大题集训3：带电粒子在电场中的运动 专项训练 -2026届高考物理三轮冲刺大题

高考物理三轮大题集训3：带电粒子在电场中的运动 题型1 带电粒子在电场中的直线运动 1．【答案】（1）带电粒子通过原点时速度最大，最大值为0.2m/s。 （2）粒子向右运动距O点的最远距离为0.04m。 （3）粒子运动的频率为Hz。 【详解】（1）粒子先向右做匀加速直线运动，经过原点后向右做匀减速直线运动，因此粒子通过原点时速度达到最大值。根据动能定理可得：，解得：vmax＝0.2m/s。 （2）根据动能定理可得：E1qx﹣E2qd＝0，解得：d＝0.04m。 （3）根据牛顿第二定律，粒子在原点左右两侧的加速度大小分别为：，。粒子在左侧电场中加速过程满足：vmax＝a1t1。利用逆向思维，粒子在原点右侧的减速过程可视为反向的加速过程，满足：vmax＝a2t2。根据运动的对称性，粒子运动的周期为：T＝2（t1+t2）。又因为，代入数据解得：。 答：（1）带电粒子通过原点时速度最大，最大值为0.2m/s。 （2）粒子向右运动距O点的最远距离为0.04m。 （3）粒子运动的频率为Hz。 2【答案】（1）E0和B0的比值是v0； （2）初速度为v0的离子在磁场中圆周运动的半径是4L，周期是； （3）从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程为其中或，其中。 【详解】（1）离子在电场中的加速度为 a 初速为v0的离子从O点出射后立刻进入Ⅰ区，做类平抛运动，在电场中偏转θ＝45°后进入匀强磁场，根据矢量关系知，离子出电场的速度即在磁场中匀速圆周运动的速度大小为，水平向右的分速度为v0，根据牛顿第二定律有 解得在磁场中的加速度为 此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等，联立可得 （2）离子在电场中根据运动规律有 解得加速度 在磁场中的速度大小为 故加速度为 联立可得 R＝4L 故周期 （3）如图所示 离子在电场中水平方向做初速为0的匀加速直线运动，根据（1）的分析可知，离子在P点水平向右的分速度为v0故水平方向，根据运动学规律 从边界P点射出后进入磁场时yP＝vyt 联立上方两式可得 离子在磁场中做圆周运动的速度为v1，满足 圆心O1的横坐标为 x＝L+Rcosθ＝L 纵坐标为 且当磁场中速度为时，R＝4L即 则或 联立以上三式可得圆心的轨迹线为一条直线，方程为其中 或，其中 答：（1）E0和B0的比值是v0； （2）初速度为v0的离子在磁场中圆周运动的半径是4L，周期是； （3）从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程为其中或，其中。 3．【答案】（1）颗粒粒子到达狭缝S2时的速度大小是； （2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度B1是，B2的大小是； （3）若将区域Ⅱ的磁感应强度调整为原来的倍，同时将PQ逆时针转过角度α，使粒子垂直打在PQ上，α角是30°。 【详解】（1）粒子在加速电场中做匀加速直线运动 解得v0 （2）粒子在区域Ⅰ沿着中心线运动，根据二力平衡 解得B1 粒子垂直打在金属板上，粒子在磁场中的速度方向偏转了90°；粒子运动了四分之一圆弧，故轨迹圆半径r＝R，洛伦兹力提供向心力qv0B2 解得B2 （3）若将磁感应强度调整为原来的倍，则 解得，将PQ逆时针转过α角，粒子垂直打在PQ上，则轨迹圆弧对应的圆心角变为θ＝90°+α 几何关系 代入数据得α＝30° 答：（1）颗粒粒子到达狭缝S2时的速度大小是； （2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度B1是，B2的大小是； （3）若将区域Ⅱ的磁感应强度调整为原来的倍，同时将PQ逆时针转过角度α，使粒子垂直打在PQ上，α角是30°。 4．【答案】（1）质子刚好飞出圆筒E时速度的大小为。 （2）圆筒B与圆筒D的长度之比为。 【详解】（1）质子在圆筒间隙中受电场加速，根据图甲可知，质子到达圆筒E前共经历5次间隙加速。由动能定理得，解得质子飞出圆筒E时速度大小为。 （2）质子在圆筒内做匀速直线运动，为保证质子每次到达间隙时均能被加速，其在圆筒内运动时间应为交变电压周期的一半，即。 圆筒长度，其中v为质子在该圆筒内的速度。质子在圆筒B内运动时已加速2次，由动能定理，解得； 质子在圆筒D内运动时已加速4次，由动能定理，解得。因此圆筒B与圆筒D的长度之比，解得：。 答：（1）质子刚好飞出圆筒E时速度的大小为。 （2）圆筒B与圆筒D的长度之比为。 5．【答案】（1）B球刚进入电场时的速度v1大小等于； （2）A球刚进入电场时的速度v2大小等于； （3）B球不能碰到下板。 【详解】（1）B球进入电场前，两小球不受电场力作用，只受重力作用，做自由落体运动，则2gl 解得 v1。 （2）A球进入电场前，只有B球受电场力，则F＝qE＝mg 方向竖直向下， 由牛顿第二定律可得F+2mg＝2ma1 解得a1＝1.5g 系统做匀加速直线运动，A球刚进入电场时有2a1l 解得v2 （3）当A、B球全部进入电场后，系统受力如图所示 6qE﹣qE﹣2mg＝2ma2 解得a2＝1.5g 设系统速度为零时，B球没碰到下板，此时系统通过的距离为H，则 H 解得 H2l 故B球不能碰到下板。 答：（1）B球刚进入电场时的速度v1大小等于； （2）A球刚进入电场时的速度v2大小等于； （3）B球不能碰到下板。 6．【答案】（1）粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小为； （2）第n个圆筒的长度为； （3）粒子能获得的最大动能是。 【详解】（1）粒子一、二圆筒间的电场中加速过程，根据动能定理得 qU0 解得v1 因圆筒内部电场强度为零，粒子在圆筒内不受电场力，做匀速直线运动，故粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小为。 （2）进入第n个圆筒的粒子经过（n﹣1）次加速，根据动能定理得 （n﹣1）qU0 解得第n个圆筒的粒子速度为vn﹣1 故第n个圆筒的长度为Ln＝vn﹣1 （3）在不改变交变电源的情况下，若考虑粒子在缝隙电场中的加速时间，则粒子进入每级圆筒的时间都要延后一些，如果延后累计时间等于，则粒子再次进入电场时将开始减速，此时的速度就是粒子能获得的最大速度。由于两圆筒间隙的电场可以近似看为匀强电场，间距均为d，粒子在电场中后一个加速过程可以看为前一加速过程的延续，令粒子的最大速度为vm，则有 vm＝a•• 粒子的最大动能为 Ekm 解得Ekm 答：（1）粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小为； （2）第n个圆筒的长度为； （3）粒子能获得的最大动能是。 7．【答案】（1）某种离子在无场飞行区中的运动时间为T1，该离子的比荷为； （2）若探测器测得某离子从进入A端至B端检测器的总飞行时间为T2，该离子的比荷为。 【详解】（1）在加速电场运动，有 水平方向匀速运动，有L＝vT1 可得比荷 （2）偏转电场不影响水平方向的运动，在飞行区时间不变。反射区，竖直方向做匀速直线运动，水平方向减速为零的时间v＝aT 减速时加速度为 减速为零的时间为 故运动时间 可得 答：（1）某种离子在无场飞行区中的运动时间为T1，该离子的比荷为； （2）若探测器测得某离子从进入A端至B端检测器的总飞行时间为T2，该离子的比荷为。 题型2 带电粒子在电场中的曲线运动 8．【答案】（1）①BD。 ②A。 ③。 （2）①CEd。 ②偏转距离为，速度大小为。 ③磁感应强度为。 【详解】（1）①依据折射定律，光线从空气进入玻璃时，折射角小于入射角，而从玻璃射入空气时，折射角大于入射角。AB、对于图B，光线沿半径方向进入玻璃，在圆心O处由玻璃射入空气，折射角大于入射角，符合规律，故A错误，B正确； CD、对于图D，光线在圆心O处由空气射入玻璃，折射角小于入射角，随后沿半径方向从玻璃射出，亦符合规律，故C错误，D正确。故BD正确。 故选：BD。 ②在图2中，A与B属于干涉条纹，C与D属于衍射条纹。由双缝干涉条纹宽度公式可知，波长越长，条纹间距越大。由于绿光波长大于蓝光，即λ绿＞λ蓝，因此条纹较宽的A为绿光干涉图样，故A正确，BCD错误。 故选：A。 ③根据光电效应方程，光电子最大初动能为，结合动能定理eUc＝Ek，解得遏止电压。 （2）①由平行板电容器公式U＝Ed及电容定义Q＝CU，联立解得极板所带电荷量Q＝CEd。 ②液滴进入电场后做类平抛运动，竖直方向匀速运动，运动时间；水平方向做初速为零的匀加速运动，加速度。 水平偏转距离，代入解得。离开电场时，水平分速度，竖直分速度vy＝v0，故合速度大小为。 ③液滴进入磁场时，速度方向与竖直方向夹角为α，满足。液滴在磁场中做匀速圆周运动，轨道半径。为使到达收集管时速度方向恰好竖直向下，液滴在磁场中运动转过的圆心角应为α。由几何关系，竖直位移h＝rsinα，即。将代入，解得磁感应强度。 答：（1）①BD。 ②A。 ③。 （2）①CEd。 ②偏转距离为，速度大小为。 ③磁感应强度为。 9．【答案】（1）粒子在电场中运动的时间为； （2）粒子源以初速度大小v0垂直于极板向下发射相同粒子，粒子到达N板时的速度大小为，两板间的距离为； （3）已知平行板电容器的电容，若金属板的电荷量保持不变，N板上移，使两板间的距离变为原来的，图中粒子打在N板上的位置为距N板右端处。 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向匀速直线运动，故 解得 （2）由于两次射出时粒子初速度相同，落到下极板时电场力做功也相同，故水平发射的粒子从N板右端射出的速度大小也为； 水平发射的粒子从N极板射出时垂直于金属板的分速度为 根据竖直分运动 解得 （3）根据平行板电容器的表达式 电容定义式 匀强电场场强公式 可得 当改变两板间距离时，电场强度E不变，粒子加速度不变，则， 由上式解得 故 粒子打在距N板右端处。 答：（1）粒子在电场中运动的时间为； （2）粒子源以初速度大小v0垂直于极板向下发射相同粒子，粒子到达N板时的速度大小为，两板间的距离为； （3）已知平行板电容器的电容，若金属板的电荷量保持不变，N板上移，使两板间的距离变为原来的，图中粒子打在N板上的位置为距N板右端处。 10．【答案】（1）电子打到靶台上中心点P时，C、D板间的偏转电压为； （2）若仅改变C、D板间的电压，使打在靶台上电子的动能最小，C、D板对应的偏转电压为。 【详解】（1）电子在A、B间加速，根据动能定理可得 可得 电子在C、D间做类平抛运动，沿水平方向有L＝vt 竖直方向有， 联立解得 根据电子离开偏转电场的速度方向反向延长线过水平位移的中点，结合几何关系可得 解得 （2）电子从偏转电场射出后动能不变，电子打在靶台右边缘时的动能最小，设电子在C、D间沿竖直方向的位移为y′，根据（1）问分析可得， 联立解得 答：（1）电子打到靶台上中心点P时，C、D板间的偏转电压为； （2）若仅改变C、D板间的电压，使打在靶台上电子的动能最小，C、D板对应的偏转电压为。 11．【答案】（1）圆弧虚线对应的半径R的大小为； （2）在t＝0时刻射入偏转电场的电子射出偏转电场时的动能为eU1； （3）在足够长的时间内，从中心线下方离开偏转电场的电子数占电子总数的比例为。 【详解】（1）电子经加速电场加速，由动能定理： 在静电分析器中，电场力提供向心力： 联立解得： （2）设电子在电场中运动时间为t，加速度为a，沿电场方向的速度为vy 水平方向匀速运动：LAB＝vt， 沿电场方向 ，vy＝at 电子离开电场时的动能 解得 （3）因分析时间足够长，故只讨论一个周期内的运动情况，分两种情况分析射入时刻t0： 情况1：（前半周期射入电场中，UAB＝U0） 电子在偏转电场中运动的时间内，前（）时间内的加速度为：；之后的加速度为： 竖直位移为： 化简得： 要求y1＜0 从下方离开，解得： 此区间内符合条件的时间间隔为： 情况2：（后半周期射入电场中，UAB＝﹣3U0） 电子在偏转电场中运动的时间内，从t0到T时间内时间加速度为：，其后的加速度为 竖直位移：0 解得：t0 符合条件的区间为，此区间内符合条件的时间间隔为； 在一个周期内符合条件的总时间长度为 从下方离开的电子比例 答：（1）圆弧虚线对应的半径R的大小为； （2）在t＝0时刻射入偏转电场的电子射出偏转电场时的动能为eU1； （3）在足够长的时间内，从中心线下方离开偏转电场的电子数占电子总数的比例为。 12．【答案】（1）磁感应强度B1的大小是1T； （2）沿着y轴负半轴放置一块不计厚度的粒子收集板，要将经磁场B2偏转后的粒子全部收集，收集板的长度至少为8m； （3）粒子在第三象限中能到达距y轴的最远距离是16m。 【详解】（1）因为带电粒子平行x轴离开圆形磁场，根据磁发散条件可知，带电粒子偏转半径R＝r 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 代入数据得B1＝1T （2）粒子进入电场时，假设抛物线边界任一入射点坐标为（x，y），经过电场偏转后经过x轴上点（x2，0），则有x2﹣x＝v0t，，y＝（x﹣2）2 代入数据得x2＝2m 可知，全部粒子均从D（2m，0）进入第四象限。又因为粒子进入磁场x方向的速度分量保持不变，粒子在磁场B2中运动轨迹的弦长为 可知，所有粒子弦长相同，均经过x＝2m直线上同一点，则有 代入数据得y＝﹣4m 即坐标为（2m，﹣4m）。当y＝4m的入射粒子经过磁场B2偏转后到达点（2m，﹣4m）时，速度与水平方向夹角为θ，则有tanθ＝4如图所示 可知，粒子打到y轴（0，﹣12m），所以收集板长度至少为8m。 （3）粒子到达距离y轴最远时，速度方向平行于y方向，只要能进入下一个电场，就有平行x方向的速度，由此可知粒子离y轴最远时一定处于第n个磁场中，此前粒子已经过n个电场，设此时粒子速度大小为vn，由动能定理有． 粒子每经过一个电场加速后就进入下一个磁场，则通过第n个磁场的过程中，设粒子进入第i个磁场时速度方向与水平方向的夹角为α，在竖直方向上由动量定理有∑mΔvy＝∑qiBvxΔt＝qiBL 所以从进入第三象限开始到最后一个磁场，累计有q（1+2+3+⋯⋯+n）BL＝mvn﹣0 代入数据得 代入数据得n＝4 可知粒子离轴最远的距离为x＝2nL＝8L 代入数据得x＝16m 答：（1）磁感应强度B1的大小是1T； （2）沿着y轴负半轴放置一块不计厚度的粒子收集板，要将经磁场B2偏转后的粒子全部收集，收集板的长度至少为8m； （3）粒子在第三象限中能到达距y轴的最远距离是16m。 13．【答案】（1）圆环与水平杆间的动摩擦因数是及θ是60°； （2）圆环的比荷是。 【详解】（1）当场强较大时，圆环所受的支持力方向竖直向下，由牛顿第二定律qEcosθ﹣μ（qEsinθ﹣mg）＝ma 解得，由图（b）知，场强较大时，圆环的加速度恒为 对比可得cosθ﹣μsinθ＝0， 代入数据得圆环与水平杆间的动摩擦因数，θ＝60°； （2）由图（b）知，当E＝E0时，圆环将开始运动，此时圆环所受的支持力方向竖直向上，且圆环所受的静摩擦力恰好达到最大，则qE0cosθ＝μ（mg﹣qE0sinθ） 代入数据得圆环的比荷 答：（1）圆环与水平杆间的动摩擦因数是及θ是60°； （2）圆环的比荷是。 14．【答案】（1）物块进入半圆轨道时的速度大小v为5m/s； （2）物块刚进入电场时的速度为1m/s； （3）物块在电场中的运动时间t为2s。 【详解】（1）在半圆轨道的D点时，物块对半圆轨道的压力为零，则半圆轨道对物块的支持力为零，由重力的径向分力提供物块圆周运动的向心力，则根据牛顿第二定律有 物块从C到D的过程，根据机械能守恒定律得 解得物块进入半圆轨道时的速度大小v＝5m/s （2）物块从释放到运动到B的过程，根据能量守恒定律有 解得物块刚进入电场时的速度v0＝1m/s （3）方法一：对物块在电场中运动的过程，规定向右为正方向，根据动量定理得 IE﹣μmgt＝mv﹣mv0 画出电场强度E随时间t变化的图像如图所示： 则t时间内电场力的冲量IE＝qt＝q4t×t＝2qt2 联立并代入数据得：t2﹣t﹣2＝0 解得物块在电场中的运动时间t＝2s（t＝﹣1s舍去） 方法二：物块进入电场后，以向右为正方向，根据牛顿第二定律得 Eq﹣μmg＝ma 将E＝4t和已知数据代入⑥式得关于a的函数表达式为a＝4t﹣2 作出a﹣t图像如图所示： 根据a﹣t图像中图线与t轴所围图形的面积表示速度的变化量（t轴上方的面积表示速度的增加量，下方的面积表示速度的减小量），可知图中阴影部分的面积即为物块在电场中的速度变化量，则有 解得物块在电场中的运动时间t＝2s（t＝﹣1s舍去） 答：（1）物块进入半圆轨道时的速度大小v为5m/s； （2）物块刚进入电场时的速度为1m/s； （3）物块在电场中的运动时间t为2s。 题型3 等效重力场 15．【答案】（1）电场力大小为0.3N； （2）小滑块释放位置与N的距离为5m； （3）小滑块的最大速度大小为，此时对轨道的压力大小为2.7N。 【详解】（1）由电场强度的定义式的推导式，可知：F＝qE＝10﹣4C×3×103V/m＝0.3N； （2）要使小滑块恰能运动到半圆轨道的最高点，根据竖直平面内圆周运动的临界条件：，得：， 小滑块从释放到最高点的过程中，由动能定理可知：，得：x＝5m； （3）由等效重力场的特点可知，滑块到达等效最低点时，速度最大，对轨道的压力F′也是最大，对此时的受力分析如图： 由图可知：，， 从释放到该点的过程中，运用动能定理可知：， 由相互作用力特点可知：N＝F'，二者方向相反， 联立解得：；F'＝2.7N。 答：（1）电场力大小为0.3N； （2）小滑块释放位置与N的距离为5m； （3）小滑块的最大速度大小为，此时对轨道的压力大小为2.7N。 16．【答案】（1）匀强电场的电场强度大小E为1.5×104N/C； （2）轻绳断裂前瞬间轻绳上的弹力大小F为7.2N； （3）小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离为0.175m。 【详解】（1）当小球处于静止状态时，小球受到的电场力的方向与绳子的方向垂直，如图 对小球受力分析有Eq＝mgsinθ 解得E＝1.5×104N/C （2）将小球受到的电场力与重力的合力视为等效重力，该等效重力大小G等＝mgcosθ 方向与竖直方向的夹角为θ，结合竖直平面内圆周运动的特点可知从小球被释放运动至轻绳与竖直方向的夹角为θ时，轻绳上的拉力最大，则有 对轻绳断裂前瞬间的小球，受力分析有 联立解得F＝7.2N （3）轻绳断裂后瞬间，小球在竖直方向上的分速度大小vy＝vsinθ 小球在竖直方向上的加速度大小ay＝gcosθ•cosθ 从轻绳断裂至小球落到水平地面上有 解得t＝0.5s 小球在水平方向上的分速度大小vx＝vcosθ 小球在水平方向上的加速度大小ax＝gcosθ•sinθ 小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离 联立解得x＝0.175m 答：（1）匀强电场的电场强度大小E为1.5×104N/C； （2）轻绳断裂前瞬间轻绳上的弹力大小F为7.2N； （3）小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离为0.175m。 17．【答案】（1）电场强度E的大小为2000N/C。 （2）轨道对小球的最大支持力大小为。 【详解】（1）设小球在轨迹最高点时速率为v，由题意可知该速率与小球从B点飞出时的速率vB相等。 小球从B点飞出后，水平方向在电场力作用下做匀减速直线运动，有 竖直方向在重力作用下做竖直上抛运动，有vB＝gt 联立得电场强度E的大小N/C＝2000N/C。 （2）将小球受到的电场力与重力合成得到等效重力，等效重力加速度，等效重力方向与竖直方向夹角为45°。 由动能定理，小球从释放点到等效最低点C有 小球在等效最低点C时轨道对它的支持力最大，由牛顿第二定律可得 解得轨道对小球的最大支持力大小。 答：（1）电场强度E的大小为2000N/C。 （2）轨道对小球的最大支持力大小为。 18．【答案】（1）小球到达B点速度大小为，AB两点的电势差为； （2）小球从B点运动到圆弧轨道速度最大处的电势能变化量为； （3）平行金属板的间距为1.5R。 【详解】（1）小球在B点，由牛顿第二定律可知N﹣mg，代入数据可得v，小球由A到B，由动能定理可知QUAB，代入数据可得UAB； （2）小球在圆弧轨道运动，受到的电场力和重力如图所示： QEmg，由平行四边形法则可知重力和电场力的等效重力G'mg，方向与水平方向夹角为α＝45°，小球运动到该等效最低点时速度最大，由B点至该点，小球电势能变化量ΔEp＝﹣QERsin45°，代入数据可得ΔEp； （3）小球由B点到C点，由动能定理可知，代入数据可得vC， 由C点到极板，水平方向做匀加速直线运动，加速度a1，v'＝a1t，竖直方向做匀减速直线运动，加速度a2，0＝vC﹣a2t，水平位移x，平行金属板的间距d＝x+R，代入数据可得d＝1.5R。 答：（1）小球到达B点速度大小为，AB两点的电势差为； （2）小球从B点运动到圆弧轨道速度最大处的电势能变化量为； （3）平行金属板的间距为1.5R。 19．【答案】（1）电场强度E的大小为； （2）小球在A点的速度大小，B点的速度大小为。 【详解】（1）由题意，A、B两点间的电势差为U，沿电场线方向的距离为L，根据匀强电场强度公式有E （2）设A点速度大小为vA，B的速度大小为vB，小球运动到A点位置，根据牛顿第二定律有qE﹣mg 解得vA 小球从A运动B的过程，根据动能定理有qEL﹣mgL 联立解得vB。 答：（1）电场强度E的大小为； （2）小球在A点的速度大小，B点的速度大小为。 20．【答案】（1）匀强电场的电场强度大小为7.5×103V/m； （2）小球从P到C的过程中速度的最大值为m/s。 【详解】（1）设小球在C点的速度大小是vC，则对于小球由P到C的过程中，由动能定理得： 在C点由牛顿第二定律得 解得E＝7.5×103V/m （2）由于qE＝1×10﹣4×7.5×103N＝0.75N＝0.75mg 小球从P到C的过程中，切线方向合力为零时到达D点，此时合力与竖直方向的夹角满足tanθ 则θ＝37° 设小球在D点的动能最大，由动能定理可得qER（1+sinθ）﹣mgR（1﹣cosθ） 联立解得vmm/s 答：（1）匀强电场的电场强度大小为7.5×103V/m； （2）小球从P到C的过程中速度的最大值为m/s。 21．【答案】（1）该匀强电场的电场强度E的大小为； （2）在小球向下摆动过程中，细线拉力的最大值为。 【详解】（1）对小球受力分析，由平衡条件可知，电场力方向指向右上方，如图所示： 将力正交分解，有Tsinθ＝Eqsinβ，Tcosθ+Eqcosβ＝mg， 用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，金属球带电量为， 再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝30°，有，， 代入数据可得：，β＝60°； （2）由上述分析可知电场力Eq＝mg，电场力和重力大小方向均不变，可将二者合力F视为等效重力，由平行四边形法则可知F＝mg，方向与竖直方向夹角为60°，如图所示： 小球拉至水平位置，静止释放后做竖直面圆周运动，到等效最低点时细线的拉力最大，由动能定理可知Fl（1﹣sin60°）mv2﹣0，在等效最低点，由牛顿第二定律可知T'﹣F，代入数据可得：T'。 答：（1）该匀强电场的电场强度E的大小为； （2）在小球向下摆动过程中，细线拉力的最大值为。 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理三轮大题集训3：带电粒子在电场中的运动 题型1 带电粒子在电场中的直线运动 1 题型2 带电粒子在电场中的曲线运动 10 题型3 等效重力场 20 题型1 带电粒子在电场中的直线运动 1．（2026•广州模拟）在雷达技术商业化初期，反射式速调管因能稳定产生特定频率的微波信号，是常用的微波器件之一。利用带电粒子与电场相互作用原理模拟制成的微波振荡器件，其内部电场如图所示，在虚线两侧分布着平行于x轴，方向相反的匀强电场，电场强度大小分别为，。一质量为m＝2×10﹣6kg、电荷量大小为q＝1×10﹣9C的带负电的粒子从x轴上的P（﹣2cm，0）点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴往复运动。求： （1）带电粒子在运动过程中速度的最大值vmax； （2）粒子向右运动距O点的最远距离d； （3）粒子运动的频率f。 【答案】（1）带电粒子通过原点时速度最大，最大值为0.2m/s。 （2）粒子向右运动距O点的最远距离为0.04m。 （3）粒子运动的频率为Hz。 【详解】（1）粒子先向右做匀加速直线运动，经过原点后向右做匀减速直线运动，因此粒子通过原点时速度达到最大值。根据动能定理可得：，解得：vmax＝0.2m/s。 （2）根据动能定理可得：E1qx﹣E2qd＝0，解得：d＝0.04m。 （3）根据牛顿第二定律，粒子在原点左右两侧的加速度大小分别为：，。粒子在左侧电场中加速过程满足：vmax＝a1t1。利用逆向思维，粒子在原点右侧的减速过程可视为反向的加速过程，满足：vmax＝a2t2。根据运动的对称性，粒子运动的周期为：T＝2（t1+t2）。又因为，代入数据解得：。 答：（1）带电粒子通过原点时速度最大，最大值为0.2m/s。 （2）粒子向右运动距O点的最远距离为0.04m。 （3）粒子运动的频率为Hz。 2．（2026•辽宁模拟）某离子实验装置的基本原理如图所示，离子源能源源不断从坐标原点O沿y轴正向发射同种离子，离子质量为m，电荷量为+q，初速度v大小范围在0～3v0之间。以过x＝L垂直于纸面的界面为边界，界面左侧为Ⅰ区，存在沿x轴正向的匀强电场，大小E0未知，右侧为Ⅱ区，存在垂直纸面向外的匀强磁场，其大小B0也未知。其中初速为v0的离子从O点出射后立刻进入Ⅰ区，在电场中偏转θ＝45°后进入匀强磁场，已知此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等。忽略边界效应，忽略离子间的相互作用力，不计离子重力。求： （1）E0和B0的比值； （2）初速度为v0的离子在磁场中圆周运动的半径和周期； （3）从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程。 【答案】（1）E0和B0的比值是v0； （2）初速度为v0的离子在磁场中圆周运动的半径是4L，周期是； （3）从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程为其中或，其中。 【详解】（1）离子在电场中的加速度为 a 初速为v0的离子从O点出射后立刻进入Ⅰ区，做类平抛运动，在电场中偏转θ＝45°后进入匀强磁场，根据矢量关系知，离子出电场的速度即在磁场中匀速圆周运动的速度大小为，水平向右的分速度为v0，根据牛顿第二定律有 解得在磁场中的加速度为 此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等，联立可得 （2）离子在电场中根据运动规律有 解得加速度 在磁场中的速度大小为 故加速度为 联立可得 R＝4L 故周期 （3）如图所示 离子在电场中水平方向做初速为0的匀加速直线运动，根据（1）的分析可知，离子在P点水平向右的分速度为v0故水平方向，根据运动学规律 从边界P点射出后进入磁场时yP＝vyt 联立上方两式可得 离子在磁场中做圆周运动的速度为v1，满足 圆心O1的横坐标为 x＝L+Rcosθ＝L 纵坐标为 且当磁场中速度为时，R＝4L即 则或 联立以上三式可得圆心的轨迹线为一条直线，方程为其中 或，其中 答：（1）E0和B0的比值是v0； （2）初速度为v0的离子在磁场中圆周运动的半径是4L，周期是； （3）从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程为其中或，其中。 3．（2026•天津模拟）如图所示一款实验室研发的颗粒物质谱检测装置原理图，比荷为的某种带正电颗粒从容器A下方的狭缝S1源源不断的飘入（其初速度可视为0）电势差为U0的加速电场后经狭缝S2射出，然后沿着M、N板的中心线OO1运动并从O1点进入半径为R的圆形磁场区域Ⅱ，最终垂直打在金属板PQ上，金属板PQ与OO1平行；M、N板间电压为U1，板间距为d，两板间区域Ⅰ和圆形磁场区域Ⅱ存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆形磁场区域Ⅱ的圆心O2在OO1的延长线上，（不考虑颗粒的重力和颗粒之间的相互作用）求解下列问题： （1）颗粒粒子到达狭缝S2时的速度大小； （2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度B1和B2的大小； （3）若将区域Ⅱ的磁感应强度调整为原来的倍，同时将PQ逆时针转过角度α，使粒子垂直打在PQ上，求α角。 【答案】（1）颗粒粒子到达狭缝S2时的速度大小是； （2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度B1是，B2的大小是； （3）若将区域Ⅱ的磁感应强度调整为原来的倍，同时将PQ逆时针转过角度α，使粒子垂直打在PQ上，α角是30°。 【详解】（1）粒子在加速电场中做匀加速直线运动 解得v0 （2）粒子在区域Ⅰ沿着中心线运动，根据二力平衡 解得B1 粒子垂直打在金属板上，粒子在磁场中的速度方向偏转了90°；粒子运动了四分之一圆弧，故轨迹圆半径r＝R，洛伦兹力提供向心力qv0B2 解得B2 （3）若将磁感应强度调整为原来的倍，则 解得，将PQ逆时针转过α角，粒子垂直打在PQ上，则轨迹圆弧对应的圆心角变为θ＝90°+α 几何关系 代入数据得α＝30° 答：（1）颗粒粒子到达狭缝S2时的速度大小是； （2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度B1是，B2的大小是； （3）若将区域Ⅱ的磁感应强度调整为原来的倍，同时将PQ逆时针转过角度α，使粒子垂直打在PQ上，α角是30°。 4．（2026•延安二模）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后通过偏转磁场和聚集磁场将质子引向肿瘤并产生轰击作用，杀死恶性细胞。如图10甲所示为质子加速的示意图，在金属圆筒0、A、B、C、D、E之间加如图乙所示大小恒定为U的交变电压，使质子恰好经过圆筒轴线间的间隙时加速，进入圆筒后做匀速直线运动，圆筒的长度设计必须遵循一定的规律。已知质子由0位置处静止释放加速，质子的电荷量为e，质量为m，若忽略质子的重力、质子经过圆筒间隙的时间及质子的相对论效应。求： （1）质子刚好飞出圆筒E时速度的大小； （2）圆筒B与圆筒D的长度之比。 【答案】（1）质子刚好飞出圆筒E时速度的大小为。 （2）圆筒B与圆筒D的长度之比为。 【详解】（1）质子在圆筒间隙中受电场加速，根据图甲可知，质子到达圆筒E前共经历5次间隙加速。由动能定理得，解得质子飞出圆筒E时速度大小为。 （2）质子在圆筒内做匀速直线运动，为保证质子每次到达间隙时均能被加速，其在圆筒内运动时间应为交变电压周期的一半，即。 圆筒长度，其中v为质子在该圆筒内的速度。质子在圆筒B内运动时已加速2次，由动能定理，解得； 质子在圆筒D内运动时已加速4次，由动能定理，解得。因此圆筒B与圆筒D的长度之比，解得：。 答：（1）质子刚好飞出圆筒E时速度的大小为。 （2）圆筒B与圆筒D的长度之比为。 5．（2025•广州校级模拟）如图所示，上、下水平放置的两带电金属板，相距为3l，板间有竖直向下的匀强电场E。距上板l处有一带电荷量为+q的小球B，在小球B上方有一带电荷量为﹣6q的小球A，它们质量均为m，用长度为l的绝缘轻杆相连。已知，让两小球从静止释放，小球可以通过上板的小孔进入电场中（空气阻力不计，重力加速度为g）。求： （1）B球刚进入电场时的速度v1大小； （2）A球刚进入电场时的速度v2大小； （3）B球是否能碰到下板；如能，求刚碰到时B球的速度v3大小；如不能，请通过计算说明理由。 【答案】（1）B球刚进入电场时的速度v1大小等于； （2）A球刚进入电场时的速度v2大小等于； （3）B球不能碰到下板。 【详解】（1）B球进入电场前，两小球不受电场力作用，只受重力作用，做自由落体运动，则2gl 解得 v1。 （2）A球进入电场前，只有B球受电场力，则F＝qE＝mg 方向竖直向下， 由牛顿第二定律可得F+2mg＝2ma1 解得a1＝1.5g 系统做匀加速直线运动，A球刚进入电场时有2a1l 解得v2 （3）当A、B球全部进入电场后，系统受力如图所示 6qE﹣qE﹣2mg＝2ma2 解得a2＝1.5g 设系统速度为零时，B球没碰到下板，此时系统通过的距离为H，则 H 解得 H2l 故B球不能碰到下板。 答：（1）B球刚进入电场时的速度v1大小等于； （2）A球刚进入电场时的速度v2大小等于； （3）B球不能碰到下板。 6．（2025•东丽区校级二模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为U0，且U＝+U0对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。t＝0时刻，有一电量为q、质量为m的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 （1）求粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小？ （2）第n个圆筒的长度？ （3）实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为d，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 【答案】（1）粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小为； （2）第n个圆筒的长度为； （3）粒子能获得的最大动能是。 【详解】（1）粒子一、二圆筒间的电场中加速过程，根据动能定理得 qU0 解得v1 因圆筒内部电场强度为零，粒子在圆筒内不受电场力，做匀速直线运动，故粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小为。 （2）进入第n个圆筒的粒子经过（n﹣1）次加速，根据动能定理得 （n﹣1）qU0 解得第n个圆筒的粒子速度为vn﹣1 故第n个圆筒的长度为Ln＝vn﹣1 （3）在不改变交变电源的情况下，若考虑粒子在缝隙电场中的加速时间，则粒子进入每级圆筒的时间都要延后一些，如果延后累计时间等于，则粒子再次进入电场时将开始减速，此时的速度就是粒子能获得的最大速度。由于两圆筒间隙的电场可以近似看为匀强电场，间距均为d，粒子在电场中后一个加速过程可以看为前一加速过程的延续，令粒子的最大速度为vm，则有 vm＝a•• 粒子的最大动能为 Ekm 解得Ekm 答：（1）粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小为； （2）第n个圆筒的长度为； （3）粒子能获得的最大动能是。 7．（2025秋•渝中区校级月考）飞行时间质谱仪，是利用离子飞行的时间测量离子的质量及比荷（电荷量与质量之比）的仪器。如图甲所示，一激光脉冲照射到样品靶上，瞬间产生一定数量不同种类的带正电的离子。离子初速度不计，经过宽为D、电压为U的静电场加速后，射入长为L的无场飞行区，在飞行区内沿轴线做匀速直线运动。在飞行区的B端置有探测装置，可测得离子在飞行区中的运动时间。不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）某种离子在无场飞行区中的运动时间为T1，求该离子的比荷； （2）若在飞行区前加一组静电场反射镜，将飞出的离子反推回去，加长离子的飞行时间可提高质谱仪的分辨率。如图乙，当在飞行区MN极板加偏转电压U′，电场反射区加向左的匀强电场，场强大小为E，离子在静电力的作用下返回到B端检测器（离子未与极板C相碰），若探测器测得某离子从进入A端至B端检测器的总飞行时间为T2，求该离子的比荷。 【答案】（1）某种离子在无场飞行区中的运动时间为T1，该离子的比荷为； （2）若探测器测得某离子从进入A端至B端检测器的总飞行时间为T2，该离子的比荷为。 【详解】（1）在加速电场运动，有 水平方向匀速运动，有L＝vT1 可得比荷 （2）偏转电场不影响水平方向的运动，在飞行区时间不变。反射区，竖直方向做匀速直线运动，水平方向减速为零的时间v＝aT 减速时加速度为 减速为零的时间为 故运动时间 可得 答：（1）某种离子在无场飞行区中的运动时间为T1，该离子的比荷为； （2）若探测器测得某离子从进入A端至B端检测器的总飞行时间为T2，该离子的比荷为。 题型2 带电粒子在电场中的曲线运动 8．（2026•金山区模拟）流式细胞仪是一种对不同类型的细胞进行分类收集的装置。其主要原理是：将待测定细胞分散在液滴中，通过激光检测信号来判断细胞是否需要被分离，对需要分离的细胞液滴充电，带电液滴通过静电场发生偏转，从而实现细胞的分类收集。 （1）流式细胞仪内常用的激光器是氩离子激光器，它主要发出绿光和蓝光。 ①如图1为绿光从空气射入半圆形玻璃砖再从玻璃砖射入空气的光路图，O为半圆形砖的圆心。下列情况中可能发生的是 　BD　 。 ②图2为绿光或蓝光通过单缝或双缝所呈现的图样，其中属于绿光干涉图样的是 　A　 。 ③用波长为λ的蓝光做光电效应实验，被照射金属的逸出功为W，则蓝光对应的遏止电压为 　　 。（普朗克常量为h，元电荷为e，真空中光速为c） （2）流式细胞仪的分选功能是由细胞分选器来完成的。如图3所示，间距为d、长为L的平行电极板间存在水平方向的匀强电场，电场强度大小为E。使一质量为m的含细胞液滴带上正电，电荷量为q，液滴以速度v0从两极板上方竖直向下进入电场，从点P离开电场。不计液滴重力、空气阻力以及边缘效应。 ①若两极板所构成电容器的电容为C，该电容器所带电荷量为 　CEd　 。 ②（计算）求液滴离开电场时偏转的距离x及其在点P位置时的速度v。 ③（计算）若电极板下方存在垂直纸面方向的匀强磁场，液滴运动到电极板下方h处的收集管时，速度方向恰好竖直向下，求该磁场的磁感应强度B。 【答案】（1）①BD。 ②A。 ③。 （2）①CEd。 ②偏转距离为，速度大小为。 ③磁感应强度为。 【详解】（1）①依据折射定律，光线从空气进入玻璃时，折射角小于入射角，而从玻璃射入空气时，折射角大于入射角。AB、对于图B，光线沿半径方向进入玻璃，在圆心O处由玻璃射入空气，折射角大于入射角，符合规律，故A错误，B正确； CD、对于图D，光线在圆心O处由空气射入玻璃，折射角小于入射角，随后沿半径方向从玻璃射出，亦符合规律，故C错误，D正确。故BD正确。 故选：BD。 ②在图2中，A与B属于干涉条纹，C与D属于衍射条纹。由双缝干涉条纹宽度公式可知，波长越长，条纹间距越大。由于绿光波长大于蓝光，即λ绿＞λ蓝，因此条纹较宽的A为绿光干涉图样，故A正确，BCD错误。 故选：A。 ③根据光电效应方程，光电子最大初动能为，结合动能定理eUc＝Ek，解得遏止电压。 （2）①由平行板电容器公式U＝Ed及电容定义Q＝CU，联立解得极板所带电荷量Q＝CEd。 ②液滴进入电场后做类平抛运动，竖直方向匀速运动，运动时间；水平方向做初速为零的匀加速运动，加速度。 水平偏转距离，代入解得。离开电场时，水平分速度，竖直分速度vy＝v0，故合速度大小为。 ③液滴进入磁场时，速度方向与竖直方向夹角为α，满足。液滴在磁场中做匀速圆周运动，轨道半径。为使到达收集管时速度方向恰好竖直向下，液滴在磁场中运动转过的圆心角应为α。由几何关系，竖直位移h＝rsinα，即。将代入，解得磁感应强度。 答：（1）①BD。 ②A。 ③。 （2）①CEd。 ②偏转距离为，速度大小为。 ③磁感应强度为。 9．（2026•大庆模拟）带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在着匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。如图所示，t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射一个速度大小为v0的粒子，方向平行金属板向右，刚好从N板右端射出。不计重力和粒子间的相互作用，求： （1）粒子在电场中运动的时间； （2）粒子源以初速度大小v0垂直于极板向下发射相同粒子，粒子到达N板时的速度大小为，求两板间的距离； （3）已知平行板电容器的电容，若金属板的电荷量保持不变，N板上移，使两板间的距离变为原来的，求图中粒子打在N板上的位置。 【答案】（1）粒子在电场中运动的时间为； （2）粒子源以初速度大小v0垂直于极板向下发射相同粒子，粒子到达N板时的速度大小为，两板间的距离为； （3）已知平行板电容器的电容，若金属板的电荷量保持不变，N板上移，使两板间的距离变为原来的，图中粒子打在N板上的位置为距N板右端处。 【详解】（1）粒子在电场中做类平抛运动，水平方向匀速直线运动，故 解得 （2）由于两次射出时粒子初速度相同，落到下极板时电场力做功也相同，故水平发射的粒子从N板右端射出的速度大小也为； 水平发射的粒子从N极板射出时垂直于金属板的分速度为 根据竖直分运动 解得 （3）根据平行板电容器的表达式 电容定义式 匀强电场场强公式 可得 当改变两板间距离时，电场强度E不变，粒子加速度不变，则， 由上式解得 故 粒子打在距N板右端处。 答：（1）粒子在电场中运动的时间为； （2）粒子源以初速度大小v0垂直于极板向下发射相同粒子，粒子到达N板时的速度大小为，两板间的距离为； （3）已知平行板电容器的电容，若金属板的电荷量保持不变，N板上移，使两板间的距离变为原来的，图中粒子打在N板上的位置为距N板右端处。 10．（2026•尖山区校级一模）如图甲所示的X﹣CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测。图乙是某种X﹣CT扫描机产生X射线部分的示意图，电子从A极板附近由静止开始沿图中实线所示的方向前进，打到水平圆形靶台上的中心点P而产生X射线（如图中带箭头的竖直虚线PO所示）。已知A、B间的加速电压为U1，C、D板间距为d，C、D极板长均为L，极板C的右端到直线PO的水平距离为s，电子的质量为m，带电荷量为e，OP的高度为H，水平圆形靶台的半径为R，不计空气阻力、电子受到的重力及电子间的相互作用，忽略极板的边缘效应。 （1）求电子打到靶台上中心点P时，C、D板间的偏转电压U2； （2）若仅改变C、D板间的电压，使打在靶台上电子的动能最小，求C、D板对应的偏转电压U3。 【答案】（1）电子打到靶台上中心点P时，C、D板间的偏转电压为； （2）若仅改变C、D板间的电压，使打在靶台上电子的动能最小，C、D板对应的偏转电压为。 【详解】（1）电子在A、B间加速，根据动能定理可得 可得 电子在C、D间做类平抛运动，沿水平方向有L＝vt 竖直方向有， 联立解得 根据电子离开偏转电场的速度方向反向延长线过水平位移的中点，结合几何关系可得 解得 （2）电子从偏转电场射出后动能不变，电子打在靶台右边缘时的动能最小，设电子在C、D间沿竖直方向的位移为y′，根据（1）问分析可得， 联立解得 答：（1）电子打到靶台上中心点P时，C、D板间的偏转电压为； （2）若仅改变C、D板间的电压，使打在靶台上电子的动能最小，C、D板对应的偏转电压为。 11．（2026•福州模拟）如图甲所示，电子枪连续不断均匀地发出电子（设电子的初速度为零），经加速电压为U1的加速电场加速后，沿图中圆弧虚线通过静电分析器，沿两个距离为d的水平金属板A、B间的中心线射入偏转电场。A、B两板间加入图乙所示的周期性变化的电压UAB，电压变化周期为T，前半周期UAB为U0，后半周期UAB为﹣3U0。已知电子质量为m、电荷量为﹣e，电子在静电分析器中运动轨迹处的场强为E0，方向如图所示，A、B板长为，所有电子都能离开偏转电场，不计电子的重力及电子间的相互作用力。求： （1）圆弧虚线对应的半径R的大小； （2）在t＝0时刻射入偏转电场的电子射出偏转电场时的动能； （3）在足够长的时间内，从中心线下方离开偏转电场的电子数占电子总数的比例η。 【答案】（1）圆弧虚线对应的半径R的大小为； （2）在t＝0时刻射入偏转电场的电子射出偏转电场时的动能为eU1； （3）在足够长的时间内，从中心线下方离开偏转电场的电子数占电子总数的比例为。 【详解】（1）电子经加速电场加速，由动能定理： 在静电分析器中，电场力提供向心力： 联立解得： （2）设电子在电场中运动时间为t，加速度为a，沿电场方向的速度为vy 水平方向匀速运动：LAB＝vt， 沿电场方向 ，vy＝at 电子离开电场时的动能 解得 （3）因分析时间足够长，故只讨论一个周期内的运动情况，分两种情况分析射入时刻t0： 情况1：（前半周期射入电场中，UAB＝U0） 电子在偏转电场中运动的时间内，前（）时间内的加速度为：；之后的加速度为： 竖直位移为： 化简得： 要求y1＜0 从下方离开，解得： 此区间内符合条件的时间间隔为： 情况2：（后半周期射入电场中，UAB＝﹣3U0） 电子在偏转电场中运动的时间内，从t0到T时间内时间加速度为：，其后的加速度为 竖直位移：0 解得：t0 符合条件的区间为，此区间内符合条件的时间间隔为； 在一个周期内符合条件的总时间长度为 从下方离开的电子比例 答：（1）圆弧虚线对应的半径R的大小为； （2）在t＝0时刻射入偏转电场的电子射出偏转电场时的动能为eU1； （3）在足够长的时间内，从中心线下方离开偏转电场的电子数占电子总数的比例为。 12．（2026•乌鲁木齐校级模拟）现代科技研究中，科学家们常用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹。如图所示，平面直角坐标系xoy中，在第一象限内，存在以抛物线方程y＝（x﹣2）2（0≤x≤2m）为边界沿y轴负方向的匀强电场；第二象限存在一垂直于纸面向外、半径为r＝2m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B1；第四象限（x≥2m）区域存在一垂直于纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度为B2＝1T，其余0≤x≤2m区域为无场区；一群带正电粒子从x轴上的A（﹣2m，0）点以初速度，方向与x轴正方向成β（0≤β≤180°）进入第二象限，经圆形磁场偏转后所有粒子垂直于y轴进入第一象限，不计粒子重力及粒子间相互作用，不计运动电荷对磁场的影响，带电粒子的比荷为2×106C/kg，不考虑相对论效应，求： （1）磁感应强度B1的大小？ （2）沿着y轴负半轴放置一块不计厚度的粒子收集板，要将经磁场B2偏转后的粒子全部收集，收集板的长度至少为多大？ （3）若题（2）中为特殊材料制成的收集板，经磁场B2偏转后的粒子能垂直穿过y轴进入第三象限（即沿x轴方向没有能量损失，沿y轴方向能量全部损失），且在第三象限交替分布着沿﹣x方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L＝2m，边界与x轴垂直，电场强度，磁感应强度从右往左依次分别为B、2B、3B…nB，其中B＝0.3T。经过多次进出电场和磁场后粒子的轨迹恰好与某磁场左边界相切，求粒子在第三象限中能到达距y轴的最远距离？ 【答案】（1）磁感应强度B1的大小是1T； （2）沿着y轴负半轴放置一块不计厚度的粒子收集板，要将经磁场B2偏转后的粒子全部收集，收集板的长度至少为8m； （3）粒子在第三象限中能到达距y轴的最远距离是16m。 【详解】（1）因为带电粒子平行x轴离开圆形磁场，根据磁发散条件可知，带电粒子偏转半径R＝r 粒子做匀速圆周运动，由洛伦兹力提供向心力，则有 代入数据得B1＝1T （2）粒子进入电场时，假设抛物线边界任一入射点坐标为（x，y），经过电场偏转后经过x轴上点（x2，0），则有x2﹣x＝v0t，，y＝（x﹣2）2 代入数据得x2＝2m 可知，全部粒子均从D（2m，0）进入第四象限。又因为粒子进入磁场x方向的速度分量保持不变，粒子在磁场B2中运动轨迹的弦长为 可知，所有粒子弦长相同，均经过x＝2m直线上同一点，则有 代入数据得y＝﹣4m 即坐标为（2m，﹣4m）。当y＝4m的入射粒子经过磁场B2偏转后到达点（2m，﹣4m）时，速度与水平方向夹角为θ，则有tanθ＝4如图所示 可知，粒子打到y轴（0，﹣12m），所以收集板长度至少为8m。 （3）粒子到达距离y轴最远时，速度方向平行于y方向，只要能进入下一个电场，就有平行x方向的速度，由此可知粒子离y轴最远时一定处于第n个磁场中，此前粒子已经过n个电场，设此时粒子速度大小为vn，由动能定理有． 粒子每经过一个电场加速后就进入下一个磁场，则通过第n个磁场的过程中，设粒子进入第i个磁场时速度方向与水平方向的夹角为α，在竖直方向上由动量定理有∑mΔvy＝∑qiBvxΔt＝qiBL 所以从进入第三象限开始到最后一个磁场，累计有q（1+2+3+⋯⋯+n）BL＝mvn﹣0 代入数据得 代入数据得n＝4 可知粒子离轴最远的距离为x＝2nL＝8L 代入数据得x＝16m 答：（1）磁感应强度B1的大小是1T； （2）沿着y轴负半轴放置一块不计厚度的粒子收集板，要将经磁场B2偏转后的粒子全部收集，收集板的长度至少为8m； （3）粒子在第三象限中能到达距y轴的最远距离是16m。 13．（2026•包头一模）如图（a）所示，一带正电的圆环套在粗糙绝缘水平杆上，处于静止状态，在整个空间加平行于竖直平面与水平方向成θ角的匀强电场，且电场强度从零逐渐增大，圆环的加速度大小随电场强度的变化如图（b）所示。不计空气阻力，重力加速度为g，E0为已知量，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）圆环与水平杆间的动摩擦因数μ及θ； （2）圆环的比荷。 【答案】（1）圆环与水平杆间的动摩擦因数是及θ是60°； （2）圆环的比荷是。 【详解】（1）当场强较大时，圆环所受的支持力方向竖直向下，由牛顿第二定律qEcosθ﹣μ（qEsinθ﹣mg）＝ma 解得，由图（b）知，场强较大时，圆环的加速度恒为 对比可得cosθ﹣μsinθ＝0， 代入数据得圆环与水平杆间的动摩擦因数，θ＝60°； （2）由图（b）知，当E＝E0时，圆环将开始运动，此时圆环所受的支持力方向竖直向上，且圆环所受的静摩擦力恰好达到最大，则qE0cosθ＝μ（mg﹣qE0sinθ） 代入数据得圆环的比荷 答：（1）圆环与水平杆间的动摩擦因数是及θ是60°； （2）圆环的比荷是。 14．（2026•桃城区校级模拟）如图，绝缘轨道ABCDE由粗糙水平轨道ABC和光滑竖直半圆轨道CDE组成，两部分轨道平滑连接于C点，半圆轨道的圆心为O、半径，水平轨道上方存在一个方向水平向右、电场强度大小随时间变化的电场区域BC（不考虑变化的电场产生的磁场）。一根轻弹簧左端拴接在A处的竖直墙面上，右端与质量m＝1kg、电荷量q＝+1C的带电小物块接触（不连接），弹簧处于原长时物块位于B点。让物块向左压缩弹簧使弹簧的弹性势能为Ep＝0.9J时，物块向左移动了x＝0.2m，然后自由释放物块，物块进入水平电场并开始计时，电场强度大小与时间的函数表达式为E＝4t，物块进入半圆轨道后，在D点对半圆轨道的压力恰好为零，此时OD与竖直方向的夹角θ＝60°。物块可视为点电荷，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）物块进入半圆轨道时的速度大小v； （2）物块刚进入电场时的速度； （3）物块在电场中的运动时间t。 【答案】（1）物块进入半圆轨道时的速度大小v为5m/s； （2）物块刚进入电场时的速度为1m/s； （3）物块在电场中的运动时间t为2s。 【详解】（1）在半圆轨道的D点时，物块对半圆轨道的压力为零，则半圆轨道对物块的支持力为零，由重力的径向分力提供物块圆周运动的向心力，则根据牛顿第二定律有 物块从C到D的过程，根据机械能守恒定律得 解得物块进入半圆轨道时的速度大小v＝5m/s （2）物块从释放到运动到B的过程，根据能量守恒定律有 解得物块刚进入电场时的速度v0＝1m/s （3）方法一：对物块在电场中运动的过程，规定向右为正方向，根据动量定理得 IE﹣μmgt＝mv﹣mv0 画出电场强度E随时间t变化的图像如图所示： 则t时间内电场力的冲量IE＝qt＝q4t×t＝2qt2 联立并代入数据得：t2﹣t﹣2＝0 解得物块在电场中的运动时间t＝2s（t＝﹣1s舍去） 方法二：物块进入电场后，以向右为正方向，根据牛顿第二定律得 Eq﹣μmg＝ma 将E＝4t和已知数据代入⑥式得关于a的函数表达式为a＝4t﹣2 作出a﹣t图像如图所示： 根据a﹣t图像中图线与t轴所围图形的面积表示速度的变化量（t轴上方的面积表示速度的增加量，下方的面积表示速度的减小量），可知图中阴影部分的面积即为物块在电场中的速度变化量，则有 解得物块在电场中的运动时间t＝2s（t＝﹣1s舍去） 答：（1）物块进入半圆轨道时的速度大小v为5m/s； （2）物块刚进入电场时的速度为1m/s； （3）物块在电场中的运动时间t为2s。 题型3 等效重力场 15．（2026•内江校级二模）如图所示，在E＝3×103V/m的水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，其半径R＝0.5m，轨道与一粗糙水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行。一电荷量为q＝+10﹣4C的小滑块质量为m＝0.04kg，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，求： （1）小滑块受到的电场力大小； （2）要使小滑块恰能运动到半圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处由静止释放？ （3）在（2）问中这样释放的滑块通过轨道的最大速度的大小以及此时滑块对轨道的压力的大小为多少？ 【答案】（1）电场力大小为0.3N； （2）小滑块释放位置与N的距离为5m； （3）小滑块的最大速度大小为，此时对轨道的压力大小为2.7N。 【详解】（1）由电场强度的定义式的推导式，可知：F＝qE＝10﹣4C×3×103V/m＝0.3N； （2）要使小滑块恰能运动到半圆轨道的最高点，根据竖直平面内圆周运动的临界条件：，得：， 小滑块从释放到最高点的过程中，由动能定理可知：，得：x＝5m； （3）由等效重力场的特点可知，滑块到达等效最低点时，速度最大，对轨道的压力F′也是最大，对此时的受力分析如图： 由图可知：，， 从释放到该点的过程中，运用动能定理可知：， 由相互作用力特点可知：N＝F'，二者方向相反， 联立解得：；F'＝2.7N。 答：（1）电场力大小为0.3N； （2）小滑块释放位置与N的距离为5m； （3）小滑块的最大速度大小为，此时对轨道的压力大小为2.7N。 16．（2025秋•宜春期末）如图所示，足够大的空间内存在方向与水平方向的夹角θ＝37°的匀强电场，长的绝缘轻绳一端系于水平天花板上的O点，另一端系有质量m＝0.5kg，电荷量q＝+2×10﹣4C的小球（视为点电荷）。当轻绳与竖直方向的夹角也为θ时，小球恰能处于静止状态。现将小球拉至O点右侧与O点等高位置（轻绳刚好拉直）由静止释放，小球运动到轻绳上拉力最大时，轻绳恰好断裂（不影响小球瞬时速度），最终小球落在水平地面上。已知O点到水平地面的高度h＝1.9m，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）轻绳断裂前瞬间轻绳上的弹力大小F； （3）小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离。 【答案】（1）匀强电场的电场强度大小E为1.5×104N/C； （2）轻绳断裂前瞬间轻绳上的弹力大小F为7.2N； （3）小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离为0.175m。 【详解】（1）当小球处于静止状态时，小球受到的电场力的方向与绳子的方向垂直，如图 对小球受力分析有Eq＝mgsinθ 解得E＝1.5×104N/C （2）将小球受到的电场力与重力的合力视为等效重力，该等效重力大小G等＝mgcosθ 方向与竖直方向的夹角为θ，结合竖直平面内圆周运动的特点可知从小球被释放运动至轻绳与竖直方向的夹角为θ时，轻绳上的拉力最大，则有 对轻绳断裂前瞬间的小球，受力分析有 联立解得F＝7.2N （3）轻绳断裂后瞬间，小球在竖直方向上的分速度大小vy＝vsinθ 小球在竖直方向上的加速度大小ay＝gcosθ•cosθ 从轻绳断裂至小球落到水平地面上有 解得t＝0.5s 小球在水平方向上的分速度大小vx＝vcosθ 小球在水平方向上的加速度大小ax＝gcosθ•sinθ 小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离 联立解得x＝0.175m 答：（1）匀强电场的电场强度大小E为1.5×104N/C； （2）轻绳断裂前瞬间轻绳上的弹力大小F为7.2N； （3）小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离为0.175m。 17．（2025秋•青羊区校级期末）如图，在竖直平面内，半径为R＝0.4m的四分之一光滑圆弧轨道AB与水平光滑轨道相切于A点。整个系统处于水平向左的匀强电场中，一带电小球质量为m＝0.02kg，电荷量q＝1×10﹣4C，由水平轨道某点静止释放，然后从B点飞出，在轨迹最高点时速率与飞出B点时的速率相等。已知在运动过程中小球电荷量保持不变，小球在水平轨道上运动的距离为0.8m。g＝10m/s2。求： （1）电场强度E的大小； （2）轨道对小球最大支持力的大小。 【答案】（1）电场强度E的大小为2000N/C。 （2）轨道对小球的最大支持力大小为。 【详解】（1）设小球在轨迹最高点时速率为v，由题意可知该速率与小球从B点飞出时的速率vB相等。 小球从B点飞出后，水平方向在电场力作用下做匀减速直线运动，有 竖直方向在重力作用下做竖直上抛运动，有vB＝gt 联立得电场强度E的大小N/C＝2000N/C。 （2）将小球受到的电场力与重力合成得到等效重力，等效重力加速度，等效重力方向与竖直方向夹角为45°。 由动能定理，小球从释放点到等效最低点C有 小球在等效最低点C时轨道对它的支持力最大，由牛顿第二定律可得 解得轨道对小球的最大支持力大小。 答：（1）电场强度E的大小为2000N/C。 （2）轨道对小球的最大支持力大小为。 18．（2025秋•越秀区期末）如图所示，光滑水平面右端连接着四分之一光滑圆弧，圆弧半径为R，连接处竖直放置足够长且开有小孔的平行金属板，板间存在水平向右的匀强电场。水平面左侧固定一正点电荷P，质量为m、电量为Q的正电小球Q（视为质点）从距离B左侧L＝2R的A点静止释放，到达B点时受到的支持力大小N＝2mg。此后运动到C点飞出，并恰好垂直击中负极板。已知重力加速度为g，场强大小为，不计其他阻力，接触面均绝缘，电荷P不影响极板间场强分布。求： （1）小球到达B点速度大小v和AB两点的电势差UAB； （2）小球从B点运动到圆弧轨道速度最大处的电势能变化量ΔEp； （3）平行金属板的间距d。 【答案】（1）小球到达B点速度大小为，AB两点的电势差为； （2）小球从B点运动到圆弧轨道速度最大处的电势能变化量为； （3）平行金属板的间距为1.5R。 【详解】（1）小球在B点，由牛顿第二定律可知N﹣mg，代入数据可得v，小球由A到B，由动能定理可知QUAB，代入数据可得UAB； （2）小球在圆弧轨道运动，受到的电场力和重力如图所示： QEmg，由平行四边形法则可知重力和电场力的等效重力G'mg，方向与水平方向夹角为α＝45°，小球运动到该等效最低点时速度最大，由B点至该点，小球电势能变化量ΔEp＝﹣QERsin45°，代入数据可得ΔEp； （3）小球由B点到C点，由动能定理可知，代入数据可得vC， 由C点到极板，水平方向做匀加速直线运动，加速度a1，v'＝a1t，竖直方向做匀减速直线运动，加速度a2，0＝vC﹣a2t，水平位移x，平行金属板的间距d＝x+R，代入数据可得d＝1.5R。 答：（1）小球到达B点速度大小为，AB两点的电势差为； （2）小球从B点运动到圆弧轨道速度最大处的电势能变化量为； （3）平行金属板的间距为1.5R。 19．（2025秋•盘龙区校级月考）如图所示，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球（可视为质点），在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两个点，A点为圆周上的最低点，B点与O点等高。小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0。已知小球的电荷量为q（q＞0）、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在B点的速度大小。 【答案】（1）电场强度E的大小为； （2）小球在A点的速度大小，B点的速度大小为。 【详解】（1）由题意，A、B两点间的电势差为U，沿电场线方向的距离为L，根据匀强电场强度公式有E （2）设A点速度大小为vA，B的速度大小为vB，小球运动到A点位置，根据牛顿第二定律有qE﹣mg 解得vA 小球从A运动B的过程，根据动能定理有qEL﹣mgL 联立解得vB。 答：（1）电场强度E的大小为； （2）小球在A点的速度大小，B点的速度大小为。 20．（2025秋•昆明月考）如图，整个空间中存在水平向右的匀强电场。ABC为竖直面内的绝缘光滑轨道，其中AB部分水平，BC部分是半径为R的圆弧，两段轨道相切于B点。P为水平轨道上的一点，而且PB＝R＝0.4m。把一质量m＝0.1kg、带电荷量q＝+1.0×10﹣4C的小球（视为质点）从P点由静止释放，其将在轨道的内侧运动，且到达C点时对轨道的压力大小为1.75N。g取10m/s2，sin37°＝0.6，求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）小球从P到C的过程中速度的最大值（结果可用根式表示）。 【答案】（1）匀强电场的电场强度大小为7.5×103V/m； （2）小球从P到C的过程中速度的最大值为m/s。 【详解】（1）设小球在C点的速度大小是vC，则对于小球由P到C的过程中，由动能定理得： 在C点由牛顿第二定律得 解得E＝7.5×103V/m （2）由于qE＝1×10﹣4×7.5×103N＝0.75N＝0.75mg 小球从P到C的过程中，切线方向合力为零时到达D点，此时合力与竖直方向的夹角满足tanθ 则θ＝37° 设小球在D点的动能最大，由动能定理可得qER（1+sinθ）﹣mgR（1﹣cosθ） 联立解得vmm/s 答：（1）匀强电场的电场强度大小为7.5×103V/m； （2）小球从P到C的过程中速度的最大值为m/s。 21．（2025秋•辽宁期中）为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用长为l的绝缘细线将质量为m、带电量为+q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝30°，重力加速度为g，则： （1）该匀强电场的电场强度E的大小？ （2）若保持带电量+q不变，将小球拉至水平位置（与O点等高），细线绷直但无弹力，由静止释放。在小球向下摆动过程中，细线拉力的最大值为多少？ 【答案】（1）该匀强电场的电场强度E的大小为； （2）在小球向下摆动过程中，细线拉力的最大值为。 【详解】（1）对小球受力分析，由平衡条件可知，电场力方向指向右上方，如图所示： 将力正交分解，有Tsinθ＝Eqsinβ，Tcosθ+Eqcosβ＝mg， 用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，金属球带电量为， 再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝30°，有，， 代入数据可得：，β＝60°； （2）由上述分析可知电场力Eq＝mg，电场力和重力大小方向均不变，可将二者合力F视为等效重力，由平行四边形法则可知F＝mg，方向与竖直方向夹角为60°，如图所示： 小球拉至水平位置，静止释放后做竖直面圆周运动，到等效最低点时细线的拉力最大，由动能定理可知Fl（1﹣sin60°）mv2﹣0，在等效最低点，由牛顿第二定律可知T'﹣F，代入数据可得：T'。 答：（1）该匀强电场的电场强度E的大小为； （2）在小球向下摆动过程中，细线拉力的最大值为。 1 / 32 学科网（北京）股份有限公司 $ 高考物理三轮大题集训3：带电粒子在电场中的运动 题型1 带电粒子在电场中的直线运动 1 题型2 带电粒子在电场中的曲线运动 4 题型3 等效重力场 8 题型1 带电粒子在电场中的直线运动 1．（2026•广州模拟）在雷达技术商业化初期，反射式速调管因能稳定产生特定频率的微波信号，是常用的微波器件之一。利用带电粒子与电场相互作用原理模拟制成的微波振荡器件，其内部电场如图所示，在虚线两侧分布着平行于x轴，方向相反的匀强电场，电场强度大小分别为，。一质量为m＝2×10﹣6kg、电荷量大小为q＝1×10﹣9C的带负电的粒子从x轴上的P（﹣2cm，0）点由静止释放，仅在电场力作用下沿x轴往复运动。求： （1）带电粒子在运动过程中速度的最大值vmax； （2）粒子向右运动距O点的最远距离d； （3）粒子运动的频率f。 2．（2026•辽宁模拟）某离子实验装置的基本原理如图所示，离子源能源源不断从坐标原点O沿y轴正向发射同种离子，离子质量为m，电荷量为+q，初速度v大小范围在0～3v0之间。以过x＝L垂直于纸面的界面为边界，界面左侧为Ⅰ区，存在沿x轴正向的匀强电场，大小E0未知，右侧为Ⅱ区，存在垂直纸面向外的匀强磁场，其大小B0也未知。其中初速为v0的离子从O点出射后立刻进入Ⅰ区，在电场中偏转θ＝45°后进入匀强磁场，已知此离子在电场和磁场中运动的加速度大小相等。忽略边界效应，忽略离子间的相互作用力，不计离子重力。求： （1）E0和B0的比值； （2）初速度为v0的离子在磁场中圆周运动的半径和周期； （3）从离子源发射的所有离子第一次在磁场中做圆周运动的圆心的轨迹线方程。 3．（2026•天津模拟）如图所示一款实验室研发的颗粒物质谱检测装置原理图，比荷为的某种带正电颗粒从容器A下方的狭缝S1源源不断的飘入（其初速度可视为0）电势差为U0的加速电场后经狭缝S2射出，然后沿着M、N板的中心线OO1运动并从O1点进入半径为R的圆形磁场区域Ⅱ，最终垂直打在金属板PQ上，金属板PQ与OO1平行；M、N板间电压为U1，板间距为d，两板间区域Ⅰ和圆形磁场区域Ⅱ存在垂直纸面向里的匀强磁场，圆形磁场区域Ⅱ的圆心O2在OO1的延长线上，（不考虑颗粒的重力和颗粒之间的相互作用）求解下列问题： （1）颗粒粒子到达狭缝S2时的速度大小； （2）区域Ⅰ和区域Ⅱ的磁感应强度B1和B2的大小； （3）若将区域Ⅱ的磁感应强度调整为原来的倍，同时将PQ逆时针转过角度α，使粒子垂直打在PQ上，求α角。 4．（2026•延安二模）某些肿瘤可以用“质子疗法”进行治疗。在这种疗法中，质子先被加速到具有较高的能量，然后通过偏转磁场和聚集磁场将质子引向肿瘤并产生轰击作用，杀死恶性细胞。如图10甲所示为质子加速的示意图，在金属圆筒0、A、B、C、D、E之间加如图乙所示大小恒定为U的交变电压，使质子恰好经过圆筒轴线间的间隙时加速，进入圆筒后做匀速直线运动，圆筒的长度设计必须遵循一定的规律。已知质子由0位置处静止释放加速，质子的电荷量为e，质量为m，若忽略质子的重力、质子经过圆筒间隙的时间及质子的相对论效应。求： （1）质子刚好飞出圆筒E时速度的大小； （2）圆筒B与圆筒D的长度之比。 5．（2025•广州校级模拟）如图所示，上、下水平放置的两带电金属板，相距为3l，板间有竖直向下的匀强电场E。距上板l处有一带电荷量为+q的小球B，在小球B上方有一带电荷量为﹣6q的小球A，它们质量均为m，用长度为l的绝缘轻杆相连。已知，让两小球从静止释放，小球可以通过上板的小孔进入电场中（空气阻力不计，重力加速度为g）。求： （1）B球刚进入电场时的速度v1大小； （2）A球刚进入电场时的速度v2大小； （3）B球是否能碰到下板；如能，求刚碰到时B球的速度v3大小；如不能，请通过计算说明理由。 6．（2025•东丽区校级二模）多个长度逐个增大的金属圆筒沿轴线排列成一串，如甲图所示，图中只画出了六个圆筒作为示意。各筒按奇偶顺序交替连接到如乙图所示的交流电源的两端，已知交流电源周期为T、电压绝对值为U0，且U＝+U0对应奇数号圆筒为高电势。整个装置放在高真空容器中，圆筒的两底面中心开有小孔，粒子可以沿筒的中心轴线穿过。由于静电平衡，可认为只有相邻圆筒间缝隙中存在匀强电场，而圆筒内部电场强度为零，缝隙的宽度很小，粒子在缝隙电场中加速的时间可以不计。t＝0时刻，有一电量为q、质量为m的正离子由静止进入一、二圆筒间的电场开始加速，穿过二号圆筒后正好在时刻进入二、三圆筒之间的电场再次加速，且之后每经过正好进入下一缝隙电场。 （1）求粒子从第2个圆筒飞出时的速度大小？ （2）第n个圆筒的长度？ （3）实际应用中，由于相邻圆筒之间电压最大值有限制，要想使粒子获得较大速度，需要经过很多次加速，设置的圆筒数量较多，导致粒子在缝隙电场中的加速时间不能再忽略。设相邻圆筒间距均为d，在不改变交变电源的情况下，粒子能获得的最大动能是多少？ 7．（2025秋•渝中区校级月考）飞行时间质谱仪，是利用离子飞行的时间测量离子的质量及比荷（电荷量与质量之比）的仪器。如图甲所示，一激光脉冲照射到样品靶上，瞬间产生一定数量不同种类的带正电的离子。离子初速度不计，经过宽为D、电压为U的静电场加速后，射入长为L的无场飞行区，在飞行区内沿轴线做匀速直线运动。在飞行区的B端置有探测装置，可测得离子在飞行区中的运动时间。不计离子重力及离子间的相互作用。 （1）某种离子在无场飞行区中的运动时间为T1，求该离子的比荷； （2）若在飞行区前加一组静电场反射镜，将飞出的离子反推回去，加长离子的飞行时间可提高质谱仪的分辨率。如图乙，当在飞行区MN极板加偏转电压U′，电场反射区加向左的匀强电场，场强大小为E，离子在静电力的作用下返回到B端检测器（离子未与极板C相碰），若探测器测得某离子从进入A端至B端检测器的总飞行时间为T2，求该离子的比荷。 题型2 带电粒子在电场中的曲线运动 8．（2026•金山区模拟）流式细胞仪是一种对不同类型的细胞进行分类收集的装置。其主要原理是：将待测定细胞分散在液滴中，通过激光检测信号来判断细胞是否需要被分离，对需要分离的细胞液滴充电，带电液滴通过静电场发生偏转，从而实现细胞的分类收集。 （1）流式细胞仪内常用的激光器是氩离子激光器，它主要发出绿光和蓝光。 ①如图1为绿光从空气射入半圆形玻璃砖再从玻璃砖射入空气的光路图，O为半圆形砖的圆心。下列情况中可能发生的是 　BD　 。 ②图2为绿光或蓝光通过单缝或双缝所呈现的图样，其中属于绿光干涉图样的是 　A　 。 ③用波长为λ的蓝光做光电效应实验，被照射金属的逸出功为W，则蓝光对应的遏止电压为 　　 。（普朗克常量为h，元电荷为e，真空中光速为c） （2）流式细胞仪的分选功能是由细胞分选器来完成的。如图3所示，间距为d、长为L的平行电极板间存在水平方向的匀强电场，电场强度大小为E。使一质量为m的含细胞液滴带上正电，电荷量为q，液滴以速度v0从两极板上方竖直向下进入电场，从点P离开电场。不计液滴重力、空气阻力以及边缘效应。 ①若两极板所构成电容器的电容为C，该电容器所带电荷量为 　CEd　 。 ②（计算）求液滴离开电场时偏转的距离x及其在点P位置时的速度v。 ③（计算）若电极板下方存在垂直纸面方向的匀强磁场，液滴运动到电极板下方h处的收集管时，速度方向恰好竖直向下，求该磁场的磁感应强度B。 9．（2026•大庆模拟）带等量异种电荷的两正对平行金属板M、N间存在着匀强电场，板长为L（不考虑边界效应）。如图所示，t＝0时刻，M板中点处的粒子源发射一个速度大小为v0的粒子，方向平行金属板向右，刚好从N板右端射出。不计重力和粒子间的相互作用，求： （1）粒子在电场中运动的时间； （2）粒子源以初速度大小v0垂直于极板向下发射相同粒子，粒子到达N板时的速度大小为，求两板间的距离； （3）已知平行板电容器的电容，若金属板的电荷量保持不变，N板上移，使两板间的距离变为原来的，求图中粒子打在N板上的位置。 10．（2026•尖山区校级一模）如图甲所示的X﹣CT扫描是计算机X射线断层扫描技术的简称，可用于对多种病情的探测。图乙是某种X﹣CT扫描机产生X射线部分的示意图，电子从A极板附近由静止开始沿图中实线所示的方向前进，打到水平圆形靶台上的中心点P而产生X射线（如图中带箭头的竖直虚线PO所示）。已知A、B间的加速电压为U1，C、D板间距为d，C、D极板长均为L，极板C的右端到直线PO的水平距离为s，电子的质量为m，带电荷量为e，OP的高度为H，水平圆形靶台的半径为R，不计空气阻力、电子受到的重力及电子间的相互作用，忽略极板的边缘效应。 （1）求电子打到靶台上中心点P时，C、D板间的偏转电压U2； （2）若仅改变C、D板间的电压，使打在靶台上电子的动能最小，求C、D板对应的偏转电压U3。 11．（2026•福州模拟）如图甲所示，电子枪连续不断均匀地发出电子（设电子的初速度为零），经加速电压为U1的加速电场加速后，沿图中圆弧虚线通过静电分析器，沿两个距离为d的水平金属板A、B间的中心线射入偏转电场。A、B两板间加入图乙所示的周期性变化的电压UAB，电压变化周期为T，前半周期UAB为U0，后半周期UAB为﹣3U0。已知电子质量为m、电荷量为﹣e，电子在静电分析器中运动轨迹处的场强为E0，方向如图所示，A、B板长为，所有电子都能离开偏转电场，不计电子的重力及电子间的相互作用力。求： （1）圆弧虚线对应的半径R的大小； （2）在t＝0时刻射入偏转电场的电子射出偏转电场时的动能； （3）在足够长的时间内，从中心线下方离开偏转电场的电子数占电子总数的比例η。 12．（2026•乌鲁木齐校级模拟）现代科技研究中，科学家们常用电场和磁场来控制带电粒子的运动轨迹。如图所示，平面直角坐标系xoy中，在第一象限内，存在以抛物线方程y＝（x﹣2）2（0≤x≤2m）为边界沿y轴负方向的匀强电场；第二象限存在一垂直于纸面向外、半径为r＝2m的圆形匀强磁场区域，磁感应强度为B1；第四象限（x≥2m）区域存在一垂直于纸面向外的匀强磁场区域，磁感应强度为B2＝1T，其余0≤x≤2m区域为无场区；一群带正电粒子从x轴上的A（﹣2m，0）点以初速度，方向与x轴正方向成β（0≤β≤180°）进入第二象限，经圆形磁场偏转后所有粒子垂直于y轴进入第一象限，不计粒子重力及粒子间相互作用，不计运动电荷对磁场的影响，带电粒子的比荷为2×106C/kg，不考虑相对论效应，求： （1）磁感应强度B1的大小？ （2）沿着y轴负半轴放置一块不计厚度的粒子收集板，要将经磁场B2偏转后的粒子全部收集，收集板的长度至少为多大？ （3）若题（2）中为特殊材料制成的收集板，经磁场B2偏转后的粒子能垂直穿过y轴进入第三象限（即沿x轴方向没有能量损失，沿y轴方向能量全部损失），且在第三象限交替分布着沿﹣x方向的匀强电场和垂直xOy平面向里的匀强磁场，电场、磁场的宽度均为L＝2m，边界与x轴垂直，电场强度，磁感应强度从右往左依次分别为B、2B、3B…nB，其中B＝0.3T。经过多次进出电场和磁场后粒子的轨迹恰好与某磁场左边界相切，求粒子在第三象限中能到达距y轴的最远距离？ 13．（2026•包头一模）如图（a）所示，一带正电的圆环套在粗糙绝缘水平杆上，处于静止状态，在整个空间加平行于竖直平面与水平方向成θ角的匀强电场，且电场强度从零逐渐增大，圆环的加速度大小随电场强度的变化如图（b）所示。不计空气阻力，重力加速度为g，E0为已知量，取最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求： （1）圆环与水平杆间的动摩擦因数μ及θ； （2）圆环的比荷。 14．（2026•桃城区校级模拟）如图，绝缘轨道ABCDE由粗糙水平轨道ABC和光滑竖直半圆轨道CDE组成，两部分轨道平滑连接于C点，半圆轨道的圆心为O、半径，水平轨道上方存在一个方向水平向右、电场强度大小随时间变化的电场区域BC（不考虑变化的电场产生的磁场）。一根轻弹簧左端拴接在A处的竖直墙面上，右端与质量m＝1kg、电荷量q＝+1C的带电小物块接触（不连接），弹簧处于原长时物块位于B点。让物块向左压缩弹簧使弹簧的弹性势能为Ep＝0.9J时，物块向左移动了x＝0.2m，然后自由释放物块，物块进入水平电场并开始计时，电场强度大小与时间的函数表达式为E＝4t，物块进入半圆轨道后，在D点对半圆轨道的压力恰好为零，此时OD与竖直方向的夹角θ＝60°。物块可视为点电荷，物块与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.2，不计空气阻力，g取10m/s2。求： （1）物块进入半圆轨道时的速度大小v； （2）物块刚进入电场时的速度； （3）物块在电场中的运动时间t。 题型3 等效重力场 15．（2026•内江校级二模）如图所示，在E＝3×103V/m的水平向左的匀强电场中，有一光滑半圆形绝缘轨道竖直放置，其半径R＝0.5m，轨道与一粗糙水平绝缘轨道MN连接，半圆轨道所在竖直平面与电场线平行。一电荷量为q＝+10﹣4C的小滑块质量为m＝0.04kg，与水平轨道间的动摩擦因数μ＝0.5，g取10m/s2，求： （1）小滑块受到的电场力大小； （2）要使小滑块恰能运动到半圆轨道的最高点L，滑块应在水平轨道上离N点多远处由静止释放？ （3）在（2）问中这样释放的滑块通过轨道的最大速度的大小以及此时滑块对轨道的压力的大小为多少？ 16．（2025秋•宜春期末）如图所示，足够大的空间内存在方向与水平方向的夹角θ＝37°的匀强电场，长的绝缘轻绳一端系于水平天花板上的O点，另一端系有质量m＝0.5kg，电荷量q＝+2×10﹣4C的小球（视为点电荷）。当轻绳与竖直方向的夹角也为θ时，小球恰能处于静止状态。现将小球拉至O点右侧与O点等高位置（轻绳刚好拉直）由静止释放，小球运动到轻绳上拉力最大时，轻绳恰好断裂（不影响小球瞬时速度），最终小球落在水平地面上。已知O点到水平地面的高度h＝1.9m，取重力加速度大小g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8。求： （1）匀强电场的电场强度大小E； （2）轻绳断裂前瞬间轻绳上的弹力大小F； （3）小球落到水平地面上的位置到O点的水平距离。 17．（2025秋•青羊区校级期末）如图，在竖直平面内，半径为R＝0.4m的四分之一光滑圆弧轨道AB与水平光滑轨道相切于A点。整个系统处于水平向左的匀强电场中，一带电小球质量为m＝0.02kg，电荷量q＝1×10﹣4C，由水平轨道某点静止释放，然后从B点飞出，在轨迹最高点时速率与飞出B点时的速率相等。已知在运动过程中小球电荷量保持不变，小球在水平轨道上运动的距离为0.8m。g＝10m/s2。求： （1）电场强度E的大小； （2）轨道对小球最大支持力的大小。 18．（2025秋•越秀区期末）如图所示，光滑水平面右端连接着四分之一光滑圆弧，圆弧半径为R，连接处竖直放置足够长且开有小孔的平行金属板，板间存在水平向右的匀强电场。水平面左侧固定一正点电荷P，质量为m、电量为Q的正电小球Q（视为质点）从距离B左侧L＝2R的A点静止释放，到达B点时受到的支持力大小N＝2mg。此后运动到C点飞出，并恰好垂直击中负极板。已知重力加速度为g，场强大小为，不计其他阻力，接触面均绝缘，电荷P不影响极板间场强分布。求： （1）小球到达B点速度大小v和AB两点的电势差UAB； （2）小球从B点运动到圆弧轨道速度最大处的电势能变化量ΔEp； （3）平行金属板的间距d。 19．（2025秋•盘龙区校级月考）如图所示，竖直向上的匀强电场中，用长为L的绝缘细线系住一带电小球（可视为质点），在竖直平面内绕O点做圆周运动。图中A、B为圆周上的两个点，A点为圆周上的最低点，B点与O点等高。小球运动到A点时，细线对小球的拉力恰好为0。已知小球的电荷量为q（q＞0）、质量为m，A、B两点间的电势差为U，重力加速度为g，求： （1）电场强度E的大小。 （2）小球在B点的速度大小。 20．（2025秋•昆明月考）如图，整个空间中存在水平向右的匀强电场。ABC为竖直面内的绝缘光滑轨道，其中AB部分水平，BC部分是半径为R的圆弧，两段轨道相切于B点。P为水平轨道上的一点，而且PB＝R＝0.4m。把一质量m＝0.1kg、带电荷量q＝+1.0×10﹣4C的小球（视为质点）从P点由静止释放，其将在轨道的内侧运动，且到达C点时对轨道的压力大小为1.75N。g取10m/s2，sin37°＝0.6，求： （1）匀强电场的电场强度大小； （2）小球从P到C的过程中速度的最大值（结果可用根式表示）。 21．（2025秋•辽宁期中）为探测地球表面某空间存在的匀强电场电场强度E的大小，某同学用长为l的绝缘细线将质量为m、带电量为+q的金属球悬于O点，如图所示，稳定后，细线与竖直方向的夹角θ＝60°；再用另一完全相同的不带电金属球与该球接触后移开，再次稳定后，细线与竖直方向的夹角变为α＝30°，重力加速度为g，则： （1）该匀强电场的电场强度E的大小？ （2）若保持带电量+q不变，将小球拉至水平位置（与O点等高），细线绷直但无弹力，由静止释放。在小球向下摆动过程中，细线拉力的最大值为多少？ 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $