10.2-10.3事件的相互独立性、频率与概率（讲义）高一数学人教A版必修第二册

第十章 概率 10.2 事件的相互独立性 10.3 频率与概率 知识点一 相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 知识点二 相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与也都相互独立. 相互独立事件A, B有关的概率计算公式如下表所示: 事件A, B的各种情形 概率计算公式 A, B同时发生 P=P(AB)=P(A)P(B) A, B同时都不发生 P=P( )=P()P()=(1-P(A))(1-P(B)) A, B至少有 一个不发生 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B) A, B至少有一个发生 P=1-P( )=1-P()P()=1-(1-P(A))(1-P(B)) A, B至多有一个发生 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B) A, B恰有一个发生 P=P(A∪B)=P(A)+P(B) 知识点三 频率的稳定性 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点四 随机模拟 用频率估计概率,需做大量的重复试验,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 即学即练 1．已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 2．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 题型01 相互独立事件与互斥事件 / 做题方法：互斥事件：不能同时发生，；独立事件：一个发生不影响另一事件，。结合定义、概率公式与实际情境区分，结合韦恩图辅助判断。 易错点：混淆两个概念，误认为独立必互斥；互斥事件错用独立乘法公式；忽略零概率特殊情况；凭主观判断事件影响关系，不通过公式验证，造成解题错误。 典｜例｜精｜析 例1．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D． 变｜式｜巩｜固 1．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 2．下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（ ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 题型02 独立事件的乘法公式计算 / 解题方法：若两事件相互独立，满足公式。多事件独立可分步连乘，正面复杂时可结合对立事件转化计算，先判定独立再套用公式。 易错点：未证明独立就直接套用乘法公式；混淆独立与互斥公式；多个事件独立与两两独立概念混淆；计算对立事件乘积时出错；忽略实际情境中事件并不独立的隐藏条件。 典｜例｜精｜析 例2．已知事件与相互独立，且，则（ ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 2．已知，，，则事件与的关系是（ ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 3．（多选）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（ ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若与互斥，则 题型03 独立事件的实际应用（基础） / 解题先判断事件是否相互独立，无相互影响即可用独立事件乘法公式。分步分析各事件概率，同时发生用相乘，结合对立事件简化运算。 易错点：主观默认事件独立直接套公式；混淆独立与互斥；多步骤问题遗漏对立转化；混淆同时发生、至少一个发生的问法；实际场景中忽略事件间隐藏关联，导致列式错误。 典｜例｜精｜析 例3．（多选）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（ ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 变｜式｜巩｜固 1．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 2．如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______． 题型04 独立事件的实际应用（提升） / 解题先判定多事件两两独立，利用乘法公式计算同时发生概率。遇到 “至少、至多” 类问题，采用正难则反策略，结合对立事件简化计算，合理分类分步列式求解。 易错点：混淆两两独立与相互独立；复杂情境强行套用独立公式；混淆 “同时发生” 与 “至少一个发生”；分类讨论不全面；忽视题干限制条件，造成概率列式与计算失误。 典｜例｜精｜析 例4．已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是__________. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 2．如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______． 题型05 独立事件的实际应用（拓展） / 解题综合运用独立事件乘法、对立事件及分类计数原理。面对多阶段、多组合复杂情境，拆分独立子事件，“至多、至少” 优先反向求解，结合分步列式运算。 易错点：混淆局部独立与整体关联；多事件中错用两两独立代替相互独立；复杂场景主观判定独立；遗漏分类情况；混合互斥与独立公式混用，引发计算错误。 典｜例｜精｜析 例5．（多选）“石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（ ） A．若，，则只有一人获胜的概率为 B．若，，则平局的概率为 C．若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为 D．若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为 变｜式｜巩｜固 1．（多选）某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（ ） A．甲队积分为分的概率为 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 2．（多选）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（ ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 题型06 频率与概率 / 解题方法：明确频率是试验的实际结果，随试验次数变化；概率是理论固定值。试验次数越多，频率越接近概率，可用频率估计概率。借助统计表、折线图分析变化规律。 易错点：混淆频率与概率概念，认为频率等于概率；忽略频率具有随机性；少量试验下误将频率当作概率；不能理解频率稳定于概率的统计规律。 典｜例｜精｜析 例6．下面说法正确的是（ ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 变｜式｜巩｜固 1．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（ ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 题型07 相互独立事件解答题应用 / 解题先写明事件并判定独立性，事件互不影响即可用独立乘法公式。分清同时发生、至少一个、至多等题型，复杂问题分类讨论或利用对立事件反向计算，规范书写概率列式。 易错点：不证明独立直接套用公式；混淆独立与互斥；看错设问，混淆 “都发生” 与 “至少一个发生”；分类遗漏或重复；多事件混用两两独立与相互独立，步骤残缺导致扣分。 典｜例｜精｜析 例7．、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 变｜式｜巩｜固 1．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率. 2．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 概率 10.2 事件的相互独立性 10.3 频率与概率 知识点一 相互独立事件的概念 对任意两个事件A与B,如果P(AB)=P(A)P(B)成立,则称事件A与事件B相互独立,简称为独立. 知识点二 相互独立事件的性质 如果事件A与B相互独立,那么A与 , 与B, 与也都相互独立. 相互独立事件A, B有关的概率计算公式如下表所示: 事件A, B的各种情形 概率计算公式 A, B同时发生 P=P(AB)=P(A)P(B) A, B同时都不发生 P=P( )=P()P()=(1-P(A))(1-P(B)) A, B至少有 一个不发生 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B) A, B至少有一个发生 P=1-P( )=1-P()P()=1-(1-P(A))(1-P(B)) A, B至多有一个发生 P=1-P(AB)=1-P(A)P(B) A, B恰有一个发生 P=P(A∪B)=P(A)+P(B) 知识点三 频率的稳定性 大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A),我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A). 知识点四 随机模拟 用频率估计概率,需做大量的重复试验,我们可以根据不同的随机试验构建相应的随机数模拟试验,这样就可以快速地进行大量重复试验了.我们称利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法. 即学即练 1．已知，那么命题“事件与事件相互独立”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既不充分也不必要条件 D．充要条件 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用相互独立事件的定义，结合充分条件、必要条件的定义判断即可求解. 【详解】由事件A与事件B相互独立，可得 由，可得，则事件与事件相互独立， 故命题“事件与事件相互独立”是“”的充要条件. 故选：D. 2．假设，，且A与B相互独立，则下列说法正确的个数为（ ） ①；②；③；④；⑤ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据相互独立事件的概念和乘法公式，以及互斥事件的概念，逐个判定，即可求解. 【详解】由，，且事件与相互独立，则与相互独立，与相互独立，则，所以①不正确，③正确； 又由，所以④正确； 由，所以⑤不正确； 又由事件与不一定时互斥事件，所以与不一定相等， 所以②不正确. 故选：B. 3．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，且两人是否中靶相互独立，若甲、乙各射击一次，则恰有一人中靶的概率为____________. 【答案】0.46/ 【分析】设出事件，根据相互独立事件的概率计算公式计算即可. 【详解】设甲中靶为事件，乙中靶为事件， 则恰有一人中靶的概率为， 故答案为：. 题型01 相互独立事件与互斥事件 / 做题方法：互斥事件：不能同时发生，；独立事件：一个发生不影响另一事件，。结合定义、概率公式与实际情境区分，结合韦恩图辅助判断。 易错点：混淆两个概念，误认为独立必互斥；互斥事件错用独立乘法公式；忽略零概率特殊情况；凭主观判断事件影响关系，不通过公式验证，造成解题错误。 典｜例｜精｜析 例1．抛掷一枚质地均匀的硬币两次，设事件“第1次正面朝上”，事件“第2次正面朝上”，事件“两次硬币朝上的面相同”，则下列结论正确的是（ ） A．事件与事件互斥 B．事件与事件互为对立 C．事件与事件相互独立 D． 【答案】C 【分析】根据题意，列出相关事件，结合独立事件概率乘法公式即可判断． 【详解】事件正,正正,反，事件正,正反,正， 事件正,正反,反，事件正,正， ， ， 事件与事件相互独立． 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（ ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D.若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 2．下列关于互斥事件、对立事件、独立事件（上述事件的概率都大于零）的说法中正确的是（ ） A．互斥事件一定是对立事件 B．对立事件一定是互斥事件 C．互斥事件一定是独立事件 D．独立事件一定是互斥事件 【答案】B 【分析】根据互斥事件、对立事件、独立事件的概念进行判断即可. 【详解】互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件，故A错误，B正确； 互斥事件一定不能同时发生，而独立事件可以同时发生，所以互斥事件一定不是独立事件，独立事件可能互斥也可能不互斥，故C，D均错误. 故选：B. 题型02 独立事件的乘法公式计算 / 解题方法：若两事件相互独立，满足公式。多事件独立可分步连乘，正面复杂时可结合对立事件转化计算，先判定独立再套用公式。 易错点：未证明独立就直接套用乘法公式；混淆独立与互斥公式；多个事件独立与两两独立概念混淆；计算对立事件乘积时出错；忽略实际情境中事件并不独立的隐藏条件。 典｜例｜精｜析 例2．已知事件与相互独立，且，则（ ） A．0.3 B．0.6 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【分析】根据题意，结合，即可求解. 【详解】由题意，事件与事件相互独立，且， 则. 故选：C. 变｜式｜巩｜固 1．已知事件A，B满足，则下列结论正确的是（ ） A．若A与B相互独立，则 B．若A与B互斥，则 C．A与B相互对立 D．若，则 【答案】D 【详解】对于A，若A与B相互独立，则A与相互独立，所以，故A错误．对于B，若A与B互斥，则A，B不可能同时发生，即，故B错误．对于C，，由于不确定A与B是否互斥，所以无法确定两事件是否对立，如抛掷一枚质地均匀的骰子，观察试验的结果，设事件“出现奇数点”；事件“出现点数不大于3”，则，但事件A，B并不互斥，也不对立，故C错误．对于D，若，则，则，故D正确． 2．已知，，，则事件与的关系是（ ） A．与互斥不对立 B．与对立 C．与相互独立 D．与既互斥又独立 【答案】C 【分析】利用计算出，可得到则能得到与不互斥，不对立；再利用算出即可得到答案 【详解】由可得， 因为，则与不互斥，不对立， 由可得， 因为，所以与相互独立 故选：C 3．（多选）已知事件，满足，，则下列说法正确的是.（ ） A．若，则 B．若与相互独立，则 C．若，则与相互独立 D．若与互斥，则 【答案】ACD 【分析】根据独立事件概率乘积公式及互斥事件概率和公式，对立事件概率公式计算判断各个选项. 【详解】事件，满足，， 对于A：若，则，A选项正确； 对于B：若与相互独立，则，B选项错误； 对于C：因为，即，则与相互独立，C选项正确； 对于D：若与互斥，则，D选项正确； 故选：ACD. 题型03 独立事件的实际应用（基础） / 解题先判断事件是否相互独立，无相互影响即可用独立事件乘法公式。分步分析各事件概率，同时发生用相乘，结合对立事件简化运算。 易错点：主观默认事件独立直接套公式；混淆独立与互斥；多步骤问题遗漏对立转化；混淆同时发生、至少一个发生的问法；实际场景中忽略事件间隐藏关联，导致列式错误。 典｜例｜精｜析 例3．（多选）从甲口袋内摸出1个白球的概率是，从乙口袋内摸出1个白球的概率是，如果从两个口袋内各摸出一个球，那么下列说法正确的是（ ） A．2个球都是白球的概率为 B．2个球都不是白球的概率为 C．2个球不都是白球的概率为 D．2个球恰好有一个球是白球的概率为 【答案】ACD 【分析】借助相互独立事件概率公式、对立事件概率公式逐项计算即可得. 【详解】设事件表示从甲口袋内摸出1个白球，事件表示从乙口袋内摸出1个白球； 对A：，故A正确； 对B：，故B错误； 对C：，故C正确； 对D：， 故D正确. 变｜式｜巩｜固 1．甲、乙两名同学做同一道数学题，甲做对的概率为，乙做对的概率为，两人做题互不影响，下列说法错误的是（ ） A．两人都做对的概率是 B．恰好有一人做对的概率是 C．两人都做错的概率是 D．至少有一人做对的概率是 【答案】C 【分析】根据独立事件的乘法公式可判断A；根据对立事件的概率计算结合独立事件的概率公式可判断B，C，D. 【详解】设事件A表示“甲做对”，事件B表示“乙做对”，则，. 对于A，两人都做对的概率为，故A正确； 对于B，恰好有一人做对的概率为，故B正确； 对于C，两人都做错的概率为，故C错误； 对于D，至少有一人做对的概率为，故D正确． 2．如图所示，电路原件，，正常工作的概率分别为，，，则电路能正常工作的概率为______． 【答案】/0.4375 【分析】电路能正常工作的条件是：必须正常工作，，至少有一个正常工作，由此求解即可 【详解】由题意，电路能正常工作的条件是： 必须正常工作，，至少有一个正常工作， 所以电路能正常工作的概率为， 故答案为： 题型04 独立事件的实际应用（提升） / 解题先判定多事件两两独立，利用乘法公式计算同时发生概率。遇到 “至少、至多” 类问题，采用正难则反策略，结合对立事件简化计算，合理分类分步列式求解。 易错点：混淆两两独立与相互独立；复杂情境强行套用独立公式；混淆 “同时发生” 与 “至少一个发生”；分类讨论不全面；忽视题干限制条件，造成概率列式与计算失误。 典｜例｜精｜析 例4．已知甲､乙两人参加闯关活动，活动一共设置两关.甲每关闯关成功的概率均为，乙每关闯关成功的概率均为，且甲､乙两人闯关成功与否互不影响，则甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率是__________. 【答案】/ 【分析】根据题意，计算甲､乙两人总共至少有三关闯关成功的概率，即计算成功关数为3或4的概率，根据甲，乙的闯关结果是独立的，可先分别计算出甲，乙分别闯关成功的概率，再结合两者的结果进行计算即可. 【详解】设事件“甲有关闯关成功”，“乙有关闯关成功”，， 则，， ，， 设甲、乙两人总共至少有三关闯关成功的事件为，则， . 故答案为：. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（ ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 【答案】BD 【分析】运用独立事件概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式逐一判断即可. 【详解】A：设甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题为事件， 所以， 只有一个小组受到奖励的概率等于 ，所以本选项说法不正确； B：技术难题被攻克的概率为，所以本选项说法正确； C：只有甲、丙小组受到奖励的概率为，所以本选项说法不正确； D：甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为，所以本选项说法正确. 2．如图，已知电路中有4个开关，每个开关独立工作，且闭合的概率为，则灯亮的概率为______． 【答案】/0.8125 【分析】先计算出灯不亮的概率，进而利用对立事件求概率公式进行计算. 【详解】记开关闭合为事件A，B，C，D， 因为开关断开且开关至少有一个断开时，线路才断开，导致灯不亮， 所以灯不亮的概率为, 所以灯亮的概率为. 故答案为： 题型05 独立事件的实际应用（拓展） / 解题综合运用独立事件乘法、对立事件及分类计数原理。面对多阶段、多组合复杂情境，拆分独立子事件，“至多、至少” 优先反向求解，结合分步列式运算。 易错点：混淆局部独立与整体关联；多事件中错用两两独立代替相互独立；复杂场景主观判定独立；遗漏分类情况；混合互斥与独立公式混用，引发计算错误。 典｜例｜精｜析 例5．（多选）“石头，剪刀，布”游戏起源于中国汉朝，称为“手势令”．游戏规则为：（1）参加游戏的人随机出一种手势，且石头赢剪刀，剪刀赢布，布赢石头；（2）两人游戏时，出相同的手势为平局；多人游戏时，都出相同的手势或三种手势都出现为平局．现有个人共举行了局游戏，且各局游戏互不影响，则下列说法正确的有（ ） A．若，，则只有一人获胜的概率为 B．若，，则平局的概率为 C．若，且规定其中一人连续两局获胜，比赛结束，则恰经过5局比赛结束的概率为 D．若，且规定每局比赛输者淘汰，则恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率为 【答案】ABD 【详解】对于A，若，，则每个人出的手势都有种可能， 所以个人出手势的总情况数为种，只有一人获胜的情况有种情况， 因为三个人都有可能获胜，所以只有一人获胜的概率为，故A正确； 对于B，若，，个人出手势的总情况数为种， 计算平局的情况： 所有人出相同手势的情况有种（都出石头、都出剪刀、都出布）. 三种手势都出现的情况：用间接法，先计算不满足三种手势都出现的情况， 即只有一种手势的3种情况和只有两种手势的情况. 计算只有两种手势的情况：从3种手势中选2种，有种选法， 设选的两种手势为A和B，把5个人分配到这两种手势中， 排除5个人都出A和5个人都出B的情况， 有种情况，所以只有两种手势的情况有种. 那么三种手势都出现的情况有种. 综上平局的情况共有种，所以平局的概率，故选项B正确； 对于C，当时，两人每次出手势都有3种情况，所以每局的情况数为种， 恰经过5局比赛结束，说明前3局没有一人连续两局获胜，第4局和第5局是同一人获胜， 设两人为甲和乙，若恰经过5局比赛甲获胜，则 ①第二局甲输，第四五局甲胜，第三局平局，第一局甲胜或者平局， 其概率为； ②第二局平局，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局均可， 其概率为； ③第二局甲胜，第四五局甲胜，第三局平局或甲输，第一局甲输或平局， 其概率为； 所以恰经过5局比赛甲获胜的概率为； 同理，恰经过5局比赛乙获胜的概率也为； 所以恰经过5局比赛结束的概率，故选项C错误； 对于D，若，每局比赛打平，则3个人出的手势一样，有3种情况，或者各不相同， 有种情况，所以三人打平的概率为； 若3人中两个人出的手势一样，与另外一个不一样，则一次淘汰两人的概率为， ①三局是平局，一局淘汰一人，一局淘汰两人， 概率为； ②前四局是平局，第五局淘汰两人， 概率为； 所以恰经过5局比赛决出最终胜利者的概率，故选项D正确. 故选：ABD. 变｜式｜巩｜固 1．（多选）某区四所高中各自组建了排球队分别记为“甲队”“乙队”“丙队”“丁队”进行单循环比赛即每支球队都要跟其他各支球队进行一场比赛最后按各队的积分排列名次，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为且每场比赛结果相互独立，则在比赛结束时（ ） A．甲队积分为分的概率为 B．不可能出现恰有三支球队积分相同的情况 C．甲队胜2场且乙队胜2场的概率为 D．甲队输一场且积分超过其余每支球队积分的概率为 【答案】ACD 【分析】若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁，结合独立事件的概率公式运算判断A；举例比赛的各种得分情况判断B；分甲胜乙、甲败乙、甲平乙，三种情况由互斥事件与独立事件的概率公式计算概率判断C；分甲得4分和6分两种情况可得D. 【详解】对于选项A：若甲队积分为9分，则甲胜乙、丙、丁， 所以甲队积分为9分的概率为，故A正确； 对于选项B：四支球队共6场比赛，例如甲胜乙、丙、丁，而乙、丙、丁之间平， 则甲得9分，乙、丙、丁各得2分，故B错误； 对于选项C：每场比赛中两队胜、平、负的概率都为， 甲队胜2场且甲胜乙队2场，甲队胜2场且甲败给乙队或甲队胜2场且甲与乙队平， 则甲队胜2场且乙队胜2场的概率为，故C正确； 对于选项D：甲队在输了一场且其积分仍超过其余三支球队的积分， 三队中选一队与甲比赛，甲输，，例如是丙甲， 若甲与乙、丁的两场比赛一赢一平，则甲只得4分， 这时，丙乙、丙丁两场比赛中丙只能输，否则丙的分数不小于4分，不合题意， 在丙输的情况下，乙、丁已有3分， 那个它们之间的比赛无论什么情况，乙、丁中有一人得分不小于4分，不合题意； 若甲全赢（概率是）时，甲得6分，其他3人分数最高为5分， 这时丙乙，丙丁两场比赛中丙不能赢否则丙的分数不小于6分，只有全平或全输， ①若丙一平一输，概率，如平乙，输丁，则乙丁比赛时，丁不能赢，概率； ②若丙两场均平，概率是，乙丁这场比赛无论结论如何均符合题意； ③若两场丙都输，概率是，乙丁这场比赛只能平，概率是； 综上概率为，故D正确． 故选：ACD． 2．（多选）甲、乙两人进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得2分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的人获得冠军．已知甲在三个项目中获胜的概率分别为，各项目的比赛结果相互独立，则下列说法正确的是（ ） A．若，甲得4分的概率为 B．乙至少赢一场的概率为 C．若，乙赢得比赛的概率为 D．要使甲获胜的概率大，的取值范围 【答案】CD 【分析】A利用概率的乘法公式和加法公式计算；B利用对立事件的概率公式计算；C结合AB选项，再利用对立事件的概率公式计算；D解不等式即可. 【详解】A选项，甲得4分意味着甲赢局，输局，其概率为，故A错误； B选项，甲全部赢的概率为，则乙至少赢一场的概率为，故B错误； C选项，由AB选项知，甲获胜的概率为， 故乙赢得比赛的概率为，故C正确； D选项，要使甲获胜的概率大，则，得， 则的取值范围，故D正确. 故选：CD 题型06 频率与概率 / 解题方法：明确频率是试验的实际结果，随试验次数变化；概率是理论固定值。试验次数越多，频率越接近概率，可用频率估计概率。借助统计表、折线图分析变化规律。 易错点：混淆频率与概率概念，认为频率等于概率；忽略频率具有随机性；少量试验下误将频率当作概率；不能理解频率稳定于概率的统计规律。 典｜例｜精｜析 例6．下面说法正确的是（ ） A．设一批产品的次品率，则从中任取10件，必有1件是次品 B．随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率 C．天气预报：“明天降雨概率为90％”，则明天可能不下雨 D．做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则抛一枚硬币出现正面的概率是 【答案】C 【分析】根据概率和频率的定义逐一分析即可. 【详解】对于A，次品率描述的是次品的可能情况，从中任取10件，不一定正好1件是次品，故A错误； 对于C，天气预报：“明天降雨概率为”，则明天可能不下雨，故C正确； 对于B和D，概率是多次重复试验中事情发生的频率在某一常数附近，此常数可为概率， 做8次抛硬币的试验，结果5次出现正面，则该试验抛一枚硬币出现正面的频率是， 但是抛一枚质地均匀的硬币出现正面的概率是，故B、D错误. 故选：C． 变｜式｜巩｜固 1．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为60%．我们通过设计模拟实验的方法求概率．由计算机产生1~5的随机数，当出现随机数1，3，5时，表示该天下雨，利用计算机产生20组随机数：423，123，425，344，124，453，524，332，152，342，534，443，521，541，125，432，324，151，314，245，则这三天中恰有两天下雨的概率近似为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】找出三天中恰有两天下雨的所有情况，利用频率估计概率即可. 【详解】满足条件的随机数有123，453，332，152，534，521，541，125，314，共9种情况， 则这三天中恰有两天下雨的概率近似为. 故选：A 2．下列说法正确的是（ ） ①已知，，那么事件“”有可能不发生； ②随机试验的频率与概率相等； ③如果一个事件发生的概率为，那么说明此事件必然发生； ④只有不确定事件有概率； ⑤若事件发生的概率为，则． A．⑤ B．③⑤ C．③④⑤ D．②③④⑤ 【答案】A 【分析】根据必然事件、可能事件、概率的概念进行判断即可. 【详解】对于①： 因为，所以事件“”必然发生，所以①错误； 对于②： 频率是随机试验中事件发生的次数与试验总次数的比值，概率是事件发生的可能性的稳定值，频率会随着试验次数的变化而变化，只有当试验次数很大时，频率才会接近概率，二者不相等，所以②错误； 对于③： 概率为的事件不是必然事件，必然事件的概率是，所以③错误； 对于④： 确定事件（必然事件和不可能事件）也有概率，必然事件概率为1，不可能事件概率为0，所以④错误； 对于⑤： 任何事件发生的概率都满足，所以⑤正确. 故选：A. 题型07 相互独立事件解答题应用 / 解题先写明事件并判定独立性，事件互不影响即可用独立乘法公式。分清同时发生、至少一个、至多等题型，复杂问题分类讨论或利用对立事件反向计算，规范书写概率列式。 易错点：不证明独立直接套用公式；混淆独立与互斥；看错设问，混淆 “都发生” 与 “至少一个发生”；分类遗漏或重复；多事件混用两两独立与相互独立，步骤残缺导致扣分。 典｜例｜精｜析 例7．、两队进行围棋比赛，队有甲、乙、丙三位棋手，队只有丁一位棋手．比赛规则如下：队的三位棋手分别与丁对弈一盘，若一队棋手连胜两盘（负一盘）或连胜三盘，则该队获胜，若三盘比赛中没有一队获得连胜，则两队打平．已知甲、乙、丙分别与丁比赛且获胜的概率为、、，且各盘比赛相互独立．丁连胜两盘、负一盘的概率为，连胜三盘的概率为． (1)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求； (2)若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，求、两队打平的概率； (3)通过计算判断队怎样安排出场顺序对丁最有利，并说明实际意义． 【答案】(1) (2) (3)队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利，理由见解析 【分析】（1）利用独立事件的概率公式可求得出的值； （2）对三局的输赢情况进行分类讨论，结合题意可求出、两队打平的概率； （3）设丁获胜的概率为，对队三位棋手的出场顺序进行分类讨论，求出每种情况下的值，比较大小后可得出结论. 【详解】（1）因为队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛， 所以丁连胜两盘且其中第二盘必胜，即对乙必胜， 所以． 故． （2）设、两队打平的概率为． 记事件第二盘为丁胜，第一、三盘分别为甲、丙胜． 记事件第二盘为乙胜，第一、三盘都是丁胜，则与为互斥事件， 则. （3）设丁获胜的概率为． 若队按甲、乙、丙的出场顺序与队进行比赛，则． 同理，若队按丙、乙、甲的出场顺序与队进行比赛，则． 若队按乙、甲、丙或丙、甲、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 若队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛， 则． 因为，所以队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与队进行比赛时对丁最有利． 因为丁连胜三盘的概率与顺序无关，所以丁连胜两盘、负一盘， 其中第二盘必胜，第二盘的对手实力越强， 连胜两盘的概率越小，第二盘的对手实力越弱，连胜两盘的概率越大， 根据已知丙的实力最弱，故A队按乙、丙、甲或甲、丙、乙的出场顺序与B队进行比赛时对丁最有利． 变｜式｜巩｜固 1．Matlab是一种数学软件，用于数据分析、深度学习、图象处理与计算机视觉、无线通信、信号处理、人工智能机器人等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展.某学校举行了相关Matlab专业知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)若两题都答对者可被评为“优秀”，求甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率. 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）根据题意，列出关于和的方程组，求解即可； （2）法一：甲、乙至少有一人被评为“优秀”，包含甲被评为“优秀”、乙没被评为“优秀”，甲没被评为“优秀”、乙被评为“优秀”，甲、乙都被评为“优秀”三种情况，分别求解加和即可； 法二：先求得甲、乙都没被评为“优秀”的概率，利用对立事件的思想，即可求得甲、乙至少有一人被评为“优秀”的概率. 【详解】（1）由题可知，每题甲、乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为， 则，解得或， 由于，所以，. （2）设甲被评为“优秀”为事件，乙被评为“优秀”为事件， 甲乙至少一人被评为“优秀”为事件.则 法一：甲被评为“优秀”的概率， 乙被评为“优秀”的概率， 则甲乙至少一人被评为“优秀”的概率 . 法二：甲乙两人都没被评为“优秀”的概率， 则甲乙至少一人被评为“优秀”的概率. 2．甲、乙两队进行排球比赛，采取五局三胜制（先赢得三局比赛的队伍获胜，比赛结束）.根据两队比赛的历史数据分析，甲、乙两队在第一局比赛中取胜的概率均为，但受心理等因素的影响，前一局比赛的结果对后一场比赛会产生影响，若比赛结束时场次不超过四局，甲队在某一局比赛取胜，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率增加，反之，则下一局比赛取胜的概率比上一局取胜的概率降低，若比赛进入第五局决胜局，则不论第四局胜负如何，该局甲取胜的概率为. (1)求比赛三局结束的概率； (2)求乙取胜，比赛结束的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分析可知甲或乙均连胜3局，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分析可知4局胜者依次为甲，乙，乙，乙、乙，甲，乙，乙和乙，乙，甲，乙，求各局获胜的概率，结合独立事件的概率乘法公式运算求解. 【详解】（1）记“比赛三局结束”为事件A，则甲或乙均连胜3局， 则每局获胜的概率依次为，，， 所以. （2）记“乙取胜，比赛结束”为事件B， 若4局胜者依次为甲，乙，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，甲，乙，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 若4局胜者依次为乙，乙，甲，乙， 则乙每局的概率依次为，，，； 所以. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $