精品解析：广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题

揭阳市2025～2026学年度高三级数学教学质量测试 （满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，， 则. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 【答案】C 【解析】 【详解】，故. 3. 已知a，b，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，当时，满足，而，故A错误； 对于B，当时，，故B错误； 对于C，当时，满足，而，故C错误； 对于D，因为函数在上单调递增，且，则，故D正确. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由， 则，又，所以， 而，则， 所以. 5. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，， 则数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以， 则， 所以数列的前项和为 . 6. 设，则. A. -4 B. -8 C. -12 D. -16 【答案】C 【解析】 【分析】根据，是展开式中的系数，利用二项展开式的通项公式，求得结果． 【详解】，是展开式中的系数， ∴，故选C． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于中档题． 7. 若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直线l过定点，再利用对称性得，最后根据圆的定义即可判断. 【详解】由直线l：， 令，解得， 则直线l（不包含直线）过定点， 由对称性可知，，即点N到定点的距离为， 又直线l不包含直线， 所以点关于直线的对称点不在点N的轨迹中， 则N的轨迹是以为圆心，为半径的圆（去掉点），因此，点N的轨迹为圆的一部分. 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】取圆锥的轴截面，分析可得接触点的轨迹为两个圆，进而结合图形关系、相似比求解即可. 【详解】取圆锥的轴截面，因为圆锥的底面半径为，母线长为， 所以轴截面为等边，半径为1的圆与此等边三角形的一条腰和底边相切， 如图，设切点为，圆心为， 由于球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则接触点的轨迹为两个圆，设其圆心为， 则，所以，，，， 由于，则，即，则， 所以该球与圆锥的接触点的轨迹长度为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的方差为4； B. 数据的平均数为24； C. 数据的平均数为10，方差大于1； D. 若数据的中位数为，分位数为，则. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算方法即可判断，，；由中位数和百分位数的计算方法即可判断. 【详解】对于，因为， 所以， 所以数据的平均数为，故正确； 对于，因为， 所以 ， 所以数据的方差为，故正确； 对于，， ，故错误； 对于，将数据从小到大排序，所以中位数为第三个数和第四个数的平均数， 因为，所以分位数为第五个数， 按从小到大排序后，第五个数大于等于第三个数和第四个数的平均数， 所以，故正确. 故选：. 10. 已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用等差数列通项公式写出不等式，利用不等式的性质解题. 【详解】对于A，当时， ， 因为 ，，所以 ， 又因为， ， 所以 ，故A正确； 对于B，当时， ， 若，则 ， 若，则 ，故B正确； 对于C，当时，， 若，则，因为，与题目条件矛盾， 若，则，，，故C错误； 对于D，当时， ， 又因为 ，代入可得： ，， 所以 ，解得，故D正确. 11. 如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成的角为45° C. 若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为 D. 此双曲线的离心率为 【答案】ACD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量相乘为零可以判断A选项，利用线面夹角公式可以判断B选项，利用点到面距离公式可以判断C选项，结合题目条件分析其为等轴双曲线即可求出离心率，判断出D选项 【详解】对于A，设正方体棱长为，以点为原点，所在直线为轴，所在直线为轴， 所在直线为轴，建立空间直角坐标系，如图所示 所以，，，，，， 所以 ， 所以直线与直线所成的角为，故A正确； 对于B，，，，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令 ，， 设直线与平面所成的角为， 则， 因为，所以，故B错误； 对于C，由于正方体的棱长为2，则，，，，，， 设平面的一个法向量为， 所以，令 ，得， 所以点到平面的距离，故C正确； 对于D， 因为，，所以旋转轴的方向向量为， 四个顶点，，，，所以， ，同理可得是正四面体， 正四面体绕轴旋转，其侧面上的每一条母线绕轴旋转形成一个曲面， 在包含旋转轴的轴截面中，这些母线的轨迹与轴截面相交形成双曲线， 选取母线，计算母线与旋转轴的夹角， ，所以， 在轴截面中，其母线旋转轨迹是双曲线，其渐近线与轴角也为，即渐近斜率为， 所以，，故D正确. , 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知，，若，则______. 【答案】 【解析】 【详解】由，，得， 因为，所以，解得. 13. 已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 【答案】4 【解析】 【详解】由抛物线，则焦点，准线方程为， 因为点P到点的距离与点P到抛物线C的准线的距离相等， 结合抛物线的定义可得， 则点在线段的垂直平分线上，而，，则点的横坐标为3， 所以. 14. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】分，，和，讨论和正负，即可得出答案. 【详解】因为，所以， 当时，那么函数恒成立， 所以要使，有恒成立， 则在恒成立， 又函数在上单调递减， 根据与一定存在交点可知存在零点， 所以存在，使得时，，时，， 不合题意，舍去. 当时，设为切线，设切点为， 则，所以，那么，， ①当时，存在两个零点， 令，那么， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 故， 当时，，此时无法满足题意，舍去； ②当时，由①可知，，所以； ③当时，恒成立，要使得恒成立， 则只需恒成立，由①得：，所以， 即，综上：的取值范围是：. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 如图，三棱锥中，平面AOB，，，． （1）求证：平面POC； （2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：因为平面AOB，平面AOB， 因此，，故， 在等腰中，易知，， 由正弦定理可得， 则，在中，由余弦定理，可得， 故有，则， 因为，平面POC，且、， 所以平面POC． （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何性质，证明，再结合平面AOB即可证明平面POC； （2）以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系，通过空间向量法求解二面角的余弦值即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，OA、OP、OB三者两两垂直， 则以O为原点，OA为轴，OC为轴，OP为轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 又，可得， 因为平面POC，所以平面POC的一个法向量为， 又，， 设平面PAB的法向量为，则，即， 令，则可得平面PAB的一个法向量，为， 所以平面PAB与平面POC的夹角余弦值为． 16. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. （1）求中线BN的长； （2）求的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据余弦定理求解即可； （2）建立平面直角坐标系，求出的坐标，进而求解即可. 【小问1详解】 由，BN为中线，则， 在中，由余弦定理得， 则. 【小问2详解】 以为原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 由，，，得， 则， 则，即， 所以， ，， 则， 所以的余弦值为. 17. 某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）求中奖次数X的分布列和数学期望； （2）求第二次中奖的概率； （3）已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 . （2） （3）中奖2次的人数为时的概率最大. 【解析】 【分析】（1）根据题意分析随机变量的可能取值，求出各个值对应的概率可得分布列及期望； （2）根据（1）的计算数据可求第二次中奖的概率； （3）设位顾客中中奖2次的人数为，则，故可不等式组的整数解确定中奖2次的人数为何值时对应的概率最大. 【小问1详解】 若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖， 则中奖次数的可能取值为， 则， ， ， 则的分布列为 0 1 2 所以的期望为. 【小问2详解】 设为“第二次中奖”， 则. 【小问3详解】 设位顾客中中奖2次的人数为，由（1）的分布列可得， 故，其中， 令， 所以， 化简得，故， 故中奖2次的人数为的概率最大. 18. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. （1）求双曲线的方程； （2）证明存在轴上的一点，使得为定值； （3）求的最大值. 【答案】（1） （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且，所以. 又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的基本量后可得双曲线的方程； （2）设，，联立直线方程和双曲线方程，结合韦达定理化，根据该值为定值可求的坐标； （3）先求、，再根据两角和的正切公式结合韦达定理可求，故可求的最大值. 【小问1详解】 因为实轴长为，故， 而点到双曲线C的渐近线的距离为1，故， 故双曲线的方程为：. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由双曲线的对称性不妨设，， 故，， 故 ，其中， 设，则， 故， 而，故， 注意到，故的最大值为. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）（i）； （ii）线段的中点在第四象限，证明如下： 设，两点的坐标分别为， 由，可得， 令，则， 当时，，则，则在上单调递减； 当时，，则，则在上单调递增； 由，不妨设． 令 ∴当时，，则， 又， 而在上单调递增，从而有，可得； ∴线段的中点的纵坐标，横坐标， 故其位置在第四象限． 【解析】 【分析】（1）求导后对分类讨论即可； （2）（i）求出切线方程代入点坐标得到，再设新函数求导研究即可； （ii）设点坐标，根据得到方程，再构造函数，求导后研究其单调性，从而构造函数，求导后得到即可. 【小问1详解】 ， ①当时，，则在上单调递增； ②当时，令，得，则在上单调递增； 令，得，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； 【小问2详解】 （i），设切点为，则切线方程为， 代入点坐标，得， 由题，上述关于的方程有两个不同的解， 令，则， 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；所以的极大值为， 当时，；当时，， 则的取值范围为. （ii）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 揭阳市2025～2026学年度高三级数学教学质量测试 （满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知a，b，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则. A. -4 B. -8 C. -12 D. -16 7. 若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的方差为4； B. 数据的平均数为24； C. 数据的平均数为10，方差大于1； D. 若数据的中位数为，分位数为，则. 10. 已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 11. 如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成的角为45° C. 若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为 D. 此双曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知，，若，则______. 13. 已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 14. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 如图，三棱锥中，平面AOB，，，． （1）求证：平面POC； （2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值． 16. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. （1）求中线BN的长； （2）求的余弦值. 17. 某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）求中奖次数X的分布列和数学期望； （2）求第二次中奖的概率； （3）已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 18. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. （1）求双曲线的方程； （2）证明存在轴上的一点，使得为定值； （3）求的最大值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $