热点05 几何基础与三角形7大题型（热点专练）（江苏专用）2026年中考数学二轮复习讲练测

热点05 几何基础与三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 相交线平行线角度模型 题型02 三角形边角关系、内外角关系计算 题型03 全等三角形判定与基础证明 题型04 角平分线、垂直平分线性质 题型05 等腰、直角三角形性质 题型06 勾股定理基础运用 题型07 三角形平移、折叠基础题型 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：几何基础与三角形是江苏中考数学的核心几何基础模块，是后续四边形、圆、几何综合题的基石，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在15-22分，以基础题、中档题为主，是解答题的重要开篇考点，也是几何综合题的核心工具。 1.高频考点分布： · 相交线与平行线：角度计算、平行线的判定与性质为基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-4分； · 三角形基础：边角关系、内外角和为必考考点，占2-3分； · 全等三角形：基础证明题高频考点，常以解答题前两题形式出现，占4-6分； · 特殊三角形：等腰、直角三角形性质与勾股定理为核心考点，占3-6分； · 角平分线、垂直平分线：性质应用与计算为高频考点，占2-4分； · 平移、折叠：图形变换与三角形结合，是中档题高频考点，占3-5分。 2.命题特点： · 基础题以课本变式为主，侧重概念、性质的直接应用； · 解答题以全等三角形证明为核心，结合特殊三角形性质考查； · 折叠、平移等图形变换题，侧重考查空间想象与数形结合思想； · 情境化试题常结合生活中的建筑、图形设计，考查几何知识的实际应用。 3.高频失分点： · 平行线的判定与性质混淆，角度模型应用错误； · 全等三角形证明时，条件不充分或判定定理用错； · 等腰三角形问题未分类讨论（边、角的两种情况）； · 勾股定理应用时，未确定直角边与斜边，或未检验三边是否满足三角形三边关系； · 折叠问题中，对应边、对应角找错，忽略折叠前后图形全等的性质。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出几何直观与推理能力： 1.基础题难度不变，仍以角度计算、三角形基础性质为主； 2.全等三角形证明题仍为解答题高频考点，可能结合特殊三角形、平行线背景； 3.折叠、平移等图形变换题的区分度增强，侧重考查图形分析与转化思想； 4.勾股定理的应用场景更丰富，结合网格、坐标系、实际问题考查的占比提升。 题型01 相交线平行线角度模型 解｜题｜策｜略 ① 核心概念速记： · 对顶角相等，邻补角互补； · 平行线的判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行； · 平行线的性质：两直线平行，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补。 ② 高频角度模型解题技巧： · “铅笔头” 模型：平行线内凹折线，角度和为360°； · “猪蹄” 模型：平行线内凸折线，中间角等于两侧角之和； · “锯齿” 模型：平行线多折线，奇数个拐点时，角度和为（n-1）×180°（n为拐点数） ③ 解题关键：遇到平行线+折线问题，优先过拐点作平行线，构造 “三线八角” 模型，利用平行线的性质转化角度； ④ 易错点：混淆平行线的判定与性质，导致逻辑错误。 例1（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 例2（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 例3（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式2】 （2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型02 三角形边角关系、内外角关系计算 解｜题｜策｜略 1 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形时，只需验证 “两条较短边之和大于最长边” 即可； ② 三角形内角和与外角性质： · 内角和：三角形内角和为 180°； · 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角； 2 解题技巧：遇到角度计算问题，优先用外角性质转化，简化计算；遇到含参数的三角形边长问题，利用三边关系列不等式，求参数的取值范围； ④ 易错点：三边关系应用时，未验证所有组合，或忽略 “两边之差小于第三边”；外角性质应用时，误将相邻内角当作不相邻内角。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 例2（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 例3（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，把△AOB绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 【变式4】（2026·江苏无锡·一模）已知△ABC中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5】（2026·江苏南京·一模）等腰△ABC的周长是，腰长，则底边_____． 题型03 全等三角形判定与基础证明 解｜题｜策｜略 ① 全等三角形判定定理速记： · SSS（边边边）：三边对应相等； · SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等； · ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等； · AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等； · HL（斜边直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等。 ② 基础证明题通用步骤： · 明确已知条件，找出图中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件； · 确定要证明的三角形，根据已知条件选择合适的判定定理； · 按 “先列条件，再写判定定理，最后得出全等结论” 的格式书写； · 利用全等三角形的性质，推导对应边、对应角相等，解决后续问题。 ③ 解题技巧：证明时优先找公共边、公共角，再结合已知条件补充所需条件；直角三角形优先考虑HL定理； ④ 易错点：用 “SSA” 判定全等（此判定不成立），或证明过程中条件不充分，漏写关键步骤。 例1（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在△ABC和△ADE中，点D在上，，，．求证：． 例2（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型04 角平分线、垂直平分线性质 解｜题｜策｜略 ① 角平分线的性质与判定： · 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； · 判定：到角两边距离相等的点，在角的平分线上； ② 垂直平分线的性质与判定： · 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； · 判定：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上； ③ 解题技巧：遇到角平分线，优先过角平分线上的点向两边作垂线，构造全等三角形；遇到垂直平分线，优先连接线段两端点与垂直平分线上的点，得到等腰三角形； ④ 易错点：应用角平分线性质时，忽略 “点到角两边的距离” 必须是垂线段，误将斜线段当作距离。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 例3（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在△ABC中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 【变式2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在锐角△ABC中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A．9 B．10 C．7 D．8 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，点D、E分别为、的中点，连接，相交于点O．求证：点O在的垂直平分线上． 题型05 等腰、直角三角形性质 解｜题｜策｜略 ① 等腰三角形核心性质： · 等边对等角，等角对等边； · 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； · 分类讨论：等腰三角形的边分为腰和底，角分为顶角和底角，未明确时需分情况讨论，且需满足三角形三边关系和内角和； ② 直角三角形核心性质： · 两锐角互余； · 斜边上的中线等于斜边的一半； · 30° 角所对的直角边等于斜边的一半； ③ 解题技巧：等腰三角形问题优先考虑三线合一，构造直角三角形；直角三角形问题优先找斜边中点，利用斜边上的中线性质； ④ 易错点：等腰三角形问题未分类讨论，或分类后未验证是否满足三角形内角和与三边关系；直角三角形中，误将非直角边当作斜边应用性质。 例1（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 例2（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 例3（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 例4（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 例5（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在△ABC中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______． 【变式2】（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，中，，，，对角线相交于点O．过点B作的平行线，交的延长线于点E，连接，则的长为______． 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 题型06 勾股定理基础运用 解｜题｜策｜略 1 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2（其中c为斜边，、为直角边）； 2 勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形； ③ 基础应用场景： · 已知两边求第三边； · 已知一边和特殊角（30°、45°），求其他边； · 网格中求线段长度，利用勾股定理构造直角三角形； · 勾股数的识别，如 3、4、5；5、12、13；7、24、25 等； 3 解题关键：应用勾股定理前，先确定哪个角是直角，区分直角边与斜边；计算完成后，需验证三边是否满足三角形三边关系； ⑤ 易错点：未确定直角边与斜边，直接套用公式，导致结果错误；勾股定理逆定理应用时，误将最长边当作直角边。 例1（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 例2（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 题型07 三角形平移、折叠基础题型 解｜题｜策｜略 1 平移问题核心性质：平移前后的图形全等，对应边平行且相等，对应角相等，对应点的连线平行且相等； 2 折叠问题核心性质：折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； 3 解题技巧： · 平移问题：利用平移的性质，将分散的线段、角转化到同一三角形中，利用三角形的性质求解； · 折叠问题：优先设未知数，利用勾股定理或全等三角形列方程求解； ④ 易错点：折叠问题中，对应边、对应角找错，或忽略折痕的性质，无法构造直角三角形求解。 例1（2025·江苏常州·中考真题）如图，在△ABC中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 例3（2025·江苏南通·中考真题）如图，将△ABC沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，将三角形沿方向平移至三角形，若，，则平移距离为 （    ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）如图，在△ABC中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知∠OAB=20°，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·江苏扬州·一模）图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    5．（2026·江苏盐城·一模）如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，等腰△ABC中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为______． 7．（2026·江苏南通·一模）如图，△ABC中，是中线，是高，，交于点． （1）__________°； （2）过点作交于点，若，则__________． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，Rt△ABC中，，点D、E分别在边和上，，，则的最小值是______． 10．（2026·江苏宿迁·二模）已知：如图，，．求证：． 11．（2025·江苏镇江·二模）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点05 几何基础与三角形 热点聚焦 方法精讲 能力突破 第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。 第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。 题型01 相交线平行线角度模型 题型02 三角形边角关系、内外角关系计算 题型03 全等三角形判定与基础证明 题型04 角平分线、垂直平分线性质 题型05 等腰、直角三角形性质 题型06 勾股定理基础运用 题型07 三角形平移、折叠基础题型 第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。 近三年：几何基础与三角形是江苏中考数学的核心几何基础模块，是后续四边形、圆、几何综合题的基石，近三年在13市中考中，整体分值占比稳定在15-22分，以基础题、中档题为主，是解答题的重要开篇考点，也是几何综合题的核心工具。 1.高频考点分布： · 相交线与平行线：角度计算、平行线的判定与性质为基础必考点，以选择、填空形式考查，占2-4分； · 三角形基础：边角关系、内外角和为必考考点，占2-3分； · 全等三角形：基础证明题高频考点，常以解答题前两题形式出现，占4-6分； · 特殊三角形：等腰、直角三角形性质与勾股定理为核心考点，占3-6分； · 角平分线、垂直平分线：性质应用与计算为高频考点，占2-4分； · 平移、折叠：图形变换与三角形结合，是中档题高频考点，占3-5分。 2.命题特点： · 基础题以课本变式为主，侧重概念、性质的直接应用； · 解答题以全等三角形证明为核心，结合特殊三角形性质考查； · 折叠、平移等图形变换题，侧重考查空间想象与数形结合思想； · 情境化试题常结合生活中的建筑、图形设计，考查几何知识的实际应用。 3.高频失分点： · 平行线的判定与性质混淆，角度模型应用错误； · 全等三角形证明时，条件不充分或判定定理用错； · 等腰三角形问题未分类讨论（边、角的两种情况）； · 勾股定理应用时，未确定直角边与斜边，或未检验三边是否满足三角形三边关系； · 折叠问题中，对应边、对应角找错，忽略折叠前后图形全等的性质。 预测2026年：2026 年本模块将继续保持稳定命题风格，更突出几何直观与推理能力： 1.基础题难度不变，仍以角度计算、三角形基础性质为主； 2.全等三角形证明题仍为解答题高频考点，可能结合特殊三角形、平行线背景； 3.折叠、平移等图形变换题的区分度增强，侧重考查图形分析与转化思想； 4.勾股定理的应用场景更丰富，结合网格、坐标系、实际问题考查的占比提升。 题型01 相交线平行线角度模型 解｜题｜策｜略 ① 核心概念速记： · 对顶角相等，邻补角互补； · 平行线的判定：同位角相等/内错角相等/同旁内角互补，两直线平行； · 平行线的性质：两直线平行，同位角相等/内错角相等/同旁内角互补。 ② 高频角度模型解题技巧： · “铅笔头” 模型：平行线内凹折线，角度和为360°； · “猪蹄” 模型：平行线内凸折线，中间角等于两侧角之和； · “锯齿” 模型：平行线多折线，奇数个拐点时，角度和为（n-1）×180°（n为拐点数） ③ 解题关键：遇到平行线+折线问题，优先过拐点作平行线，构造 “三线八角” 模型，利用平行线的性质转化角度； ④ 易错点：混淆平行线的判定与性质，导致逻辑错误。 例1（2025·江苏扬州·中考真题）如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角，先根据平行线的性质求出的度数，再根据角的和差关系和对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选C 例2（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线，正六边形的顶点A、C分别在直线a、b上，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正多边形的内角问题，平行线的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线是解题的关键． 延长与直线交于点，先求出正六边形的内角的度数，再由平行线的性质得到，然后根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：延长与直线交于点， ∵正六边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 例3（2025·江苏盐城·中考真题）七巧板具有深厚的文化底蕴，由正方形、平行四边形和大小不一的等腰直角三角形组成，小明用七巧板拼成的丹顶鹤如图所示，且过点作直线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、平行线的性质等知识，推导出是解题的关键． 由等腰直角三角形的性质得，由，得，而，则，所以，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图，和都是等腰直角三角形，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1】（2026·江苏宿迁·一模）将一副直角三角尺如图放置，已知，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先明确等腰直角三角尺的锐角、另一个三角尺的锐角，再由得内错角，最后利用三角形外角性质，算出． 【详解】解：一副直角三角尺的固定角度为：等腰直角三角尺的锐角，另一个三角尺的锐角， ∵， ∴， ∵是的外角， ∴． 【变式2】 （2026·江苏扬州·一模）如图是一款手机支架，若张角，支撑杆与桌面夹角，那么此时面板与水平方向夹角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得：，则，然后根据三角形内角和定理即可解答． 【详解】解：如图，过点D作， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）通过实验发现，凸透镜能使与主光轴平行的光线聚在主光轴上一点．如图，箭头所画的是光线的方向，点，是凸透镜的焦点，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由两直线平行，同旁内角互补得到，，再根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴． 题型02 三角形边角关系、内外角关系计算 解｜题｜策｜略 1 三角形三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；判断三条线段能否构成三角形时，只需验证 “两条较短边之和大于最长边” 即可； ② 三角形内角和与外角性质： · 内角和：三角形内角和为 180°； · 外角性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，且大于任何一个与它不相邻的内角； 2 解题技巧：遇到角度计算问题，优先用外角性质转化，简化计算；遇到含参数的三角形边长问题，利用三边关系列不等式，求参数的取值范围； ④ 易错点：三边关系应用时，未验证所有组合，或忽略 “两边之差小于第三边”；外角性质应用时，误将相邻内角当作不相邻内角。 例1（2025·江苏宿迁·中考真题）等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的周长为___________． 【答案】10 【分析】本题考查等腰三角形，分情况讨论，先利用三角形三边关系判断能否构成三角形，再计算周长即可． 【详解】解：当腰长为时，三条边长为，，，，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三条边长为，，，，能构成三角形， 周长为：， 故答案为：10． 例2（2025·江苏连云港·中考真题）下列长度（单位：）的3根小木棒能搭成三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，5，8 D．4，5，10 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系的应用，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边．只需验证每组数中较小的两数之和是否大于最大数即可． 【详解】A． 1、2、3：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； B． 2、3、4：，满足条件，能构成三角形，符合题意； C． 3、5、8：，不满足两边之和大于第三边，不符合题意； D． 4、5、10：，不满足条件，不符合题意； 故选：B． 例3（2025·江苏淮安·中考真题）若等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，根据等腰三角形两底角相等，结合三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角为， ∴另一个底角的度数也为， ∴它的顶角的度数是； 故答案为：． 【变式1】（2026·江苏扬州·一模）如图，将绕点C顺时针旋转得到，点B的对应点恰好落在边上，此时点恰好落在的延长线上，则的度数为______． 【答案】30 【分析】根据旋转可得，再根据等边对等角和三角形内角和的性质进行求解即可． 【详解】解：由旋转可得，， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）已知等腰三角形的一个角是，则底角是___________°． 【答案】40或70 【分析】根据已知角度未明确是顶角还是底角，利用等腰三角形两底角相等的性质和三角形内角和定理，分两种情况讨论即可求解． 【详解】解：分两种情况： ①当的角为顶角时， 则底角； ②当的角为底角时，底角即为； 综上所述，底角为或． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，把绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，，则________． 【答案】 【分析】根据旋转的性质得到，，则由角之间的关系可得，再根据平行线的性质推出，最后利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵将绕点按逆时针方向旋转后得到， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式4】（2026·江苏无锡·一模）已知中，，，则中线的长可以是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】通过延长中线构造全等三角形，将已知边转化到同一个三角形中，再利用三角形三边关系求出中线的取值范围，即可选出正确答案． 【详解】解：延长至点，使，连接 ∵是的中线， ∴， 又∵，， ∴， ∴ ∵， 在中，由三角形三边关系得， 代入，得： ， 即， ∴． 只有选项A的在该范围内． 【变式5】（2026·江苏南京·一模）等腰的周长是，腰长，则底边_____． 【答案】2 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，理解等腰三角形的两腰相等是解题的关键． 根据等腰三角形的定义和周长公式即可求解． 【详解】解：∵等腰的周长是，腰长， ∴底边． 此时等腰的三边长为、、，满足三角形三边关系，符合题意； ∴． 故答案为：2． 题型03 全等三角形判定与基础证明 解｜题｜策｜略 ① 全等三角形判定定理速记： · SSS（边边边）：三边对应相等； · SAS（边角边）：两边及其夹角对应相等； · ASA（角边角）：两角及其夹边对应相等； · AAS（角角边）：两角及其中一角的对边对应相等； · HL（斜边直角边）：直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等。 ② 基础证明题通用步骤： · 明确已知条件，找出图中的公共边、公共角、对顶角等隐含条件； · 确定要证明的三角形，根据已知条件选择合适的判定定理； · 按 “先列条件，再写判定定理，最后得出全等结论” 的格式书写； · 利用全等三角形的性质，推导对应边、对应角相等，解决后续问题。 ③ 解题技巧：证明时优先找公共边、公共角，再结合已知条件补充所需条件；直角三角形优先考虑HL定理； ④ 易错点：用 “SSA” 判定全等（此判定不成立），或证明过程中条件不充分，漏写关键步骤。 例1（2025·江苏淮安·中考真题）已知：如图，在和中，点D在上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据，得到，利用，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即：， 在和中， ， ∴． 例2（2025·江苏镇江·中考真题）如图，已知，边与分别交于点O，M，与交于点N，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质可得，再结合题意得到，根据即可证明． 【详解】解：， ， ， ，即， 在和中， ， ． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，在平行四边形中，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)4 【分析】（1）根据平行四边形的性质得出，， 即可得， 结合，根据“”即可证明； （2）根据平行四边形的性质得， 根据全等得， 即可解答 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中： ， ∴； （2）解：∵、交于， 四边形是平行四边形， ∴， 由（1）中全等三角形对应边相等，得， ∵， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）如图，在菱形中，点E、F分别在边上，且．连接，延长交的延长线于点G． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质，结合证明即可； （2）先证明，进而即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴， ∵ ∴； （2）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴ ∴． 题型04 角平分线、垂直平分线性质 解｜题｜策｜略 ① 角平分线的性质与判定： · 性质：角平分线上的点到角两边的距离相等； · 判定：到角两边距离相等的点，在角的平分线上； ② 垂直平分线的性质与判定： · 性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等； · 判定：到线段两端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上； ③ 解题技巧：遇到角平分线，优先过角平分线上的点向两边作垂线，构造全等三角形；遇到垂直平分线，优先连接线段两端点与垂直平分线上的点，得到等腰三角形； ④ 易错点：应用角平分线性质时，忽略 “点到角两边的距离” 必须是垂线段，误将斜线段当作距离。 例1（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，，平分，，E为垂足，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含30度角的直角三角形的性质，角平分线的性质，解直角三角形，设，根据含30度的直角三角形的性质，得到，根据角平分线的性质，结合同高三角形的面积比等于底边比，得到，进而求出的长，勾股定理求出的长，等角的正弦值相等，得到，求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， 设，则：， ∵平分，， ∴点到的距离相等均为的长，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即：， ∴， ∴； 故选：A． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，对角线的垂直平分线与边，分别相交于点，． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，平分，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明得到，根据得到，那么可得四边形是平行四边形，再由线段垂直平分线的性质得到，即可证明其为菱形； （2）根据菱形的性质结合已知条件证明，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵对角线的垂直平分线是， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：如图， ∵平分， ∴， ∵菱形， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，菱形的判定，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 例3（2025·江苏连云港·中考真题）如图，在中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，则的周长为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，由线段垂直平分线的性质可得，，再由三角形的周长公式计算即可得解，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴的周长为， 故选：C． 【变式1】（2026·江苏苏州·模拟预测）如图，在四边形中，，点E在上，，，垂足为F． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若平分，，求和的长． 【答案】(1)见解析 (2)4，3 【分析】（1）由题意易得，然后问题可求证； （2）由（1）及题意易得，然后由可进行求解问题． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：由（1）可得四边形是平行四边形， ∴， ∵，平分，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏连云港·模拟预测）如图，在锐角中，，的垂直平分线分别交、于点D、E，的垂直平分线分别交、于点F、G，，则的周长为（） A．9 B．10 C．7 D．8 【答案】A 【分析】根据线段垂直平分线的性质可得，，据此即可求解． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴的周长． 【变式3】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在扇形中，，，点C在上，连接，垂直平分交于点D，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂直平分线的性质易证是等边三角形，进而得出，再利用弧长公式求解即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 的长度为． 【变式4】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，点D、E分别为、的中点，连接，相交于点O．求证：点O在的垂直平分线上． 【答案】证明见解析 【分析】利用等腰三角形的性质可得， 结合已知可证，利用全等三角形的性质可得，即可证，从而证明点O在的垂直平分线上． 【详解】证明：∵， ， ∵点D、E分别为、的中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， 则点O在的垂直平分线上． 题型05 等腰、直角三角形性质 解｜题｜策｜略 ① 等腰三角形核心性质： · 等边对等角，等角对等边； · 三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合； · 分类讨论：等腰三角形的边分为腰和底，角分为顶角和底角，未明确时需分情况讨论，且需满足三角形三边关系和内角和； ② 直角三角形核心性质： · 两锐角互余； · 斜边上的中线等于斜边的一半； · 30° 角所对的直角边等于斜边的一半； ③ 解题技巧：等腰三角形问题优先考虑三线合一，构造直角三角形；直角三角形问题优先找斜边中点，利用斜边上的中线性质； ④ 易错点：等腰三角形问题未分类讨论，或分类后未验证是否满足三角形内角和与三边关系；直角三角形中，误将非直角边当作斜边应用性质。 例1（2025·江苏南京·中考真题）若等腰三角形的周长为12，则它的腰长可以是____________．（写出一个即可） 【答案】5（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质及三角形三边关系，熟知等腰三角形的性质及三角形三边关系是解题的关键．可令等腰三角形的腰长为，底长为，结合等腰三角形的性质及三角形三边的关系即可解决问题． 【详解】解：设腰长为，底长为， 则， ∴． 根据三角形三边的关系可知，， 解得：， 又，即， 解得：， ∴， 故答案为：5（答案不唯一）． 例2（2025·江苏扬州·中考真题）在如图的房屋人字梁架中，，点在上，下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三线合一，根据三线合一，进行判断即可． 【详解】解：当时， ∵点在上， ∴， ∴， ∴；故选项A不符合题意； ∵， ∴，不能得到；故选项B符合题意； ∵， ∴当或平分时，；故选项C，D均不符合题意； 故选B 例3（2025·江苏南通·中考真题）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构．如图是屋架设计图的一部分，是斜梁的中点，立柱垂直于横梁．若，，则的长为_____________． 【答案】1.2 【分析】本题考查了含角的直角三角形，根据含角的直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵E是斜梁的中点，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：1.2． 例4（2025·江苏常州·中考真题）如图，在菱形中，、是对角线，．若，则的长是（   ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查的是菱形的性质，含角的直角三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握菱形的性质． 根据菱形的性质可得， ，根据含角的直角三角形的性质即可求得的长，从而得到结果． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴， ， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 例5（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是______． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 【变式1】（2026·江苏南京·模拟预测）如图，在中，，D是上一点，过点D作交于点E，交于点F．若，，则四边形的面积为______． 【答案】 【分析】利用和相似可得，再利用等腰直角三角形的判定和性质、勾股定理进行求解即可． 【详解】解：过点作于点， ，， ，，四边形为平行四边形， ，， ， ， ， 在中，，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ 解得， ， ∵， ∴． 【变式2】（2026·江苏盐城·一模）将直角三角板按如图位置摆放，顶点B落在直线上，顶点A落在直线上，若，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直角三角形的两个锐角互余及角的和与差即可求出，再利用平行线的性质可求出即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 【变式3】（2026·江苏无锡·一模）如图，中，，，，对角线相交于点O．过点B作的平行线，交的延长线于点E，连接，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作于点，利用解直角三角形求出相关线段的长度，利用勾股定理的逆定理得出，证明四边形为矩形，最后利用勾股定理以及直角三角形斜边中线定理进行求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，， ∴， ， ∴， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， 又∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴． 【变式4】（2026·江苏扬州·一模）如图，点C在直径的延长线上，与半圆O相切于点D，，，则弧的长度为________．（结果保留） 【答案】/ 【分析】由切线的性质得到，从而得到，根据直角三角形的性质得到，再利用弧长公式即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵与半圆相切， ∴， ∵，， ∴，， ∴的长度． 题型06 勾股定理基础运用 解｜题｜策｜略 1 勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，即a2+b2=c2（其中c为斜边，、为直角边）； 2 勾股定理的逆定理：若三角形三边满足a2+b2=c2，则该三角形为直角三角形； ③ 基础应用场景： · 已知两边求第三边； · 已知一边和特殊角（30°、45°），求其他边； · 网格中求线段长度，利用勾股定理构造直角三角形； · 勾股数的识别，如 3、4、5；5、12、13；7、24、25 等； 3 解题关键：应用勾股定理前，先确定哪个角是直角，区分直角边与斜边；计算完成后，需验证三边是否满足三角形三边关系； ⑤ 易错点：未确定直角边与斜边，直接套用公式，导致结果错误；勾股定理逆定理应用时，误将最长边当作直角边。 例1（2025·江苏镇江·中考真题）小方根据我国古代数学著作《九章算术》中的一道“折竹”问题改编了一个情境：如图，一根竹子原来高1丈（1丈尺），折断后顶端触到墙上距地面9尺的点处，墙脚离竹根处3尺远．请你解答：折断处离地面多高？ 【答案】5尺 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理的应用是解题关键．过点作于点，先证出四边形是矩形，则可得尺，，再设尺，则尺，尺，在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意得：，尺，尺，尺， ∴四边形是矩形， ∴尺，， 设尺，则尺，尺， 在中，由勾股定理得：，即， 解得， 即尺， 答：折断处离地面5尺． 例2（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为____________ ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 例3（2025·江苏宿迁·中考真题）已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为___________． 【答案】 【分析】考查圆锥侧面积的计算，勾股定理，熟记侧面积计算公式是解题的关键． 根据已知和勾股定理求出母线的长，再根据圆锥侧面积公式即可求解． 【详解】解：由题意得母线长为， ∴其侧面积为， 故答案为：． 【变式1】（2026·江苏无锡·二模）如图，是的直径，垂直平分交于，两点，，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，根据垂径定理，勾股定理计算圆的半径，利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，连接，，设、的交点为， ∵是⊙的直径，垂直平分交⊙于C，D两点， ∴，，， ∴四边形是菱形，， ∴， ∵，， ∴是等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴． 【变式2】（2026·江苏扬州·一模）图1是由6个全等的正方形组成的图形，每个小正方形的边长为1，则图2中线段长度最接近的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理计算出各条线段的长度，再估算出每条线段长度的范围，即可得出结果． 【详解】解：由题意可得：，，，， ∵，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴线段长度最接近的是． 【变式3】（2026·江苏扬州·一模）如图，的对角线，相交于点O，点E是的中点．若，，的周长为32，则的周长为______． 【答案】12 【分析】根据平行四边形的性质和周长得出相等的边，求出，利用勾股定理求出，证明是的中位线，得出，最后可求出三角形的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为32， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∵点E是的中点，点是的中点， ∴是的中位线，， ∴， ∴的周长为． 题型07 三角形平移、折叠基础题型 解｜题｜策｜略 1 平移问题核心性质：平移前后的图形全等，对应边平行且相等，对应角相等，对应点的连线平行且相等； 2 折叠问题核心性质：折叠前后的图形全等，对应边相等，对应角相等，折痕是对应点连线的垂直平分线； 3 解题技巧： · 平移问题：利用平移的性质，将分散的线段、角转化到同一三角形中，利用三角形的性质求解； · 折叠问题：优先设未知数，利用勾股定理或全等三角形列方程求解； ④ 易错点：折叠问题中，对应边、对应角找错，或忽略折痕的性质，无法构造直角三角形求解。 例1（2025·江苏常州·中考真题）如图，在中，，D是边上一点，将沿翻折得到使线段、相交于点F，若，，则________． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，勾股定理，翻折的性质，熟练作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点作于点，由，设，则，结合，求出，，由翻折得，设，则，，在中，利用，求解即可． 【详解】解：过点作于点， ∴， 设，则， ∴， 得， 则，， 由翻折得， 设， 则，， 在中，， 即， 解得：， 即， 故答案为：． 例2（2025·江苏苏州·中考真题）如图，在正方形中，E为边的中点，连接，将沿翻折，得到，连接，则下列结论不正确的是（   ） A． B． C．的面积的面积 D．四边形的面积的面积 【答案】D 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等．过点作，分别交、于点、，由折叠的性质得，求得，推出，由是的外角，可求得，即可判断选项A；设，，则，，证明，利用相似三角形的性质列式求得，求得，，，再根据勾股定理和三角形面积公式求得即可判断其余选项． 【详解】解：过点作，分别交、于点、， 由折叠的性质得，， ∵E为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∵正方形， ∴，， 设， ∵E为边的中点， ∴， 由折叠的性质得，，， ∵， ∴四边形和为矩形， ∴，， 设，则，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴，，， ∴，， ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵的面积，的面积， ∴的面积的面积，故选项C正确，不符合题意； ∵四边形的面积等于的面积的面积， 的面积， ∴四边形的面积的面积，故选项D不正确，符合题意； 故选：D． 例3（2025·江苏南通·中考真题）如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】A 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点．平移的距离为的长度， 又∵，， ∴． 故选：． 【变式1】（2026·江苏南通·模拟预测）如图，将三角形沿方向平移至三角形，若，，则平移距离为 （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移性质得，再根据， 求得线段的长即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移至三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平移距离为． 【变式2】（2026·江苏宿迁·一模）如图，在正方形中，，E是中点，连接，将沿翻折得到，连接、，则______． 【答案】 【分析】如图，过点F作交于点M，交于点N，设，则，证明出，表示出，然后利用勾股定理求出，进一步利用勾股定理求解． 【详解】解：如图，过点F作交于点M，交于点N ∵四边形是正方形 ∴， ∵E是中点 ∴ 设，则 由折叠得，，， ∴ ∵ ∴四边形是矩形 ∴， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴在中， ∴ ∴或（舍去） ∴， ∴． 【变式3】（2026·江苏徐州·一模）如图，在中，，将点A沿折叠，恰好可以落在点B处，则_____． 【答案】 【分析】先由勾股定理求解，然后根据折叠的性质得到，再设，对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：∵ ∴ 由折叠得， 设，则 ∵ ∴ ∴， 解得 ∴． （20分钟限时练） 1．（2026·江苏扬州·一模）如图，A、B、C是圆O上的三点，已知∠OAB=20°，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，先根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理可得的度数，再根据圆周角定理即可得． 【详解】解：如图，连接， ， ， ， ∴． 2．（2026·江苏无锡·模拟预测）如图，，在边上，，，交于，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到，求出和的度数，得出计算即可； 【详解】解：，，， ，，， ， ， ， ． 3．（2026·江苏盐城·一模）如图，在菱形中，对角线与交于点，垂足为，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据菱形的性质以及直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（2026·江苏扬州·一模）图1为中式传统建筑中的一种窗格，其外窗框为正八边形，图2正八边形为其外窗框的示意图，连接，，与交于点M， ________°．    【答案】45 【分析】分别求出等腰三角形和等腰三角形的底角，再通过的内角和求出，最后利用邻补角关系求得的度数． 【详解】解： 八边形为正八边形， ， ， 为等腰三角形， ， ， 为等腰三角形， ， 与交于点， 在中，，， ， 点，， C在同一直线上， ． 5．（2026·江苏盐城·一模）如图，已知点，将线段OA绕点A逆时针旋转90°至，则点的坐标是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化﹣旋转，熟知图形旋转的性质及全等三角形的判定与性质是解题的关键．过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M，利用全等三角形的判定与性质结合点的坐标即可解决问题． 【详解】解：过点A作y轴的平行线，交x轴于点N，再过点作的垂线，垂足为M， 由旋转可知，，， ∴． 又∵，轴， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为． 6．（2025·江苏扬州·一模）如图，等腰中，，，将沿其底边中线向下平移，使的对应点满足，则平移前后两三角形重叠部分的周长为______． 【答案】 【分析】设交于，设交于，根据三角形内角和定理以及等腰三角形三线合一，可知，以及，然后利用30度所对的直角边等于斜边的一半，求得，从而得到和，利用，，求得，，接着利用勾股定理，求得，最后计算出印象部分周长即可． 【详解】解：设交于，交于，如图所示： ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理可得到， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一，平行线的性质，勾股定理，三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 7．（2026·江苏南通·一模）如图，中，是中线，是高，，交于点． （1）__________°； （2）过点作交于点，若，则__________． 【答案】 60 【分析】（1）首先，取的中点G， 连接，根据是的中线，是的高， 得到，， 是的中位线，，  再根据， 得到，进而得，即可得出的度数； （2）由(1)知，， 设，则，， 再证得， 得到，即， 解方程并检验即可得出答案． 【详解】（1）解：如图1，取的中点G， 连接， ∵是的中线，是的高， ∴，， ∴， ∵的中点为G，是的中线， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2，由（1）知，， 设，则，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得，(舍去)， 经检验，是原方程的解， ∴． 8．（2026·江苏泰州·一模）如图，将正方形放在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴上，点C，D在第一象限内．若点A的坐标为，正方形的面积为5，则点C的坐标________． 【答案】 【分析】先根据正方形面积求出边长，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后确定点的坐标． 【详解】解：如图，过点作轴于点， ∵点A的坐标为， ∴， ∵正方形的面积为5， ∴，， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴则点C的坐标为． 9．（2026·江苏南京·模拟预测）如图，Rt△ABC中，，点D、E分别在边和上，，，则的最小值是______． 【答案】 【分析】设，得出，勾股定理表示出，转化为平面内一点到和点的距离的和，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：设， ， ， ， ， 即表示点到点和点的距离的和， 如图： 当在线段上时，取得最小值，最小值为的长． 10．（2026·江苏宿迁·二模）已知：如图，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】根据证明，得，进而可得结论． 【详解】证明：在和中， ， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 11．（2025·江苏镇江·二模）如图，，点D在边上， 和相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． （1）根据，可得； （2）由（1）可知：，结合，等量代换可得，进而可证，进而可证明． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）证明：由（1）可知：， ∵， ∴， ∴， ∴，                                     在和中， ， ∴． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $