2025-2026学年高二下学期数学期中素养训练3（北师大版）

高二下学期数学期中素养训练3 一、单选题 1．在二项式的展开式中，含项的二项式系数为（    ） A．5 B． C．10 D． 2．已知随机变量的分布列： 0 1 满足，，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 3．某单位为了了解办公楼用电量y（度）与气温x（）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量为（    ） 气温x（） 18 13 10 －1 用电量y（度） 24 34 38 64 A．68度 B．66度 C．28度 D．12度 4．小华的妈妈为小华煮了个粽子，其中个甜茶粽和个艾香粽，小华随机取出两个，事件“取到的两个为同一种馅”，事件“取到的两个都是艾香粽”，则（   ） A． B． C． D． 5．已知为平面上的单位向量，“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 7．设曲线在处的切线与轴交点的横坐标为，则的值为（   ） A． B． C． D．1 8．对于数列，定义为数列的“优值”，现已知数列的“优值”，记数列的前项和为，则（   ） A．2027 B． C．2029 D． 二、多选题 9．给出定义：若函数在D上可导，即存在，且导函数在D上也可导，则称在D上存在二阶导函数，记；若在D上恒成立，则称在D上为凸函数.以下四个函数在上是凸函数的是（    ） A． B． C． D． 10．记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B． C． D． 11．对于函数，则（   ） A．函数的单调递减区间为 B． C．若方程有6个不等实数根，则 D．对任意正实数，且，若，则 三、填空题 12．若，则的值为_______ 13．“大衍数列”来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题.大衍数列前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，则此数列第20项为________． 14．若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 学校:___________姓名：_________班级：__________ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12. 13. 14. . 四、解答题 15．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间； (3)求函数在上的最大值、最小值. 16．如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到平面的距离. 17．已知公差不为零的正项等差数列的前n项和为，，，，成等比数列. (1)求数列的通项公式； (2)令，求的前项和. 18．随着中美关税战的不断升级，某企业大大加强科技研发投入的力度，为确定下一年对某产品进行科技升级的研发费用，需了解该产品年研发费用（单位：千万元）对年销售量（单位：千万件）的影响.根据市场调研与模拟，对收集的数据进行初步处理，得到散点图及一些统计量的值如 30.5 15 15 46.5 表中，. (1)根据散点图判断，与哪一个更适合作为年销售量关于年研发费用的回归方程模型（给出判断即可，不必说明理由）； (2)根据（1）的判断结果及表中数据，建立关于的回归方程，并估计年研发费用为27千万元时年销售量的值； (3)科技升级后，该产品的效率大幅提高，经试验统计得大致服从正态分布.企业对科技升级团队的奖励方案如下：若不超过50%，不予奖励；若超过50%，但不超过53%，每件产品奖励2元；若超过53%，每件产品奖励4元.记为每件产品获得的奖励，求（精确到0.01）. 附：①对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，. ②若随机变量，则，. ③. 19．某中学的体育馆同时具有羽毛球、乒乓球和篮球场馆，甲同学每天都会去体育馆锻炼，若甲当天选择羽毛球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择乒乓球，则后一天选择羽毛球的概率为，选择乒乓球的概率为；若甲当天选择篮球，则后一天等可能地选择其中一个项目.已知甲第一天等可能地选择一个场馆进行相应的体育锻炼.请完成下列计算： (1)求甲第2天选择羽毛球的概率； (2)求在甲第2天选择羽毛球的条件下，甲第1天选择篮球的概率； (3)记甲第天选择羽毛球的概率为，请写出与的关系. 试卷第4页，共6页 试卷第5页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A B B C D A D ABD AD 题号 11 答案 BCD 1．A 【分析】由二项式定理可得展开式通项为，即可求含项的二项式系数. 【详解】解：由题设，， ∴当时，. ∴含项的二项式系数. 故选：A. 2．A 【分析】先根据离散型随机变量分布列的期望公式计算，再利用期望的线性性质列方程求． 【详解】解：由表可得， 又， 可得， 解得4． 故选A． 3．B 【分析】根据样本中心满足回归方程即可解决. 【详解】由表中数据可知，， 所以回归方程过，得，即， 则回归方程为， 当时，， 故选：B. 4．B 【详解】由题意知：，， . 5．C 【详解】由，得， 展开得， 因为是单位向量，所以， 所以，化简得． 若，则，代入等式成立，所以充分性成立， 若，则，即，所以必要性成立， 所以，“”是“”的充分必要条件． 6．D 【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案. 【详解】设，因为，所以， 对函数求导，得，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由. 故选：D. 7．A 【分析】求导，由导数的几何意义求出切线方程，故，结合对数运算法则得到答案. 【详解】由，可得， 所以曲线在处的切线方程是， 令得，所以 . 故选：A． 8．D 【分析】根据“优值”定义结合作差法求出，根据等差数列的前项和公式求出，代入求解即可. 【详解】由，得，① ，② ①-②得，即，， 所以． 9．ABD 【详解】A，由，则在上恒成立，是凸函数； B，由，则在上恒成立，是凸函数； C，由，则在上恒成立，不是凸函数； D，由，则在上恒成立，是凸函数. 10．AD 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 11．BCD 【分析】利用导函数求出递减区间判断A；利用函数单调性比较大小判断B；探讨函数的性质并作出简图，数形结合判断C；构造函数，利用导数证得判断D. 【详解】函数的定义域为，求导得， 对于A，由，得或，由，得， 因此函数的单调递减区间为和，A错误； 对于B，由A得，函数在上单调递增，，B正确； 对于C，为偶函数，当时，， 由A项知，函数的单调减区间为和，单调递增区间为， 又当时，，当时，， 当时，，时，， 当时，，当时，，时，， 函数的图象如图：    观察图象得，当且仅当时，直线与函数的图象有6个不同交点， C正确； 对于D，不妨设，由，得，即， 令函数，， 求导得， 当时，，，在上单调递增， 由，得，即，因此， 函数，求导得，当时，，在上单调递减， 而，则，即，D正确. 故选：BCD 12．255 【分析】使用赋值法求二项式展开后各项的系数和即可. 【详解】令，即， 令，则，则. 13． 【分析】根据大衍数列前项找规律，由此求得数列第项. 【详解】依题意， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， . 故答案为： 【点睛】本小题主要考查数列中的归纳推理，属于基础题. 14． 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 15．(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. (3)最大值为40，最小值为. 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解； （3）求出在上的单调性，即可利用单调性求出最值. 【详解】（1）因为，则， 则，而直线的斜率为， 则，解得. （2）由（1）可知，所以，定义域为，且. 令，即，化简可得，解得， 当，即时，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当即时，解得， 所以的单调递减区间为. 综上，得单调增区间为和，单调减区间为. （3）由（2）知，其单调增区间为和，单调减区间为， 所以在上单调递减，在上单调递增，为其极小值点， 则 0 4 0 减函数 增函数 40 综上，函数在上的最大值为，最小值为. 16．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【详解】（1）方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2）方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 17．(1) (2) 【分析】（1）根据等差数列的前n项和公式以及等比中项的性质，利用基本量法即可求出，从而得出通项公式； （2）利用第（1）小问求出，再由错位相减法进行数列求和即可得出结论. 【详解】（1）依题意，设等差数列的公差为，， 因为，所以， 因为，，成等比数列，所以，即， 联立，解得或（舍去）， 所以. （2）由（1）得， 所以， 所以， 两式相减得，， 所以， 所以. 18．(1)更适合 (2)，8.1千万件 (3) 【分析】（1）根据散点图可判断，更适合； （2）对两边取对数可得，再结合表中数据，即可求解； （3）由正态分布的概率公式代入计算，再由期望的计算公式即可得到结果. 【详解】（1）根据散点图可判断，更适合作为关于的回归方程模型. （2）由得：，即， 由表中数据得：， 所以， 所以，所以， 所以关于的回归方程为. 当时，，即年研发费用为27千万元时年销售量为8.1千万件. （3）因为，， 所以 ， 所以， 所以（元）. 19．(1)； (2)； (3). 【分析】（1）利用全概率公式计算求解即可. （2）利用贝叶斯公式计算求解即可. （3）根据给定条件，利用全概率公式列式并化简即得. 【详解】（1）设事件分别表示第一天选择羽毛球、乒乓球、篮球，第二天选择羽毛球的事件为， 则且两两互斥， 依题意，，， 且， 由全概率公式得. （2）由贝叶斯公式，得所求概率为. （3）设甲第天选择羽毛球的概率为，甲第天选择乒乓球的概率为， 由无论前一天选择什么，后一天选乒乓球的概率均为，得对所有均成立， 从而选择篮球的概率为， 当时，由全概率公式，得的递推关系为， 而，，化简得，. 答案第6页，共12页 答案第7页，共12页 学科网（北京）股份有限公司 $