精品解析：山东聊城市2026年高考模拟试题数学(二)

聊城市2026年高考模拟试题 数学（二） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线过抛物线的焦点，与 交于、 两点，线段 的中点为， 的垂直平分线交轴于，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 已知，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（ ） A. B. C. D. 8. 数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（ ） A. 若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B. 从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C. 根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D. 若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 10. 设函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，方程在区间上所有实根的和为 11. 已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，且，则的最小值为 B. 若，且，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为______． 13. 如图，线段， 和 为其三等分点，为半圆 上一动点，为等边三角形，则和面积之和的最大值为______． 14. 已知、，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程､演算步骤． 15. 某夏令营在 区域内活动，三个内角满足． （1）求的最小值； （2）夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从 点出发准时到达点的概率为，小红从 点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 16. 已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交 于、 两点，当与轴垂直时，． （1）求双曲线 的方程； （2）在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 17. 在梯形中，，，、分别是、 的中点，，，如图1所示．沿将梯形折起，得到一个多面体，如图2所示． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为， ①求多面体的体积； ②求直线与平面所成角的正弦值． 18. 记数列的前项和为，若满足，，且． （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 19. 设函数， （1）若有极值点、无零点，求的取值范围； （2）若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； （3）设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城市2026年高考模拟试题 数学（二） 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号等填写在答题卡的相应位置上． 2．回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，只将答题卡交回． 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得两边同时加 1，得 所以 又 因此集合中落在区间内的元素只有 故 所以正确选项是A. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】， ， 3. 已知直线，，且，则与的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 4. 已知正数满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可知要么都大于，要么都在内，再由分类讨论和两种情况，分别比较的大小，最后判断与的大小关系. 【详解】因为所以：若，则； 若，则，同理由可知与要么都大于，要么都在内， 因此，满足以下两种情况之一：；. 下面分类讨论： 情况一：， 此时，所以， 由得 因为，所以 又因为 ，故从而 由于时，函数单调递增，所以即 情况二：， 此时 ，所以 . 由得 因为，两边同除以 时不等号方向改变，故 又因为，所以从而 由于时，函数单调递减，所以即 综上，无论哪种情况，都有 所以正确选项是D. 5. 已知直线过抛物线的焦点，与交于、两点，线段的中点为，的垂直平分线交轴于，则的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设点、，可得，，利用点差法可求得直线的斜率，根据可得出的值. 【详解】设点、，易知直线的斜率存在，且，， 若直线轴，则线段的垂直平分线为轴，不符合题意， 所以直线的斜率存在且不为零， 则，作差得， 故直线的斜率为， 因为，且，所以，解得. 6. 已知，且满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量的线性运算及向量数量积的运算律求解即可. 【详解】设的中点为，如图 则，且 因为, 所以 ， 当同向共线时，等号成立. 7. 已知，函数在区间内恰有三条对称轴和两个极大值点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对称轴对应相位，极大值点对应相位，因此只需研究当时，相位所扫过的区间内，落入多少个和多少个. 【详解】令， 当时，的取值范围取决于的符号， 当时， ， 当时， ， 1. 对称轴与极大值点的判定： 函数转化为， 的对称轴对应， 的极大值点对应 题意即为：区间内恰有个形如的点，且恰有个形如的点. 2. 先判断的符号： 若则， 由于左端点大于，若区间内恰有三条对称轴， 则只能是这三个点落在区间内， 这时极大值点只可能有这一个，不可能有两个极大值点，与题意矛盾,故必有 于是，记左端点为， 3. 利用“三条对称轴”和“两个极大值点”列条件： 因为要使区间内恰有三条对称轴，只能对应， 这三个点在区间内，而不在区间内， 所以，这时区间内的极大值点对应恰好有两个，也满足题意. 因此只需求解， 两边同除以，得， 即，再乘以，得. 8. 数列共有项，其中，，且，则满足这种条件的不同数列的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分析可得或，记，，设，求出的值，再利用组合计数原理可得结果. 【详解】由可得， 所以或，记，， 因为，，设， 即，整理可得，所以，解得， 所以从变化到的过程中，需要乘个，个， 由组合计数原理可知，满足这种条件的不同数列的个数为. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 某医学研究团队为探究新型降压药的疗效与患者年龄的关联，将120名高血压患者按年龄分为“中青年组（<60岁）”和“老年组（岁）”，记录用药后的疗效（“有效”“无效”），得到如下列联表： 患者 疗效 总计 有效 无效 中青年组 10 40 50 老年组 40 30 70 总计 50 70 120 附：，其中． 0.10 0.05 0.025 0.01 2.706 3.841 5.024 6.635 则下列说法中正确的有（ ） A. 若在“老年组”中按疗效分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，则至少抽到1名“无效”患者的概率为 B. 从所有患者中随机抽取1人，设事件“该人在中青年组”，事件“该药对此人有效”，则事件A与B相互独立 C. 根据小概率值的独立性检验，认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过 D. 若将列联表中“中青年组有效”的人数改为15，“中青年组无效”的人数改为35，则所得值比原值大 【答案】AC 【解析】 【分析】选项A，用分层抽样先确定抽出的“有效”和“无效”人数，再做组合概率；选项B，用独立事件定义检验是否等于；选项C，计算列联表的值，与临界值比较；选项D分别计算修改前后的值大小. 【详解】选项A，老年组中有效与无效的人数比为 按疗效分层抽样抽取7人，则应抽到：4人有效，3人无效， 再从这 7 人中随机抽取 2 人，至少抽到 1 名无效患者的概率为所以 A 正确； 选项B，设事件：表示“该人在中青年组”，事件：表示“该药对此人有效”， 则而 若相互独立，则应有 显然所以事件与不相互独立，B 错误； 选项C，由题中列联表， 所以 即 因为所以根据小概率值的独立性检验， 可以认为“降压药疗效与患者年龄有关”，且该推断犯错误的概率不超过，所以C正确； 选项D，若将“中青年组有效”改为 15，“中青年组无效”改为 35， 则新列联表中 此时 即，而原来的 所以修改后的值比原来的小，D 错误. 10. 设函数，则（ ） A. 函数的最小正周期为 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在区间上单调递增 D. 当时，方程在区间上所有实根的和为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先利用以及余弦函数的偶函数的性质判断周期和对称性，再求导讨论单调性.最后把方程转化为关于的方程，再列出区间内的全部根并求和. 【详解】因为且 都是偶函数， 所以 故是函数的一个周期. 又 所以的最小正周期不是，而是.因此A错误. 对于B，任取， ， 由余弦函数的性质可得所以函数的图象关于直线对称，B正确. 对于C，因为， 所以 当时， 从而 于是故函数在区间上单调递增，C正确. 对于 D，令则方程化为即 因为且 所以在区间 上，方程只有唯一解 设则 于是 在区间内，方程的解为 方程的解为 故区间内全部实根为 这些根的和为 ， 所以D正确. 综上，正确选项为BCD. 11. 已知棱长为的正四面体，为的中心，为平面内的动点，为棱上一动点，则下列说法正确的是（ ） A. 若平面，且，则的最小值为 B. 若，且，则的最小值为 C. 若，则的最小值为 D. 的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】过点作交于点，过点作交于点，连接，推导出平面平面，推导出为点的轨迹，可求出的最小值，可判断A选项；推导出平面，则点的轨迹为线段，可求出长的最小值，可判断B选项；过点作分别交、于点、，连接、、，推导出平面，可知点的轨迹为线段，当时，的长取最小值，可判断C选项；延长交线段于点，推导出平面平面，可知点关于平面、关于直线的对称点都在平面内，结合“将军饮马”思想求出长的最小值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，过点作交于点，过点作交于点，连接， 因为，平面，所以平面，同理可证平面， 又因为，、平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面， 当时，平面，则平面，故点的轨迹为线段， 因为，所以，则，同理可得， 又因为，，则是边长为的等边三角形， 当点为的中点时，，此时的长取最小值， 此时，A对； 对于B选项，如下图所示，连接、， 易知、都是边长为的等边三角形，且为的中点， 所以，， 又因为、平面，，所以平面， 当时，平面，则，故点的轨迹为线段， 由勾股定理可得，同理可得， 故当为的中点时，，此时的长取最小值，且，B对； 对于C选项，过点作分别交、于点、，连接、、， 因为为正的中心，则，因为，则， 因为三棱锥为正四面体，则平面， 因为平面，所以， 因为，、平面，所以平面， 当时，则平面，所以，故点的轨迹为线段， 延长交于点，则为的中点，因为为正的中心，则， 因为，所以，故， 由余弦定理可得， 故，同理可得， 由余弦定理可得， 所以， 当时，的长取最小值，此时， 故长的最小值为，C错； 对于D选项，如下图所示： 延长交线段于点，则点为线段的中点， 因为、均为等边三角形，所以，， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 故点关于平面、关于直线的对称点都在平面内， 因为平面，平面，所以， 易知， ， 设点关于直线、的对称点分别为、， 由对称性可知，，， 所以 ， 在中，，， 由余弦定理可得， 所以， 由余弦定理可得， 故， 由对称性知，， 所以， 当且仅当、为线段分别与线段、的交点时，等号成立， 故的最小值为，D对. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的单调递减区间为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 13. 如图，线段，和为其三等分点，为半圆上一动点，为等边三角形，则和面积之和的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】设，其中，将、用含的三角函数式加以表示，再利用三角恒等变换结合正弦型函数的有界性可求得结果. 【详解】设，其中， 因为，和为其三等分点，则，， 由余弦定理可得， 所以， ， 所以， 因为，所以，故当时，即当时， 和面积之和取最大值. 14. 已知、，动点满足：以为直径的圆与圆相切，若的外接圆的面积是其内切圆面积的倍，则的面积为______． 【答案】## 【解析】 【分析】设为线段的中点，利用圆与圆内切结合椭圆的定义可求得点的轨迹方程，设，利用余弦定理结合三角形的面积公式可得出，可求出内切圆的半径，利用正弦定理求出外接圆半径，结合题意求出的值，即可得出的面积. 【详解】设为线段的中点，又因为（坐标原点）为的中点，所以， 易知点在圆内，所以以线段为直径的圆内切于圆， 所以，所以，即， 可得， 所以点的轨迹是以点、为焦点，且长轴长为，焦距为的椭圆（除去长轴端点）， 设该椭圆的短半轴长为，则，，所以， 故点的轨迹方程为. 设，设，，则， 由余弦定理可得 ， 所以，所以， 设的内切圆、外接圆半径分别为、，由题意可知，则， 因为， 所以， 由正弦定理可得，故， 因为，即，即， 整理可得， 又因为，可得， 又因为，则，故， 所以， 所以，解得，则， 此时. 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明､证明过程､演算步骤． 15. 某夏令营在区域内活动，三个内角满足． （1）求的最小值； （2）夏令营活动组织者要求在点集合，设小明从点出发准时到达点的概率为，小红从点出发准时到达点的概率为，两人是否准时到达点互不影响，已知两人中有且仅有一人准时到达点的概率为0.52，至少有一人准时到达点的概率为0.76，求的值． 【答案】（1） （2）0.2 【解析】 【分析】（1）先设三边，利用正弦定理把角条件转成边的关系，再代入余弦定理表示出 ，最后用基本不等式求最小值。 （2）按独立事件的概率公式列方程组，先求出 和 ，再由,求出 . 【小问1详解】 设的内角的对边分别为 由，根据正弦定理，得，即， 由余弦定理，得， 因为，所以， 当，即时，上式等号成立， 此时，，于是，， 因此，的最小值为． 【小问2详解】 设事件“小明准时到达A点”，事件“小红准时到达A点”，则，． 由题意，即， 化简，得①, ，即， 化简，得②,由①②，得， 所以．故的值为0.2． 16. 已知双曲线的渐近线方程为，过点且与轴不重合的动直线交于、两点，当与轴垂直时，． （1）求双曲线的方程； （2）在轴上是否存在一定点，使为定值，若存在，求出的坐标及的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点，定值为 【解析】 【分析】（1）根据已知条件可得出关于、的方程组，解出、的值，即可得出双曲线的方程； （2）根据题意设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，化简的表达式，根据为定值可得出关于的等式，解出的值，即可得出结果. 【小问1详解】 由的渐近线方程为，得①， 由，根据双曲线的对称性，不妨设，则②， 由①②得，，所以双曲线的方程为． 【小问2详解】 根据题意设直线的方程为， 将的方程代入双曲线方程，得， 且， 设点、，由韦达定理得，， 假设存在满足题意， 则 要使为定值，则上式需与无关，则，解得，此时． 所以存在点使得为定值，定值为． 17. 在梯形中，，，、分别是、的中点，，，如图1所示．沿将梯形折起，得到一个多面体，如图2所示． （1）求证：平面； （2）若二面角的大小为， ①求多面体的体积； ②求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明：翻折前，在梯形中，，且、分别是、的中点， 所以为梯形的中位线，所以， 因为，所以，． 翻折后，则，所以，， 因为，、平面，所以平面. （2）①；② 【解析】 【分析】（1）证明出，，结合线面垂直的判定定理可证得结论成立； （2）①连接、，取中点，连接，取线段的中点，连接、，分析可知二面角的平面角为，进而推导出平面，平面，则到平面的距离等于，再利用锥体的体积公式可求得多面体的体积； ②以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过与平行的直线为轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①连接、，取中点，连接， 取线段的中点，连接、， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面， 因为平面，所以， 故二面角的平面角为， 因为平面，、平面，所以，， 因为，所以， 又因为，所以，故， 所以为等边三角形， 因为为的中点，所以， 因为，、平面，所以平面． 因为，平面，平面，所以平面， 故点到平面的距离等于， 所以， ， 因此多面体的体积 ②因为平面，以为坐标原点，所在直线为轴， 所在直线为轴，过与平行的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 则、、、， 所以，，． 设平面的一个法向量为，则， 取，可得， ， 所以与平面所成角的正弦值为． 18. 记数列的前项和为，若满足，，且． （1）求证：是等差数列，并求的通项公式； （2）设，为数列的前项和，若，，不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） 由①，得②， ②−①得③，则④， ④−③得，即， 所以是等差数列， （2） 【解析】 【分析】（1）由，得，将这两个等式作差结合等差中项法可证得结论成立，在等式中令，可求出的值，结合可求得该数列的公差，再利用等差数列的通项公式可求得数列的通项公式； （2）求得，利用裂项求和法可求得的表达式，得出，结合题意得出对恒成立，于是得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 设其公差为， 由，得，所以． 因为，所以公差， 所以． 【小问2详解】 ， 所以． 由对恒成立，得，即． 设，由对恒成立， 得，解得或，故的范围为． 19. 设函数， （1）若有极值点、无零点，求的取值范围； （2）若的图象在区间内存在两条互相垂直的切线，求的取值范围； （3）设，若方程有两个实数根、，且，求证：，且． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，结合函数极值点的定义可得出实数的取值范围，求出该函数的极小值，根据函数无零点可得出关于的不等式，综合可解得实数的取值范围； （2）分析可知，存在、使得，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，可得出，即可解出实数的取值范围； （3）分析可知，证明出，可得出，所以，再证明出，即可得出，再结合不等式的基本性质可证得结论成立. 【小问1详解】 因为，则， 当时，，此时函数在上单调递增，函数无极值点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 此时函数在上单调递减，在上单调递增， 则函数有极小值点，故的极小值为， 因为函数无零点，所以，即，即，解得， 综上，的取值范围为． 【小问2详解】 由的图象在区间内存在两条互相垂直的切线， 可知存在、使得． 当，则，不符合题意． 当时，在上单调递增． 所以在内的值域为． 所以，由题意可得， 整理可得，解得， 因此，的取值范围为． 【小问3详解】 设，则， 因为，所以． 当时，，在上单调递增，不符合题意，所以． 由，得． 设，则，所以在上单调递增． 又因，所以， 所以，所以， 所以，所以， 设，则， 因为当时，，所以在上单调递减， 又因为，所以当时，，即． 因为，所以，即， 又因，所以，所以， 又因为，，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $