精品解析：内蒙古杭锦后旗奋斗中学2025-2026学年高二下学期期中阶段性考试数学试题

奋斗中学2025-2026-2高二年级阶段性考试 数学试题 一、单选题：本题共8道小题，每题5分，共40分，在每题给出的选项中只有一项符合题目要求． 1. 已知，若，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ） A. 12种 B. 27种 C. 120种 D. 600种 3. 二项式的展开式的第3项的二项式系数是（　　） A. 21 B. C. 84 D. 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”．对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”．从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 5. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3道小题，共18分，有多项符合题目要求，全部选对得6分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 若曲线与相切于点，则， B. 若，，则曲线与相切 C. 若，则恒成立 D. 若，且的最小值为0，则 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 三、填空题：本题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中，系数最大的项为__________. 13. 已知独立，且，则______． 14. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 四、解答题：本题共5道小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 有7个人站成一排拍照，请根据以下不同要求，分别计算有多少种不同的排法？ （1）甲和乙都不能站在最左边，也不能站在最右边； （2）甲、乙、丙三人必须相邻站在一起； （3）甲、乙两人不能相邻． 16. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 18. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． （2）若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； （3）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 19. 已知函数，． （1）判断的单调性； （2）若，求的值； （3）已知，．若，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 奋斗中学2025-2026-2高二年级阶段性考试 数学试题 一、单选题：本题共8道小题，每题5分，共40分，在每题给出的选项中只有一项符合题目要求． 1. 已知，若，则（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出导函数，代入求解即可. 【详解】已知，求导得， 又，所以，即，解得. 2. 某天小丁要从福州出发去厦门，已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次，则小丁当天出行的方案共有（ ） A. 12种 B. 27种 C. 120种 D. 600种 【答案】B 【解析】 【分析】由分类加法计数原理即可求解. 【详解】已知当天的飞机有5班，动车有12趟，高铁有10个车次， 则小丁当天出行的方案共有. 故选：B. 3. 二项式的展开式的第3项的二项式系数是（　　） A. 21 B. C. 84 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式结合组合数公式计算求解. 【详解】二项式的展开式的通项公式为. 展开式的第3项的二项式系数为. 4. 甲、乙、丙、丁、戊、己共6名同学参加演讲比赛决赛，决出一等奖1名，二等奖2名，三等奖3名，甲和乙去询问获奖情况，回答者对甲说：“很遗憾，你和乙都没有获得一等奖”．对乙说：“你没有获得三等奖，甲没有获得二等奖”．从这两个回答分析，这6人的获奖情况可能有（ ） A. 6种 B. 12种 C. 18种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】由题知乙获得二等奖，甲获得三等奖，再根据分组分配考虑剩下4人获奖情况即可. 【详解】由题意得乙获得二等奖，甲获得三等奖， 则需从其余4人中选1人获得一等奖，选1人获得二等奖，剩余2人获得三等奖， 所以6人的获奖情况可能有（种）． 故选：B. 5. 已知某班级有女生16人，男生14人，女生中喜欢羽毛球运动的有8人，男生中喜欢羽毛球运动的有10人．现从这个班级随机抽取一名学生，已知抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】有条件概率计算即可. 【详解】由题可知：抽到的是女生，则该生喜欢羽毛球运动的概率为. 故选：B 6. 将本不同的杂志分成组，每组至少本，则不同的分组方法数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】确定三组书的数量，结合组合计数原理以及部分平均分组思想可求得结果. 【详解】将本不同的杂志分成组，每组至少本，则三组书的数量分别为、、， 所以，不同的分组方法种数为. 故选：B. 7. 已知函数在区间上是减函数，则的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求导再对的取值进行分类讨论函数的单调性即得. 【详解】由求导得， 当时，则，在上单调递增，不合题意； 当时，由，得，即， 由,得,即, 此时在上单调递减，在上单调递增， 由题意，函数在区间上是减函数， 所以，结合，解得， 即的取值范围是. 8. 某知识过关题库中有三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件，则， ，， ，，， 由全概率公式得： ， . 二、多选题：本题共3道小题，共18分，有多项符合题目要求，全部选对得6分． 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】A选项，令可求；B选项令可求；C选项，令可求；D选项，把和时的展开式相加可求. 【详解】令，得，故A错误； 令，得，故B正确； 令，得，故C正确； 将与这两式的左右两边分别相加， 得，解得，故D错误. 故选：BC. 10. 已知为自然对数的底数，函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 若曲线与相切于点，则， B. 若，，则曲线与相切 C. 若，则恒成立 D. 若，且的最小值为0，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用导数的几何意义，以及利用导数求函数的单调性，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择. 【详解】对，， 对A：当时，，又，故在处的切线方程为， 即，故此时，故A正确； 对B：令，解得，又，故此时在处的切线方程为：， 即，此时，故错误； 对C：令，则， 则当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，故，则正确； 对D：若，则， ，当时，恒成立，故单调递增，不存在最小值，故舍去； 当时，当时，，单调递减；当时，，单调递增. 故，又其最小值为0 故，解得，故D正确. 故选：ACD. 【点睛】本题考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性和最值，属综合基础题. 11. 设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则下列说法正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据求出，即可判断A；由判断B，由条件概率公式判断C、D. 【详解】因为，，， 且， 所以，故A正确； ，故B正确； ，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3道小题，每小题5分，共15分． 12. 的二项展开式中，系数最大的项为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据展开式的各项的系数即为各项的二项式系数，再结合二项式系数的最值求解对应项即可. 【详解】的二项展开式的通项公式为：， 各项的系数即为各项的二项式系数， 因为，所以二项式系数的最大值为，是第6项的二项式系数， 所以系数最大的项为第项. 13. 已知独立，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 根据独立事件的同时发生的概率公式及对立事件的概率关系计算. 【详解】因为独立， 所以， 又， 所以， 所以． 故答案为： 14. 已知函数（e为自然对数的底数）有且只有一个零点，则实数k的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为方程有且只有一个根，构造函数，利用导数求出函数的单调区间和极值，结合图象可求得答案. 【详解】由，得， 因为，所以， 令，则，令，则， 当或时，，当时，， 所以在和上递增，在上递减， 所以当时，函数有极小值， 且当时，， 因为函数有且只有一个零点， 所以结合函数图象可得，所以实数k的取值范围为. 四、解答题：本题共5道小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 有7个人站成一排拍照，请根据以下不同要求，分别计算有多少种不同的排法？ （1）甲和乙都不能站在最左边，也不能站在最右边； （2）甲、乙、丙三人必须相邻站在一起； （3）甲、乙两人不能相邻． 【答案】（1）2400 （2）720 （3）3600 【解析】 【小问1详解】 可以分两步，第一步，从其余的名同学（除去甲、乙）中选名同学站在最左边和最右边， 有种排法， 第二步，将余下的名同学（包括甲、乙）进行全排列，有种排法， 所以，一共有种排列方法； 【小问2详解】 根据题意，先将甲、乙、丙看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有种情况， 将这个整体与其他4人全排列，有种情况， 则甲、乙、丙三人必须相邻的排法有种； 【小问3详解】 将名同学全排列，共有种排法， 若甲、乙相邻，则有种排法， 所以甲､乙不能相邻的排法有种排法. 16. 已知二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． （1）求； （2）求展开式中含项的系数； （3）求展开式的第六项． 【答案】（1） （2）-280 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件结合二项式系数的性质得所有二项式系数和为列方程求即可； （2）根据二项式展开式的通项得，令，可求，由此可求结论； （3）根据二项式展开式的通项得，再令进行求解即可. 【小问1详解】 因为二项式的展开式中各项的二项式系数之和为128． 所以，解得． 【小问2详解】 二项式展开式的通项为，， 令，解得：， 所以当时，， 故展开式中含项的系数为． 【小问3详解】 根据（2）可得，二项式展开式的通项为，， 令，可得，所以展开式的第六项为． 17. 已知函数. （1）求函数的单调区间以及极值； （2）求函数在上的最值. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；极大值为，无极小值 （2）， 【解析】 【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函数的单调区间，从而可求得函数的极值; (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间上的单调性，即可求出最大值，而函数的最小值是，比较和的大小，求得函数的最小值. 【小问1详解】 函数的定义域是. 又，令，得，令，得， 故函数的单调递增区间为，单调递减区间为， 所以函数的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 由（1）可知，在上单调递增，在上单调递减， 所以 所以在上的最小值为. 又因为，所以， 所以函数在上的最小值为，即. 18. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，3个白球；乙袋装有1个红球，2个白球． （1）若从甲袋中连续抽取2次，每次取1个球，抽取后不放回，则在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率是___________． （2）若从甲袋中随机取2个，求所取的2个球中至少有一个红球的概率； （3）若从甲袋中随机取1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取2个球，求取到的2个球中恰有1个红球的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”，分别求得，结合条件概率的计算公式，即可求解； （2）设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球”，结合古典概型的概率公式和对立事件的概率公式，即可求解； （3）设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”，事件“从甲袋中取到白球”，求得，以及和，结合全概率公式，即可求解. 【小问1详解】 解：设事件“第1次取到白球”， “第2次取到红球”， 因为甲袋装有2个红球，3个白球，从中连续抽取2次，每次取1个球， 基本事件的总数为种取法， 则，，可得， 所以在第1次取到白球的条件下，第2次取到红球的概率为. 【小问2详解】 解：因为甲袋装有2个红球，3个白球，从甲袋中随机取2个， 可得基本事件的总数为种取法， 设事件“所取的2个球中至少有一个红球”，则“所取的2个球中全是白球” 则，可得， 所以所取的2个球中至少有一个红球的概率. 【小问3详解】 解：设事件“取到的2个球中恰有1个红球”，事件“从甲袋中取到红球”， 事件“从甲袋中取到白球”， 从甲袋中取球，因为甲袋装有2个红球，3个白球，可得， 若从甲袋中取到红球放入乙袋，此时乙袋中有2个红球和2个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为； 若从甲袋中取出白球放入乙袋，此时乙袋中有1个红球和3个白球， 则从乙袋中取2个球，恰有1个红球的概率为， 根据全概率公式，可得， 所以取到的2个球中恰有1个红球的概率为. 19. 已知函数，． （1）判断的单调性； （2）若，求的值； （3）已知，．若，证明：． 【答案】（1）当时， 在上单调递增；当时， 在上单调递增，在上递减； （2） （3） 令，， 所以，令，， 所以在上单调递增，因为，， 所以在上存在唯一零点，令，则， 令，所以；令，所以； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又因为，所以， 所以，得证. 【解析】 【分析】（1）先求导，按照和分类讨论，利用导数研究单调性即可求解； （2）由，得，根据的情况分类讨论，当时，由（1）有，令，利用导数研究最小值即可求解； （3）令，利用导数研究函数的单调性求出最小值即可求解. 【小问1详解】 由得：， 当时，，此时在上单调递增； 当时，令，解得：，所以当时，； 当时，， 所以在上单调递增，在上递减； 【小问2详解】 由（1）可知，当时，在上单调递增，在上递减． 若，则，即， 代入可得：， 令，（），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立，且， 所以，即， 当时，恒成立，即在上单调递增， 又，所以当，，不恒成立，故不成立. 综上所述，； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $