区的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，下图为该摩天轮的示意图，摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距离地面145米时需要15分钟．当某游客坐上摩天轮的座舱开始计时，这位游客坐上摩天轮后______分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米． 15. 已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________． 三、解答题：本题共6题，共85分．把答案填在答题纸中相应的位置上． 16. 已知是第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知非零向量，满足，且. （1）求与的夹角； （2）若，求. 18. 已知函数 （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若对，关于的方程都有解，求实数的取值范围． 19. 设函数，，，．已知当时，的最大值为2；若，为相邻的两个零点，且． （1）求的解析式； （2）若，求最大值和最小值； （3）将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移（）个单位，得到的新函数为偶函数，求的最小值． 20. 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记，． （1）若，求； （2）分别过，作轴的垂线，垂足依次为，．记和的面积分别为，．若，求的值． 21. 若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． （1）若0比sinx远离，求x的取值范围； （2）已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市第一六一中学2025—2026学年第二学期期中阶段练习 高一数学 2026.4 本试卷共3页，共150分．考试时长120分钟．考生务必将答案写在答题纸上，在试卷上作答无效． 一、选择题：本大题共10道小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目的要求．把正确答案涂写在答题卡上相应的位置． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用三角函数的诱导公式和特殊角的三角函数值，即可求解. 【详解】根据三角函数的诱导公式，可得. 2. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在轴的正半轴上，终边上有一点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用角的三角函数的定义求解即可. 【详解】由角终边上有一点可知，， 所以， 所以. 3. 函数的一个单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由的图象与性质得的单调减区间. 【详解】由的图象与性质，的单调减区间为，，所以D符合题意. 故选：D. 4. 为平面非零向量，则下列说法中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若且，则 C. ，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据反例法，可判定A错误，根据共线向量的定义，可判定B错误；根据向量的夹角的定义，可判定C错误；根据向量的运算律，得到，可判定D正确. 【详解】对于A，令，此时， 满足，但，所以A错误； 对于B，由，可得向量与的方向相同或相反， 又由，所以或，所以B错误； 对于C，因为，由，可得，所以C错误； 对于D，由，可得，所以， 可得，所以，所以D正确. 5. 函数的最大值为（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用三角函数的基本关系式，化简函数为，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由函数， 当且仅当时，取得最大值，最大值为. 6. 如图，这把折扇是从一个大圆中剪下一个扇形，再在该扇形内剪下一个同心小扇形（作为扇骨留白），形成扇环形状的扇面.已知扇子扇形的圆心角为，则此扇面的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用扇形面积公式计算扇形和扇形的面积，最后相减即可. 【详解】扇子扇形的圆心角为，， 由扇形面积公式得，扇形的面积为， 扇形的面积为， 扇面的面积为. 故选：B. 7. 已知函数，给出下列四个结论： ①函数的最小正周期为； ②函数为偶函数； ③方程有无穷多个实根； ④将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象与图象重合. 其中，所有正确结论的序号是（ ） A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据二倍角得余弦公式化一，再根据余弦函数得周期性即可判断①，根据余弦函数的奇偶性即可判断②；根据余弦函数的值域即可判断③；根据平移变换结合诱导公式即可判断④. 【详解】， 对于①，函数的最小正周期为，故①错误； 对于②，因为，所以函数为偶函数，故②正确； 对于③，因为，所以方程无实根，故③错误； 对于④，将函数的图象向右平移个单位长度后， 得，故④正确. 故选：C. 8. 已知函数，则“”是“的值域为”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，利用正弦型函数的图象与性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】取，可得，此时成立，可得， 则，可得，所以充分性不成立； 反之：函数的最小正周期为， 因为函数在上的值域为， 所以区间至少覆盖图象从一个最值点到相邻的另一个最值点， 其对应的自变量的区间长度为半个最小正周期，即，所以，所以必要性成立， 所以“”是“的值域为”的必要不充分条件. 9. 已知正方形的边长为，为正方形所在平面上的动点，且，则的最大值是（ ） A. 8 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，写出点的坐标，由向量数量积坐标公式得到关于的函数，求出最大值 【详解】设交于点，因为正方形的边长为，所以， 为正方形所在平面上的动点，且， 故点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则 ， 因为，所以， 故当，即时，取得最大值， 最大值为. 10. 已知函数，若存在实数、、且，使得，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出图形，利用正弦型函数的对称性得出，可得出，求出的取值范围，利用二次函数的基本性质可求得所求代数式的取值范围. 【详解】作出函数图象，如下图所示： 令，解得， 故时，对称轴为直线，则， 因为，所以， 又，则， 由，得，则，则， 所以，. 故选：D 二、填空题：本大题共5小题，共25分．把答案填在答题纸中相应的横线上． 11. 函数的定义域为______． 【答案】 【解析】 【详解】由题意得，即， 解得， 所以函数的定义域为. 12. 已知平面向量，则______． 【答案】 【解析】 【详解】由向量，可得， 所以. 13. 若，且，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据三角函数的诱导公式，得到，进而求得的值，得到答案. 【详解】由，可得，因为，所以. 14. 位于我国山东潍坊滨海技术开发区的“渤海之眼”摩天轮是世界上最大的无轴摩天轮，下图为该摩天轮的示意图，摩天轮轮盘直径为124米，设置有36个座舱．游客在座舱转到距离地面最近的位置进舱，当到达最高点距离地面145米时需要15分钟．当某游客坐上摩天轮的座舱开始计时，这位游客坐上摩天轮后______分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，可设函数的解析式为，结合三角函数的性质，求得，令，得到，即可求解. 【详解】设游客坐上摩天轮的时间为分钟时，距离地面的高度为米， 因为摩天轮的运动为匀速圆周运动，高度随着时间的变化符合三角函数模型， 可设函数的解析式为， 因为摩天轮轮盘直径为124米，最高点距离地面145米， 可得，所以， 又因为游客在座舱转到距离地面最近的位置，当到达最高点时需要15分钟， 可得，解得，所以，所以， 因为，可得，解得， 取，可得，所以， 令，即，可得， 因为游客从最低点开始运动，当第一次到达52米时，摩天轮处于上升阶段， 所以转过的弧度，可得，解得， 所以这位游客坐上摩天轮后分钟，距离地面的高度第一次恰好达到52米． 15. 已知函数（，为常数，）的部分图象如图所示．则__________；若将函数图象上的点向右平移个单位长度得到点，且点仍在函数的图象上，则的最小值为__________． 【答案】 ①. 0 ②. ## 【解析】 【分析】根据给定条件，求出函数的解析式，并求出值，再由求出的关系式即可得解. 【详解】观察函数图象，得函数的周期，，则， 由，且函数的图象在点附近是上升的，得， 即，因此，所以； ，而点在的图象上，则，即， 又，则或，解得或， 所以的最小值为. 故答案为：0； 三、解答题：本题共6题，共85分．把答案填在答题纸中相应的位置上． 16. 已知是第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，即可求解； （2）利用三角函数的诱导公式进行化简，将代入计算，即可求解. 【小问1详解】 因为，可得， 又因为是第三象限角，可得，所以， 所以. 【小问2详解】 由（1）得 而. 17. 已知非零向量，满足，且. （1）求与的夹角； （2）若，求. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）由，得，则，再结数量积的公式和可求得与的夹角； （2）由，得，将此式展开，把代入可求得结果 【详解】（1）∵，∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴与的夹角为. （2）∵，∴， ∵，又由（1）知， ∴，∴. 【点睛】此题考查平面向量的数量积的有关运算，考查计算能力，属于基础题 18. 已知函数 （1）求的值； （2）求的单调区间； （3）若对，关于的方程都有解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）单调递增区间为，；单调递减区间为， （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换整理可得，进而可求的值； （2）以为整体，结合正弦函数单调性运算求解即可； （3）整理可得，以为整体，结合正弦函数有界性运算求解即可. 【小问1详解】 由题意可知：， 所以. 【小问2详解】 令，，解得，， 所以函数的单调递增区间为，； 令，，解得，， 所以函数的单调递减区间为，. 【小问3详解】 若，即， 因为，则，可得， 则，可得， 所以实数的取值范围为. 19. 设函数，，，．已知当时，的最大值为2；若，为相邻的两个零点，且． （1）求的解析式； （2）若，求最大值和最小值； （3）将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向左平移（）个单位，得到的新函数为偶函数，求的最小值． 【答案】（1） （2）最小值为；最大值为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据最值可得，根据周期可得，代入点可得，即可得的解析式； （2）以为整体，结合正弦函数有界性求最值； （3）根据图象变换可得，结合偶函数性质可得，运算求解即可. 【小问1详解】 设函数的最小正周期为， 由题意可知，，即， 且，则，解得，即， 又因为，即， 且，则，可得，即， 所以. 【小问2详解】 因为，则， 当，即，取到最小值为； 当，即，取到最大值为. 【小问3详解】 将函数图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，可得， 再向左平移（）个单位，得到， 若函数为偶函数，且，则， 则，解得， 所以当时，取到最小值. 20. 如图，在直角坐标系中，角的顶点是原点，始边与轴正半轴重合，终边交单位圆于点，且．将角的终边按逆时针方向旋转，交单位圆于点．记，． （1）若，求； （2）分别过，作轴的垂线，垂足依次为，．记和的面积分别为，．若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数值的定义可得，即可得，结合两角和差公式求； （2）根据题意结合倍角公式可知，，代入运算求解即可. 【小问1详解】 因为，则，可知，，，， 由题意可知：，，，，， 若，即，则， 所以. 【小问2详解】 因为， ， 若，则，即， 则，可得， 又因为，则，可得，所以. 21. 若实数x，y，m满足，则称x比y远离m． （1）若0比sinx远离，求x的取值范围； （2）已知函数f（x）的定义域为，任取，f（x）为sinx与cosx中远离0的值． ①求出f（x）的解析式； ②写出f（x）的周期，对称轴方程，并指出最大值点．（只需写出结论，不要求证明） 【答案】（1）或，； （2）①，②答案见解析. 【解析】 【分析】（1）根据定义列出不等式即可求出； （2）通过解出，，即可求出的解析式，据此可得出周期、对称轴、最大值点. 【小问1详解】 由新定义可得，，即， 解得，即 , 由正弦函数的性质可得或，. 【小问2详解】 ①若，当时，，上式成立， 此时，，当时，可化为，即或 ，解得， 综上，时，； ②若，由①可知，. . 函数图象如图， 函数的周期为，对称轴方程为或， 当或时，有最大值，即最大值点为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $