2026年中考数学二轮复习 二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）归纳练习

二次函数与几何图形综合题（与特殊三角形问题）归纳练2026年中考数学二轮复习备考 1．（2026·河南周口·一模）如图，抛物线 与x轴交于、两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是抛物线上第一象限内的动点，连接、，求面积的最大值； (3)在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2024山东济南·期中）如图，抛物线经过点A（1，0）和B（3，0），点C（m，）在抛物线的对称轴上. （1）求抛物线的函数表达式. （2）求证: △ABC是等腰三角形. （3）动点P在线段AC上，从点A出发以每秒1个单位的速度向C运动，同时动点Q在线段AB上，从B出发以每秒1个单位的速度向A运动.当Q到达点A时，两点同时停止运动.设运动时间为t秒，求当t为何值时，△APQ与△ABC相似. 3．（24-25安徽亳州·月考）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点． (1)求A点和点B的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； 4．（24-25九年级上·浙江绍兴·月考）如图，抛物线与x轴交于、两点，与轴交于点，且． (1)求抛物线的解析式及顶点的坐标； (2)判断的形状，证明你的结论； (3)点是抛物线对称轴上的一个动点，当周长最小时，求点的坐标及的最小周长； (4)在该抛物线位于第四象限内的部分上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 5．（2024福建泉州·期末）如图，抛物线 经过点，连接．    (1)求a、b的值； (2)求证：是等腰直角三角形； (3)将绕点O顺时针旋转得到，写出的中点P的坐标，试判断点P是否在此抛物线上，并说明理由． 6．（2024广东湛江·中考真题）如图，抛物线的顶点为，与轴交于点，与轴交于两点（点在点的左侧）． （）求抛物线的解析式； （）连接，试证明为直角三角形； （）若点在抛物线的对称轴上，抛物线上是否存在点，使以为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 7．（2023·陕西西安·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点．    (1)求抛物线的解析式： (2)证明：为直角三角形： (3)在抛物线上除点外，是否还存在另外一个点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 8．（2024江西赣州·模拟预测）已知：抛物线：（为正整数），抛物线的顶点为 （1）当k＝1时，的坐标为 ； 当k＝2时，的坐标为 ； （2）抛物线的顶点是否在同一条直线上？如在，请直接写出这条直线的解析式； （3）如图（2）中的直线为直线，直线与抛物线的左交点为，求证：与重合； （4）抛物线与x轴的右交点为，是否存在是直角三角形？若存在，求k的值，若不存在，请说明理由． 9．（2024·贵州黔东南·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，且，与轴的另一个交点为点，顶点为． (1)求该抛物线的顶点的坐标； (2)将抛物线沿轴上下平移，平移后所得新抛物线顶点为，点的对应点为． ①如果点落在线段上，请判断的形状，并说明理由； ②设直线与轴正半轴交于点，与线段交于点，当时，求平移后新抛物线的表达式． 10．（24-25黑龙江大庆·开学考试）如图，二次函数图象的顶点坐标为，且在轴上截得的线段的长为2．    (1)求证：是等腰直角三角形； (2)求二次函数的解析式； (3)在的抛物线上是否存在点，使是等腰三角形；若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由． 11．（2024上海青浦·期中）如图二次函数（）的图象，与直线相交于坐标轴上的B、C两点，并且与x轴的另一个交点为A (1)求此二次函数的表达式； (2)过点A，C作直线，求证：； (3)抛物线上是否存在点Q，使得？若存在，则求出直线的解析式；若不存在，请说明理由． 12．（2024·山东淄博·一模）如图，在直角坐标系中，已知抛物线（其中，为常数，且）与轴的一个交点为，与轴交于点，此抛物线顶点到轴的距离为4 （1）求抛物线的函数表达式； （2）连接，，判断与之间的数量关系，并加以证明； （3）如果点是抛物线上的一点，且，试求点的坐标． 13．（2026·辽宁盘锦·一模）如图1，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点，顶点D的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)直线：经过点，将直线a绕点C旋转，旋转后的直线记为l， ①已知l与抛物线交于第一象限内的点E，当时，求点E的坐标； ②当直线l与x轴交于时，在直线l下方抛物线上取一点M，过点M作直线l，垂足为H，是否存在一点M使得？若存在，请直接写出点M的坐标，若不存在，请说明理由； ③设抛物线上一点，点是点T关于直线l的对称点，当落在抛物线上时，判断位于抛物线的对称轴左侧还是对称轴右侧，并说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．(1) (2) (3)存在，点P的坐标为或或或 【分析】（1）把，代入即可求解； （2）设，过点作轴于点，根据即可求解； （3）设，分三种情况：，，即可求解． 【详解】（1）解：把，代入得， ，解得， ∴抛物线的解析式为． （2）解：设，过点作轴于点， 由抛物线的解析式， 令时，， ∴， ∴， ∵，，且点在第一象限， ∴，，，， ∵ ， ∵， ∴当时，的面积的最大值为． （3）解：设， 当时，如图， ∵，， ∴， ∴， 解得，， ∴或， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上，不能构成三角形，不符合题意，舍去， ∴； 当时，如图， 由可知， ∴， 解得， 或； 当时，如图， ∵，，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点的坐标为或或或． 2．（1） （2）见解析 （3）当t=或t=时，相似. 【详解】试题分析：（1）应用待定系数法求解析式， （2）根据对称性构造直角三角形解决问题 （3）利用三角形相似求出 试题解析：（1）把A（1，0）和B（3，0）代入得： ， 解得：， ∴抛物线的函数解析式是. （2）抛物线的对称轴是， ∵点C（m,）在抛物线对称轴上 ∴m=2 ∴点C（2,）， ∴CA=="4," CB==4， ∴CA= CB ∴△ABC是等腰三角形 （3）∵∠A是公共角 当∠APQ=∠ACB时，△APQ∽△ACB， ∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t， ∴， ∴t=， 当∠APQ=∠ABC时，， ∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2—t， ∴， ∴t=， ∴当t=或t=时，相似. 考点：待定系数法，解直角三角形，三角形相似 3．(1)； (2)是直角三角形，理由见解析． 【分析】（1）令进行求解即可 ； （2）根据（1）以及题意可得A、B、C的坐标，然后根据两点的距离公式及勾股定理的逆定理进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ， ； （2）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， ， ， ， ， △ABC是直角三角形． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，勾股定理的逆运用以及两点距离公式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 4．(1)抛物线的解析式为：； (2)是直角三角形 (3)，的最小周长为： (4)存在， 【分析】（1）根据点在抛物线上，解出，得到抛物线的解析式，根据顶点坐标公式，即可求出点的坐标； （2）根据（1）得抛物线的解析式，求出点的坐标，根据勾股定理的逆定理即可； （3）当点在与对称轴的交点上，根据点，点是对称点，连接，则且，，三点在一条直线上，距离最短，设的解析式为：，求出的解析式，则得到点的坐标，即可； （4）以为底，则，当点到的距离最远时，的面积最大如图所示，作直线,当直线与抛物线仅有一个交点时，最大，交点即为点． 【详解】（1）∵点在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为：； ∵顶点坐标公式为：， ∴点． ∴抛物线的解析式为：；． （2）∵抛物线与轴交于点， ∴，， ∴， ∵抛物线与轴交于点，点， ∴， ∴，， ∴点， ∴，，， ∵；；， ∴， ∴是直角三角形． （3）∵点，点是对称点，点在与对称轴的交点上， ∴ 此时，，三点在一条直线上，距离最短， ； 设的解析式为：， ∴， 解得：， ∴ 当时，， ∴点； ∴点的坐标为，的最小周长为：． （4）存在，理由如下： ∵以为底， ∴， 当点到的距离最远时，的面积最大，作直线，且与仅有一个交点， 设直线的解析式为， ∵， ∴，即， ∵直线与仅有一个交点， ∴仅有一个实数根， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 由，解得， ∴点． 【点睛】本题考查二次函数与几何的综合，解题的关键是掌握待定系数法求解析式，勾股定理的逆定理，线段的距离． 5．(1) (2)答案见解析 (3)，点P不在此抛物线上，理由见解析 【分析】（1）利用待定系数法，将点A、B代入抛物线解析式求解即可； （2）作轴于点C，根据点A、B的坐标得到，，从而证明结论即可； （3）将绕点O按顺时针方向旋转得到，求出、的坐标，计算中点坐标，代入抛物线解析式验证即可． 【详解】（1）解：将点代入抛物线，得：， 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）如下图，作轴于点C，   点， 点C的坐标为， ， ， 是等腰直角三角形； （3），点P不在此抛物线上，理由如下： 如下图，将绕点O按顺时针方向旋转，    在中，，， ， 点的坐标为，点的坐标为， 的中点P的坐标为， 当时， ， 点P不在此抛物线上． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、等腰直角三角形的判定和性质、图形的旋转、二次函数上点的坐标特点，勾股定理，解题的关键是能够画出旋转后的图形，求出、的坐标，从而得到中点坐标代入抛物线进行验证. 6．（）；（）证明见解析；（）存在，点的坐标为或或 【分析】（）利用待定系数法解答即可； （）求出点坐标，再利用两点间距离公式求出的长，进而根据勾股定理的逆定理即可求证； （）由点坐标可得，再分为平行四边形的一边和对角线解答即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，勾股定理及其逆定理，二次函数的几何应用，正确求出二次函数解析式是解题的关键 【详解】（）解：把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （）证明：把代入，得， 解得或， ∴，， ∴，，， ∵， ∴为直角三角形； （）存在，理由如下： ∵，， ∴， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴点的横坐标为， 当为平行四边形的一边时，，如图， ∴的横坐标为或， ∴的坐标为或； 当为平行四边形的对角线时，如图， ∵平行四边形的对角线互相平分， ∴点必在对称轴上，此时点与点重合， ∴； 综上，所有满足条件的点的坐标为或或． 7．(1) (2)见解析 (3)存在， 【分析】（1）将、、的坐标代入抛物线解析式，求解即可； （2）由（1）得到边，，的长，再根据勾股定理的逆定理来判定为直角三角形； （3）根据抛物线的对称性可得另一点的坐标． 【详解】（1）解： 与轴交于、两点，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：、、， ， ， ， ， ，则， 是直角三角形； （3）解：存在， 当轴，即点与点是关于抛物线对称轴的对称点，而点坐标为， ， 把代入得：， ，． 点坐标为．    【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，勾股定理的逆定理，两点间的距离公式，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 8．（1）(1，2)，(2，3) （2）在, （3）见解析 （4）存在，k＝3． 【分析】（1）直接把k＝1，k＝2代入二次函数解析式进行求解即可； （2）把二次函数的解析式化为顶点式即可求解； （3）由（2）及题意可得，然后联立一次函数解析式及二次函数可求解； （4）根据题意对的三个顶点作为直角顶点进行讨论即可，然后结合直角三角形的性质求解． 【详解】解：（1）当k＝1时，则有，所以； 当k＝2时，则有，所以； 故答案为； （2）在同一直线上，解析式为，理由如下： 由可得， 所以顶点坐标为， 满足函数关系式为； （3）： 解得： ∴ ∴ ∴与重合； （4）存在，理由：分三种情况，，过点、分别作轴，轴，交x轴于点C、E、D，如图所示： ①∠＝90°则以为直径作圆，它与抛物线只有两个交点、，不存在 ②∠＝90°，D＝1，D＝1  ∴∠＝45° ∴∠＝45°，∴  ∴k＝0（舍去） ③∠＝90°则∠＝45°∴∠＝45° ∴，解得（舍去），． 综上所述，存在，k＝3． 【点睛】本题主要考查二次函数的综合，关键是根据题意把二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据直角三角形的分类讨论进行求解即可． 9．(1)顶点 (2)①等腰直角三角形，见解析；② 【分析】（1）利用待定系数法求解即可得到解析式，再将解析式化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）①先求出直线的表达式及平移后的二次函数表达式，得到点为，即可解答；②当点在在正半轴时，则点在轴下方，如图（2），作轴于点，由直线与轴夹角为得到平移后，，求出，进而求出，即可得到平移后新抛物线的表达式． 【详解】（1）解：将点和点代入， 得 解得， ， 顶点； （2）解：①是等腰直角三角形．理由如下： 如图（1），设直线交轴于点， ，， 直线的表达式为．设平移后的抛物线的表达式为，抛物线的顶点为． 又点在直线上， 新的抛物线的表达式为， 点为，点为 ， ， 是等腰直角三角形； ②当点在在正半轴时，则点在轴下方，如图（2），作轴于点， 可知，直线与轴夹角为 平移后 ， ， 平移后新抛物线的表达式为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式与一次函数的解析式，二次函数图象的平移，二次函数平移的应用，勾股定理及勾股定理的逆定理的应用，数形结合及证明是解的关键． 10．(1)见解析 (2) (3)在的抛物线上存在点，使是等腰三角形，点或或 【分析】（1）先根据二次函数图象的顶点坐标得出对称轴直线，从而得出，，由勾股定理计算出，最后由勾股定理逆定理进行计算即可得到答案； （2）由（1）得，，设二次函数的解析式为：，将代入二次函数解析式求出的值即可得到答案； （3）分两种情况：当为腰时，当为底时，分别进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：二次函数图象的顶点坐标为， 对称轴直线， 二次函数图象在轴上截得的线段的长为2， ，， ，， ， ， 是等腰直角三角形； （2）解：由（1）得：，， 设二次函数的解析式为：， 将代入二次函数解析式得：， 解得：， 二次函数的解析式为：； （3）解：在的抛物线上存在点，使是等腰三角形， 当为腰时，则，此时点与点重合，坐标为， 当为底时，则， 设， 则，， ， 整理得：， 解得：，， 或， 综上所述，在的抛物线上存在点，使是等腰三角形，点或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、勾股定理、勾股定理逆定理、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 11．(1) (2)见解析 (3)存在，直线的解析式为或 【分析】（1）求出点,的坐标，利用待定系数法即可求解； （2）求出，可证明是直角三角形，，即可得出结论； （3）分点在下方，点在上方两种情况，利用解直角三角形的方法，求出点的坐标，即可求解 【详解】（1）对于直线， 当时，， 当时，； ∴点、的坐标分别为、， 将点、代入抛物线可得： ， 解得：， ∴此二次函数的表达式为 （2）由（1）知二次函数的表达式为， 由， 解得：或， ∴， ∵点、的坐标分别为、， ∴，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴ （3）抛物线上存在点Q，使得，下面说明理由： 当点在下方时，延长至点，使得，连接， 由（2）知， ∴是以为底边的等腰三角形， ∴平分，满足， ∵点，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； 当点在上方时，直线与直线关于轴对称， ∴直线的解析式为， 综上所述，直线的解析式为或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质、用待定系数法求函数解析式等知识，解题的关键是正确作出所需要的辅助线 12．（1）；（2），见解析；（3）点的坐标为或 【分析】（1）求出顶点坐标，用顶点式求解析式即可； （2）过点作轴于点，求出，长即可； （3）当点在下方时，过点作轴于点，由（2）得，当点在上方时，如图3所示：过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，两条垂线相交于点，可得；设点的坐标为，列出方程即可． 【详解】解：（1）抛物线的对称轴为， ∵， ∴抛物线开口向下． 又∵抛物线与轴有交点， ∴在轴的上方， ∴抛物线的顶点坐标为． 设抛物线的解析式为，把代入，得， ∴． ∴抛物线的解析式为，即． （2）． 理由如下： 将代入抛物线的解析式，得， ∴．过点作轴于点（如图1）． ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ，， ∴． （3）设点的坐标为． ①当点在下方时，如图2所示： ∵，， 又∵， ∴． 过点作轴于点． 由（2）得，则，即， ∴， ∴或（舍去）， ∴． ②当点在上方时，如图3所示：过点作轴的垂线，过点作轴的垂线， 两条垂线相交于点．同①可得， ∴． ∴， ∴或（舍去）， ∴． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，解题关键是熟练运用二次函数的性质，通过求坐标或设坐标求解或列方程． 13．(1) (2)①，②存在，或，③位于对称轴左侧，理由见解析 【分析】（1）用待定系数法可求出a，从而得出二次函数的解析式； （2）①构造一线三垂直模型，得到三角形相似，利用相似三角形对应边成比例，可以得到关于点横坐的方程，从而可求出的坐标； ②延长交直线于点，可以证得恰好是，的中点，继而可以得出关于，横坐标的方程组，求出的横坐标即可获解； ③由对称性可知，，只要求出的长度，然后与比较，即可判断与对称轴的位置关系． 【详解】（1）解：∵顶点的坐标为， ∴设所求抛物线的解析式为， 把代入，得 ， ， ∴所求抛物线的解析式为； （2）①如图，过D作垂直于y轴，垂足为Q，过E作的垂线，垂足为P， ， ， ， ， ， ， ， 设， ，，，， ， 解得(舍去)， ， ②如图，延长交直线l于点N， 把代入得 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 即 为 的中点， ， 设 ，则， 设，则 ， ，， ， 化简得：， 解得， 当时，， 当时，， 的坐标为或， ③ 与关于直线对称， ， 当时， ， ，   ， ， ， 在对称轴左侧． 【点睛】本题是二次函数和几何的综合题，考查了二次函数图象上点的特征，二次函数的顶点式，对称轴，三角形的相似，等腰三角形的判定等知识，关键是要将所求结论转化具体的线段关系，寻找合适等量关系列出方程． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $