精品解析：广东佛山市新质高中联盟2025-2026学年第二学期高一年级期中联考试卷数学学科

2025学年第二学期新质高中联盟高一年级期中联考试卷 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 4 D. 9 3. 已知复数，复数的虚部为（ ） A. B. 3i C. 3 D. 4. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 已知为锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图所示，中为重心，过点，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量平行的一个单位向量为 C. 若与所成角为锐角，则 D. 与的夹角为 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点中心对称 D. 存在，使得成立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则______． 13. 已知单位向量，满足，则______． 14. 如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 16. 如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，． （1）求； （2）用向量方法证明：； （3）若线段上一动点P满足，试确定点P的位置． 17. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求． 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 19. 在中，角A，B，C对应边为，，，满足 （1）求的大小； （2）（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期新质高中联盟高一年级期中联考试卷 数学学科 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角正弦函数的定义即可求解. 【详解】由题意有， 所以. 故选：A. 2. 已知向量，，若，则实数（ ） A. B. C. 4 D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】由题设及，则，可得. 3. 已知复数，复数的虚部为（ ） A. B. 3i C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法对复数进行化简，确定其虚部即可. 【详解】. 所以复数的虚部为. 故选：D. 4. 已知平面向量，，则向量在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】，，，向量在上的投影向量为. 5. 已知为锐角，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用同角三角函数关系求出和，再根据正切的二倍角公式代入求解即可． 【详解】因为为锐角，且， 所以，则， 所以． 6. 如图所示，中为重心，过点，，，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】设，根据题意， 因为，，三点共线，则存在，使得， 即，即， 所以，整理得，所以. 7. 设的面积为，角、、所对的边分别为、、，且，若，则此三角形的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等边三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】B 【解析】 【分析】由余弦定理可得出的值，由平面向量数量积的定义以及三角形的面积公式化简得出的值，结合三角形内角的取值范围得出、的值，进而可得出角的值，即可得出结论. 【详解】因为，所以， 因为，故， 因为，即， 即，化简得， 因为，故，可得，则，故， 因此，为直角三角形， 故选：B. 8. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】， 所以或， 即或. 由于，故. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知向量，，则（ ） A. B. 与向量平行的一个单位向量为 C. 若与所成角为锐角，则 D. 与的夹角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A，可通过计算与的模来判断；选项B，根据单位向量的定义求出与平行的单位向量；选项C，根据向量所成角为锐角的条件列出不等式求解的取值范围；选项D，利用向量的夹角公式求出与的夹角. 【详解】，，故，所以A正确； ，与平行的单位向量为，为，所以B正确； ，， 若向量所成角为锐角，则且两向量不共线， 即，解得， 当时，，不满足夹角为锐角，所以C错误； ，， 所以， 因为，所以，所以D正确. 10. 下列各式中，计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】对于A，，所以A正确， 对于B，，所以B正确， 对于C，，所以C错误， 对于D， ，所以D正确. 11. 设函数，若在区间上具有单调性，且，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 图象关于直线对称 C. 图象关于点中心对称 D. 存在，使得成立 【答案】AB 【解析】 【分析】由题意可判断出，判断A;根据，确定对称轴，对称中心，判断BC；，，判断D. 【详解】若在区间上具有单调性，则，则， 又，则， 因为， 所以一条对称轴为，一个对称中心横坐标为， 对称中心为， 则，所以，， 所以对称轴为，对称中心为， 对于A，，故A正确； 对于B，当时，对称轴为，故B正确； 对于C，假设图象关于点中心对称，则，此时，不符合题意，故C错误； 对于D，，，则，， 若，则 则，则， 故在，不存在使得成立，故D错误， 故选：AB. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数的乘法运算化简，再根据复数模的计算公式求解即可． 【详解】， 则． 13. 已知单位向量，满足，则______． 【答案】 【解析】 【分析】由已知可求得，进而利用可求模. 【详解】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在大三角形中共有10个网格点，相邻网格点间的距离均为1，从中选取三个不同的网格点A，B，C，则的最大值与最小值的和为________． 【答案】## 【解析】 【分析】在图形中找出使向量 在向量 上的投影取得最大值的位置，结合平面向量数量积公式计算求解. 【详解】 因为，所以取最大同时在上投影最大，则取得最大值， 如图所示，当 分别是最大的正三角形底边的端点， B 点是 C 点上方且紧靠 C 的一点时， 最大，且在向量上的投影也达到最大值, 所以此时取得最大值，最大值为； 因为，取最大同时在上投影最小，则取得最小值， 当 分别是最大的正三角形的底边的端点，且 A 点是 之间的一点时， ，此时 达到最小值． 综上所述的最大值与最小值的和为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知复数，复数在复平面内对应的向量为． （1）若为纯虚数，求的值； （2）若在复平面内对应的点在第四象限，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用复数的几何意义得，再利用复数的运算，得到，即可求解； （2）利用复数的运算，结合条件有，即可求解. 【小问1详解】 因为复数在复平面内对应的向量为，则， 又，则， 由题有，解得，所以的值为. 【小问2详解】 因为， 由题有，解得，所以的取值范围为. 16. 如图，在中，已知，，，E，F分别为，上的点，且，． （1）求； （2）用向量方法证明：； （3）若线段上一动点P满足，试确定点P的位置． 【答案】（1） （2） 因为，所以， 所以， 则，即. （3）是线段的中点 【解析】 【分析】（1）记，利用向量的线性运算将表示为的关系式，再利用向量的数量积运算即可得解； （2）将表示为的关系式，从而利用向量的数量积运算计算即可得证； （3）利用向量的中点性质与共线定理即可得解. 【小问1详解】 依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 17. 已知函数，． （1）求函数的最小正周期； （2）若，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换先化简得到，再由正弦型函数的周期公式求解即可； （2）由得，再由构建关系，最后结合二倍角公式即可求解． 【小问1详解】 由题意得 ， 所以函数的最小正周期为. 【小问2详解】 由（1）得，， 则，即， 所以 . 18. 已知函数，其图象相邻两条对称轴之间的距离为，且经过点． （1）求函数的解析式； （2）当，方程有解，求实数的取值范围； （3）若方程在区间上恰有三个实数根，且，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得，求出周期，再利用周期公式可求出，然后将点代入中可求出的值，从而可求出函数解析； （2）求得，则将问题转化为有解，然后由求出的范围，从而可求出实数的取值范围； （3）设，则将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，然后结合正弦函数的图象可求出的范围，从而可求出，进而可求出的取值范围． 【小问1详解】 设的最小正周期为，由题意得，得周期， 所以，得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点，所以，得， 因为，所以， 故． 【小问2详解】 ， 即有解， 由，得， 所以，所以， 所以，即． 【小问3详解】 ，设，则， 由“方程在区间上恰有三个实数根”， 得“方程在区间上恰有三个实数根”， 则的图象如下： 即， 由图得，，， 即， 综上． 【点睛】关键点点睛：此题考查由正弦函数的性质求正弦函数的解析式，考查函数与方程的综合问题，考查正弦函数和余弦函数的图象与性质，第（3）问解题的关键是通过换元后，将问题转化为方程在区间上恰有三个实数根，再结合正弦函数的图象求解，考查数学转化思想和数形结合的思想，属于较难题. 19. 在中，角A，B，C对应边为，，，满足 （1）求的大小； （2）（i）已知，若在AC上，且，求BD的最大值； （ii）延长BC至点，使得.若求的大小. 【答案】（1） （2）（i）的最大值为；（ii）或 【解析】 【分析】（1）由，代入已知等式中，利用两角和与差的正弦公式化简得，可得B的大小； （2）（i）由三角形的面积公式得到，再由余弦定理和基本不等式求其最大值即可； （ii）设，，在和中，由正弦定理表示边角关系，化简求的大小. 【小问1详解】 在中，，所以． 因为，所以， 即 化简得． 因为，所以，． 因为，所以． 【小问2详解】 （i）由三角形面积公式可得，即， 在中由余弦定理可得，即， 所以，所以的最大值为， 此时，当且仅当时取等号； （ii）设，，则． 由（1）知，又，所以在中，． 在中，由正弦定理得，即①． 在中，由正弦定理得，即②． ①÷②，得，即，所以． 因为，，所以或，故或． 【点睛】关键点点睛：本题第二问的第一小问关键是能用三角形面积公式把用表示，再结合基本不等式求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $