7.3.2 离散型随机变量的方差 课件-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第三册

7.3.2离散型随机变量 的方差 学习目标 1.通过对具体实例的分析,经历刻画某一组具体数据离散程度的研究过程,能类比样本方差的概念,概括出离散型随机变量的方差的题念.能用自己的语言解释其含义,体会类比的思想,发展数学抽象素养. 2.能用离散型随机变量的方差刻画实际问题中数据离散程度,培养数学应用意识. 创设情境,引入课题 随机变量的均值是一个重要的数字特征，它反映了随机变量取值的平均水平或分布的“集中趋势”．因为随机变量的取值围绕其均值波动，而随机变量的均值无法反映波动幅度的大小．所以我们还需要寻找反映随机变量取值波动大小的数字特征． 问题1:从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛．根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数犡和犢的分布列如表7.3-6和表7.3-7所示．如何评价这两名同学的射击水平？ 创设情境,引入课题 抽象概念,内涵辨析 任务： 1.随机变量的方差是什么？ 2.引入随机变量的方差是为了说明数据的什么？ 抽象概念,内涵辨析 追问1：在方差的计算中，利用下面的结论经常可以使计算简化． 抽象概念,内涵辨析 追问:离散型随机变量加上一个常数，方差会有怎样的变化？离散型随机变量乘以一个常数，方差又有怎样的变化？它们和期望的性质有什么不同？ 离散型随机变量加上一个常数,仅仅使的值产生一个平移,不改变与其均值的离散程度,方差保持不变,即 抽象概念,内涵辨析 抽象概念,内涵辨析 而离散型随机变量乘以一个常数，其方差变为原方差的倍，即. 一般地，可以证明下面的结论成立： . 例5.抛掷一枚质地均匀的骰子，求掷出的点数的方差． 例题练习，巩固理解 例6.投资两种股票，每股收益的分布列分别如表7.3-9和表7.3-10所示． （1）投资哪种股票的期望收益大？ （2）投资哪种股票的风险较高？ 例题练习，巩固理解 在实际中，可以选择适当的比例投资两种股票，使期望收益最大或风险最小。 拓展探索：设，是不等于的常数，探究相对于的偏离程度与相对于的偏离程度的大小关系，并说明结论的意义． 例题练习，巩固理解 总结提升，形成结构 问题： 回顾本节课所学内容,并回答下列问题 (1)我们如何定量描述随机变量的取值相当于其均值的离散程度? (2)离散型随机变量的方差与样本方差有何区别与联系? (3)离散型随机变量的方差有哪些性质?越大越好还是越小越好? (4)利用随机变量的均值和方差分析解决实际问题的步骤有哪些? 课堂练习，巩固提升 【例1】　（链接教材P69例5）某旅游公司为三个旅游团提供了a，b， c，d四条旅游线路，每个旅游团可任选其中一条线路，求选择a线路的旅 游团数X的方差D（X）. 解：由题意知X的可能取值有0，1，2，3， 则P（X＝0）＝ ＝ ，P（X＝1）＝ ＝ ， P（X＝2）＝ ＝ ，P（X＝3）＝ ＝ . 故E（X）＝0× ＋1× ＋2× ＋3× ＝ ， D（X）＝（ 0－ ）2× ＋（ 1－ ）2× ＋（ 2－ ）2× ＋（ 3－ ）2× ＝ × ＋ × ＋ × ＋ × ＝ . 课堂练习，巩固提升 【规律方法】 求离散型随机变量X的方差的基本步骤 （1）理解X的意义，写出X的可能取值； （2）写出X的分布列； （3）由均值的定义求出E（X）； （4）利用公式D（X）＝ （xi－E（X））2pi求出D（X）. 【例2】　已知随机变量X的分布列如下表所示： X －1 0 1 P a （1）求X2的分布列； （2）求X的方差； （3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 课堂练习，巩固提升 【例2】　已知随机变量X的分布列如下表所示： X －1 0 1 P a （1）求X2的分布列； 解：由分布列的性质，知 ＋ ＋a＝1，故a＝ ，从而X2的分布列为 X2 0 1 P ​ ​ （2）求X的方差； 解： 由（1）知a＝ ，所以E（X）＝－1× ＋0× ＋1× ＝－ . 故D（X）＝（ －1＋ ）2× ＋（ 0＋ ）2× ＋（ 1＋ ）2× ＝ . （3）若Y＝4X＋3，求Y的均值和方差. 解： 由（2）知E（X）＝－ ，D（X）＝ ， 所以E（Y）＝4E（X）＋3＝4×（ － ）＋3＝2， D（Y）＝16D（X）＝11. 【规律方法】 求随机变量Y＝aX＋b方差的方法 求随机变量Y＝aX＋b的方差，一种方法是先求Y的分布列，再求其均 值，最后求方差；另一种方法是应用公式D（aX＋b）＝a2D（X）求解. 【例3】　（链接教材P69例6）为选拔奥运会射击选手，对甲、乙两名射 手进行选拔测试.已知甲、乙两名射手在一次射击中的得分为两个相互独 立的随机变量ξ，η，甲、乙两名射手在每次射击中射中的环数均大于6环， 且甲射中10，9，8，7环的概率分别为0.5，3a，a，0.1，乙射中10，9， 8环的概率分别为0.3，0.3，0.2. （1）求ξ，η的分布列； （2）求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔 一人. 课堂练习，巩固提升 （1）求ξ，η的分布列； 解： 依题设，0.5＋3a＋a＋0.1＝1， 所以4a＝0.4，则a＝0.1. 因为乙射中10，9，8环的概率分别为0.3，0.3，0.2， 所以乙射中7环的概率为1－（0.3＋0.3＋0.2）＝0.2. 所以ξ，η的分布列分别为 ξ 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 η 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 （2）求ξ，η的均值与方差，并以此比较甲、乙的射击技术并从中选拔 一人. 解： 结合（1）中ξ，η的分布列， 可得E（ξ）＝10×0.5＋9×0.3＋8×0.1＋7×0.1＝9.2， E（η）＝10×0.3＋9×0.3＋8×0.2＋7×0.2＝8.7， D（ξ）＝（10－9.2）2×0.5＋（9－9.2）2×0.3＋（8－9.2）2×0.1＋ （7－9.2）2×0.1＝0.96， D（η）＝（10－8.7）2×0.3＋（9－8.7）2×0.3＋（8－8.7）2×0.2＋ （7－8.7）2×0.2＝1.21. 因为E（ξ）＞E（η），说明甲平均射中的环数比乙高. 又因为D（ξ）＜D（η），说明甲射中的环数比乙集中，比较稳定. 所以甲的射击技术好， 应选拔甲. 【规律方法】 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 （1）比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平 均水平，因此，在实际决策问题中，需先计算均值，看谁的平均水平高； （2）在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离散型随机变量取值的 稳定与波动、集中与离散的程度.通过计算方差，分析谁发挥相对稳定； （3）下结论：依据均值和方差的意义作出结论. $