7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.2离散型随机变量 及其分布列 学习目标 1.通过具体实例了解离散型随机变量的概念，理解离散型随机变量的分布列。 2.学生能通过建立样本点与实数之间的关系，知道随机试验样本空间中的每一个样本点都有唯一的实数与之对应。会根据概率的性质获得离散型随机变量分布列的性质，会求简单的离离散型随机变量的分布列，在此过程中提升数学抽象、逻辑推理、数学运算等素养。 引入 我们知道，在求随机事件的概率时，往往需要为随机试验建立样本空间，样本空间的确定是研究概率的基础. 请为以下随机试验建立样本空间: (1)掷一枚骰子，观察出现的点数. (2)掷两枚骰子，观察两个点数之和. (3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况. (4)从装有5个红球、3个白球的袋中依次摸出两球，观察球的颜色。 抽象概括，形成概念 从前面的问题我们可以知道，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应，不仅可能为一些随机事件的表示带来方便，还可能更好地利用数学工具研究随机试验. 抽象概括，形成概念 问题1:如果有些随机试验的样本点与数值没有关系，我们如何将这个试验的样本点与实数建立联系? 例如，随机抽一件产品，有“抽到次品”和“抽到正品”两种可能的结果，那么如何建立样本点和实数之间的对应? (3)掷一枚硬币，观察出现正、反面的情况. (4)从装有5个红球、3个白球的袋中依次摸出两球，观察球的颜色。 样本空间 抽象概括，形成概念 问题2:考察下列随机试验及其引入的变量: 试验1:从100个电子元件(至少含3个次品)中随机抽取三个进行检验，变量表示三个元件中的次品数. 抽象概括，形成概念 试验2:抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量表示需要的抛掷次数. 抽象概括，形成概念 这两个随机变量的样本空间是什么？各样本点与变量的值是如何对应的？变量有哪些共同特征？ 抽象概括，形成概念 在上面两个随机试验中，每个样本点都有唯一的一个实数与之对变量有如下共同点: (1)取值依赖于样本点. (2)所有可能取值是明确的. 你能类比函数中的对应关系，将样本空间中的样本点与实数的对应关系用一般化的数学语言表示吗? 随机变量的概念:一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. 像这样，可能取值为有限个或可以一一列出的随机变量，我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量，例如;用小写英文字母表示随机变量的取值，例如. 抽象概括，形成概念 随机变量的概念:一般地，对于随机试验样本空间中的每个样本点都有唯一的实数与之对应，我们称为随机变量. 随机变量的定义与函数的定义类似 这里样本点相当于函数定义中的自变量 样本空间相当于函数的定义域，不一定是数集. 随机变量的取值随着试验结果的变化而变化，使得我们可以利用数学工具研究随机事件. 抽象概括，形成概念 你能举出一些离散型随机变量和不是离散型的随机变量的例子吗? 抽象概括，形成概念 随机变量的分布列 任务：阅读课本P58，说出概率分布列是什么？ 随机变量的分布列 与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列也可以用表格表示，还可以用图形表示. 例如，图 7.2-3 直观地表示了掷骰子试验中掷出的点数的分布列，称为的概率分布图. 随机变量的分布列 问题3:你能根据概率的性质，研究离散型随机变量分布列的性质吗?写出你的研究结果并与同学交流. 根据概率的性质，离散型随机变量分布列具有下述两个性质: (1) (2) (1) (2) 例1. 一批产品中次品率为，随机抽取件，定义 ,求 的分布列. 例题练习，巩固理解 对于只有两个可能结果的随机试验，用表示“成功”，表示“失败”，定义1，如果 ，则 ，那么的分布列如表所示 我们称服从两点分布或 分布. 实际上， 为在一次试验中成功(事件 发生)的次数(). 一重伯努利试验 例题练习，巩固理解 例2 某学校高二年级有 200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如表所示. 从这 200名学生中任意选取1人，求所选同学分数的分布列，以及 例题练习，巩固理解 例题练习，巩固理解 例3.一批笔记本电脑共有 10台，其中A品牌3台，B品牌7台:如果从中随机挑选2 台，求这 2台电脑中 A品牌台数的分布列. 超几何分布的特殊情况 总结提升，形成结构 问题： 回顾本节课所学内容,并回答下列问题 (1)通过类比函数定义引人随机变量的概念，对你有什么启示? (2)为什么要研究离散型随机变量的分布列?离散型随机变量的分布列有什么作用? (3)根据本节课所举的例题，请你归纳求离散型随机变量分布列的一般步骤.分布列的性质在求解随机事件概率的过程中起到什么作用? 【例1】　（链接教材P59例2、P60例3）某单位为丰富员工的业余生活， 利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类 有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类 有2个项目，每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目，每个 项目的选择机会均等. （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； （2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列. 例题练习，巩固理解 【例1】　（链接教材P59例2、P60例3）某单位为丰富员工的业余生活， 利用周末开展趣味野外拉练，此次拉练共分A，B，C三大类，其中A类 有3个项目，每项需花费2小时，B类有3个项目，每项需花费3小时，C类 有2个项目，每项需花费1小时.要求每位员工从中随机选择3个项目，每个 项目的选择机会均等. （1）求小张在三类中各选1个项目的概率； 解：记事件M为“在三类中各选1个项目”，则P（M）＝ ＝ ， 所以小张在三类中各选1个项目的概率为 . （2）设小张所选3个项目花费的总时间为X小时，求X的分布列. 解： 由题知X的所有可能取值为4，5，6，7，8，9， 则P（X＝4）＝ ＝ ，P（X＝5）＝ ＝ ， P（X＝6）＝ ＝ ，P（X＝7）＝ ＝ ， P（X＝8）＝ ＝ ，P（X＝9）＝ ＝ . 所以X的分布列为 X 4 5 6 7 8 9 P ​ ​ ​ ​ ​ ​ 【规律方法】 求离散型随机变量的分布列的关键 （1）列出随机变量的所有可能的取值，不重不漏； （2）计算出每一个取值所对应的概率； （3）用所有概率之和是否为1来检验. 【例2】　（链接教材P59例1）一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球 和4个红球. （1）从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝ 求X的分布列； （2）从中任意摸出2个球，设η＝ 求η的分布列. 例题练习，巩固理解 【例2】　（链接教材P59例1）一个袋中有质地、大小完全相同的3个白球 和4个红球. （1）从中任意摸出1个球，用0表示摸出白球，用1表示摸出红球，设X＝ 求X的分布列； 解： 依题意，X服从两点分布，P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1） ＝ ＝ ， 所以X的分布列为 X 0 1 P ​ ​ （2）从中任意摸出2个球，设η＝ 求η的分布列. 解： 由题意知，P（η＝0）＝ ＝ ，P（η＝1）＝ ＝ ， 所以η的分布列为 η 0 1 P ​ ​ 【规律方法】 1. 判断一个随机变量是否服从两点分布，只要看试验结果是否只有两个对 应结果. 2. 由对立事件的概率，P（X＝0）＋P（X＝1）＝1. 3. 在有多个结果的随机试验中，如果我们只关心一个随机事件是否发生， 就可以利用两点分布来研究它. 【例3】　设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3， 4），求： （1）P（X＝1或X＝2）； （2）P（ ＜X＜ ）. 例题练习，巩固理解 【例3】　设随机变量X的分布列为P（X＝i）＝ （i＝1，2，3， 4），求： （1）P（X＝1或X＝2）； 解： ∵ ＋ ＋ ＋ ＝1，∴a＝10， 则P（X＝1或X＝2）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＝ ＋ ＝ . （2）P（ ＜X＜ ）. 解： 由a＝10， 得P（ ＜X＜ ）＝P（X＝1）＋P（X＝2）＋P（X＝3）＝ ＋ ＋ ＝ . 【规律方法】 分布列的性质及其应用 （1）利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保 证每个概率值均为非负数； （2）求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各 随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式. $