查漏补缺04三角形与全等相似模型3大考点15种模型（专项训练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习讲练测

**基本信息** 以三角形角度计算、全等、相似三大模块为核心，通过15类模型化梳理与通法提炼，构建从基础补漏到能力强化的递进式训练体系，培养几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角度计算模型|5题型×4题|内角和/外角公式、双角平分线夹角公式、模型识别技巧|从基本定理（内角和180°）到复合模型（飞镖/八字），层层递进| |全等三角形模型|6题型×4题|平移/旋转对应关系、倍长中线构造法、截长补短技巧|基于全等判定（SSS/SAS等），按图形变换类型分类突破| |相似三角形模型|4题型×4题|A/8字型比例关系、母子型射影定理、一线三等角AA判定|以相似判定为基础，结合图形结构特征建立比例关系|

查漏补缺04 三角形与全等相似模型补漏 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 三角形角度计算中的五个常考模型 1.内角和模型：三角形内角和为180°，直角三角形两锐角互余，等边三角形各角 60°。 2.外角模型：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，且大于任何一个不相邻内角。 3.双角平分线模型 内角平分线：夹角 = 90°+1/2 顶角 一内一外角平分线：夹角 = 1/2 顶角 两外角平分线：夹角 = 90°−1/2 顶角 4.高线 + 角平分线模型：角平分线与高线的夹角 = 1/2 | 两底角之差 |。 5.八字模型 / 飞镖模型 八字模型：对顶三角形中，∠A+∠B=∠C+∠D 飞镖模型：凹四边形中，∠D=∠A+∠B+∠C 题型一：内角和模型 利用三角形内角和为180°，结合角的和差关系计算角度，遇多个三角形时优先拆分图形，分别套用内角和公式。 计算时勿混淆三角形内角和与外角和，避免角度加减运算出错。 1．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 4．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型二：外角模型 三角形外角等于不相邻两内角和，外角大于任意一个不相邻内角，可快速推导角度关系。 勿将外角与相邻内角混淆，外角与相邻内角为互补关系，非相等关系。 1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 题型三：双角平分线模型 三角形两内角平分线夹角 =90°＋第三个角的一半； 一内一外角平分线夹角 =第三个角的一半； 两外角平分线夹角 =90°-第三个角的一半。 1.区分内角、外角、内外角平分线三种模型，勿混淆公式. 2.无图题需考虑多解情况，避免漏解. 1．（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．的两内角平分线、相交于点O，若，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么_____度． 题型四：高线 + 角平分线模型 1.利用高线得直角，结合内角和表示两角差. 2.角平分线分角相等，联立推导夹角公式. 1.高线在三角形内部 / 外部会影响角度，需分类讨论. 2.仅适用于锐角 / 钝角三角形，直角三角形需单独验证. 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 3．如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　 　． 4．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）说明：DE∥AC； （2）若∠DEF＝40°，∠B＝36°，求∠BAC的度数． 题型五：八字模型 / 飞镖模型 1. 复杂图形中快速识别八字 / 飞镖结构，直接用结论. 2.解答题需连接线段，用内角和证明后使用辨易错. 1.模型识别错误会导致角度关系推导失误. 2.多模型叠加时，分步拆解计算，避免混乱. 1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 2．线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    3．已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 4．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 考点02 三角形全等中的六个常考模型 全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 1.平移型全等：沿直线平移，对应边平行且相等，对应角相等。 2.对称性模型：关于某直线对称，对应点连线被对称轴垂直平分。 3.旋转型模型：绕定点旋转，对应边相等、对应角相等，旋转角相等。 4.一线三等角全等：同一直线上三个等角，结合边相等可证全等。 5.倍长中线模型：延长中线至等长，构造全等三角形，转化边与角。 6.截长补短模型：截长 / 补短构造线段相等，证明线段和差关系。 题型六：平移型全等 1.找平移前后对应边、对应角相等 2.公共边、公共角可直接作为全等条件 3.结合平行线性质推导角相等辨易错 1.对应边 / 角找错会导致全等判定失败 2.勿用 “SSA” 判定全等，无直角时不可用 HL 1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：AC＝DF． 2．（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， (1)求证：； (2)若，求的度数． 3．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，是的中点，，． (1)求证：； (2)连接，则与的关系是 ． 题型七：对称型模型 1.对称图形中对应顶点连线被对称轴垂直平分 2.优先用 ASA、AAS 判定全等辨易错 1.忽略对称轴性质，漏找相等条件 2.折叠问题中对应边相等，勿漏算边长 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在和中，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 题型八：旋转型模型 绕定点旋转后重合，对应边相等、旋转角相等，用SAS判定全等，常结合等腰三角形性质. 旋转角与对应边易出错，需明确旋转中心与旋转方向. 1．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（    ） A． B． C．4 D． 2．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE． 3．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 4．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连． (1)求证：； (2)若，求的度数． 题型九：一线三等角全等 同一直线上三个角相等，结合ASA/AAS证全等，常见直角、60° 角场景. 1.仅角相等无对应边相等，不能判定全等. 2.非直角三等角需注意角度对应关系. 1．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 3．（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 4．（1）【探究发现】 在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明． （2）【知识迁移】 如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________． （3）【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长． 题型十：倍长中线模型 1. 遇 “中点、中线” 条件，优先倍长中线 2.构造全等后，将分散边集中到同一三角形辨易错 1.倍长后未正确连接线段，导致全等构造失败 2. 忽略中线与边的数量关系，无法转化条件 1．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 ． 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 4．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 题型十一：截长补短模型 1.截长：在长边上截取一段等于短边，证剩余段相等. 2.补短：延长短边至等于长边，证延长后线段相等. 3.结合全等三角形完成证明辨易错. 1.截补方向错误，无法构造全等. 2.证明过程跳步，缺少关键全等推导. 1.如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由． 3．阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积． 4．截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 考点03 相似三角形中的四个常考模型 相似判定：AA、SAS、SSS，相似比 = 对应边比 = 对应高 / 中线 / 角平分线比，面积比 = 相似比平方。 1. A 字型相似：平行于底边的直线截另两边，三角形与原三角形相似。 2. 8 字型相似：对顶三角形，有一组对顶角 + 一组等角即相似。 3. 母子型相似（双垂直）：直角三角形斜边上的高分出两个小三角形，均与原三角形相似。 4. 一线三等角相似：同一直线上三个等角，满足边成比例即相似。 题型十二：A 字型相似 平行于三角形一边的直线截另两边，对应角相等、对应边成比例，判定平行→相似。 非平行时不可用 A 字型，需严格满足平行条件。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 3．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____． 4.如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．    题型十三：8 字型相似 对顶角相等 + 两组角对应相等，呈 “8” 字结构，用AA判定相似。 对应边易颠倒，比例式书写需按对应顶点顺序。 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，点在边上，且，，过点作，交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，中，点在上，交于点，若，的面积为4，则四边形的面积为（    ） A．7 B．6 C．9 D．11 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 4．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 题型十四：母子型相似（双垂直） 直角三角形斜边上的高分出两个小直角三角形，三者两两相似，满足射影定理。 射影定理公式易记混，需明确直角边、斜边的对应关系。 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 2.如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 3.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 4.【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若，求OF的长． 题型十五：一线三等角相似 同一直线上三个等角，用AA判定相似，对应边成比例，常结合直角、等腰角。 等角对应错误，导致相似三角形判定失败。 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 2.如图， 中，，于D，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．可求两矩形的相似比的是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE，求△ABC的边长． 4.【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    1．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 4．（2026·安徽宿州·一模）如图，与交于点，已知，与交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 6．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 7．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 9．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为____． 10．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 11．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 12．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点H，求的度数． 13．如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 14．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 15．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 查漏补缺04 三角形与全等相似模型补漏 内容导航 漏洞扫描 通法锤炼 能力强化 考点查缺 漏洞扫描 精准补漏：系统扫描知识图谱，精准定位知识薄弱环节，实施靶向弥补，夯实基础 题型突破 考点精研 通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题”到“通一类”的能力跃迁 融会贯通 实战淬炼 能力强化：打破单一知识点壁垒，强化知识联动与思维迁移，完成高阶能力整合 考点01 三角形角度计算中的五个常考模型 1.内角和模型：三角形内角和为180°，直角三角形两锐角互余，等边三角形各角 60°。 2.外角模型：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和，且大于任何一个不相邻内角。 3.双角平分线模型 内角平分线：夹角 = 90°+1/2 顶角 一内一外角平分线：夹角 = 1/2 顶角 两外角平分线：夹角 = 90°−1/2 顶角 4.高线 + 角平分线模型：角平分线与高线的夹角 = 1/2 | 两底角之差 |。 5.八字模型 / 飞镖模型 八字模型：对顶三角形中，∠A+∠B=∠C+∠D 飞镖模型：凹四边形中，∠D=∠A+∠B+∠C 题型一：内角和模型 利用三角形内角和为180°，结合角的和差关系计算角度，遇多个三角形时优先拆分图形，分别套用内角和公式。 计算时勿混淆三角形内角和与外角和，避免角度加减运算出错。 1．（2024·广东中山·模拟预测）将一副三角板（）按如图方式摆放，使，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 首先根据三角形内角和定理得到，然后由平行线的性质得到，然后利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：C． 2．如图，在中，，直线经过点A且，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、平行线的性质，熟练掌握三角形的内角和为是解题的关键．根据三角形的内角和定理和平行线的性质即可求解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：B． 3．如图，已知在中，，现将一块直角三角板放在上，使三角板的两条直角边分别经过点，直角顶点D落在的内部，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三角形内角和定理可得∠ABC+∠ACB+∠A=180°，即∠ABC+∠ACB=180-∠A=140°，再说明∠DBC+∠DCB=90°，进而完成解答． 【详解】解：∵在△ABC中，∠A=40° ∴∠ABC+∠ACB=180-∠A=140° ∵在△DBC中，∠BDC=90° ∴∠DBC+∠DCB=180°-90°=90° ∴140°-90°=50° 故选C． 【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，灵活运用三角形内角和定理成为解答本题的关键． 4．如图，将三角形纸片沿折叠．当点A落在四边形的外部时，测量得到，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用四边形内角和定理得到，利用折叠的性质得到对应角相等，结合三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】解： ． 故选： ． 【点睛】本题考查了折叠的性质，四边形内角和定理和三角形内角和定理，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题的关键． 题型二：外角模型 三角形外角等于不相邻两内角和，外角大于任意一个不相邻内角，可快速推导角度关系。 勿将外角与相邻内角混淆，外角与相邻内角为互补关系，非相等关系。 1．（2025·西藏·中考真题）如图，为等腰三角形，，点D是延长线上的一点，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据等腰三角形的定义可得，再利用三角形外角的性质可得即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 由三角形的外角性质，得：， ∴． 故选：C． 2．如图，点，分别在线段，上，连接，交于点．若，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和为，三角形外角定理，对顶角的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 利用三角形内角和为可求出，再由三角形外角定理求出，根据对顶角性质即可求解． 【详解】解： ，， ， ， 和为对顶角 故选：B 3．（2025·辽宁·中考真题）如图，点在的边上，，垂足为，，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，三角形的外角，根据平行线的性质，得到，再根据三角形的外角的性质，求出的度数即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴； 故选C． 4．（2024·甘肃兰州·中考真题）如图，在中，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质．根据等腰三角形的性质，可得，再由三角形外角的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：B 题型三：双角平分线模型 三角形两内角平分线夹角 =90°＋第三个角的一半； 一内一外角平分线夹角 =第三个角的一半； 两外角平分线夹角 =90°-第三个角的一半。 1.区分内角、外角、内外角平分线三种模型，勿混淆公式. 2.无图题需考虑多解情况，避免漏解. 1．（2026·陕西·一模）如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 【详解】解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 1．的两内角平分线、相交于点O，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据角平分线的性质得到∠OBC+∠OCB的度数，根据三角形的内角和即可求解． 【详解】∵ ∴∠ABC+∠ACB=180°- ∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=∠ABC+∠ACB=（∠ABC+∠ACB）=35° ∴180°-（∠OBC+∠OCB）=145° 故选C． 【点睛】此题主要考查三角形内角度求解，解题的关键是熟知角平分线的性质、三角形内角和定理． 3．如图，在中，，与的角平分线交于，与的角平分线交于点，依此类推，与的角平分线交于点，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意可得∠ABC+∠ACB=160°，BD1，CD1，CD2，BD2…BDn，CDn是角平分线，可得∠ABDn+∠ACDn=160×（）n，可求∠BCDn+∠CBDn的值，再根据三角形内角和定理可求结果． 【详解】解：∵∠A=20°，∠A+∠ABC+∠ACB=180°， ∴∠ABC+∠ACB=160°， ∵BD1平分∠ABC，CD1平分∠ACB， ∴∠ABD1=∠ABC，∠ACD1=∠ACD， ∵BD2平分∠ABD1，CD2平分∠ACD1， ∴∠ABD2=∠ABD1=∠ABC，∠ACD2=∠ACD1=∠ACB， 同理可得∠ABD5=∠ABC，∠ACD5=∠ACB， ∴∠ABD5+∠ACD5=160×=5°， ∴∠BCD5+∠CBD5=155°， ∴∠BD5C=180-∠BCD5-∠CBD5=25°， 故选B． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线，关键是找出其中的规律，利用规律解决问题． 4．如图，点M是两个内角平分线的交点，点N是两外角平分线的交点，如果，那么_____度． 【答案】60 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、四边形的内角和，熟练掌握角平分线的应用是解题关键．先根据角平分线的定义可得，再根据三角形的内角和定理可得，再根据四边形的内角和可得，从而可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点是两个内角平分线的交点， ， ， ， 点是两外角平分线的交点， ，， ，，即， ， ， 又， ， ， 解得， 故答案为：60． 题型四：高线 + 角平分线模型 1.利用高线得直角，结合内角和表示两角差. 2.角平分线分角相等，联立推导夹角公式. 1.高线在三角形内部 / 外部会影响角度，需分类讨论. 2.仅适用于锐角 / 钝角三角形，直角三角形需单独验证. 1．（2026·甘肃陇南·一模）如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理求得的度数，由角平分线和垂直的定义可得和的度数，即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴． 2．如图，△ABC中，AD为△ABC的角平分线，BE为△ABC的高，∠C＝70°，∠ABC＝48°，那么∠3是（　　） A．59° B．60° C．56° D．22° 【答案】A． 【分析】根据高线的定义可得∠AEC＝90°，然后根据∠C＝70°，∠ABC＝48°求出∠CAB，再根据角平分线的定义求出∠1，然后利用三角形的内角和等于180°列式计算即可得解． 【详解】解：∵BE为△ABC的高， ∴∠AEB＝90° ∵∠C＝70°，∠ABC＝48°， ∴∠CAB＝62°， ∵AF是角平分线， ∴∠1∠CAB＝31°， 在△AEF中，∠EFA＝180°﹣31°﹣90°＝59°． ∴∠3＝∠EFA＝59°， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，角平分线的定义，高线的定义，熟记概念与定理并准确识图是解题的关键． 3．如图，AD是△ABC的高，DE是△ABD的中线，BF是△BDE的角平分线．若AD＝BD，则∠BFD的度数为 　 　． 【答案】112.5°． 【分析】根据三角形的高的概念得到∠ADB＝90°，根据直角三角形、等腰三角形的性质得到∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED，再根据角平分线的定义、三角形的外角性质计算，得到答案． 【详解】解：∵AD是△ABC的高， ∴∠ADB＝90°， ∵AD＝BD，DE是△ABD的中线， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°，EB＝ED， ∴∠EDB＝∠EBD＝45°， ∴∠BED＝90°， ∵BF是△BDE的角平分线， ∴∠EBF∠EBD＝22.5°， ∴∠BFD＝∠BED+∠EBF＝90°+22.5°＝112.5°， 故答案为：112.5°． 【点睛】本题考查的是直角三角形的性质、三角形的中线、角平分线、高的概念、三角形的外角性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．已知：如图，在△ABC中，AD是角平分线，E为边AB上一点，连接DE，∠EAD＝∠EDA，过点E作EF⊥BC，垂足为F． （1）说明：DE∥AC； （2）若∠DEF＝40°，∠B＝36°，求∠BAC的度数． 【分析】（1）只需要证明∠EDA＝∠CAD，即可证明DE∥AC； （2）利用三角形内角和定理求出∠EDF＝55°，进而求出∠BED＝100°，再利用平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠CAD， ∵∠EAD＝∠EDA， ∴∠EDA＝∠CAD， ∴DE∥AC； （2）解：∵EF⊥BD， ∴∠EFD＝90°， ∴∠EDF＝180°﹣∠DEF﹣∠EFD＝50°， ∴∠BED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝94°， ∵DE∥AC， ∴∠BAC＝∠BED＝94°． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定，三角形内角和定理，角平分线的定义，熟知平行线的性质与判定条件是解题的关键． 题型五：八字模型 / 飞镖模型 1. 复杂图形中快速识别八字 / 飞镖结构，直接用结论. 2.解答题需连接线段，用内角和证明后使用辨易错. 1.模型识别错误会导致角度关系推导失误. 2.多模型叠加时，分步拆解计算，避免混乱. 1．在社会实践手工课上，小茗同学设计了一个形状如图所示的零件，如果，，那么的度数是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，根据三角形内角和定理求出再利用邻补角的性质求出，再根据四边形的内角和求出，根据邻补角的性质即可求出的度数． 【详解】延长BE交CF的延长线于O，连接AO，如图， ∵ ∴ 同理得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查三角形内角和定理，多边形内角和，三角形的外角的性质，邻补角的性质，解题关键是会添加辅助线，将已知条件联系起来进行求解．三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；邻补角性质：邻补角互补；多边形内角和：． 2．线段、相交于点，连接、，我们把如图1的图形称之为“8字形”，则，如图2，在图1的条件下，和的平分线和相交于点，并且与、分别相交于、，若，，则的度数是______．    【答案】/35度 【分析】本题主要考查三角形内角和及外角，角平分线等知识点，熟练掌握基本知识是解题关键； 由“8字形”结论可知， ，结合，得到，再由角平分线得到，，最后代入计算即可． 【详解】解：由“8字形”结论得到， ， ∵，， ∴， ∴， ∵和的平分线和相交于点P， ∴，， ∵， ∴ ． 故答案为： ． 3．已知相交于点． (1)如图1，若平分交于点，平分交于点，求的度数； (2)如图2，延长至点，若直线平分交于点，平分交直线于点，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角形内角和定理以及对顶角相等可得出，由平分线的定义可得出、，再结合三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论； （2）由邻补角互补结合角平分线可得出，根据三角形外角性质结合（1）中即可得出，再根据三角形内角和定理即可得出，代入度数即可得出结论． 【详解】（1）解：，，， ， ，， ． 平分交于，平分交于， ，． ，， ， ． （2）解：，平分交直线于， ， ，， ． 4．如图，已知线段相交于点O，连接，我们把形如这样的图形称为“八字图形”． (1)求证：； (2)利用八字图形解决问题：如图②，若和的平分线和相交于点P，与分别交于点M，N． ①若，求的度数； ②根据①的结果直接写出之间的关系是__________________． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、角平分线的定义、对顶角的性质等知识，理解并掌握三角形的内角和定理是解题关键． （1）利用三角形内角和定理和对顶角相等即可证明； （2）①由（1）结论可得在和中，，在和中，，两式相加再由角平分线的定义即可解答； ②根据角平分线的定义可得，在和中，可有，即，同理在和中，可有，，即可获得答案． 【详解】（1）证明：在中，， 在中，， ， ． （2）解：∵在和中，， 在和中，， ， ∵平分平分， ， ，即， ． ②、、之间的关系为． 理由如下：如下图， ∵和分别平分和， ， 在和中，， ， 在和中，， ， ， ∴、、之间的关系为． 考点02 三角形全等中的六个常考模型 全等判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形） 1.平移型全等：沿直线平移，对应边平行且相等，对应角相等。 2.对称性模型：关于某直线对称，对应点连线被对称轴垂直平分。 3.旋转型模型：绕定点旋转，对应边相等、对应角相等，旋转角相等。 4.一线三等角全等：同一直线上三个等角，结合边相等可证全等。 5.倍长中线模型：延长中线至等长，构造全等三角形，转化边与角。 6.截长补短模型：截长 / 补短构造线段相等，证明线段和差关系。 题型六：平移型全等 1.找平移前后对应边、对应角相等 2.公共边、公共角可直接作为全等条件 3.结合平行线性质推导角相等辨易错 1.对应边 / 角找错会导致全等判定失败 2.勿用 “SSA” 判定全等，无直角时不可用 HL 1．如图，点B，E，C，F在一条直线上，AB＝DE，AB∥DE，BE＝CF．求证：AC＝DF． 【答案】见解析 【分析】首先利用平行线的性质得∠B＝∠DEF，再利用SAS得出△ABC≌△DEF，得出∠ACB＝∠F，根据平行线的判定即可得到结论． 【解答】证明：∵AB∥DE， ∴∠B＝∠DEF． 又∵BE＝CF， ∴BC＝EF 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴AC＝DF． 【点评】此题主要考查了平行线的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 2．（2020·四川内江·中考真题）如图，点C，E，F，B在同一直线上，点A，D在异侧， (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，能根据全等三角形的判定求出≌是解此题的关键． （1）根据平行线的性质求出，根据推出 ，根据全等三角形的性质得出即可； （2）根据全等得出，，，求出，推出，即可求出答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）解： ， ，，， ， ， ， 3．（2025·山东淄博·中考真题）已知：如图：在中，，分别为边，的中点，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查三角形的中位线，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质； （1）证明是的中位线，即可得到，进而得到，然后利用证明三角形全等； （2）根据全等三角形的对应角相等得到，即可得到，进而证明四边形是平行四边形，根据平行四边形的对角相等得到结论即可． 【详解】（1）证明：∵，分别为边，的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 4．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，是的中点，，． (1)求证：； (2)连接，则与的关系是 ． 【答案】(1)见解析 (2)与互相平分 【分析】（1）根据中点的定义求出，根据平行线的性质求出，利用证明，根据全等三角形的性质求证即可； （2）根据全等三角形的性质求出，，则，再根据平行四边形的判定与性质求解即可． 此题考查了全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， 由（1）知，， ∴，， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴与互相平分， 故答案为：与互相平分． 题型七：对称型模型 1.对称图形中对应顶点连线被对称轴垂直平分 2.优先用 ASA、AAS 判定全等辨易错 1.忽略对称轴性质，漏找相等条件 2.折叠问题中对应边相等，勿漏算边长 1．（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 2．（2024·江苏镇江·中考真题）如图，，．    (1)求证：； (2)若，则__________°． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）利用即可证得； （2）先根据三角形内角和定理求出的度数，再根据全等三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：在和中， ， ； （2）解：，， ， 由（1）知， ， 故答案为：20． 3．（2024·江苏徐州·中考真题）已知：如图，四边形为正方形，点E在的延长线上，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题主要考查了正方形的性质和全等三角形的判定与性质，解题关键是正确识别图形，理解角与角之间的关系，熟练找出和的全等条件． （1）根据正方形的性质证明，然后根据全等三角形的判定定理进行证明即可； （2）根据正方形的性质和全等三角形的性质，求出和，然后进行证明即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为正方形， ， 在和中， ， ； （2）∵四边形为正方形， ， ， ， ， ， ， ． 4．（2025·辽宁大连·一模）如图，在和中，与相交于点，，． (1)求证：； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据直接证明，即可； （2）根据（1）得出则，进而根据三线合一求得的长，进而根据勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：在和中， （2）解：过点作于点 由（1），， ， ， ， 在中，， ， ． 题型八：旋转型模型 绕定点旋转后重合，对应边相等、旋转角相等，用SAS判定全等，常结合等腰三角形性质. 旋转角与对应边易出错，需明确旋转中心与旋转方向. 1．如图，在中，，分别以，为边作等边和等边，连结，若，，则（    ） A． B． C．4 D． 【答案】C 【分析】在Rt△ABC中可直接运用勾股定理求出BC，然后结合“手拉手”模型证得△ABC≌△ADE，即可得到DE=BC，从而求解即可． 【详解】解：在Rt△ABC中，AB=3，AC=5， ∴由勾股定理得：BC=4， ∵和均为等边三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD-∠CAD=∠CAE-∠CAD， 即：∠BAC=∠DAE， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE(SAS)， ∴DE=BC=4， 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定与性质，熟练运用勾股定理解三角形是解题关键． 2．如图所示，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F，若∠1＝∠2＝∠3，AD＝AB，求证：AC＝AE． 【答案】见详解. 【分析】因∠1＝∠2，角的和差得∠ABC＝∠DAE，由三角形的内角和定理，对顶角求得∠E＝∠C，最后由角角边证明△ABC≌△ADE，全等三角形的性质求得AC＝AE． 【详解】解；如图所示： ∵∠BAC＝∠1+∠DAC， ∠DAE＝∠2+∠DAC， ∴∠BAC＝∠DAE， 又∵∠2+∠AFE+∠E＝180°， ∠3+∠DFC+∠C＝180°， ∠2＝∠3，∠AFE＝∠DFC， ∴∠E＝∠C， 在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（AAS）， ∴AC＝AE． 【点睛】本题综合考查了全等三角的判定与性质，三角形的内角和定理，对顶角相等，角的和差等相关知识，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点是构建全等三角形． 3．（2025·河北·中考真题）如图．四边形的对角线，相交于点，，，点在上，． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质； （1）先证明，结合，，即可得到结论； （2）先证明，结合即可得到结论. 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 又∵，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即. 4．（2022·湖北黄石·中考真题）如图，在和中，，，，且点D在线段上，连． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可； （2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即． 在与中， ， ∴≌（SAS）； （2）解：由（1）得， 又∵和都是等腰直角三角形， ∴且， 在中∵且 ∴ ， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 题型九：一线三等角全等 同一直线上三个角相等，结合ASA/AAS证全等，常见直角、60° 角场景. 1.仅角相等无对应边相等，不能判定全等. 2.非直角三等角需注意角度对应关系. 1．如图，在平面直角坐标系中，为等腰三角形，，点B到x轴的距离为4，若将绕点O逆时针旋转，得到，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质以及构造全等三角形求线段的长度，准确构造全等三角形求得线段长度是解题的关键． 过B作于，过作轴于，构建，由勾股定理求出，进而可得出答案． 【详解】过B作于，过作轴于， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．如图，在中，是边上的高，．连接，交的延长线于点E，连接．则下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证即可判断①，利用及三角形内角和定理与对顶角即可判断②，点F作于点M，过点G作交的延长线于点N，证明，得出，同理得到，从而得出，证明，从而得到，即可判断③④，即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在与中， ∵， ∴， ∴，故①正确， ∵， ∴， 如图，记交于点，的交点为， ∵， ∴， ∴，故②正确， 过点F作于点M，过点G作交的延长线于点N， ， ∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 同理， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故③正确，④正确． 3．（1）如图①，在中，，，是过点A的直线，于点D，于点E，且．求证：． （2）如图②，在中，，D，A，E三点都在直线l上，并且有，且，请问是否成立？若成立，请给出证明，如不成立，请说明理由． （3）拓展与应用：如图③，D，E是D，A，E三点所在直线l上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为平分线上的一点，且和均为等边三角形，连接，．若，试判断的形状． 【答案】（1）见解析；（2）成立，证明见解析；（3）为等边三角形 【分析】（1）只需要证明，根据已知条件，结合全等三角形的判定定理即可解答； （2）运用类比的方法，同样可以证明； （3）结合（2）及已知条件，利用可以证明； 接下来根据全等三角形的性质可以得到，，至此问题即可解答． 【详解】（1）证明：直线l，直线l， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （2）解：成立，证明如下： ， ， ， 在和中， ， ， ，， ； （3）解：由（2）可知，， ，， 和均为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 为等边三角形． 【点睛】根据“一线三等角”模型，准确证明三角形全等是正确解答此题的关键． 4．（1）【探究发现】 在中，，，直线l经过点C，，，D、E为垂足，则有结论．请在图1、图2中任选一图给予证明． （2）【知识迁移】 如图3，已知：，，，，，连接、、，则点C的坐标为________，点E的坐标为________，的面积为________． （3）【拓展应用】 如图4，已知：点A的坐标为，分别以、为直角边在第一、第二象限作等腰与等腰，且，连接交y轴于点P，求的长． 【答案】（1）见解析；（2），，2；（3） 【分析】（1）先证，再证，利用“”即可求证； （2）过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H，利用“”可得，，从而求出、、、，即可求出坐标，再根据三角形面积公式，计算即可求出面积； （3）过点E作轴于G，利用“”可得，则． 【详解】证明：（1）如图1，（图2证明略） ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； 解：（2）如图3，过点C作轴于点，过点作轴于点，延长交x轴于点H， ，， ，， ，x轴y轴， ， 轴， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 同理可证， ，， ， ， ，， 轴， ，， ； 故答案为：，，2； 解：（3）如图4，过点E作轴于G， 由（1）知， ，， ，轴，， 在和中，， ， ． 【点睛】本题考查平面直角坐标系点的坐标，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握“一线三直角模型”是解题的关键． 题型十：倍长中线模型 1. 遇 “中点、中线” 条件，优先倍长中线 2.构造全等后，将分散边集中到同一三角形辨易错 1.倍长后未正确连接线段，导致全等构造失败 2. 忽略中线与边的数量关系，无法转化条件 1．如图，在中，是边上的中线，，，则的取值范围是 ____________ ． 【答案】 【分析】此题考查了三角形的三边关系以及全等三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．延长至E，使，连接，易证得，可求得的长，证得，然后由三角形三边关系，求得答案． 【详解】解：如图，延长至E，使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ， ∵，， ∵， ∴ ∴， 的取值范围是：． 故答案为：． 2．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题提出】 小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，是中线，求的取值范围． 【构建模型】 她的做法是：延长到E，使，连接，证明，经过推理和计算使问题得到解决．她的这种做法把中线延长了一倍，所以我们通常称为“倍长中线法”． 请回答： （1）小红证明的判定定理是： ． （2）的取值范围是 ． 【模型应用】 （3）如图2，在中，是的中线，，在上取一点E，连接，若，则“燕尾”四边形的面积为 ． 【答案】（1） ；（2），（3） 8 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边关系，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形三边关系求出，即可求解； （3）延长至点F，使，同（1）可证，得出，，，进而得出，根据等边对等角和三角形内角和定理可求出，然后根据“燕尾”四边形的面积为求解即可． 【详解】解：（1）延长到E，使，连接BE， ∵是中线， ∴， 又， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，， 又， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：； （3）延长至点F，使， 同（1）可证， ∴，，， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴“燕尾”四边形的面积为， 故答案为：8． 3．数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图1，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使，请补充完整证明．“∴”的推理过程． （1）求证：∴； 证明：∵延长到点，使， 在和中（已作）， （______）， （中点定义）， ∴（______）， （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围； （3）【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 如图2，中，，，是的中线，，，且，求的长． 【答案】（1）对顶角相等，；（2）；（3） 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、三角形三边关系及垂直平分线的判定和性质，解题的关键是作辅助线． （1）根据题干已知可得； （2）根据全等三角形性质得，利用三角形三边关系即可求得答案； （3）延长交于点，证明，根据全等性质得，，利用得垂直平分，即可求得答案． 【详解】证明：（1）∵延长到点，使， 在和中，（已作）， （对顶角相等）， （中点定义）， ∴， 故答案为：对顶角相等，； （2）∵， ∴， ∴， 则， 故， 即； （3）延长交的延长线于点，如图； ∵，， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，； 又∵， ∴垂直平分， ∴． 4．学习理解： （1）如图1，，，点D为的中点，则的取值范围为________； 活学活用： （2）如图2，，，，点F为的中点． 求证：； 思维拓展： （3）如图3，在中，，和的角平分线与相交于点F，连接，，，则________． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）13 【分析】（1）延长至点E，使，连接，证明，得出的取值范围为，从而得到； （2）如图2，延长至点G，使，连接，证明，，通过三角形面积转化得到结论； （3）先证明，如图3，在上截取，，连接，通过三角形全等和三角形面积转化，得出的面积． 【详解】解：（1）如图1，延长至点E，使，连接， ∵点D为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：如图2，延长至点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵点F为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵分别平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 如图3，在上截取，，连接， 在和中， ， ∴， 同理可得：， ∴，，，， 过点N作于点P，过点E作于点Q， 则， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， 故答案为：13． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型十一：截长补短模型 1.截长：在长边上截取一段等于短边，证剩余段相等. 2.补短：延长短边至等于长边，证延长后线段相等. 3.结合全等三角形完成证明辨易错. 1.截补方向错误，无法构造全等. 2.证明过程跳步，缺少关键全等推导. 1.如图，在中，，的角平分线、相交于点O，求证：．    【答案】证明见解析 【分析】根据三角形内角和定理和角平分线的定义，得到，，在上截取，连接，分别证明，，得到，即可证明结论． 【详解】证明：， ， 、分别平分、， ，， ， ， ， 如图，在上截取，连接，    在和中， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线的定义，做辅助线构造全等三角形是解题关键． 2.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD，BE平分∠ABC，且AE、BE交CD于点E．试说明AD＝AB﹣BC的理由． 【答案】见解析 【分析】在AB上找到F使得AF＝AD，易证△AEF≌△AED，可得AF＝AD，∠AFE＝∠D，根据平行线性质可证∠C＝∠BFE，即可证明△BEC≌△BEF，可得BF＝BC，即可解题． 【详解】证明：在AB上找到F使得AF＝AD， ∵AE平分∠BAD， ∴∠EAD＝∠EAF， ∵在△AEF和△AED中， ， ∴△AEF≌△AED，（SAS） ∴AF＝AD，∠AFE＝∠D， ∵AD∥BC， ∴∠D＋∠C＝180°， ∵∠AFE＋∠BFE＝180° ∴∠C＝∠BFE， ∵BE平分∠BAD， ∴∠FBE＝∠C， ∵在△BEC和△BEF中， ， ∴△BEC≌△BEF，（AAS） ∴BF＝BC， ∵AB＝AF＋BF， ∴AB＝AD＋BC， 即AD＝AB﹣BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，本题中求证△AEF≌△AED和△BEC≌△BEF是解题的关键． 3．阅读材料并完成习题： 在数学中，我们会用“截长补短”的方法来构造全等三角形解决问题．请看这个例题：如图1，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，AB＝AD，若AC＝5cm，求四边形ABCD的面积． 解：延长线段CB到E，使得BE＝CD，连接AE，我们可以证明△BAE≌△DAC，根据全等三角形的性质得AE＝AC＝5，∠EAB＝∠CAD，则∠EAC＝∠EAB+∠BAC＝∠DAC+∠BAC＝∠BAD＝90°，得S四边形ABCD＝S△ABC+S△ADC＝S△ABC+S△ABE＝S△AEC，这样，四边形ABCD的面积就转化为等腰直角三角形EAC面积． （1）根据上面的思路，我们可以求得四边形ABCD的面积为 　 　cm2． （2）请你用上面学到的方法完成下面的习题． 如图2，已知FG＝FN＝HM＝GH+MN＝5cm，∠G＝∠N＝90°，求五边形FGHMN的面积． 【分析】（1）根据题意，可以计算出等腰直角三角形AEC的面积，从而可以得到四边形ABCD的面积； （2）根据题意，作出合适的辅助线，然后三角形全等的判定和性质，可以求得四边形HFOM的面积，从而可以得到五边形FGHMN的面积． 【详解】解：（1）由题意可得， AE＝AC＝5，∠EAC＝90°， 则△EAC的面积是：（cm2）， 即四边形ABCD的面积为12.5cm2， 故答案为：12.5； （2）连接FH、FM，延长MN到O，截取NO＝GH， 在△GFH和△NFO中， ， ∴△GFH≌△NFO（SAS）， ∴FH＝FO， ∵FG＝FN＝HM＝GH+MN＝2cm，GH＝NO， ∴HM＝OM， 在△HFM和△OFM中， ， ∴△HFM≌△OFM（SSS）， ∵△OFM的面积是：cm2， ∴△HFM的面积是12.5cm2， ∴四边形HFOM的面积是25cm2， ∴五边形FGHMN的面积是25cm2． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 4．截长补短法”证明线段的和差问题： 先阅读背景材料，猜想结论并填空，然后做问题探究． 背景材料： （1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系．探究的方法是，延长FD到点G．使DG＝BE，连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出的结论是　 　． 探索问题： （2）如图2，若四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF∠BAD，上述结论是否仍然成立？成立的话，请写出推理过程． 【分析】（1）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题； （2）延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG，即可证明△ABE≌△ADG，可得AE＝AG，再证明△AEF≌△AGF，可得EF＝FG，即可解题． 【详解】证明：（1）在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF； 故答案为：EF＝BE+DF． （2）解：结论EF＝BE+DF仍然成立； 理由：延长FD到点G．使DG＝BE．连接AG， 在△ABE和△ADG中， ， ∴△ABE≌△ADG（SAS）， ∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG， ∵∠EAF∠BAD， ∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF， ∴∠EAF＝∠GAF， 在△AEF和△GAF中， ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）， ∴EF＝FG， ∵FG＝DG+DF＝BE+DF， ∴EF＝BE+DF． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，本题中求证△AEF≌△AGF是解题的关键． 考点03 相似三角形中的四个常考模型 相似判定：AA、SAS、SSS，相似比 = 对应边比 = 对应高 / 中线 / 角平分线比，面积比 = 相似比平方。 1. A 字型相似：平行于底边的直线截另两边，三角形与原三角形相似。 2. 8 字型相似：对顶三角形，有一组对顶角 + 一组等角即相似。 3. 母子型相似（双垂直）：直角三角形斜边上的高分出两个小三角形，均与原三角形相似。 4. 一线三等角相似：同一直线上三个等角，满足边成比例即相似。 题型十二：A 字型相似 平行于三角形一边的直线截另两边，对应角相等、对应边成比例，判定平行→相似。 非平行时不可用 A 字型，需严格满足平行条件。 1．（2025·黑龙江哈尔滨·一模）如图，菱形，点E为延长线上一点，连接交于点F，下列式子正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质，可得，，，再由相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，， ∴，，，故A、B、C选项错误，不符合题意； ∴， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D 2．（2025·陕西·模拟预测）如图，在中，点，分别是和的中点，点是线段上的一点，连接，，且．若，，则的长为（   ） A．3 B．2.5 C．1.5 D．2 【答案】C 【分析】本题考查了中位线的性质和平行线分线段成比例定理，延长交于点G，根据平行线分线段成比例定理得出是的中位线即可求解． 【详解】解：延长交于点G， ∵点，分别是和的中点， ∴， ∴，即点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 3．如图已知正方形DEFG的顶点D、E在△ABC的边BC上，顶点G、F分别在边AB、AC上．如果BC=4，△ABC的BC边上的高是3，那么这个正方形的边长是_____． 【答案】 【分析】过点A作AM⊥BC于M，由△ABC的BC边上的高是3可得AM=3，由正方形的性质和相似三角形的性质可得，即可求正方形的边长． 【详解】如图，过点A作AM⊥BC于M， ∵△ABC的BC边上的高是3， ∴AM=3， ∵四边形DEFG是正方形， ∴GD=FG,GF∥BC,GD∥AM， ∴△AGF∽△ABC，△BGD∽△BAM， ∴，． ∴． ∴GF=． 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的性质与判定为解题关键． 4.如图，中，，，，若正方形的顶点在上，顶点、都在上，射线交边于点，则长为 ．    【答案】 【分析】证明，，由相似三角形的性质得出 ， ，设， 可得，， 从而可得出答案． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ∴，， ∴，， ∴， ， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴． 故答案为 ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明与是解题的关键． 题型十三：8 字型相似 对顶角相等 + 两组角对应相等，呈 “8” 字结构，用AA判定相似。 对应边易颠倒，比例式书写需按对应顶点顺序。 1．（2026·安徽阜阳·一模）如图，在中，点在边上，且，，过点作，交的延长线于点，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据比例关系得出，根据两直线平行，内错角相等得出，结合对角线相等和相似三角形的判定和性质即可求出的值． 【详解】∵， ∴， 故． ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即， 故． 2．（2026·陕西西安·三模）如图，中，点在上，交于点，若，的面积为4，则四边形的面积为（    ） A．7 B．6 C．9 D．11 【答案】D 【分析】根据题意得到且，证明，得到，求出，进而求出，得到，即可得到答案． 【详解】解： ， 且， ， ，即， ， ， ， ， 的面积为4， ， ， ， ， ． 3．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于点G，，，则的长为（    ）      A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】由平行四边形的性质可得，，设为x可得，解之即可． 【详解】∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， 设为x， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， 即， 得， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，平行线分线段成比例的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 4．（2023·安徽·中考真题）如图，点在正方形的对角线上，于点，连接并延长，交边于点，交边的延长线于点．若，，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例得出，根据，得出，则，进而可得，根据，得出，根据相似三角形的性质得出，进而在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形，，， ∴，，， ∵， ∴ ∴，， ∴， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的性质，平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． 题型十四：母子型相似（双垂直） 直角三角形斜边上的高分出两个小直角三角形，三者两两相似，满足射影定理。 射影定理公式易记混，需明确直角边、斜边的对应关系。 1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在中，，是边上的高，，则的值是____________． 【答案】/ 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据，是边上的高，证明，故，则，则，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 则 ∴， 故答案为：． 2.如图，在中，D为上一点，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练应用相似三角形的判定与性质，正确推出比例线段是解题关键． （1）根据两角对应相等证明； （2）根据（1）的结论推，把有关线段的值代入计算即可． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：， ． ， ， ， ． 3.如图，在△ABC中，D是BC上的点，E是AD上一点，且，∠BAD＝∠ECA． （1）求证：AC2＝BC•CD； （2）若AD是△ABC的中线，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】（1）首先利用相似三角形的判定得出，得，进而求出，再利用相似三角形的性质得出答案即可； （2）由可证，进而得出，再由（1）可证，由此即可得出线段之间关系． 【详解】（1）证明： ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， AD是△ABC的中线， ， ，即：， ∴． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及重心的性质等知识，根据已知得出是解题关键． 4.【问题情境】 （1）古希腊著名数学家欧几里得在《几何原本》提出了射影定理，又称“欧几里德定理”：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．射影定理是数学图形计算的重要定理．其符号语言是：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为D，则：（1）AC²=AB·AD；(2)BC²=AB·BD；(3)CD² = AD·BD；请你证明定理中的结论（1）AC² = AB·AD． 【结论运用】 （2）如图2，正方形ABCD的边长为3，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CF⊥BE，垂足为F，连接OF， ①求证：△BOF∽△BED； ②若，求OF的长． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；② 【分析】（1）证明△ACD∽△ABC，即可得证； （2）①BC2=BO•BD，BC2=BF•BE，即BO•BD=BF•BE，即可求解； ②在Rt△BCE中，BC=3，BE=，利用△BOF∽△BED，即可求解． 【详解】解：（1）证明：如图1，∵CD⊥AB， ∴∠BDC=90°， 而∠A=∠A，∠ACB=90°， ∴△ACD∽△ABC， ∴AC：AB=AD：AC， ∴AC² = AB·AD； （2）①证明：如图2， ∵四边形ABCD为正方形， ∴OC⊥BO，∠BCD=90°， ∴BC2=BO•BD， ∵CF⊥BE， ∴BC2=BF•BE， ∴BO•BD=BF•BE， 即，而∠OBF=∠EBD， ∴△BOF∽△BED； ②∵在Rt△BCE中，BC=3，BE=， ∴CE=， ∴DE=BC-CE=2； 在Rt△OBC中，OB=BC=， ∵△BOF∽△BED， ∴，即， ∴OF=. 【点睛】本题为三角形相似综合题，涉及到勾股定理运用、正方形基本知识等，难点在于找到相似三角形，此类题目通常难度较大． 题型十五：一线三等角相似 同一直线上三个等角，用AA判定相似，对应边成比例，常结合直角、等腰角。 等角对应错误，导致相似三角形判定失败。 1.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，将点B折叠到CD边上点E处，折痕为AF，连接AE，EF，若点E是CD中点，则CF长为（　　） A． B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】依据矩形的性质以及折叠，即可得到AD，DE，CE的长；再根据△ADE∽△EFC，利用对应边成比例即可得CF的长． 【详解】解：∵矩形ABCD中，AB＝6， ∴CD＝6， 又∵E是CD的中点， ∴DE＝CE＝3， Rt△ADE中，AD3， 由题可得，∠D＝∠C＝∠AEF＝90°， ∴∠AED+∠CEF＝90°＝∠EFC+∠CEF， ∴∠AED＝∠EFC， ∴△ADE∽△EFC， ∴，即， 解得CF， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了折叠问题、矩形的性质、相似三角形的性质以及勾股定理的运用，翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等． 2.如图， 中，，于D，矩形、矩形的顶点分别在，的三边上，且矩形矩形．可求两矩形的相似比的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由条件可以证明，由相似三角形的性质，即可解决问题． 【详解】解：连接，，    ∵矩形矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查相似多边形，关键是连接，，证明，即可解决问题． 3.如图，等边△ABC中，D为BC边上一点，E为AC边上一点，∠ADE＝60° （1）求证：△ABD∽△DCE； （2）若BD＝4，CE，求△ABC的边长． 【答案】（1）见详解；（2）6． 【分析】（1）由∠ADE＝60°，证明∠DAB＝∠EDC，可证得△ABD∽△DCE； （2）可用等边三角形的边长表示出DC的长，由（1）根据相似三角形的对应边成比例，求得△ABC的边长． 【详解】证明（1）∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC； ∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3； ∴∠BAD+∠ADB＝120° ∵∠ADE＝60°， ∴∠ADB+∠EDC＝120°， ∴∠DAB＝∠EDC， 又∵∠B＝∠C＝60°， ∴△ABD∽△DCE； （2）解：∵△ABD∽△DCE， ∴， ∵BD＝4，CE， ∴， 解得AB＝6． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质和相似三角形的判定和性质，能够证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键． 4.【初步感知】如图①，在正方形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F．易证：．（不需要证明） 【尝试探究】如图②，在矩形中，E为边上一点，连结，过点E作交于点F． （1）求证：； （2）若，，E为的中点，求的长． 【拓展应用】如图③，在中，，，．E为边上一点（点E不与点A、B重合），连结，过点E作交于点F．当为等腰三角形时，的长为__________．    【答案】[尝试探究]（1）详见解析；（2）；[拓展应用]或8 【分析】[尝试探究]（1）由题意可求，，进而可证；（2）由题意知，，由（1）知，则，即，计算求解即可； [拓展应用]由勾股定理得，则，证明；由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解；当时，则，，进而可求结果；当时，，则，，进而可求结果；当时，此时不成立． 【详解】解：[尝试探究]（1）证明：四边形是矩形， ， ． ， ， ， ， 又， ； （2）为的中点， ， 由（1）知， ，即， ． [拓展应用]解：∵，， ∴，， 解得，， ∵， ∴， ∴； 由题意知，当为等腰三角形时，分，，，三种情况求解； 当时，则， ∴； 当时，， ∴， ∴， ∴； 当时，， ∴，此时不成立； 综上所述，的长为或8， 故答案为：或8． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握矩形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 1．（2025·陕西西安·三模）如图，在中，是的角平分线，点在上，，若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，角平分线的定义，根据三角形内角和定理得出，进而根据角平分线的定义，以及平行线的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 2．（25-26八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，，于D，点E在直线上，且，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、三角形内角和定理和三角形外角的性质等知识．先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理得到，，再证明是等边三角形，即可得到的度数． 【详解】解：∵，，于D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A 3．（2024·云南昭通·模拟预测）如图，在中，，，将沿折叠，使点落在边上的点处，若，则的长为（   ） A． B． C．4 D．3 【答案】C 【分析】根据折叠的性质和三角形外角的性质以及等腰三角形的判定即可得到结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵将沿折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·安徽宿州·一模）如图，与交于点，已知，与交于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据可知，，根据相似三角形的性质可得：，，把等式两边分别相加可得：，解方程即可求出结果． 【详解】解：， ，， ①，②， 由①+②，得， 即， 解得：． 故选：A． 5．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 6．（2025·四川巴中·中考真题）在中，，，D为中点，点E在线段上，满足，连接并延长交于点F，当面积最大时，线段等于（   ） A． B．2 C．2 D．4 【答案】B 【分析】延长至点，使，证明，进而推出，即可得到点是的中点，再根据直角三角形的性质可知点在以点为圆心，为半径的圆上，当时，取的最大值，即此时面积最大，然后根据弧、弦、圆心角的关系可知，最后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：如图，延长至点，使， D为中点， ， ， ， ， ， ， ， ，， ∴，即， ， 点是的中点， ，D为中点， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上，如图， 当时，边上的高取的最大值，即此时面积最大， ， ，即为等腰直角三角形， ∵，， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，弧、弦、圆心角的关系，勾股定理等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 7．将两个直角三角形按如图所示的方式叠放在一起，若，，，与相交于点，则的值等于__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形、相似三角形的判定与性质、所对的直角边等于斜边的一半等，熟知等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定方法是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质得出，再结合所对的直角边等于斜边的一半和勾股定理求出，最后通过平行相似证明即可解决问题． 【详解】 解：∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在中，，点在射线上，，连接，，则_____度． 【答案】40 或60 【分析】题目主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理，理解题意，作出相应图形求解是解题关键． 根据题意分两种情况，当点D在射线上时，当点D在线段上时，作出图形，然后根据等腰三角形的性质得出，再由三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：当点D在射线上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在射线上，且在点B之外， ∴，即， ∴， ∴； 当点D在线段上时，如图所示： ∵，， ∴， ∵点D在线段上，且在点B之内， ∴， ∴； 故答案为：40 或60． 9．如图①，一张正三角形纸片，，点D在边上，，点E是边上的一点．如图②，将沿翻折得△，与的边相交于点M和点N．若，，则的长度为____． 【答案】9 【分析】本题考查了翻折变换（折叠问题），等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据等边三角形的性质可得，，从而可得，再利用折叠的性质可得，，从而可得，，然后证明8字模型相似 ，从而利用相似三角形的性质求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 由折叠得：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：9． 10．（2021·内蒙古·中考真题）如图，在中，，过点B作，垂足为B，且，连接CD，与AB相交于点M，过点M作，垂足为N．若，则MN的长为__________． 【答案】 【分析】根据MN⊥BC,AC⊥BC,DB⊥BC，得 ,可得,因为,列出关于MN的方程，即可求出MN的长． 【详解】∵MN⊥BC，DB⊥BC, ∴AC∥MN∥DB， ∴ ， ∴ 即, 又∵， ∴， 解得, 故填：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题关键是根据题意得出两组相似三角形以及它们对应边之比的等量关系． 11．（2024·江苏南通·中考真题）如图，点D在的边上，经过边的中点E，且．求证． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及平行线的判定，根据题意得，即可证明，有成立，根据平行线的判定即可证明结论． 【详解】证明：∵点E为边的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 12．（2026·河北邯郸·一模）如图，在中，，，点D是边上一点，且，的平分线与交于点G，点F在射线上，连接，． (1)求证：； (2)过点A作于点H，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，证明，即可证明； （2）根据三角形内角和求出的值，根据角平分线的定义得到，进而得到，计算即可． 【详解】（1）证明：∵平分，点F在射线上， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：在中， ∵，， ∴， 又是的平分线， ∴， ∴， ∵于点H， ∴． 13．如图在平行四边形中，对角线与相交于点，，过点作交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据等腰三角形的判定得到，可证明是菱形，得到，继而得到，得出，即可得到结论； （2）根据菱形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据相似三角形的性质得到，得出，计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ， 是菱形， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）知是菱形， ，， ， ， ， 由（1）知， ， ， ． 14．（2026·河南周口·一模）综合探究 (1)和的位置如图1所示，已知和都是等边三角形，连接，，则与之间的数量关系是___________； (2)和的位置如图2所示，和都是直角三角形，且，，连接，，求的值； (3)如图3，和都是等腰直角三角形，，，．连接，，将绕点旋转，在旋转过程中，当，，三点共线时，直接写出的长． 【答案】(1) (2) (3)的长为 【分析】（1）根据等边三角形的性质得出相等的线段和角，利用证明，即可得出结论； （2）根据相似三角形的性质得出相等的角，证明，得出对应边成比例，令，利用勾股定理求出，即可求解； （3）根据题意，画出图形，分两种情况进行讨论，利用等腰直角三角形的性质得出相等的角以及边之间的数量关系，证明，确定直角三角形，最后利用勾股定理进行求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴令， 由勾股定理得， ∴； （3）解：①如图所示，，，三点共线， ∵和都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； ②如图所示，，，三点共线， 此时，， ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 综上，的长为． 15．（2023·湖北黄冈·中考真题）【问题呈现】 和都是直角三角形，，连接，，探究，的位置关系．    (1)如图1，当时，直接写出，的位置关系：____________； (2)如图2，当时，（1）中的结论是否成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由． 【拓展应用】 (3)当时，将绕点C旋转，使三点恰好在同一直线上，求的长． 【答案】(1) (2)成立；理由见解析 (3)或 【分析】（1）根据，得出，，证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （2）证明，得出，根据，求出，即可证明结论； （3）分两种情况，当点E在线段上时，当点D在线段上时，分别画出图形，根据勾股定理求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴； 故答案为：．    （2）解：成立；理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴；    （3）解：当点E在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 当点D在线段上时，连接，如图所示：    设，则， 根据解析（2）可知，， ∴， ∴， 根据解析（2）可知，， ∴， 根据勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴此时； 综上分析可知，或． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，勾股定理，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，画出相应的图形，注意分类讨论． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $