2026年山东省初中毕业生学业水平适应性考试数学试卷（样卷）

**基本信息** 试卷以人工智能大模型、非遗竹编等时代与文化情境为载体，通过选择、填空、解答题梯度设计，考查几何直观、运算能力、模型意识等核心素养，适配学业水平考试要求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|轴对称图形、概率、三视图等|第1题结合AI图标考轴对称，体现数学眼光| |填空题|5/15|利润计算、反比例函数、圆与正方形轨道等|第13题机器人轨道相遇问题，考查运算能力| |解答题|8/75|三角函数应用、圆的切线、函数建模等|第19题化学实验室导气管计算，第21题租车费用函数，突出实践与模型意识|

绝密★启用前 2026年山东省初中毕业生学业水平适应性考试数学试卷 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共10小题，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是(    ) A. B. C. 文心一言 D. 纳米 2.美美和好好玩一种数字卡片的游戏，美美手持分别标有数字，，的三张卡片，好好手持分别标有数字，，的三张卡片．两人各随机出一张卡片，若美美出的卡片数字比好好大，美美胜，则美美获胜的概率是(    ) A. B. C. D. 3.方斗承礼，竹韵传心某非遗工坊以传统竹编技艺制作四方收纳斗，造型取自古代礼器“方斗”如图，该收纳斗的形状可抽象为无上底面的正四棱台上底面为大正方形，下底面为小正方形，侧面为等腰梯形，无额外底座，整体简约雅致则这个正四棱台的俯视图是(    ) A. B. C. D. 4.是一款采用混合专家架构的大语言模型，凭借其庞大的参数量，在自然语言处理领域展现出强大的能力截至年月，它的参数量已经高达亿，将亿用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 5.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 6.一个直角三角板如图摆放，其中，，与交于点，与交于点，若，，则的大小为(    ) A. B. C. D. 7.如图，已知一次函数，的图象交于点，它们分别交轴于点，，则的面积为(    ) A. B. C. D. 8.如图，从一张半圆形的铁片上剪下一个小的半圆形铁片，为了计算剩余部分的面积，在图中作出一条小圆的切线，并使它平行于大圆的直径设这条切线交大圆于点，，量得的长是，则剩余部分的面积是(    ) A. B. C. D. 9.如图，在正方形中，为边上一点，连接按以下步骤作图：以点为圆心，适当长为半径画弧，与边相交于点，与相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与相交于点；以点为圆心，长为半径画弧，与第步中所画的弧相交于点在上方，作射线；以点为圆心，长为半径画弧，与射线相交于点，连接与边相交于点，连接若，，则线段的长为(    ) A. B. C. D. 10.已知二次函数的部分图象如题图所示，图象经过点，其对称轴为直线下列结论：；若点，均在二次函数图象上，则；关于的一元二次方程没有实数根；满足的的取值范围为其中正确结论的个数为(    ) A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题：本题共5小题，共15分。 11.一套衣服按元出售，盈利率为，如果要将盈利率提高个百分点，那么每套衣服售价应提高到        元 12.如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴和轴上，点为的中点，反比例函数的图象经过点若点的坐标为，，则           ． （12题） （13题） （14题） （15题） 13.已知：如图，正方形轨道的边长与圆形轨道的直径都是米，且圆形轨道置于正方形轨道内部两个智能机器人同时从两条轨道的接触点出发，其中一个机器人沿正方形轨道以每秒米速度行进，另一个机器人沿圆形轨道以每秒米的速度行进，它们至少经过        秒能再一次在点相遇． 14.如图，在正方形中，，、是边，上两点，且，与相交于点，点是的内心，则的最小值为        ． 15.如图，中，，，，分别以，为直角边，以为直角顶点向外部作和，且，，分别是，的中点，连接若，则的长度为      ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 计算：； 解方程：． 17.本小题分 如图，在▱中，，分别为，的中点，连接，，． 求证：； 从条件“，”中任选一个作为已知条件，判断四边形的形状，并证明你的结论． 18.本小题分 为加强国家安全知识普及情况，某校八、九年级部分学生参加了安全教育知识竞赛活动现从八、九年级参赛学生中各随机抽取名学生的竞赛成绩进行整理、描述、分析成绩用表示，单位：分分为，，，四个等级，分别是：；；；． 下面给出了部分信息： 九年级名学生的竞赛成绩为： ，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 八年级等级的学生竞赛成绩为：，，，，，，，． 八、九年级所抽学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 九年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： 上述图表中，______，______，______． 根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的竞赛成绩较好？请说明理由写出一条理由即可． 该校八年级有名学生、九年级有名学生参加了此次竞赛，估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为等的学生人数总共是多少？ 19.本小题分项目学习 项目背景：某中学数学兴趣小组在学校化学实验室围绕“计算导气管的长度”开展项目学习活动，形成了如下活动报告． 项目主题 导气管长度的测量与计算 驱动任务 如何利用三角函数计算导气管的长度 活动过程 方案说明 图是小组成员安装的化学实验室装置，图是抽象出的平面示意图，点为试管口，为试管，为铁杆，为试管口与铁杆的水平距离，为导气管，为水槽壁，为试管的倾斜角，，点，，，在同一条直线上，图中所有的点在同一平面内． 测量数据 经测量得，，， 计算 交流展示 请根据表中数据，计算的长度结果精确到，参考数据：，，， 20.本小题分 如图，内接于，是的直径，点在上，点是的中点，，垂足为点，的延长线交的延长线于点． 求证：是的切线； 若，，求线段的长． 21.本小题分 学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： 求，两种型号每辆车满员时的载客人数； 设租用型客车单位：辆，本次实践活动的租车总费用是单位：元，求与的函数关系式；租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用 设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 22.本小题分 已知抛物线为常数过点． 若该抛物线与轴交于点． 求该抛物线的解析式； 已知，在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围； 若对于任意实数，都有，此时抛物线与直线交于，两点，求的长． 23.本小题分 已知点是正方形的中心，点，分别是对角线，边上的动点均不与端点重合，作射线． 将射线绕点逆时针旋转，交边于点． 如图，当点与点重合时，求证：； 如图，当时，请判断是否为定值如果是，请求出该定值；如果不是，请说明理由； 如图，连接，当时，将射线绕点顺时针旋转，交边于点若，，求四边形的面积用含，的式子表示． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $1.C2.B 3.A4.B5.D 8.D9.C 10.C 11.312.5 12.12 13.24 14.2W10-22 1團 16解0式-1+授-+号 -1+0-号)+号-2 =1+6-V2+9-2 =（+6-2+(停-2) =5-9: (22x+3)=42x+31 移项得2x+3)-42x+3)=0” 提取公因式得(2x+3)(2x+3-4)=0, .(2x+32x-1)=0: ·2x+3=0,或2x-1=0, 解得x1=-是2=支 17.(1)证明：在口ABCD中，AB=CD, ·∠EBD=∠FDB, :点E,F分别为AB,CD的中点， :BE=支ABDF=CD 参考答案 6.D7.B 2 AB//CD 第1页，共1页 ·BE=DF, 在△BDE和△DBF中， (BD=DB ∠EBD=∠FDB 、BE=DF ·△BDE≌△DBF(SAS): :DE=BF: (②)解：选① 四边形BEDF是矩形：选②，四边形BEDF是菱形： 证明：由(1)知BE=DF, :AB//CD即BE//DF, :四边形BEDF是平行四边形； ①当DB=DA时，如图1，则△ADB是等腰三角形， E 图1 :点E为AB的中点， ·DE⊥AB,即∠DEB=90·, :四边形BEDF是矩形： ②当DA⊥DB时，如图2，则△ABD是直角三角形， E B C 图2 :点E为AB的中点， DE=克AB=BE :四边形BEDF是菱形. 第1页，共1页 18.解：(1)由题意可得：九年级20名学生的竞赛成绩的众数为90， 即a=90, :此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩， 又：C等级、D等级分别占10%、5%， :C等级人数：20×10%=2（人）， D等级人数：20×5%=1（人）： :B等级人数为8人， :A等级人数：20-1-2-8=9（人）： 将成绩从高至低排列，第10人的成绩为89，第11人的成绩为88， :八年级20名学生的竞赛成绩的中位数为(88+89)÷2=88.5， 即b=88.5, :此次一共抽取了八年级20名学生的竞赛成绩，A等级人数为9人， m%=9÷20, .m=45, a=90,b=88.5,m=45; 故答案为：90,88.5,45； (②)我认为九年级学生的竞赛成绩较好，理由如下： 在八年级和九年级学生的竞赛成绩平均数均为87.5的情况下，九年级学生竞赛成绩中位数90大于八年级学 生竞赛成绩中位数88.5，所以九年级学生的竞赛成绩较好： (3):九年级20名学生中，A等级人数有11人， 又：八年级20名学生中，A等级人数有9人， :估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数： 1200×号+900×0=540+495=1035()， 答：估计该校八、九年级参加此次竞赛成绩为A等的学生人数总共1035人。 19.解：点B为试管口，AB为试管，DE为铁杆，BG为试管口B与铁杆DE的水平距离(BG//CP), 如图，过点B作BH⊥CF于点H, 第1页，共1页 y E B D H :BE=专AB,AB=30cm' :BE=10cm 在Rt△BGE中，EG=BE·sin15°≈10×0,26= DE =28cm ÷GD=DE-EG=28-2.6=25.4cm, :BG//CF. ·∠BGD=∠GDH=∠BHD=90o, ÷BH=GD=25.4cm' :∠BFH=45°， :BF=2BH≈1.41×25.4≈35.8cm 答：BF的长度约为35.8cm.20.(1)证明：连接0C, :点C是金的中点， :c=正 ·∠BAC=∠CAE, :0C=0A, ·∠0CA=∠0AC, ·∠OCA=∠CAD, :.OC//AD :AE⊥CD, ÷OC⊥DF, :0C是⊙0的半径， :CD是⊙o的切线； 第1页， 2.6cm, B 0 C E 0 共1页 (②)解：：AB是⊙0的直径， :∠ACB=90°， :∠ABC=600, ·∠BAC=30°， :∠CAD=∠BAC=30°， “∠D=90,CD=V3, :AD=5CD=3, :∠F=1800-∠D-∠BAD=30°， ·AF=2AD=6. 21.【小题1】 解：设A型客车每辆满员载客a人，B型客车每辆满员载客b人 3a=2b 根据题意得2a+3b=260 （a=40 解得{b=60 答：A型客车每辆满员载客40人，B型客车每辆满员载客60人。 【小题2】 解：设租用B型客车x辆，则租用A型客车(20-x)辆. 根据总载客量不小于950人，得40(20-x)+60x≥950 解得x≥7.5 :A型客车不少于9辆 ·20-x≥9，解得x≤11 :x为正整数， :8≤x≤11，且x为整数 根据租车总费用规则，得W=1200(20-x)+x[2150-50(x 整理得W=-50x2+1000x+24000 即W与x的函数关系式为W=-50x2+1000x+24000(8≤x≤ 【小题3】 解：W=-50x2+1000x+24000=-50(x-10)+29000 第1页，共1页 1)] 11,且x为整数) :-50<0, ·二次函数开口向下，顶点是最大值点，x离对称轴x=10越远，W越小 :8≤X≤11 :x=8时，W取得最小值此时A型客车数量为20-8=12（辆），满足12≥ 答：租用A型客车12辆，B型客车8辆时，租车总费用最少 22.(1)①：抛物线y=x2+(2m+3x+n过点(1,5)和(0，-1)， ,∫1+2m+3+n=5 {n=-1 ,Jm=1 解得n=-1' ·抛物线的解析式为y=x2+5x-1; ②抛物线y=x2+5x-1的对称轴为x=-号， B(2,y)关于对称轴的对称点B'(-7,y,, :对于3t-1<81<3t+2,都有y1>y2 :由图象性质得3t+2≤-7或3t-1≥2， 解得t≤-3或t≥1： (2):抛物线y=x2+(2m+3x+n过点(1,5)， .1+2m+3+n=5, 则n=1-2m, :对于任意实数x,都有x2+(2m+3x+n≥3x+2, x2+2mx-1-2m≥0对任意实数x都成立， .△=4m2-4(-1-2m)≤0， (m+1)2≤0， ·m=-1, ·抛物线解析式为y=x2+x+3, 联立抛物线y=x2+x+3与直线y=4, 得x2+x+3=4, 解得x=15 2 第1页，共1页 9的要求 交点M,N的情坐标分别为恒和2之5 Mw=5-=5 23.①证明：过点P作PG⊥BC,PH⊥CD,如图， D O(P) B /EG 则∠PGE=∠PHF=90, :四边形ABCD是正方形， ∠BCD=90°， ·四边形PGCH是矩形， :∠PCH=45, 在Rt△PCH中，∠CPH=90°-45°=45°， ·PH=CH, ·四边形PGCH是正方形， ·PG=PH,∠HPF+∠GPF=90o, :∠EPG+∠GPF=90o, ·∠EPG=∠FPH, ·△PEG≌△PFH(ASA, ·PE=PF; ②2是定值.为修 第1页， 共1页