精品解析：吉林省吉林市第一中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

吉林一中2025-2026学年度下学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 2. 3只猫把4只老鼠捉光，每只老鼠都恰被一只猫捉住，不同的捉法种数有（    ） A. B. C. D. 3. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 4. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据，卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量X表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（ ） A. 26 B. 24 C. 23 D. 20 5. 从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 6. 若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的导函数正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 11. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是 B. 第行的第个数最大 C. D. 记第n行的第i个数为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则=______ 13. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 14. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数，n!表示n的阶乘，即．该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为______．（精确到小数点后两位） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 16. 棋手甲利用AI辅助进行对弈训练，每局甲胜的概率为，AI胜的概率为，且，每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜3局，则认定该方最终获胜且训练结束. （1）求恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率（结果用表示）； （2）记恰好进行局比赛甲最终获胜的概率为，比较与的大小. 17. 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为．第四道工序中智能自动检测正确率为，第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验． （1）求前三道工序后产品芯片的次品率； （2）求在第四道工序中芯片智能自动检测得到的产品合格率，并求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率； （3）某手机生产厂商获得了该新技术芯片的试用权，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用未安装新技术芯片手机的有40人，其中对开机速度满意的有28人；使用安装新技术芯片手机的有60人，其中对开机速度满意的有57人．判断是否有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 19. 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向，某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个传感器对路况的判断相互独立） 测试结果真实路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 （1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器2对该路况判断正确的概率； （2）从这80个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设X为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求X的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器，在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.如果可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于等于，求至少提高为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林一中2025-2026学年度下学期期中考试 高二数学试卷 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 曲线在处的切线的倾斜角为（ ） A. 30° B. 45° C. 135° D. 150° 【答案】B 【解析】 【详解】由函数，求导得， 因此曲线在处的切线斜率， 所以所求倾斜角为45°. 2. 3只猫把4只老鼠捉光，每只老鼠都恰被一只猫捉住，不同的捉法种数有（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】根据题意，对于每只老鼠，都可以被3只猫中的任意一只捉住， 故每只老鼠的被捉情况有3种， 则有种不同的捉法. 3. 已知是函数的一个极值点，则（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得：， 又是的一个极值点，所以，所以， 所以，所以. 4. 某地面站通过天线接收一颗低轨道卫星发送的数据，卫星每次过顶时，会发送10个独立的数据包.由于大气干扰，每个数据包在传输过程中有20%的概率丢失（收不到），有80%的概率被成功接收，且每个数据包在传输过程中被接收成功与否相互独立.随机变量X表示卫星一次过顶中成功接收的数据包个数，则（ ） A. 26 B. 24 C. 23 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用二项分布的期望公式及期望的性质计算得解. 【详解】依题意，，则， 所以. 5. 从1，3，5，7，9这五个数中，依次取出两个不同的数a，b，共可得到的不同值的个数是（ ） A. 10 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】从五个数中选两个数排列后，减去两组比值相同的情况即可. 【详解】总的有序数对的个数为,因为 ，所以不同值的个数即为不同比值的个数. 在20个比值中，由于 以及，存在两组比值相同的情况，因此实际不同值的个数为. 6. 若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】求出函数的导数，由在上恒成立求出的范围即可. 【详解】由函数在上单调递减，得， 则，当时，，因此， 所以实数a的值可能是2. 7. 某平台为维护消费者权益，开设维权通道，消费者可通过电话投诉专线、邮件投诉等多个渠道进行消费维权投诉．平台将对投诉情况进行核实，为消费者提供咨询帮助．据统计，在进行维权的消费者中，选择电话投诉专线维权和邮件投诉维权的概率分别为和，且对应维权成功的概率分别为、，选择其他方式维权且成功的概率为，则在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件，求出、的值，利用条件概率公式可求得的值. 【详解】设选择邮件投诉为事件，维权成功为事件， 则，， 故在维权成功的条件下，选择邮件投诉的概率为. 故选：B. 8. 已知函数恰有两个极值点，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】有两个极值点等价于有两个不相等的实数根，构造函数，再求出导函数得出单调性结合函数值域得出参数范围. 【详解】 令，则有两个不同的根． ，所以或， 因为，所以的左右变号是极值点， 所以有一个根， 设，， 当单调递减； 当单调递减； 当单调递增； 当，当， 所以与有一个交点， 所以， 但是当时，，即得，所以的左右不变号不是极值点， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列函数的导函数正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】，故A正确； ，故B错误； ，故C正确； ，故D错误. 10. 对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【详解】对于A，因为，，， 所以，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D错误． 11. 我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的，以下关于杨辉三角的说法正确的是（ ） A. 第6行从左到右第4个数是 B. 第行的第个数最大 C. D. 记第n行的第i个数为，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项：由题目所给的杨辉三角可知，从第行起，第行第个数可表示为, 故第行从左到右第四个数是，故正确 . 选项：第行第个数可表示为,由组合数的性质可知最大,因此时最大，故错误. 选项：,故正确. 选项：第行第个数,因此,令,则, 即,故正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若，则=______ 【答案】1或3 【解析】 【分析】根据组合数的性质分情况讨论即可. 【详解】根据组合数的性质得或.故或 故答案为：1或3 【点睛】本题主要考查了组合数的基本性质,属于基础题型. 13. 已知随机变量X服从正态分布，若，则______． 【答案】0.8## 【解析】 【详解】随机变量X服从正态分布，由，得， 所以. 14. 英国数学家泰勒发现的泰勒公式有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，注：表示的2阶导数，即为的导数，表示的阶导数，即为的导数，n!表示n的阶乘，即．该公式也称为麦克劳林公式.根据该公式估算的值为______．（精确到小数点后两位） 【答案】0.84 【解析】 【分析】根据麦克劳林公式求出的表达式，再赋值计算即得. 【详解】令，则， 于是， 由麦克劳林公式得，， 所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设函数在处取得极大值1． （1）求的解析式； （2）求在区间上的最值． 【答案】（1）； （2）最小值为，最大值为17. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导数，利用给定的极值点及极值列式求出，再验证即可. （2）利用导数求出指定区间上的最值. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得， 由在处取得极大值1，得，解得， 此时，当或时，；当时，， 函数在上单调递增，在上单调递减，在处取得极大值1， 所以，. 【小问2详解】 由（1）知，函数在上单调递增，在上单调递减， 而，， 则当或时，取得最小值；当时，取得最大值17， 所以在上的最小值为，最大值为17. 16. 棋手甲利用AI辅助进行对弈训练，每局甲胜的概率为，AI胜的概率为，且，每局胜负相互独立.系统设定若一方连胜3局，则认定该方最终获胜且训练结束. （1）求恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率（结果用表示）； （2）记恰好进行局比赛甲最终获胜的概率为，比较与的大小. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）局比赛结束的情况仅包含甲连胜局或连胜局两种互斥情形，直接用互斥事件概率加法公式计算； （2）分别分析甲在第局、第局获胜的比赛序列约束，计算对应概率后作差比较大小，得出结论. 【小问1详解】 由条件，3局比赛结束，则可能是甲连胜三局胜，也可能是AI连胜3局胜， 所以恰好进行了3局比赛，训练就结束的概率； 【小问2详解】 恰好进行5局比赛，训练结束，甲最终获胜，则甲在最后三局连胜，第2局输，与第一局无关所以， 若恰好进行6局比赛，训练结束，甲最终获胜，则甲最后三局连胜，第3局应该输，且第1，2局不全输， 所以， 所以，即. 17. 某企业使用新技术对某款芯片进行试生产．在试生产初期，该款芯片的生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检．已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为．第四道工序中智能自动检测正确率为，第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验． （1）求前三道工序后产品芯片的次品率； （2）求在第四道工序中芯片智能自动检测得到的产品合格率，并求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率； （3）某手机生产厂商获得了该新技术芯片的试用权，并在某款新型手机上使用．现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查．据统计，回访的100名用户中，使用未安装新技术芯片手机的有40人，其中对开机速度满意的有28人；使用安装新技术芯片手机的有60人，其中对开机速度满意的有57人．判断是否有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关？ 附： 0.050 0.010 0.005 0.001 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） （2）， （3）有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关 【解析】 【分析】（1）根据相互独立事件及对立事件求前三道工序后产品芯片的次品率； （2）设芯片智能自动检测合格为事件，芯片为合格品为事件，利用全概率公式求，利用独立事件得，最后由条件概率公式即可求解； （3）列出联表，计算卡方，与临界值比较得出结论. 【小问1详解】 芯片的次品率为； 【小问2详解】 设芯片智能自动检测合格为事件，芯片为合格品为事件， 由全概率公式， 所以， 所以； 【小问3详解】 由数据可建立22列联表如下：（单位：人） 开机速度满意度 未安装 已安装 合计 不满意 12 3 15 满意 28 57 85 合计 40 60 100 根据列联表得： ， 因此，有的把握认为安装新技术芯片与用户对开机速度满意度有关． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 19. 无人驾驶技术是汽车研发领域的一个重要方向，某学校技术俱乐部研发了一个感知路况障碍的小汽车模型.该模型通过三个传感器共同判断路段是否有路障.在对该模型进行测试中，该俱乐部同学寻找了80个不同的路段作为测试样本，数据如下表：（假设三个传感器对路况的判断相互独立） 测试结果真实路况 传感器1 传感器2 传感器3 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 有障碍 无障碍 无法识别 无障碍 4 15 1 1 15 4 8 12 0 有障碍 40 10 10 45 5 10 45 10 5 （1）从这80个路段中随机抽取一个路段，求传感器2对该路况判断正确的概率； （2）从这80个路段中随机抽取一个无障碍的路段进行测试，设X为传感器1和传感器2判断正确的总路段数，求X的分布列和数学期望； （3）现有一辆小汽车同时装载了以上3种传感器，在通过某路段时，只要3个传感器中一个判断有障碍或无法识别，则小汽车减速.如果可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于等于，求至少提高为多少？ 【答案】（1）； （2） 0 1 2 数学期望为； （3）. 【解析】 【分析】（1）由表格中的数据，得到传感器2判断正确的路段有个，结合古典概型的概率计算公式，即可求解； （2）分别求得传感器1判断正确的概率，错误的概率为，传感器2判断正确的概率，错误的概率为，根据题意，得到变量的所有可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解； （3）根据题意求得小汽车在无障碍的道路上减速的概率，列出不等式求解. 【小问1详解】 由题设表格中的数据，这80个路段中，传感器2判断正确的路段有个， 设“传感器2对该路况判断正确”为事件，则. 【小问2详解】 这80个路段中无障碍的路段共有个， 在这20个无障碍的路段中，传感器1判断正确的有15个，错误的有5个， 传感器2判断正确的有15个，错误的有5个， 所以传感器1判断正确的概率，错误的概率为， 传感器2判断正确的概率，错误的概率为， 由题意得，随机变量的所有可能取值为， 可得， ， ， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 所以期望为. 【小问3详解】 共有20个无障碍的路段，传感器1判断无障碍的有15个， 由频率估计概率，所以无障碍路段上，估计传感器1判断无障碍的概率为， 传感器2判断无障碍的有15个，由频率估计概率，所以无障碍路段上， 估计传感器2判断无障碍的概率为， 设传感器3无障碍判断正确的概率为， 小汽车在无障碍的道路上减速的概率为，， 若，可得，解得， 又原传感器3无障碍判断正确的概率为，， 所以可以通过提高传感器3的判断正确率，使得小汽车在无障碍的道路上减速的概率小于等于，至少提高为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $