精品解析：广东揭阳市普宁市勤建学校2025-2026学年高一下学期第一次调研考试数学试题

勤建学校高一年级下学期第一次调研考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 2. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 4. 在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（ ） A. B. C. D. 或 5. 已知四边形 中， ，则四边形 的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 6. 一个球的表面积是，那么这个球的体积为 A. B. C. D. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 8. 在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 过球上任意两点有且仅有一个大圆 D. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为8 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三个顶点的坐标分别为， ，，且点满足，则点的坐标为__________． 13. 已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________. 14. 在中，若，，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，根据下列条件求实数的值． （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第二象限． 16. 已知向量，，． （1）求的坐标，的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值． 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若，求. 18. 如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，． （1）把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； （2）用、表示、； （3）若，，求． 19. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 勤建学校高一年级下学期第一次调研考试 数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，若与共线，则（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算及向量共线求解. 【详解】，， 由与共线，可得， 解得， 故选：A 2. 已知复数，则z在复平面内所对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则进行运算，再利用复数的几何意义进行判断即可. 【详解】， 则z在复平面内所对应的点为，位于第三象限. 故选：C. 3. 已知分别为三个内角所对的边，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，结合三角形边角关系即可求出角. 【详解】由正弦定理，，可得， 因，则，故. 故选：A. 4. 在用斜二测画法画水平放置的时，若的两边分别平行于轴、轴，则在直观图中等于（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【详解】因为的两边分别平行于轴、轴，则， 在直观图中，按斜二测画法规则知或，即或. 5. 已知四边形 中， ，则四边形 的面积为（ ） A. 3 B. 5 C. 6 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先判断，然后求向量的模代入公式可得. 【详解】因为，所以， 又， 所以四边形 的面积. 故选：B 6. 一个球的表面积是，那么这个球的体积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求球半径，再求球体积. 【详解】因为，所以,选B. 【点睛】本题考查球表面积与体积，考查基本求解能力，属基础题. 7. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】首先边化为角，再结合三角恒等变换，求得，即可判断三角形的形状 【详解】移项得，可化为 ， 展开得， 整理得，又，所以，即，则为直角三角形. 故选：B． 8. 在中，内角所对的边分别为是的外心，，则的面积为（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简得，再由，得到，再由余弦定理得，从而得面积. 【详解】因为，故由得， 由正弦定理得，又，故， 因为，所以，故，所以. 因为， 所以.在中余弦定理得，， 所以.所以的面积为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法不正确的是（ ） A. 圆柱是将矩形旋转一周所得到的几何体 B. 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 C. 过球上任意两点有且仅有一个大圆 D. 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个 【答案】ACD 【解析】 【分析】A举反例，以矩形的一条对角线为轴旋转；B 由平行六面体的定义可判断；C由球的大圆定义可知；D圆锥的轴截面是等腰三角形，其截面三角形面积为，其中的大小决定面积的大小. 