2026年湖北省武汉市九年级中考数学模拟预测练习试卷

2026年湖北省武汉市九年级中考数学模拟预测练习试卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题只有一项符合题目要求） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A． B． C． D． 2． “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地． 如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　 　） A． B． C． D． 3． 四大名著相关读书视频总播放量中，《西游记》的播放量为， 请将这个数字用科学记数法表示为（　 　） A． B． C． D． 4. 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架， 我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上， 并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角， 那么此时面板与水平方向夹角的度数为（　 　） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（　 　） A． B． C． D． 6. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°， 再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上， 则该建筑物AB的高度约为 （精确到1m．参考数据：，，，） A．28m B．34m C．37m D．46m 7． 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”． 其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有 “骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同． 把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张， 则这两张卡片相同的概率是（    ） A． B． C． D． 8． 如图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于的线段长为半径画弧， 两弧分别相交于两侧的M，N两点，直线交于点D，交于点E， 连接，平分．若，，则的面积为（    ） A．7 B．8 C．14 D．28 9． 如图，是的直径，，弦交于点，半径， 点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5， 则的面积为（    ） A．6 B． C．7 D． 10．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动， 当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y， 如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是， 则矩形ABCD的面积是（    ） A． B．5 C．6 D． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别． 从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有 个． 12．代数式与代数式的值相等，则 ． 13． 如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，为的中点， 连接，若的面积为，则的值为 ． 14. 某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度， 在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为， 在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上）， 则建筑物的高为 米． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动． 如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 千米． 16. 如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ， 连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论： ①AQ⊥DP ②OA2=OE•OP ③S△AOD=S四边形OECF ④当BP=1时，tan∠OAE= 其中正确结论的序号是 ． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 18．如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 19．为深入学习2026年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走， 奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分， 现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组）， 并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下： 83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 8 2 a 3 b 4 c 请根据以上信息，解答下列问题： (1) ______；______； (2) 扇形统计图中3组的圆心角度数是______度； (3) 随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______分； (4) 若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数． 20． 如图，为的直径，点是上一点，平分交于点， 过点作直线分别交的延长线于点． (1) 求证：是的切线； (2) 若，，求的长． 21．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱， 某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元， 玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1) 求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2) 六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售， 且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元， 那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 22. 如图，在矩形中，，，分别以，所在的直线为x轴和y轴 建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交于点E，交于点F，． (1) 求k的值与点F的坐标； (2) 在x轴上找一点M，使的周长最小，请求出点M的坐标； (3) 在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点， 试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形． 若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 23． 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题， 往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 在中，点是斜边上的动点（点与点，点不重合）， 连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，写出与之间满足的位置关系和数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间满足的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3） 如图3，在（1）的条件下，点F与点C关于直线对称，连接． 已知，设，四边形的面积为，求与的函数表达式，并求出的最小值． 24．抛物线 与x 轴负半轴交于点A，且过点，对称轴为直线． (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图1，是轴上方的对称轴上一点，交对称轴右侧的抛物线于点． 若，求点的坐标； (3) 如图2，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线， 与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，求的最大值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年湖北省武汉市九年级中考数学模拟预测练习试卷（解析卷） （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 第Ⅰ卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题只有一项符合题目要求） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意． 故选：D． 2． “月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地． 如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了判断几何体的三视图（判断简单组合体的三视图）．主视图是从正面看到的视图，据此即可得出答案． 【详解】解：根据题中“月壤砖”的示意图，可知其主视图为 故选：． 3． 四大名著相关读书视频总播放量中，《西游记》的播放量为， 请将这个数字用科学记数法表示为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数．由此即可求解．本题主要考查科学记数法的运用，理解并掌握运用科学记数法形式表示数的方法，其中的取值是解题的关键． 【详解】解：， 故选：B． 4. 创新驱动发展，也使人们的生活更加便捷．如图是一款手机支撑架， 我们可以通过改变面板张角的大小来调节视角舒适度．小明将该支撑架放置在水平桌面上， 并调节面板的张角至视角舒适，若张角，支撑杆与桌面夹角， 那么此时面板与水平方向夹角的度数为（　 　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角形内角和定理等知识点，将实际问题转化成数学问题成为解题的关键． 由题意可得：，则；然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：由题意可得：， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5．下列计算正确的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、积的乘方、去括号法则、完全平方公式，熟练掌握同底数幂的乘法、积的乘方、单项式乘多项式、完全平方公式的运算法则，是解题的关键．根据同底数幂的乘法即可判断A，根据积的乘方即可判断B，根据去括号法则即可判断C，根据完全平方公式即可判断D，从而得到答案． 【详解】解：A.，选项计算错误，故此选项不符合题意； B.，选项计算正确，故此选项符合题意； C.，选项计算错误，故此选项不符合题意； D.，选项计算错误，故此选项不符合题意； 故选：B． 6. 数学活动小组到某广场测量标志性建筑AB的高度．如图，他们在地面上C点测得最高点A的仰角为22°， 再向前70m至D点，又测得最高点A的仰角为58°，点C，D，B在同一直线上， 则该建筑物AB的高度约为 （精确到1m．参考数据：，，，） A．28m B．34m C．37m D．46m 【答案】C 【分析】在Rt△ABD中，解直角三角形求出，在Rt△ABC中，解直角三角形可求出AB． 【详解】解：在Rt△ABD中，tan∠ADB＝， ∴， 在Rt△ABC中，tan∠ACB＝， ∴， 解得：m， 故选：C． 7． 中央广播电视总台《2026年春节联欢晚会》发布吉祥物形象“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”． 其设计融合传统纹样与时代气息，饱含美好寓意．除夕夜，小明和小红准备了正面分别印有 “骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片（如图），它们除正面外完全相同． 把这四张卡片背面朝上洗匀，小明从中随机抽取一张后，放回并混在一起，小红再随机抽取一张， 则这两张卡片相同的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”的四张卡片分别记为A，B，C，D， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，其中两张卡片相同的结果有4种， ∴这两张卡片相同的概率为． 8． 如图，在中，分别以点A，B为圆心，以大于的线段长为半径画弧， 两弧分别相交于两侧的M，N两点，直线交于点D，交于点E， 连接，平分．若，，则的面积为（    ） A．7 B．8 C．14 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的作法及角平分线的性质，过点作于，由作法得，进而可得，进而可求解，熟练掌握垂直平分线的作法是解题的关键． 【详解】解：过点作于，如图： 由作图得：， 平分，， ， ， ， 故选C． 9． 如图，是的直径，，弦交于点，半径， 点，位于两侧，作交于点，连接交于点．若的面积为5， 则的面积为（    ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，等腰直角三角形的判定等知识，掌握相关知识是解题的关键． 根据“一线三垂直”易证，再根据垂径定理和圆周角定理，易得，，从而易证和为等腰直角三角形，易求，最后根据勾股定理，可求，计算面积即可． 【详解】解：， ，即， ，， ，即， ， ， ， ， 是的直径，， ，则， ， ， 为等腰直角三角形， 的面积为5， ，解得，则， 在中，， 则， ，即为等腰直角三角形， ． 故选：D． 10．如图1，在矩形ABCD中，动点E从A出发，沿AB→BC方向运动， 当点E到达点C时停止运动，过点E作FE⊥AE，交CD于F点，设点E运动路程为x，FC＝y， 如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是， 则矩形ABCD的面积是（    ） A． B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】易证△CFE∽△BEA，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题． 【详解】若点E在BC上时，如图 ∵∠EFC+∠AEB＝90°，∠FEC+∠EFC＝90°， ∴∠CFE＝∠AEB， ∵在△CFE和△BEA中， ， ∴△CFE∽△BEA， 由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时，BE＝CE＝x﹣，即， ∴， 当y＝时，代入方程式解得：x1＝（舍去），x2＝， ∴BE＝CE＝1，∴BC＝2，AB＝， ∴矩形ABCD的面积为2×＝5； 故选B． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不透明袋中有红、白两种颜色的小球，这些球除颜色外无其他差别． 从袋中随机取出一个球是红球的概率为，若袋中有4个白球，则袋中红球有 个． 【答案】6 【分析】设袋中红球有x个，然后根据概率计算公式列出方程求解即可． 【详解】解：设袋中红球有x个， 由题意得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， ∴袋中红球有6个， 故答案为：6． 12．代数式与代数式的值相等，则 ． 【答案】 【分析】根据题意列出方程，求出方程的解即可得到的值． 【详解】根据题意得：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并得：， 经检验是分式方程的解． 故答案为：． 13． 如图，点在反比例函数的图像上，轴于点，为的中点， 连接，若的面积为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数值的几何意义（过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得的矩形的面积为），熟练掌握反比例函数值的几何意义是解题的关键． 解：∵的面积为，为的中点， ∴， ∵轴， ∴， ∵反比例函数图像在第二象限， ∴． 故答案为：． 14. 某校学生开展综合实践活动，如图，要测量一建筑物的高度， 在建筑物旁边有一高度为10米的小楼房，小李同学在小楼房楼底B处测得C处的仰角为， 在小楼房楼顶A处测得C处的仰角为．（在同一平面内，B，D在同一水平面上）， 则建筑物的高为 米． 【答案】15 【分析】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，通过作辅助线构造直角三角形是解题的关键． 设过点的水平线于交于点，在中，用表示，在中，用表示，再利用列方程即可求出． 【详解】设过点的水平线于交于点，如图， 由题意，知：四边形是矩形米， ， 在中， 在中， ， ， 解得（米）， 故答案为：15． 15. 小泽和小帅两同学分别从甲地出发，骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动． 如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离（单位：千米）与时间（单位：小时）之间函数关系的图象，则当小帅到达乙地时，小泽距乙地的距离为 千米． 【答案】4 【分析】此题考查了一次函数的应用，准确求出函数解析式是解题的关键．先求出直线的解析式，再求出直线的解析式，求出当时，，即可得到答案． 【详解】解：由图象可得，点和点在直线上，设直线的解析式为： 代入得，，解得， 当时，，解得， 点点 点，点在直线上， 设直线的解析式为： 代入得， 解得 当时，， 此时小泽距离乙地的距离为：千米 故答案为：4 16. 如图，正方形ABCD的边长是3，P，Q分别在AB，BC的延长线上，BP=CQ， 连接AQ，DP交于点O，并分别与CD，BC交于点F，E，连接AE．下列结论： ①AQ⊥DP ②OA2=OE•OP ③S△AOD=S四边形OECF ④当BP=1时，tan∠OAE= 其中正确结论的序号是 ． 【答案】①③④． 【分析】由四边形ABCD是正方形，得到AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°，根据全等三角形的性质得到∠P＝∠Q，根据余角的性质得到AQ⊥DP；故①正确；根据相似三角形的性质得到AO2＝OD•OP，由OD≠OE，得到OA2≠OE•OP；故②错误；根据全等三角形的性质得到CF＝BE，DF＝CE，于是得到S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF，即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确；根据相似三角形的性质得到BE＝，求得QE＝，QO＝，OE＝，由三角函数的定义即可得到结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝BC，∠DAB＝∠ABC＝90°， ∵BP＝CQ， ∴AP＝BQ， 在△DAP与△ABQ中， ， ∴△DAP≌△ABQ（SAS）， ∴∠P＝∠Q， ∵∠Q＋∠QAB＝90°， ∴∠P＋∠QAB＝90°， ∴∠AOP＝90°， ∴AQ⊥DP； 故①正确； ∵∠DOA＝∠AOP＝90°，∠ADO＋∠P＝∠ADO＋∠DAO＝90°， ∴∠DAO＝∠P， ∴△DAO∽△APO， ∴， ∴AO2＝OD•OP， ∵AE＞AB， ∴AE＞AD， ∴OD≠OE， ∴OA2≠OE•OP；故②错误； 在△CQF与△BPE中 ， ∴△CQF≌△BPE（AAS）， ∴CF＝BE， ∴DF＝CE， 在△ADF与△DCE中， ， ∴△ADF≌△DCE（SAS）， ∴S△ADF－S△DFO＝S△DCE－S△DOF， 即S△AOD＝S四边形OECF；故③正确； ∵BP＝1，AB＝3， ∴AP＝4， ∵△PBE∽△PAD， ∴， ∴BE＝， ∴QE＝， ∵△QOE∽△PAD， ∴， ∴QO＝，OE＝， ∴AO＝5－QO＝， ∴tan∠OAE＝，故④正确， 故答案为：①③④． 三、解答题（本大题共9个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】， 【分析】求出每个不等式的解集，找出不等式组的解集，找出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集是； ∴不等式组的整数解是． 18．如图，在▱ABCD中，点E是AB边的中点，DE的延长线与CB的延长线交于点F．求证：BC=BF． 【答案】证明见解析 【分析】首先由平行四边形的性质可得AD=BC，再由全等三角形的判定定理AAS可证明△ADE≌△BFE由此可得AD=BF，进而可证明BC=BF． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBC，AD=BC， 又∵点F在CB的延长线上， ∴ADCF， ∴∠1=∠2． ∵点E是AB边的中点， ∴AE=BE． 在△ADE与△BFE中， ∵∠DEA=∠FEB，∠1=∠2，AE=BE， ∴△ADE≌△BFE（AAS）， ∴AD=BF， ∴BC=BF． 19．为深入学习2026年全国两会精神，某校开展了以“学习两会精神，永远跟党走， 奋进新征程”为主题的知识竞赛．发现该校全体学生的竞赛成绩（百分制）均不低于60分， 现从中随机抽取n名学生的竞赛成绩进行整理和分析（成绩得分用x表示，共分成四组）， 并绘制成如下的竞赛成绩分组统计表和扇形统计图，其中“”这组的数据如下： 83，83，84，84，85，86，87，87，87，88，89，89． 竞赛成绩分组统计表 组别 竞赛成绩分组 频数 1 8 2 a 3 b 4 c 请根据以上信息，解答下列问题： (1) ______；______； (2) 扇形统计图中3组的圆心角度数是______度； (3) 随机抽取的这n名学生竞赛成绩的中位数是______分； (4) 若学生竞赛成绩达到85分以上（含85分）为优秀，请你估计全校2000名学生中优秀学生的人数． 【答案】(1)， (2) (3) (4)估计全校2000名学生中优秀学生的人数为人 【分析】本题考查了求扇形统计图圆心角度数、中位数的定义、由样本估计总体、统计表，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先求出总人数，再求出，由题意可得，从而可得出，即可得解； （2）用乘以3组所占的比例即可得解； （3）根据中位数的定义计算即可得解； （4）用乘以抽取的样本中优秀学生的人数所占的比例即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：调查的总人数为：（人）， 故（人）， 由题意可得， ∴， ∴， ∴ （2）解：扇形统计图中3组的圆心角度数是； （3）解：∵总共抽取了50名学生， ∴中位数为按大小顺序排序后第25，26名学生（也就是第3组第7和第8名学生）成绩的平均数， 由题意可得，第25，26名学生的成绩分别为87，87， 故中位数为； （4）解：第3组85分以上有8人，第4组20人， （人）， 故估计全校2000名学生中优秀学生的人数为人． 20． 如图，为的直径，点是上一点，平分交于点， 过点作直线分别交的延长线于点． (1) 求证：是的切线； (2) 若，，求的长． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）连接，根据平分线得，结合圆周角定理得，再结合的直径得，由平行线得即可证明； （2）过点A作于点G，过点B作于点H，则四边形为矩形，有和，证明有，即可求得，同理可证，，求得，由即可． 【详解】（1）证明：连接，如图， 是的平分线， ， ， 为的直径， ， ， ， ， 为的半径， 直线是的切线； （2）解：过点A作于点G，过点B作于点H，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵为的直径， ∴，， ∴， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴的半径为5， ∵， ∴，解得， 同理可证，，则 即，解得， 则． 21．《哪吒2》上映后非常火爆，哪吒的造型深受儿童喜爱．为满足儿童对哪吒的喜爱， 某玩具店决定购进两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶比一个种哪吒玩偶价格贵10元， 玩具店用2500元购进A种哪吒玩偶的数量是用1500元购进B种哪吒玩偶数量的2.5倍． (1) 求购进A，B两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2) 六一将至，该玩具店决定用不超过3000元再次购进A，B两种哪吒玩偶共120个进行销售， 且将每个种哪吒玩偶售价定为32元，每个种哪吒玩偶售价定为45元， 那么，B两种哪吒玩偶各购进多少个时获利最多？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元 (2)购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元，再依题意列出，进行计算，即可作答． （2）设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个，根据题意得，解得，再设总获利为元，得，运用一次函数的性质进行解答即可． 【详解】（1）解：设种哪吒玩偶的单价为元，则种哪吒玩偶的单价为（）元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：A种哪吒玩偶的单价为20元，则B种哪吒玩偶的单价为30元； （2）解：设玩具店购买种玩偶个，则购买种哪吒玩偶（）个， 根据题意得：， 解得， 设总获利为元， 则， ， 随的增大而减小， 当时，最大为元， 此时， 答：购买A种玩偶60个，购买B种玩偶60个时，最大利润为1620元． 22. 如图，在矩形中，，，分别以，所在的直线为x轴和y轴 建立平面直角坐标系．反比例函数的图象交于点E，交于点F，． (1) 求k的值与点F的坐标； (2) 在x轴上找一点M，使的周长最小，请求出点M的坐标； (3) 在（2）的条件下，若点P是x轴上的一个动点，点Q是平面内的任意一点， 试判断是否存在这样的点P，Q，使得以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形． 若存在，请直接写出符合条件的点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】（1）在矩形中，，，则，，再把E坐标代入，即可求出点F的坐标； （2）的周长最小，即线段最短，所以作点F关于x轴的对称点，则，建立的函数关系式为，求出，即可求出点M的坐标； （3）根据菱形的四边相等性质，即进行分类讨论、和即可． 【详解】（1）解：因为在矩形中，， ∴ ∵ ∴ 因为的图象交于点E ∴， 因为F的横坐标等于B的横坐标，即F的横坐标为6 则F的纵坐标为 ∴ （2）解：作点F关于x轴的对称点，则 连接与x轴交于点M，连接，此时的周长最小 设的函数关系式为 把，代入中， 得，解得 ∴        当时， ∴ （3）解：点P的坐标为或或或，理由如下 设，由（2）知， 那么， ， 因为以点P，Q，M，E为顶点的四边形是菱形 当，即，则，，（舍去） 此时 当，即，则， 此时 当，即，则，， 此时 P的坐标或者 综上所述：点P的坐标为或或或 23． 几何探究是培养推理能力、几何直观和创新意识的重要途径．解决几何综合探究问题， 往往需要运用从特殊到一般，化动为静、类比等数学思想方法． 【问题情境】 在中，点是斜边上的动点（点与点，点不重合）， 连接，以为直角边在的右侧构造，连接． 【特例感知】 （1）如图1，当时，写出与之间满足的位置关系和数量关系，并说明理由； 【类比迁移】 （2）如图2，当时，猜想与之间满足的位置关系和数量关系，并证明猜想； 【拓展应用】 （3） 如图3，在（1）的条件下，点F与点C关于直线对称，连接． 已知，设，四边形的面积为，求与的函数表达式，并求出的最小值． 【答案】（1），，理由见解析；（2），，证明见解析；（3）18 【分析】（1）由，得到，，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，根据垂直的定义得到； （2）根据相似三角形的判定定理得到，求得，，得到，根据垂直的定义得到； （3）连接交于O，由（1）知，，，求得，得到，根据勾股定理得到，根据线段垂直平分线的性质得到，，推出四边形是正方形，根据正方形的面积公式即可得到，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：（1），，理由如下： ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2），， 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接交于O， 由（1）知，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵点F与点C关于对称， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴y与x的函数表达式为， ∵， ∴y的最小值为18． 24．抛物线 与x 轴负半轴交于点A，且过点，对称轴为直线． (1) 求抛物线的解析式； (2) 如图1，是轴上方的对称轴上一点，交对称轴右侧的抛物线于点． 若，求点的坐标； (3) 如图2，直线交抛物线于，两点（点在点的左侧），过点作轴的平行线， 与的延长线交于点，连接，交抛物线于另一点，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，进而求解； （3）过点作 交轴于点，则，当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值，进而求解． 【详解】（1）解： 对称轴为， ， ， ， 抛物线的解析式为； （2）解：设对称轴交轴于点，过点作于点， ∴ ∵ ∴ ∴ 则， ， 设， 由，解得：，， ， ． 则， ， ， 点的坐标为， ， 解得：或（舍去）， 点的坐标为； （3）解：设点，的横坐标分别为，， 联立和抛物线的表达式并整理得：， ，， ， 由，，得， 当 时，， ， 点在直线上， 设直线交轴于点，则， 过点作 交轴于点， 则， 当直线与抛物线有唯一公共点时，最大，此时取得最大值， 设的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式并整理得：， 由， 解得，此时， 的最大值为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $