《二次函数综合压轴题》常考热点题型分类专题训练2026年九年级数学中考二轮复习

2026年春九年级数学中考二轮复习《二次函数综合压轴题》 常考热点题型分类专题训练（附答案） 一、二次函数特殊三角形（等腰三角形）综合 1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的图像与轴交于、两点，与轴交于点． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____． (2)连接，求的面积． (3)线段上有一动点，过点作轴的平行线，交抛物线于点，当线段最大时求点的坐标． (4)点为轴上一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 2．如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．2025年春晚舞台上的机器人进行扭秧歌表演，其中一个机器人手中抛出的花绢运动轨迹可以近似看作一条抛物线，第二个机器人花绢运动轨迹同样是抛物线如图①，且与第一个机器人花绢运动轨迹关于直线对称． (1)请求出第二个机器人花绢运动轨迹对应的函数表达式，并求出A，B，C三点的坐标． (2)如图①所示，在这条抛物线的对称轴上是否存在一点Q， 使得为等腰三角形，若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． (3)如图②，在平面内有一点P，使得，在轴上有一点，连接和，请求出的最小值． 4．如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C． (1)如图1，一次函数的图象与坐标轴分别交于点M，N．点P是抛物线上的一个动点，过点P作直线的垂线段，垂足为Q，求的最小值； (2)如图2，D是直线上方抛物线上一动点，作垂足为点F，交于点E，连接，是否存在点D，使是等腰三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图3，在（2）的条件下，连接，将线段绕点O按顺时针方向旋转得到线段，连接，求线段的最小值． 5．如图1，经过原点O的抛物线（为常数，）与x轴相交于另一点．直线在第一象限内和此抛物线相交于点，与抛物线的对称轴相交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)在x轴上找一点P，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形相似，直接写出满足条件的点P的坐标； (3)直线l沿着x轴向右平移得到直线，与线段相交于点M，与x轴下方的抛物线相交于点N，过点N作轴于点E．把沿直线折叠，当点恰好落在抛物线上时（图2），求直线的解析式； (4)如图3，连接，把绕点A顺时针旋转90°得到，在抛物线对称轴上是否存在点F，使是为以为腰的等腰三角形，若存在，请直接写出F点坐标，若不存在，请说明理由． 二、二次函数与特殊三角形（直角三角形）综合 6．如图，已知二次函数（为常数）的图象交轴于两点，交轴于点，点的坐标为，点的坐标为，连接． (1)求抛物线的解析式． (2)若点为抛物线上的一个动点，连接，当时，求点的横坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在一点，使为直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．已知，抛物线经过点和． (1)求抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； (3)设第一象限内的点在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点的坐标．（不写过程，直接写坐标） 8．如图，已知抛物线与x轴交于，两点，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第一象限内抛物线上的一个动点（与点C，B不重合），过点作轴于点，交直线于点，连接和，当的面积为时，求点的横坐标； (3)若M为抛物线对称轴上一动点，，使得为直角三角形，请求出点M的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为．直线过点，且平行于轴，与抛物线交于，两点（在的右侧）．将抛物线沿直线翻折得到抛物线，抛物线交轴于点，顶点为． (1)当时，求点的坐标； (2)连接，，，若为直角三角形，求此时抛物线所对应的函数表达式； (3)在（2）的条件下，若的面积为3，，两点分别在边，上运动，且，以为边作正方形，连接，写出长度的最小值，并简要说明理由． 10．如图，抛物线 （）与x轴交于点和点B，与y轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，抛物线的对称轴与交于点D，在抛物线上是否存在点E，使得是以为直角边的直角三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)如图2，若抛物线：与抛物线交于点F，过点F作直线，分别交抛物线和于点P、Q（P、Q均不与点F重合），设点P的横坐标为p，点Q的横坐标为q，试判断是否为定值．若是，求出这个定值；若不是，请说明理由． 三、二次函数与平行四边形综合 11．如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，其中点，点，点为抛物线上动点． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点在第二象限，连接．作于点，当时，求的面积； (3)如图2，取的中点，作直线，点为直线上一点，若点为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出点横坐标． 12．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点．与y轴交于点C．且点A的坐标为，点C的坐标为． (1)求该抛物线的解析式； (2)如图甲，若点P是第一象限内抛物线上的一动点．当点P到直线的距离最大时，求点P的坐标； (3)图乙中，若点M是抛物线上一点，点N是抛物线对称轴上一点，是否存在点M使得以B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，已知抛物线与一直线相交于两点，与轴交于点．其顶点为． (1)求抛物线及直线的函数解析式； (2)若P是抛物线上位于直线上方的一个动点，直接写出的面积的最大值及此时点P的坐标； (3)若抛物线的对称轴与直线相交于点，点为直线上的任意一点，过点作交抛物线于点，以点B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点的坐标；若不能，请说明理由． 14．如图，矩形是矩形（边在x轴正半轴上，边在y轴正半轴上）绕B点逆时针旋转得到的，点在x轴的正半轴上，B点的坐标为．与交于D点． (1)如果二次函数的图象经过O，两点且图象顶点M的纵坐标为，求这个二次函数的解析式； (2)求D点的坐标． (3)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，交抛物线于点P，则以为顶点的四边形能否是平行四边形？若能，求出P点坐标；若不能，请说明理由． (4)若将直线沿y轴向上平移，分别交x轴于点E，交y轴于点F，已知点Q是二次函数图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以为直角边的与相似，直接写出点Q的坐标． 四、二次函数特殊平行四边形综合 15．如图，在平面直角坐标系中，经过点的抛物线（，为常数）与轴交于点，顶点为点．点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为． (1)求抛物线的解析式． (2)在抛物线的对称轴上找一点E，使得取得最小值，求E点坐标； (3)若点坐标为，连接，取线段的中点，将点绕点顺时针方向旋转得到点，连接，以，为邻边构造矩形． ①设的长为l，求l关于m的函数解析式； ②请直接写出当点P在矩形外部时，m的取值范围． 16．如图1所示，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交于C． (1)求的面积； (2)如图2所示，点P是直线下方抛物线上的动点，过点P作直线轴交于点Q，过点P作直线交于点G，请求出的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）的条件下，将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，M是新抛物线对称轴上一点，N是平面内任意一点，请直接写出所有使得以P、B、M、N为顶点的四边形是菱形的点N的坐标． 17．如图，已知二次函数的图像经过点，顶点为B，一次函数的图像交y轴于点M，P是抛物线上一点，点M关于直线的对称点N恰好落在抛物线的对称轴直线上（对称轴直线与x轴交于点H）． (1)求二次函数的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若点G是第二象限内抛物线上一点，G关于抛物线的对称轴的对称点是E，连接，点F是线段上一点，点D是坐标平面内一点，若四边形是正方形，求点G的坐标． 18．如图1，已知抛物线与轴交于两点，与轴交于点，点是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)设抛物线的对称轴为，与轴的交点为．在直线上是否存在点，使得四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，连接，，，设的面积为． ①求关于的函数表达式： ②求点到直线的距离的最大值，并求出此时点的坐标． 19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于、两点，抛物线经过、两点，且交轴于另一点．点为抛物线在第一象限内的一点，过点作，交于点，交轴于点． (1)求抛物线解析式； (2)设点的横坐标为，在点的移动过程中，存在，求出的值； (3)在抛物线上取点，在平面直角坐标系内取点，问是否存在以、、、为顶点且以为边的矩形？如果存在，请求出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 20．如图，在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于点A，B，与y轴交于点C． (1)求抛物线和直线的解析式； (2)点P是直线上方的抛物线上一点，连接，求面积的最大值； (3)将抛物线向上平移3个单位得新抛物线，新抛物线中的部分记为“图形W”．在新抛物线对称轴上取两点和，其中，将线段绕点M顺时针旋转，点N的对应点为H，以为边构造正方形． ①直接写出点Q和点H的坐标（用含m的式子表示）； ②当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时，直接写出所有满足条件的m的取值范围． 参考答案 1．（1）解：抛物线方程为，令，得， 解得：，， 由图知，点在点的左侧， ∴，； （2）解：令，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：设直线的解析式为， 把，代入解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为， 设点P的横坐标为t，则， 又， ∴， ∴ ， ∵， ∴二次函数的图象开口向下， ∴当时，取最大值，此时点的坐标为； （4）解：设， ∵，， ∴，，； ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论： ①当时，， 解得， ∴； ②当时，， 解得或, ∴或； ③当时，， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 综上，点的坐标为或或或． 2．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 3．(1)， (2)存在，Q的坐标为或或或 (3)3 【分析】（1）求出的顶点坐标，进而求出第二条抛物线的顶点坐标，求出函数解析式，再求出时的函数值和时的自变量的值，即可求出三点的坐标； （2）分，，三种情况进行讨论求解即可； （3）易得点P在以为直径的上，且不与重合，连接，证明，得到，进而得到， 得到点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长，即可． 【详解】（1）解：∵， ∴顶点坐标为 ∵第二个机器人花绢运动轨迹与抛物线关于直线对称 ∴第二个机器人花绢运动轨迹的顶点为 ∴， 当时，，当时，．则， ∴； （2）解：∵ ∴对称轴是直线，设， ∵ ∴，， 当时，， 解得 ∴Q的坐标为或； 当时，， 解得， 若点Q坐标为时，点A、C、Q三点共线，不符合题意； ∴； 当时，， 解得， ∴ 综上所述， Q的坐标为或或或； （3）解：∵， ∴，， 又∵ ∴点P在以为直径的上，且不与重合， 如图，连接， 则， 又∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当点C、P、O三点共线时，取得最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为3． 4．(1) (2)存在，点D的坐标为或或 (3)线段的最小值为 【分析】（1）过P作轴交于点G，设，则，求得，根据，用的二次函数表示出，利用二次函数的性质即可求解； （2）用两点间距离公式分别表示三边，分类讨论，建立方程求解即可； （3）在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接，证明，则，确定点在线段上运动（不包括端点），故当时，最小，可证明，求得，而当时，，即可由面积法求最小值． 【详解】（1）解：如图，过P作轴交于点G， 设，则， ∴， 对于一次函数，令，得，令，得， ∴，， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，为最小值； （2）解：对于抛物线表达式，当，， ∴， 设直线的表达式为：， 则， 解得：， ∴直线的表达式为：， 设点D的横坐标为t， ∵， ∴，， ∴， ∵， ， ①当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ②当时，， 解得：或（舍）， ∴， ∴； ③当时，， 整理得：， 解得：或（舍）或（舍）， ∴， ∴； 综上，是等腰三角形时，点D的坐标为或或； （3）解：在轴负半轴取点，连接并延长交轴于点，连接， 由旋转得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点在线段上运动（不包括端点）， ∴当时，最小， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当时， ∴， ∴， ∴线段长度的最小值． 5．(1) (2)点P的坐标为或 (3) (4)或或或 【分析】（1）根据一次函数上点的特征求得点的坐标，再根据待定系数法求抛物线解析式即可； （2）由抛物线的对称轴为直线，得到，从而有，，．分和两种情况，根据相似三角形的对应边成比例求出，即可解答； （3）设直线的解析式为，可得点，根据点的坐标可推得为等腰直角三角形，结合对称的性质和正方形的判定可得四边形是正方形，根据正方形的性质可求得点的坐标，结合二次函数的性质可得，列一元二次方程求解即可得到的值，即可得出答案； （4）根据旋转可得，求得，，根据等腰三角形的顶点分情况讨论，结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：∵直线：在第一象限内和此抛物线相交于点， ∴把代入得，， ∴； ∵抛物线与轴相交于另一点，与直线相交于点， ∴把，代入，得 ， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解∶∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线， 把代入，得， ∴点C的坐标为， ∴， ∵，， ∴，． 当时，， 即， ∴， ∴； 当时，， 即， ∴， ∴． 综上所述，满足条件的点P的坐标为或． （3）解：如图，过点作轴交于点，交抛物线对称轴直线于点， 设直线的解析式为， ∵直线与轴相交于点， 将代入得， ∴点， ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 即直线与轴和轴的夹角是， ∵直线沿着轴向右平移得到直线，且轴， ∴，， 根据题意可知，是沿直线折叠得到的， ∴，，，， ∵，， ∴四边形是正方形， ∴， 故点的横坐标为， ∵点在抛物线上， 则，即， ∵四边形是正方形， ∴轴， ∴点与点关于抛物线的对称轴对称， 即， 故， 整理得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， ∴直线的解析式为． （4）解：如图，直线交轴于点，作于点，则， 由旋转得，， ∴，， 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， ∴； 当时，在中，， ∴； 若点为等腰三角形的顶点，则存在两个满足条件的点： 当时，在中，， 则 ∴； 当时，在中，， 则 ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数上点的特征，待定系数法求二次函数解析式，平移的性质，旋转的性质，轴对称的特征，正方形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理等，能够根据等腰三角形的定义进行分类讨论是解题的关键． 6．(1) (2)8或 (3)或或或 【分析】（1）将点代入计算即可； （2）分两种情况：①当点为直线下方的抛物线上的一个动点时，先求出点的纵坐标，再代入计算即可；②当点为直线上方的抛物线上的一个动点时，设与轴交于点，先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可； （3）设点的坐标为，分三种情况：①，②和③，利用勾股定理建立方程，解方程即可． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：①如图，当点为直线下方的抛物线上的一个动点时， ∵， ∴轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等，即为， 将代入得：， 解得或（点的横坐标）， ∴此时点的横坐标为8； ②如图，当点为直线上方的抛物线上的一个动点时， 设与轴交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或， ∴此时点的横坐标为； 综上，点的横坐标为8或． （3）解：抛物线的对称轴为直线， 由题意，设点的坐标为， ∵， ∴，，， ①当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ②当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为； ③当时，为直角三角形， 则，即，解得， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 7．(1) (2)存在，点P坐标为 (3)当是直角三角形时，点M的坐标为或或 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【详解】（1）解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． （3）解：如图，设点M的坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为（不符合题意，舍去）， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 8．(1) (2)点F的横坐标是1或4 (3)满足条件的M点的坐标为或或或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程的应用、勾股定理等知识，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出直线的解析式为，再设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据三角形的面积建立方程，解方程即可得； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，再设点的坐标为，则可得，，的值，然后分三种情况：①，②，③，利用勾股定理建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：将点，，代入得：， 解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：如图，连接和， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 设点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， ∴的边上的高与的边上的高之和为， ∵的面积为， ∴， 解得或， ∴点的横坐标为1或4． （3）解：将二次函数化成顶点式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴设点的坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ②如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得， ∴此时点的坐标为； ③如图，当时，为直角三角形， 则，即， 解得或， ∴此时点的坐标为或； 综上，点的坐标为或或或． 9．(1) (2)抛物线所对应的函数表达式为或 (3)，见解析 【分析】本题考查二次函数的对称的相关知识，直角三角形的三个角为直角的情况分析，不同情况下的最值问题．解题的关键是理解对称的关键，直角三角形的不同情况分析． （1）先求出抛物线的顶点的坐标，再根据点和点关于直线对称，即可求出点的坐标； （2）先求出抛物线的顶点的坐标，再根据点和点关于直线对称，即可求出点的坐标；由为直角三角形，分三种情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别求解即可； （3）由（2）知，当时，，此时的面积为3，取的中点，连接，易知当，，三点共线时，取最小值，由此求解即可． 【详解】（1）解：， ∴抛物线的顶点的坐标为． ，点和点关于直线对称， ． （2）解：由题意，得抛物线的顶点与抛物线的顶点关于直线对称， ， ∴抛物线． ∴当时，可得． ①当时，如答图①，过点作轴，垂足为． ， ． ， ． ． ， ． ∵直线轴， ． ． ． ， ． ． 又∵点在抛物线上， ， 解得或． 当时，可得，，此时，重合，舍去． 当时，符合题意． 将代入抛物线， 得． ②当时，如答图②，过点作轴于点，过点作，交的延长线于点． ， ． ， ． ． ， ． ． ． ． ． ． 又∵点在抛物线上， ， 解得或． ，． 此时，符合题意． 将代入抛物线， 得． ③易知，当时，此情况不存在． 综上，抛物线所对应的函数表达式为或． （3）解：长度的最小值为． 理由：由（2）知，当时，，此时的面积为1，不合题意，舍去． 当时，，此时的面积为3，符合题意． 由题意可求得． 如答图③，取的中点，连接． 在中可求得． 在中可求得． 易知当，，三点共线时，取最小值，最小值为． 10．(1) (2)存在，点E的坐标为或或 (3)是定值，为定值4 【分析】（1）把点和点的坐标代入，求出的值即可； （2）求出和直线的解析式，分和两种情况讨论求解即可； （3）联立求出，得，求出直线的解析式，联立，得，根据一元二次方程根与系数的关系可得，从而可得结论． 【详解】（1）解：将点和点的坐标代入，得：， 解得：， ∴二次函数的解析式为：． （2）解：在抛物线上存在点E，使得是以为直角边的直角三角形． 抛物线对称轴为直线． 当时，， 解得，． ∴， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为：． 当时，． ∴． ∵， ∴． ①如图，当时，过点作轴于点F， 则， ∴， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：，（舍去）， 当时，，点． ②如图，当时，可得． 设直线解析式为， 把和代入得， 解得， ∴直线解析式为：， 设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：． ∴直线解析式为：． 联立得， 解得或， ∴，． 综上所述，在抛物线上存在点E，使得是以为直角边的直角三角形． 此时点E的坐标为或或． （3）解：联立两抛物线解析式可得：， 解得：，则点， 又． 设直线的解析式为：， 则解得 ∴． 联立直线与抛物线得：． 则：， 整理得：， 则， ∴， ∴， ∴．即为定值4． 11．(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可； （2）设点D的坐标为，过点D作轴于点M，则，证明，可得，从而得到，即可求解； （3）先求出直线的解析式为，设点，然后根据平行四边形，分三种情况讨论，即可． 【详解】（1）解：把点，点代入抛物线，得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设点D的坐标为， 如图，过点D作轴于点M，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：（舍去）， ∴， ∴； （3）解：∵点为的中点， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为或； 当为对角线时， ，解得：（舍去）或， 此时点D的横坐标为； 综上所述，点D的横坐标为或或． 12．(1) (2) (3)存在；点M的坐标为或或 【分析】（1）将A的坐标，点C的坐标代入，即可得抛物线的解析式为； （2）过P作轴于D，交于Q，过P作于H，由可得，故，是等腰直角三角形，可证明是等腰直角三角形，即知，当最大时，最大，待定系数法求出直线解析式为，设，则，，故当时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）先求出抛物线的对称轴为直线，设，，而，，分三种情况：①以、为对角线；②以、为对角线；③以、为对角线，分别根据中点坐标公式列出方程，进行求解即可． 【详解】（1）解：将A的坐标，点C的坐标代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：过P作轴于D，交于Q，过P作于H，如图所示： 在中，令得：， 解得：或， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴当最大时，最大， 设直线解析式为，将代入得， 解得：， ∴直线解析式为， 设，则， ∴， ∵， ∴当时，最大为， ∴时，最大，即点P到直线的距离最大，此时； （3）解：存在，理由如下： 抛物线对称轴为直线， 设，，而，， ①以、为对角线，则、的中点重合，如图： ∴， 解得：， ∴； ②以、为对角线，则、的中点重合，如图所示： ∴， 解得， ∴； ③以、为对角线，则、中点重合，如图所示： ， 解得， ∴； 综上所述，M的坐标为：或或． 13．(1)抛物线的函数关系式为，直线AC的函数关系式为 (2)最大值为，此时点P的坐标为 (3)能，E的坐标为，或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点，设，则，求出，根据得到，据此可得答案； （3）先求出点B和点D的坐标，根据，得到以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，则；设，则，则，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为；     设直线的解析式为 将点代入，得， ∴ ∴直线的解析式为； （2）解：如图所示，过点作轴交于点，交轴于点，过点作轴于点． 设，则， ， ∴当时，的面积有最大值，最大值为，此时点P的坐标为． （3）解：∵抛物线解析式为， ， 当时，， ， ∵， ∴以点B，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，为该平行四边形的一组对边，如图， ∴； 设，则， ∴， ∴或， 解方程得或（舍去）， 解方程得或， 当时，， 当时， 当时， 综上，满足条件的点的坐标为或或． 14．(1) (2) (3)能，P点坐标为或 (4)点Q的坐标是或或或 【分析】（1）连接，根据矩形的性质，勾股定理，旋转的性质得到，，运用待定系数法求解即可； （2）得出，设，则，由勾股定理即可求解； （3）根据题意运用待定系数法得到直线的解析式为：，根据平行四边形的判定方法分类讨论：当时，四边形是平行四边形；，时是平行四边形，结合图形分析即可求解； （4）根据相似三角形的判定和性质，分类讨论：当时，若；当时，若；当时，若；当时，若；结合图形分析求解即可． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵， ∴， 由勾股定理得：， 由旋转得：， ∴， ∴，且直线是抛物线的对称轴， ∴， 设抛物线的解析式为：， 把代入得：， 解得，， ∴这个二次函数的解析式为：； （2）解：如图1，由旋转得：， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴， ∴； （3）解：如图2，设直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∵直线是平移所得， ∴， 过作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当时，， ∴； 如图3， 由题意得：， 解得：，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 即当直线向上平移0个单位时，F、E与O重合，以B、、F、P为顶点的四边形是平行四边形， 此时， 综上所述，P点坐标为或； （4）解：分四种情况： ①如图4， 当时，若， 由题意可知：， ∴， 过Q作轴于H， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴（负值舍去）， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴， ∴； ②如图5， 当时，若， ∴， 设，则， ∴， 同理得， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ③如图6， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设，则， 同理得：， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； ④如图7， 当时，若， ∴， 过Q作轴于H， 设， 同理得：，， ∴， 把代入到得：， 解得：（舍），， ∴，， ∴； 综上所述，点Q的坐标是或或或． 15．(1) (2) (3)①；②点P在矩形外部时，或或 【分析】（1）把，点分别代入抛物线，后利用待定系数法确定解析式即可． （2）确定点A、B是关于对称轴的对称点，连接点B与点C，与对称轴的交点就是线段和最小的位置，解得即可． （3） ①根据点M坐标为，点，线段的中点Q，得到，当即时，点在点A的右侧，此时；当即时，点在点A的左侧，此时，解答即可；②根据题意，分类讨论，数形结合分析即可求解． 【详解】（1）解：把，点分别代入抛物线， 得， ∴， 故抛物线的解析式为； （2）解：∵， ∴抛物线的对称轴是直线， ∵，点满足， ∴两点是关于直线的对称点， 连接，交直线于点，则点就是满足取得最小值的点， ∵，令，则， ∴， 设直线的解析式为， 将代入直线的解析式得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴． （3）解：①∵点坐标为，点， ∴线段的中点的横坐标为， ∴， 如图所示，点在点右边， ∴，即时，点在点A的右侧， 此时； 如图所示，点在点左边， ∴，即时，点在点A的左侧， 此时． 综上所述，l关于m的函数解析式为； ②点为点右侧抛物线上一点，其横坐标为， 点坐标为，点是线段的中点，且， 第一种情况，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线上方，此时点在矩形外部， ∴在点中，，则，在点中，， ∴此种情况不存在； 第二种情况，如图所示，当点在点右边，此时矩形在直线下方，点在直线下方，过点作于点，当时点在矩形外部，， ∴，即， ∴，， ∴， 解得，或， ∴； 第三种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点右边，则，此时点在矩形外部， ∴； 第四种情况，如图所示，点在点左边，则，即，点在点左边，点右边，则，当时点在矩形外部，， ∴，， ∴， 解得，， ∴； 综上所述，点在矩形外部时，或或． 16．(1)12 (2)最大值为，此时点P的坐标 (3)或或或 【分析】（1）分别求解抛物线与坐标轴的交点坐标即可得到答案； （2）求出直线的解析式为，设点，可得点，从而得到，再证明，可得，从而得到，即可求解； （3）根据平移的性质可得新抛物线的解析式，可得到新抛物线的对称轴为y轴，设点，，再求出直线的解析式，然后分三种情况，结合菱形的性质解答即可． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴， 当时，， 解得：， ∴点， ∴， ∴的面积为； （2）解：根据题意得：， 设直线的解析式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， 设点， ∵轴， ∴点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为，此时点P的坐标； （3）解：∵， ∴将原抛物线沿着x轴水平向左平移1个单位长度，所得新抛物线的解析式为， 即新抛物线的对称轴为y轴， 设点，， ∵， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为， 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：或0， 当时，，此时点在直线上，不符合题意，舍去； 此时点M的坐标为， ∴，解得：， 此时点N的坐标为； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为或， 同理点N的坐标为或； 当为对角线时，则四边形为菱形，此时， ，解得：， 此时点M的坐标为， 同理点N的坐标为； 综上所述，点N的坐标为或或或． 【点睛】本题考查的是求解抛物线与坐标轴的交点坐标，建立线段长度和的二次函数关系式，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，本题难度大，属于压轴题，准确的运算，清晰的分类讨论都是解本题的关键． 17．(1) (2)P1， (3) 【分析】（1）由待定系数法求解函数解析式即可； （2）先由勾股定理以及对称可得，由，得到．由对称可得，则，过点P作于Q，交y轴于R．设点，当点N在上方时，，由建立方程求解即可；当点N在下方时，同理可求即可； （3）过F作于C，于T，交x轴于点S，证明，则，，设，，则，那么．化简整理，得，而，则，化简整理，得，得到方程，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入 得， 解这个方程，得， ∴二次函数的表达式是； （2）解：对于，当时， ∴一次函数的图像交y轴于点， ∴， ∵， ∴， 由对称可得． ∵， ∴， ∴． 由对称可得， 则， 过点P作于Q，交y轴于R．设点， ①如图1，当点N在上方时，则 ∴， 由得，． 解得（舍去），， ∴． ②如图2，当点N在下方时，同理， 由得，． 同理可得（舍去），． ∴， 综上：点P的坐标为或； （3）解：如图3，过F作于C，于T，交x轴于点S． 则 ∵四边形是正方形， ∴ ∴ ∴， ∴，， 设，， ∴， ∴， 则． ∴． 化简整理，得， ∵，对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∵轴 ∴， ∴， 即， 化简整理，得． ∴， 解得（舍去），． ∴，解得（舍去），． ∴． 18．(1) (2)存在， (3)①；②点到直线的距离的最大值为， 【分析】（1）把代入，解关于、的二元一次方程组求出、的值即可； （2）连接，交对称轴于，根据菱形的性质得出，，根据（1）中解析式得出，对称轴为直线，可得，进而求出，即可得答案； （3）①过点作轴于，交于，先利用待定系数法求出直线解析式为，得出，，，利用三角形面积公式即可得出；②利用勾股定理求出，利用的面积求出，得出时，的最大值为，把代入即可求出点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为． （2）解：如图，连接，交对称轴于， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线，点的横坐标为， ∵四边形是菱形， ∴，，轴， ∵抛物线解析式为， ∴当时，， ∴， ∴，， ∴， ∴． （3）解：①如图，过点作轴于，交于， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点的横坐标为， ∴，， ∴， ∴． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，取得最大值，即点到直线的距离的最大值为， 当时，， ∴． 【点睛】本题是二次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、菱形的性质及二次函数的性质，合理作出辅助线是解题关键． 19．(1) (2) (3)存在，， 【分析】（1）根据一次函数的解析式求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可得； （2）先根据，求出，从而可得，再根据平行线的判定可得，从而可得点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3，由此即可得； （3）设点的坐标为，分两种情况：①四边形是矩形，②四边形是矩形，先联立二次函数和一次函数的解析式求出点的坐标，再根据矩形的性质求解即可得． 【详解】（1）解：一次函数， 当时，，即， 当时，，解得，即， 把，代入得， 解得， 则抛物线的解析式为． （2）解：，， ， ， ， ， ， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相同，即为3， 当时，， 解得或（舍去）， 点的横坐标为2， ． （3）解：存在，求解如下： 设点的坐标为， ①当四边形是矩形时，则， 直线的解析式为， ， 设在直线上，根据勾股定理得：， ， ， ， ， 解得， 直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， ②当四边形是矩形时，则， 设直线的解析式为， 将点代入得：，解得， 则直线的解析式为， 联立， 解得或（即为点，舍去）， ， 综上，存在以、、、为顶点且以为边的矩形，此时点的坐标为或． 20．(1)； (2)面积的最大值为 (3)①H点的坐标为，Q点的坐标为；②或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令，求出，可得，，将代入，可得，再利用待定系数法即可求出直线的解析式； （2）过点P作轴交直线于点D，设点，则，求出，根据，利用二次函数的性质即可求解； （3）平移后的抛物线为，对称轴是． ①当，两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点，点的坐标； ②分点H在对称轴左侧和右侧两种情况讨论． 【详解】（1）解：抛物线的对称轴为直线，解得， 抛物线的解析式为； 令，则， 解得， ，， 将代入，则， ∴， 设直线的解析式为，将B点坐标代入得，解得． 直线的解析式为． （2）解：如图1，过点P作轴交直线于点D， 设点，则， ． ． ， 抛物线的开口向下，函数有最大值， 当时，面积的最大值为． （3）解：平移后的抛物线为，对称轴是直线． ①当时，即时，M在N的上方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 当时，M在N的下方，． 此时H点的坐标为，Q点坐标为； 即无论m取何值，H点的坐标均为，Q点的坐标均为； ②当点H在对称轴的左侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上， ，化简得， 解得． ， ． 当点H在对称轴的右侧，当矩形的四边与“图形W”有且只有一个公共点时， 点在抛物线上或点H在直线的右侧． 若点在抛物线上，， 化简得，解得． ， ． 若点H在直线的右侧，，解得； 综上可知：或或． 学科网（北京）股份有限公司 $