【详解】以矩形的一条对角线为轴，旋转所得到的几何体不是圆柱，故A错误； 由平行六面体的定义可知，平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 当球面上两点是球的直径的端点时，过这两点的大圆有无数个，故C错误； 过圆锥顶点的截面为等腰三角形，且两腰长为母线长， 设该等腰三角形顶角为，则截面三角形面积为， 显然当，面积S最大， 故当圆锥的轴截面三角形顶角大于时，圆锥的轴截面面积不一定是最大的，故D错误． 故选：ACD 10. 已知平面向量，，则（ ） A. B. 与可作为一组基底向量 C. 与夹角的余弦值为 D. 在方向上的投影向量的坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】对A：计算即可得；对B：借助基底向量的定义即可得；对C：借助平面向量夹角公式计算即可得；对D：借助投影向量定义计算即可得. 【详解】对A：，则，故A错误； 对B：易得与为不共线的向量，故与可作为一组基底向量，故B正确； 对C：，故C正确； 对D：，故D错误. 故选：BC. 11. 如图，为圆锥的底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，，则下列结论正确的是（ ） A. 圆锥的侧面积为 B. 三棱锥体积的最大值为8 C. 的取值范围是 D. 若，E为线段上的动点，则的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线长，利用圆锥的侧面积公式判断A；当时，的面积最大，此时三棱锥体积也最大，利用圆锥体积公式求解即可判断B；先用取极限的思想求出的范围，再利用，求范围即可判断C；利用图形展开及两点之间线段最短即可判断选项D. 【详解】在中，，则圆锥的母线长，半径， 对于A，圆锥的侧面积为：，故A正确； 对于B，当时，的面积最大，此时，则三棱锥体积的最大值为：，故B错误； 对于C，当点与点重合时，为最小角，当点与点重合时，达到最大值，又因为与不重合，则，又，可得，故C错误； 对于D，由，得，又，则为等边三角形，则， 将以为轴旋转到与共面，得到，则为等边三角形，，如图可知， 因为， ， 则，故D正确； 故选：AD. 【点睛】关键点睛：取极限是解决本题角的范围问题的关键；利用将以为轴旋转到与共面是解决求的最小值的关键，考查学生的想象能力与运算求解能力，属于较难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若三个顶点的坐标分别为， ，，且点满足，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【详解】设点的坐标为，则， ，， 由，得， 即， 所以，得，所以点的坐标为. 13. 已知向量，若与的夹角的余弦值为，则_____________. 【答案】 【解析】 【分析】由向量夹角公式的坐标表示即可求解 【详解】设与的夹角为， 由夹角公式得，解得. 故答案为： 14. 在中，若，，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先由正弦定理得，再由同角的三角函数关系式得，再由大边对大角定理得为锐角，进而得到答案. 【详解】由正弦定理得，又，得①， 再由，得②， ①②代入，得，得， 所以，即或. 又因为，由大边对大角得，所以为锐角， 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，根据下列条件求实数的值． （1）是实数； （2）是纯虚数； （3）在复平面内对应的点在第二象限． 【答案】（1）1或2 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，根据复数的概念列式即可求解； （2）根据复数的概念列式即可求解； （3）根据复数的几何意义列式即可求解. 【小问1详解】 由题意 ， 若是实数，则，解得或 【小问2详解】 若是纯虚数，则，解得； 【小问3详解】 若在复平面内对应的点在第二象限，则，解得. 16. 已知向量，，． （1）求的坐标，的值； （2）若，求实数k的值； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1），； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由向量线性关系和模长的坐标运算求坐标和； （2）由向量平行的坐标表示列方程求参数； （3）由向量垂直的坐标表示列方程求参数. 【小问1详解】 由题设，； 【小问2详解】 由题设，又， 所以，则，可得； 【小问3详解】 由（2）及，则，可得. 17. 记的内角，，的对边分别为，，，已知，且. （1）求； （2）若，求. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理及同角三角函数基本关系可得； （2）直接由余弦定理解三角形可得. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得，即， 再由及基本关系式得，得或， 因为，所以（舍去），即. 故. 【小问2详解】 由（1）知，所以， 再由余弦定理，且，， 得，，解得或. 当时，，此时，为直角三角形，符合题意； 当时，，此时，为钝角三角形，符合题意； 故或. 18. 如图，在平行四边形中，为的中点，、分别为、的一个三等分点，点靠近点，点靠近点，记，． （1）把放到平面直角坐标系中，若、，求点的坐标； （2）用、表示、； （3）若，，求． 【答案】（1） （2），. （3） 【解析】 【分析】（1）设点，由题意得出，结合平面向量的坐标运算可得出、的值，即可得出点的坐标； （2）利用平面向量的线性运算可得出、关于、的表达式； （3）利用平面向量数量积的运算性质可求得的值. 【小问1详解】 设点，由得， 即，解得，，即点. 【小问2详解】 ，. 【小问3详解】 由已知，，所以， 所以. 19. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理可得； （2）利用辅助角公式化简求出，然后利用正、余弦定理，结合三角形面积公式求解可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，由正弦定理得，解得. 【小问2详解】 因为，所以，即， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $