精品解析：四川省宜宾市叙州区第二中学校2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

叙州区二中2025-2026学年下期高2024级阶段一考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 第I卷 一､单选题：本大题共有8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 2. 5名运动员进行3项体育运动比赛，每项只设有冠军和亚军各一名，那么各项冠军获得者的不同情况的种数为（ ） A. B. C. D. 3. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 4. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 在时，函数取得极值 C. 在时，函数取得极大值 D. 函数在区间上单调递增 5. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种 6. 甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有（ ） A. 6种 B. 18种 C. 36种 D. 72种 7. 若，则（ ） A. 256 B. 127 C. 128 D. 129 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 判断下列命题正确的是（ ） A. 函数的极大值一定比极小值大 B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C. 若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D. 一元三次函数在上可能不存在极值 10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ） A. 共有60种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有32种 C. 空位相邻的坐法有24种 D. 两端不是空位的坐法有12种 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 的二项展开式中项的系数为________． 13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公比为2的等比数列满足成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 17. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 19. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 叙州区二中2025-2026学年下期高2024级阶段一考试 数学试题 满分150分 考试时间：120分钟 第I卷 一､单选题：本大题共有8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 计算的值是（    ） A. 41 B. 61 C. 62 D. 82 【答案】B 【解析】 【分析】利用排列数和组合数公式计算即可． 【详解】， ，, 因此. 故选：B. 2. 5名运动员进行3项体育运动比赛，每项只设有冠军和亚军各一名，那么各项冠军获得者的不同情况的种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据分步计数原理，每个项目获冠军的可能性有5种，从而得到结果. 【详解】每个项目只有一个冠军，每一名运动员都可能获得其中的一项获军，因此每个项目获冠军的可能性有5种．∴种. 所以本题选A. 【点睛】本题考查分步计数原理，是一个易错题，易错点是不能正确的理解分步原理，本题是一个典型的分步计数原理的应用，属基础题． 3. 用0，1，2，3组成没有重复数字的四位偶数有（ ）个 A. 8 B. 10 C. 12 D. 16 【答案】B 【解析】 【分析】根据个位数字是否为0，即可结合排列组合求解. 【详解】若0在个位，则有种情况， 若0不在个位，则从百位和十位中选一个位置放0，2放在个位，另外两个数字全排列，故有， 故总共有个， 故选：B 4. 如图是函数的导函数的图象，则下列结论中正确的是（ ） A. 函数的图象在处切线的斜率小于零 B. 在时，函数取得极值 C. 在时，函数取得极大值 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，函数在处切线斜率为，由导函数图象可知，时，故斜率大于零，A错误； 对于B，处导函数值左右两侧均为正，符号未变，故不是极值点，B错误； 对于C，处导函数从负变正，原函数取得极小值，C错误； 对于D，观察图象，在区间内，故原函数在上单调递增，D正确. 5. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种 【答案】B 【解析】 【分析】元素相同问题用隔板法. 【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种. 故选：. 6. 甲、乙等6位同学去三个社区参加义务劳动，每个社区安排2位同学，每位同学只去一个社区，则甲、乙到同一社区的不同安排方案共有（ ） A. 6种 B. 18种 C. 36种 D. 72种 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意先分组，由于甲、乙已经分为一组，剩下4人分成两组共有种可能，再分配到三个社区即可得解. 【详解】首先分组，甲、乙已经分为一组， 则剩下4人分成两组，共有种可能， 再分配到三个社区可得：， 故选：B 7. 若，则（ ） A. 256 B. 127 C. 128 D. 129 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用赋值法求解即得. 【详解】令，得， 令，得， 相减，得， 令，得， 所以. 故选：D 8. 已知是函数的导数，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，对函数求导，利用的单调性可得答案. 【详解】设，因为，所以， 对函数求导，得，因为，所以， 所以函数是实数集上的增函数， 因此由. 故选：D. 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 判断下列命题正确的是（ ） A. 函数的极大值一定比极小值大 B. 对于可导函数，若，则为函数的一个极值点 C. 若在内恒成立，则函数在内一定没有极值 D. 一元三次函数在上可能不存在极值 【答案】CD 【解析】 【分析】根据导数与极值的关系依次判定即可. 【详解】对于A：根据极值定义，函数的极大值不一定比极小值大，则A错误； 对于B：若或恒成立，则无极值点，则B错误； 对于C：在内单调递增，且区间为开区间，所以取不到极值，则C正确； 对于D：三次函数求导以后为二次函数，若或恒成立，则无极值点，故D选项正确． 故选：CD． 10. 3个人坐在一排5个座位上，则下列说法正确的是（ ） A. 共有60种不同的坐法 B. 空位不相邻的坐法有32种 C. 空位相邻的坐法有24种 D. 两端不是空位的坐法有12种 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，采用组合先选出座位，再根据排列方法安排座位；对于B，利用插空法；对于C，利用捆绑法；对于D，利用特殊元素优先法. 【详解】对于A，共有种不同的坐法，故A正确； 对于B，空位不相邻的坐法有种，故B错误； 对于C，空位相邻的坐法有种，故C正确； 对于D，两端不是空位的坐法有种，故D错误， 故选：AC. 11. 对于三次函数，给出定义：是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.若函数，则下列说法正确的是（ ） A. 的极大值为 B. 有且仅有2个零点 C. 点是的对称中心 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得，得出函数单调性，结合极值的概念，可判定A正确；根据极大值为，极小值，进而得到函数有3个零点，可判定B错误；求得，令，求得，得出，可判定C正确；根据对称性，得到，结合倒序相加法，可判定D正确. 【详解】由函数，可得， 令，解得或；令，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，在单调递增， 当时，取得极大值，极大值为，所以A正确； 又由极小值，且当时，， 当时，，所以函数有3个零点，所以B错误； 由，可得，令，可得， 又由，所以点是函数的对称中心， 所以C正确； 因为是函数的对称中心，所以， 令， 可得， 所以， 所以，即， 所以D正确. 故选：ACD. 三､填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 的二项展开式中项的系数为________． 【答案】90 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可令得，代入即可. 【详解】的展开式的通项公式为，令得，故，故的二项展开式中项的系数为90． 故答案为：90 13. 如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种___________．（以数字作答） 【答案】72 【解析】 【分析】本题考查分类加法计数原理和分步乘法计数原理，按照颜色的种数进行分为3种颜色和四种颜色依次讨论即可. 【详解】按照使用颜色的种类分类， 第一类：使用了4种颜色，2,4同色，或3,5同色，则共有(种)， 第二类：使用了三种颜色，2,4同色且3,5同色，则共有(种) 所以共有48+24=72(种) 故答案为：72 14. 若函数存在唯一极值点，则实数的取值范围是_______________. 【答案】 【解析】 【分析】由，可得出，可知直线与函数的图象有一个交点（非切点），利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围． 【详解】，则， 若函数存在唯一极值点， 则在上有唯一的根， 所以由可得，则有唯一的根， 直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 又， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以，函数的极大值为，且当时，，当时，， 则函数得图象如下图所示： 所以，当时，即当时，直线与函数的图象有一个交点（非切点）， 因此，实数的取值范围是． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知公比为2的等比数列满足成等差数列． （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得等比数列的首项，从而求得. （2）利用错位相减求和法即得. 【小问1详解】 等比数列的公比，成等差数列， 所以， ，解得，所以. 【小问2详解】 ， ， 两式相减得 ， 所以. 16. 已知函数，. （1）当时，求函数在点处的切线方程； （2）试判断函数的单调性. 【答案】（1） （2） 当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 【解析】 【分析】（1）当时，求出、的值，结合导数的几何意义可得出所求切线的方程； （2）对求导，得到，对进行讨论，判断的单调性． 【小问1详解】 当时，，则，所以，，， 故当时，函数在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，， 当时，，的减区间为，无增区间； 当时，令，， 时，，单调递减， 时，，单调递增， 综上所述，当时，的减区间为，无增区间； 当时，的减区间为，增区间为. 17. 如图，已知正三棱柱中，，点为的中点. （1）证明：平面； （2）求点到平面的距离. 【答案】（1） 方法一： 取的中点，根据正三棱柱性质可得互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，，，， ，，， 设平面的法向量为，则有，即， 令，则，，即， 因为，又平面， 所以平面； 方法二： 如图，连接交于点，连接， 易知为的中点，又点为的中点，故， 而平面，平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）方法一：建立空间直角坐标系，根据空间向量的位置关系证明可得结果； 方法二：连接交于点，连接，利用线面平行的判定定理证明可得结论. （2）方法一：由点到平面距离的向量求法直接计算可得结果； 方法二：利用等体积法计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一： 点到平面的距离. 方法二： 因为平面，故到平面的距离即为到平面的距离，设为， 因为，，平面， 故平面，平面，故， 由题意知，，所以， ，， 由， 代入解得. 18. 已知椭圆的离心率为，分别为椭圆的左､右顶点，为椭圆的上顶点，且. （1）求椭圆的标准方程； （2）若直线交椭圆于两点，直线的斜率为，直线的斜率为，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积公式，可得关系，根据离心率，可得的关系，联立求解，即可得答案. （2）将直线与椭圆联立，结合韦达定理，设，可得，表达式，由题意得的表达式，化简整理，即可得答案. 【小问1详解】 由题意，所以， 因为，所以， 又离心率，解得， 联立解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 将直线与椭圆联立，得， 设，则， 又，所以， 所以 . 19. 已知函数的一个极值点是． （1）求a与b的关系式； （2）求出的单调区间； （3）设，，若存在，使得成立，求实数a的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． （3） 【解析】 【分析】（1）求出，利用极值点是，得到，从而求出； （2）令导函数，求出两个根或，通过两个根的大小对进行分类讨论，列表判断函数的极值点以及单调性，从而得到答案 （3）利用导数研究函数的单调性，分别求出和的最值，将不等式能成立问题转化为最值问题，求解即可． 【小问1详解】 因为， 所以， 因为函数的一个极值点是， 所以，即； 则有， 当时，，函数在R上单调递减，此时函数没有极值点，不符合题意. 所以. 【小问2详解】 ，由（1）可知. ①当时，令得或，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数的极值点； ②当时，令得或，列表如下： x 2 - 0 + 0 - 满足是函数的极值点. 所以当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为和． 【小问3详解】 由（1）（2）知，， 且时，在单调递增，在单调递减， 又因为，， 所以在上的最大值为，最小值为 又当时，函数在单调递增， 所以在上的最大值为，最小值为． 因为存在，使得成立， 即存在，使得成立， 即，又，所以解得， 所以实数a的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $