第十一章 二次根式（复习讲义）数学新教材苏科版八年级下册

第十一章 二次根式（复习讲义） 1. 理解二次根式的概念，能准确判断一个式子是否为二次根式，会求二次根式有意义的字母取值范围； 2. 掌握二次根式的性质，理解最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数/因式），能利用二次根式的性质熟练化简二次根式，会进行分母有理化。 3. 理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减法则，能正确进行加减运算。掌握二次根式乘、除运算法则，能进行乘除运算及混合运算，合理运用运算律、乘法公式简化计算，保证运算准确、规范。 知识点 重点归纳 常见易错点 二次 根式 的概念 1. 一般地,我们把形如 的式子叫作二次根式,可以是一个数,也可以是一个代数式 .当是一个非负数时,表示的算术平方根 . 2.（1）二次根式有意义条件：当时，有意义； （2）二次根式值为0条件：当时，的值为0. 一个式子要成为二次根式要满足两个条件，一是含有二次根号，二是根号下的被开方数要是非负数，即。所以要注明，才能说是一个二次根式。不过在课本上或者练习中一般默认被开方数是非负的，通常都会省略掉这个注明。 二次 根式 的 性质 1.二次根式性质1： 2.二次根式性质2： 3.二次根式性质3： 4.二次根式性质4：. 二次根式的性质1与性质2非常容易混淆，这两个性质有三点不同，一是运算顺序不同；二是运算结果不同；三是条件不同，即的取值范围不同，要注意区分，这是一个常考易错的问题。 二次 根式 的 运算 1.二次根式的乘法： 2.二次根式的除法： 3.二次根式的加减：二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式. 二次根式的运算的依据是运算的 性质，运算的法则，运算律，还有乘法公式，灵活使用运算律和性质和公式，可以大大简化运算难度，提高正确率。 二次 根式 的 分母 有理化 当一个根式的被开方数是分数或分式时,只要分子、分母都乘适当的数或式,就可以使被开方数中不含分母 . 当一个式子的分母中有根号时,分子、分母都乘适当的数或式,可以使分母中不含有根号 。 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化 . 二次根式化简的结果通常要满足以下几个要求：（1）根号下不能含有能开的尽方的数或式子；（2）根号下不能含有分数或分式；（3）如果结果中含有分母，分母中不能有根号。二次根式的运算和化简问题一定要注意检查。 题型一 二次根式的识别 【例1】下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的定义，只需判断各选项的被开方数是否恒为非负数，即可得出正确结果． 【详解】解：∵ 选项A中被开方数，∴不是二次根式； ∵ 选项B中的符号不确定，当时被开方数为负数，∴ 不一定是二次根式； ∵ ，∴ ，被开方数恒为非负数，符合二次根式定义，∴ 选项C是二次根式； ∵ 选项D中，当时，，被开方数为负数，∴不一定是二次根式． 【变式1-1】下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】二次根式的定义为：形如的式子叫做二次根式，需要同时满足根指数为2、被开方数非负两个条件，逐个判断统计个数即可． 【详解】解：∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的被开方数，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为3，不满足条件，∴不是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； ∵的根指数为2，且，满足条件，∴是二次根式； 综上，符合条件的二次根式共3个． 【变式1-2】下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子，当时是二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； B.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； C.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； D.中的被开方数，故一定是二次根式，故此选项正确． 题型二 二次根式有意义的条件 【例2】二次根式中字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵二次根式中，被开方数必须是非负数，二次根式才有意义， ∴， 解得． 【变式2-1】二次根式中字母x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得． 【变式2-2】要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴被开方数满足， 解不等式 ，即． 题型三 利用二次根式性质化简 【例3】（   ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】利用二次根式的性质与算术平方根的定义化简即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵ 二次根式表示的算术平方根，结果为非负数， ， ∴． 【变式3-1】实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴得到，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴知：， ∴ ． 【变式3-2】下列各式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A． ∵，∴，计算正确． B．，计算错误． C．根据二次根式性质，得，计算正确． D．，计算正确． 题型四 求二次根式中的参数 【例4】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求二次根式中的参数． 根据是整数可得，进而可求出实数n最大值为． 【详解】解：∵是整数， ∴是平方数， ∴， ∴， ∴实数n最大值为， 故选：A． 【变式4-1】如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简．把每个选项中的m的值代入二次根式化简即可． 【详解】解：A、当时，，不是一个正整数，故此选项不符合题意； B、当时，，是一个正整数，故此选项符合题意； C、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； D、当时，，没有意义，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义进行求解是解决本题的关键． 由题意可得，要使是正整数，即可得出当n最大取2024时，是正整数． 【详解】解： 要使是正整数， 即当时，． 故整数的最大值为2024． 故选：B． 题型五 最简二次根式的概念与判断 【例5】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的定义判断即可，最简二次根式需满足两个条件：被开方数不含分母，且被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A选项：=，被开方数含分母，不是最简二次根式， B选项：，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， C选项：，被开方数含分母，不是最简二次根式， D选项：满足最简二次根式的两个条件，是最简二次根式． 【变式5-1】下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，熟记其定义是解题的关键．根据最简二次根式的定义“被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式”，逐项进行分析判断即可． 【详解】解：∵A、==，被开方数含分母，不满足最简二次根式定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； B、==，被开方数含能开得尽方的因数，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； C、=，被开方数含分母，不满足定义，故选项不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足最简二次根式的定义，故选项是最简二次根式，符合题意； 故选：D． 【变式5-2】下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，故不是最简二次根式；     B．，故不是最简二次根式；     C．，故不是最简二次根式； D．是最简二次根式．． 题型六 根据最简二次根式求参数 【例6】若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【答案】C 【分析】二次根式的被开方式中不含分母，且不含一个数或式的平方因式，就叫作最简二次根式． 【详解】解：A、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、当时，原式，原式是最简二次根式，该选项符合题意； D、当时，原式，原式不是最简二次根式，该选项不符合题意． 【变式6-1】若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】先化简，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式求解． 【详解】解：， ∵最简二次根式能与合并， ∴． 【变式6-2】是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的概念，掌握二次根式的化简及计算是解题的关键． 由同类二次根式的定义，需化简后被开方数相同，由此可得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：∵，且与是同类二次根式， ∴ 化简后被开方数也为， 又∵是最简二次根式， ∴， 解得：. 故选：A． 题型七 二次根式的乘除运算 【例7】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）按照二次根式乘除运算法则逐步计算，然后合并即可； （）利用平方差公式即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-1】计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）利用二次根式乘法法则，将被开方数相乘，再化简结果为最简二次根式． （2）类比单项式乘单项式法则，系数相乘、被开方数相乘，再化简结果． （3）运用二次根式除法法则，被开方数相除，再进行分母有理化化简． （4）遵循二次根式乘除混合运算顺序，从左至右计算，被开方数依次乘除后化简． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． (3)； (4)． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)15 (3)1 (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合计算： （1）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （2）先化简二次根式，再根据二次根式的乘除计算法则求解即可； （3）先将被开方数中带分数化为假分数，再根据二次根式的乘除法计算法则求解即可； （4）根据二次根式的乘除计算法则求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 题型八 二次根式的分母有理化 【例8】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： 对进行分母有理化，需给分子分母同乘， ． 【变式8-1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方差公式将分母有理化，化简后即可得到结果． 【详解】解：原式． 【变式8-2】下列分母有理化过程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，分子分母同乘分母的二次根式，去掉分母中的根号，即可判断正误． 【详解】解：A选项：，该选项不符合题意； B选项：，该选项符合题意； C选项：，该选项不符合题意； D选项：，该选项不符合题意． 题型九 同类二次根式 【例9】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 观察选项，只有的被开方数为， 故选：B ． 【变式9-1】若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 【答案】C 【分析】先将化为最简二次根式，再根据可合并的最简二次根式是同类二次根式，被开方数相等，列方程求解即可． 【详解】解：， 又与最简二次根式可以合并， 二者是同类二次根式，化简后被开方数相等， 得 ， 解得 ． 【变式9-2】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【详解】解：，则与不是同类二次根式，故A错误； ，则与不是同类二次根式，故B错误； ，则与是同类二次根式，故C正确； ，则与不是同类二次根式，故D错误． 题型十 二次根式的加减运算 【例10】计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式10-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式10-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)4 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式. 题型十一 二次根式的加减乘除混合运算 【例11】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用二次根式的乘除运算法则化简，再合并同类二次根式即可； （2）结合平方差公式、完全平方公式展开计算，最后进行加减计算即可． 【详解】（1） 解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】根据二次根式的混合运算法则分别计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 基础巩固通关测 一、选择题 1．下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义，形如的式子，当时是二次根式，据此判断即可． 【详解】解：A.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； B.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； C.，不能保证，故不一定是二次根式，故此选项错误； D.中的被开方数，故一定是二次根式，故此选项正确． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3．若代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得． 4．对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 【答案】A 【详解】解：． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算性质逐项计算判断即可． 【详解】解：A、，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意． 6．下列选项中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的四则运算，根据二次根式的运算法则，分别计算各选项即可得到正确结果． 【详解】解：选项A：∵，∴选项 A错误． 选项B：∵，∴选项 B错误． 选项C：∵， ∴选项 C错误． 选项D：∵，∴ 选项D正确，符合题意． 7．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据定义，是最简二次根式，只需让它的被开方数与的被开方数相等，列方程求解即可. 【详解】解：∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴ ， 解得：. 8．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】题目主要考查无理数的估算，不等式的性质，先对无理数进行估算，然后利用不等式的性质依次判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴, ∴，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D、∵， ∴， ∴， ∴，选项正确，符合题意； 故选：D． 9．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 【答案】C 【分析】先根据二次根式的乘法运算法则化简原式，再估算化简后结果的大小范围，即可得到答案． 【详解】解：， ，， ， ， 在2和3之间． 即的值应在2和3之间． 10．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 二、填空题 11．若，则的值是______． 【答案】5 【分析】根据二次根式有意义的条件求出x的值，进而求出y的值，再代入求值即可． 【详解】解：∵式子有意义， ∴， 解得， ∴， ∴． 12．计算：___________． 【答案】 【详解】解：原式． 13．计算的结果是________． 【答案】 【分析】先将各二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式即可求解． 【详解】解： ． 14．若与最简二次根式能合并，则的值为________． 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 先将化简为，被开方数为，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【详解】解：， ∴被开方数为2， ∵与最简二次根式能合并， 又∵是最简二次根式， ∴的被开方数与2相同， 即，解得， 故答案为：1． 15．已知，，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化，根据题意，则可将原式转化为的形式，然后利用已知条件代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴ ∴， 故答案为：． 16．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 【答案】 【分析】先得出①②两个正方形的边长，然后根据进行求解即可． 【详解】解：由图可知：①号正方形的面积为50，则边长为；②号正方形的面积为18，则边长为， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）先根据二次根式性质进行化简，然后根据二次根式加减运算法则，进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算， （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可求解； （2）根据完全平方公式与平方差公式进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 19．已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 【答案】(1)8 (2)20 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）将、的值代入所求代数式计算即可得解； （2）先计算出，再利用完全平方公式计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴． 20．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 【答案】(1)＞； (2)①见解析；②见解析． 【分析】本题考查二次根式的大小比较，实数的乘方，三角形的三边关系，掌握知识点是解题的关键． （1）分别求出两个数的平方，再比较大小即可； （2）①根据平方法比较大小的步骤，逐步求解即可；②画出三角形，再比较大小即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 故答案为：>． （2）解：①证明：∵， ，而， ∴， ∴． ②如图，，，． ∵， ∴． 能力提升进阶练 一、选择题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，能熟记二次根式的定义是解此题的关键，形如的式子叫二次根式．根据二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．的被开方数为，不是二次根式，故本选项不符合题意； B．的根指数是3，不是2，不是二次根式，故本选项不符合题意； C．若，无意义，不是二次根式，故本选项不符合题意； D．是二次根式，故本选项符合题意． 故选：D． 2．已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，利用被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴被开方数需满足， 又∵ 2025是正数，不等号两边同除以正数，不等号方向不变， ∴可得． 3．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，利用二次根式的性质化简，化简绝对值等知识点，解题的关键是正确从数轴得到的大小关系以及符号． 由数轴可得，则可化为，再化简绝对值进行整式的加减计算即可． 【详解】解：由数轴可得 ∴ ， 故选：C． 4．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方公式，二次根式的性质． 由得，两边平方整理可得，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 5．下列根式中是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了最简二次根式的判断，根据最简二次根式的定义（被开方数不含分母，且被开方数中不含能开得尽方的因数或因式），逐项分析判断即可． 【详解】解：最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式， A、，被开方数含能开得尽方的因数16，不是最简二次根式，不符合题意； B、的被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； D、的被开方数10不含分母，且10分解为，无开得尽方的因数，是最简二次根式，符合题意． 故选：D． 6．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查同类二次根式的判定，需先明确同类二次根式的定义，再将各选项中的二次根式化为最简形式，对比被开方数是否与的被开方数相同即可． 【详解】∵同类二次根式的定义是：几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式为同类二次根式． ∴对各选项化简： A选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． B选项：，被开方数为2，与的被开方数相同，是同类二次根式． C选项：，被开方数为6，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． D选项：，被开方数为5，与的被开方数2不同，不是同类二次根式． 故选：B． 7．估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的混合运算及无理数的估算，先利用乘法分配律进行乘法运算、再合并同类二次根式，最后进行估算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， ∴的结果在和之间． 故选：D． 8．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比较二次根式的大小，利用平方法进行比较即可． 【详解】解：，，， ∵， ∴； 故选D． 9．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，先计算输入值与的和，判断其正负性，若大于0则乘以，否则除以，最后利用平方差公式计算即可． 【详解】解：输入， 第一步运算：， ， ， 选择“是”的分支进行运算， 输出值为： ． 10．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 二、填空题 11．若有意义，则_____． 【答案】0 【分析】根据二次根式有意义的条件，二次根式的被开方数为非负数，列出关于的不等式组，求解不等式组即可得到的值． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得． 12．化简：____． 【答案】 / 【分析】根据二次根式的性质，结合绝对值的性质计算即可． 【详解】解：． 13．计算：______． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的乘除法混合运算，按照乘除法混合运算法则计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：1． 14．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 【答案】 【分析】本题考查了新定义的二次根式运算． 直接根据新定义计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 15．已知 ，代数式的值是_____． 【答案】 【分析】先将代入原式，然后利用完全平方公式、平方差公式以及二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】解：， ． 16．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 【答案】18 【分析】本题主要考查了二次根式的应用．根据“横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，”求出a，b，c的值，即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意得：，，， ∴，，， ∴3个空格中的实数之积为． 故答案为：18 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据二次根式的性质进行化简，再计算加减即可得出结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 19．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： (1)具体运算，发现规律： ，… 计算： (2)观察归纳，写出结论 （且n为正整数） (3)灵活运用，提升能力 请利用你所发现的规律， 计算 的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次根式的性质，解题的关键是理解题中所给新运算； （1）根据题中所给新运算可进行求解； （2）由（1）及题干可进行求解； （3）根据（2）中的结论可进行求解． 【详解】（1）解：； 故答案为； （2）解：； 故答案为； （3）解： ． 20．先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： (1)填空： ； (2)填空： ； (3)化简：． 【答案】(1) (2) (3)1 【分析】（1）直接根据阅读材料进行变换化简即可； （2）根据例题把，变成，然后根据阅读材料进行化简； （3）先根据阅读材料将分母进行化简，然后分母有理化，再合并同类二次根式化为最简形式． 【详解】（1）解：∵，，即，， ∴． 故答案为：； （2）解：首先把化为，这里，， ∵，，即，， ∴． 故答案为：； （3） ． 2 / 38 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十一章 二次根式（复习讲义） 1. 理解二次根式的概念，能准确判断一个式子是否为二次根式，会求二次根式有意义的字母取值范围； 2. 掌握二次根式的性质，理解最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数/因式），能利用二次根式的性质熟练化简二次根式，会进行分母有理化。 3. 理解同类二次根式的概念，掌握二次根式加减法则，能正确进行加减运算。掌握二次根式乘、除运算法则，能进行乘除运算及混合运算，合理运用运算律、乘法公式简化计算，保证运算准确、规范。 知识点 重点归纳 常见易错点 二次 根式 的概念 1. 一般地,我们把形如 的式子叫作二次根式,可以是一个数,也可以是一个代数式 .当是一个非负数时,表示的算术平方根 . 2.（1）二次根式有意义条件：当时，有意义； （2）二次根式值为0条件：当时，的值为0. 一个式子要成为二次根式要满足两个条件，一是含有二次根号，二是根号下的被开方数要是非负数，即。所以要注明，才能说是一个二次根式。不过在课本上或者练习中一般默认被开方数是非负的，通常都会省略掉这个注明。 二次 根式 的 性质 1.二次根式性质1： 2.二次根式性质2： 3.二次根式性质3： 4.二次根式性质4：. 二次根式的性质1与性质2非常容易混淆，这两个性质有三点不同，一是运算顺序不同；二是运算结果不同；三是条件不同，即的取值范围不同，要注意区分，这是一个常考易错的问题。 二次 根式 的 运算 1.二次根式的乘法： 2.二次根式的除法： 3.二次根式的加减：二次根式相加减,先化简每个二次根式,然后合并同类二次根式. 二次根式的运算的依据是运算的 性质，运算的法则，运算律，还有乘法公式，灵活使用运算律和性质和公式，可以大大简化运算难度，提高正确率。 二次 根式 的 分母 有理化 当一个根式的被开方数是分数或分式时,只要分子、分母都乘适当的数或式,就可以使被开方数中不含分母 . 当一个式子的分母中有根号时,分子、分母都乘适当的数或式,可以使分母中不含有根号 。 上面这种使分母中不含根号的方法称为分母有理化 . 二次根式化简的结果通常要满足以下几个要求：（1）根号下不能含有能开的尽方的数或式子；（2）根号下不能含有分数或分式；（3）如果结果中含有分母，分母中不能有根号。二次根式的运算和化简问题一定要注意检查。 题型一 二次根式的识别 【例1】下列是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列式子中：，，，，，二次根式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1-2】下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 题型二 二次根式有意义的条件 【例2】二次根式中字母a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】二次根式中字母x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】要使二次根式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三 利用二次根式性质化简 【例3】（   ） A． B． C．3 D． 【变式3-1】实数在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】下列各式计算错误的是（   ） A． B． C． D． 题型四 求二次根式中的参数 【例4】已知是整数，则实数的最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如果是一个正整数，则整数m的值可以是（　　） A．0 B．3 C． D． 【变式4-2】已知是正整数，则整数的最大值为（   ） A．2025 B．2024 C．2 D．1 题型五 最简二次根式的概念与判断 【例5】下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列二次根式是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 题型六 根据最简二次根式求参数 【例6】若是最简二次根式，则的值可以是（   ） A．6 B． C．2 D．0.5 【变式6-1】若最简二次根式能与合并，则a的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【变式6-2】是最简二次根式，且与是同类二次根式，则为（    ） A．1 B． C． D．5 题型七 二次根式的乘除运算 【例7】计算： (1)； (2)． 【变式7-1】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式7-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型八 二次根式的分母有理化 【例8】将分母有理化的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】下列分母有理化过程正确的是（   ） A． B． C． D． 题型九 同类二次根式 【例9】下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-1】若与最简二次根式可以合并，则（   ） A．24 B．25 C．7 D．6 【变式9-2】下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 题型十 二次根式的加减运算 【例10】计算 (1)； (2)． 【变式10-1】计算： (1)； (2)． 【变式10-2】计算： (1)； (2)． 题型十一 二次根式的加减乘除混合运算 【例11】计算： (1) (2) 【变式11-1】计算： (1)； (2)． 【变式11-2】计算： (1)； (2)． 基础巩固通关测 一、选择题 1．下列式子一定是二次根式的为（   ） A． B． C． D． 2．当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．若代数式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．对于式子，计算结果正确的是（    ） A．5 B． C．25 D． 5．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 6．下列选项中，运算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．若与最简二次根式是同类二次根式，那么的值是（   ） A． B． C． D． 8．下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 9．估计的值应在（   ） A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间 10．已知，，则的值（   ） A．4 B．8 C．6 D． 二、填空题 11．若，则的值是______． 12．计算：___________． 13．计算的结果是________． 14．若与最简二次根式能合并，则的值为________． 15．已知，，则的值为______． 16．如图，把面积为50和18的两个正方形①②放入长方形中，阴影部分的面积分别记为，，若，则____________ 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．计算： (1) (2) 19．已知，．求： (1)的值； (2)求的值． 20．素材1：在进行二次根式比较大小时，“平方法”是非常有效的方法．例如，比较和的大小时，我们可以将和分别平方． ∵，，，∴． 素材2：我们可以用在方格纸中构造线段的方法来比较无理数的大小．如在图1的方格纸中，，，显然，∴． 根据以上素材，解决下面问题： (1)比较大小：______8； (2)小明在比较与的大小时，想出了以下两种方法： ①从“数”的角度：利用平方法，证明“”； ②从“形”的角度”：在图2的方格纸中画出图形，证明“”． 能力提升进阶练 一、选择题 1．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知在实数范围内有意义，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．a，b在数轴上的位置如图所示，则化简代数式的结果为（    ） A． B． C． D． 4．若，则代数式的值是（    ） A．2019 B．2025 C．2026 D．2033 5．下列根式中是最简二次根式的为（　　） A． B． C． D． 6．下列各式中，与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 7．估算的结果（    ） A．在7和8之间 B．在8和9之间 C．在9和10之间 D．在10和11之间 8．比较大小：，，的大小顺序是（   ） A． B． C． D． 9．按照如图所示的程序框图运算，若输入，则输出的值（    ） A． B． C．2 D． 10．已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 二、填空题 11．若有意义，则_____． 12．化简：____． 13．计算：______． 14．对于任意正实数a，b，定义一种新的运算：，如．请你计算_______． 15．已知 ，代数式的值是_____． 16．如图所示方格中，若要使横、竖、斜对角的3个实数相乘都得到同样的结果，则3个空格中的实数之积为______． 三、解答题 17．计算： (1)； (2)． 18．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 19．学习完《二次根式》后，聪聪发现了下面这类有趣味的试题，请你根据他的探索过程，解答下列问题： (1)具体运算，发现规律： ，… 计算： (2)观察归纳，写出结论 （且n为正整数） (3)灵活运用，提升能力 请利用你所发现的规律， 计算 的值． 20．先阅读下列解答过程：形如的式子的化简，只要我们找到两个正数，，使，，即，，那么便有．例如：化简． 解：首先把化为，这里，， 由于，，即，， 所以． 请根据材料解答下列问题： (1)填空： ； (2)填空： ； (3)化简：． 2 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $