2025-2026学年高二下学期数学期中素养训练2（北师大版）'

高二下学期数学期中素养训练2 一、单选题 1．曲线在处的切线的倾斜角为（    ） A．30° B．45° C．135° D．150° 2．3只猫把4只老鼠捉光，每只老鼠都恰被一只猫捉住，不同的捉法种数有（ ） A． B． C． D． 3．已知是函数的一个极值点，则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据，卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量X表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（    ） A．26 B．24 C．23 D．20 5．从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（    ） A．10 B．16 C．18 D．20 6．若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 7．某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列函数的导函数正确的是（    ） A． B． C． D． 10．对于随机事件A，B，若，，，则（   ） A． B． C． D． 11．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是 B．第行的第个数最大 C． D．记第n行的第i个数为，则 三、填空题 12．若，则=______ 13．已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 14．英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数，n!表示n的阶乘，即．该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为______．（精确到小数点后两位） 学校:___________姓名：_________班级：__________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 13. 14. . 四、解答题 15．设函数在处取得极大值1． (1)求的解析式； (2)求在区间上的最值． 16．如图，在四棱锥中，，平面平面是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 17．某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为．第四道工序中智能自动检测正确率为，第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验． (1)求前三道工序后产品芯片的次品率； (2)求在第四道工序中芯片智能自动检测得到的产品合格率，并求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率； (3)某手机生产厂商获得了该新技术芯片的试用权，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用未安装新技术芯片手机的有40人，其中对开机速度满意的有28人；使用安装新技术芯片手机的有60人，其中对开机速度满意的有57人．判断是否有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18．已知是首项为0的等差数列，记为的前项和，是等比数列. (1)求的通项公式； (2)求数列的前项积； (3)记，求数列的前20项和． 19．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 试卷第2页，共5页 试卷第3页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C C C D B A AC AC 题号 11 答案 ACD 1．B 【详解】由函数，求导得， 因此曲线在处的切线斜率， 所以所求倾斜角为45°. 2．B 【详解】根据题意，对于每只老鼠，都可以被3只猫中的任意一只捉住， 故每只老鼠的被捉情况有3种， 则有种不同的捉法. 3．C 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 4．C 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式及期望的性质计算得解. 【详解】依题意，，则， 所以. 5．C 【分析】从五个数中选两个数排列后，减去两组比值相同的情况即可. 【详解】总的有序数对的个数为,因为 ，所以不同值的个数即为不同比值的个数. 在20个比值中，由于 以及，存在两组比值相同的情况，因此实际不同值的个数为. 6．D 【分析】求出函数的导数，由在上恒成立求出的范围即可. 【详解】由函数在上单调递减，得， 则，当时，，因此， 所以实数a的值可能是2. 7．B 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 8．A 【分析】有两个极值点等价于有两个不相等的实数根，构造函数，再求出导函数得出单调性结合函数值域得出参数范围. 【详解】 令，则有两个不同的根． ，所以或， 因为，所以的左右变号是极值点， 所以有一个根， 设，， 当单调递减； 当单调递减； 当单调递增； 当，当， 所以与有一个交点， 所以， 但是当时，，即得，所以的左右不变号不是极值点， 所以. 9．AC 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 10．AC 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 11．ACD 【详解】选项：由题目所给的杨辉三角可知，从第行起，第行第个数可表示为, 故第行从左到右第四个数是，故正确 . 选项：第行第个数可表示为,由组合数的性质可知最大,因此时最大，故错误. 选项：,故正确. 选项：第行第个数,因此,令,则, 即,故正确. 12．1或3 【分析】根据组合数的性质分情况讨论即可. 【详解】根据组合数的性质得或.故或 故答案为：1或3 【点睛】本题主要考查了组合数的基本性质,属于基础题型. 13．0.8/ 【详解】随机变量X服从正态分布，由，得， 所以. 14．0.84 【分析】根据麦克劳林公式求出的表达式，再赋值计算即得. 【详解】令，则， 于是， 由麦克劳林公式得，， 所以. 15．(1)； (2)最小值为，最大值为17. 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求出，再验证即可. （2）利用导数求出指定区间上的最值. 【详解】（1）函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极大值1，得，解得， 此时，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值1， 所以，. （2）由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则当或时，取得最小值；当时，取得最大值17， 所以在上的最小值为，最大值为17. 16．(1)证明见解析 (2)． 【分析】（1）通过面面垂直得到线面垂直，再利用线面垂直的判定定理即可； （2）通过建立空间直角坐标系求出平面与平面的法向量，再代入公式即可. 【详解】（1）如图，取的中点，因为，所以， 因为平面平面，平面平面平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面平面， 所以平面． （2） 因为为的中点，，所以． 过点作交于点，由平面平面，可得，则． 以为坐标原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以． 设平面的法向量为，则 令，得．设平面的法向量为， 则 令，得． 设平面与平面的夹角为，则， 故平面与平面夹角的余弦值为． 17．(1) (2)， (3)有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关 【分析】（1）根据相互独立事件及对立事件求前三道工序后产品芯片的次品率； （2）设芯片智能自动检测合格为事件，芯片为合格品为事件，利用全概率公式求，利用独立事件得，最后由条件概率公式即可求解； （3）列出联表，计算卡方，与临界值比较得出结论. 【详解】（1）芯片的次品率为； （2）设芯片智能自动检测合格为事件，芯片为合格品为事件， 由全概率公式， 所以， 所以； （3）由数据可建立22列联表如下：（单位：人） 开机速度满意度 未安装 已安装 合计 不满意 12 3 15 满意 28 57 85 合计 40 60 100 根据列联表得： ， 因此，有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关． 18．(1) (2) (3)3120 【详解】（1）是首项为0的等差数列，，，， 又是等比数列，， ，即 ，，即 ，解得， 是等差数列， 当时，, ，即为定值， 数列为首项，公比的等比数列 的通项公式为. （2）， （3）， ， ，时， 即是首项为1，公差为4的等差数列， 令， 则 记的前n项和为， ， 数列的前20项和为3120． 19．(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3) 【分析】（1）利用导数求得，进而利用导数的几何意义可求得切线方程； （2）求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （3）结合（2）可得时，有极小值，进而结合题意可得，进而求解即可. 【详解】（1）当时，， 所以，所以， 又， 所以曲线在点处的切线方程为， 即. （2）由， 得， 函数的定义域为， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以. 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围. 答案第8页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $