广东揭阳市2025-2026学年高三下学期教学质量测试数学试题

揭阳市2025～2026学年度高三级数学教学质量测试 （满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设复数z满足，则（ ） A. B. 3 C. D. 5 3. 已知a，b，，且，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知数列满足，且，则数列的前项和为（ ） A. B. C. D. 6. 设，则. A. -4 B. -8 C. -12 D. -16 7. 若点关于动直线l：的对称点为N，则点N的轨迹为（ ） A. 圆的一部分 B. 椭圆的一部分 C. 双曲线的一部分 D. 抛物线的一部分 8. 已知圆锥的底面半径为，母线长为，圆锥内部有一个半径1的球，该球同时紧贴圆锥的侧面和底面滚动，则该球与圆锥的接触点的轨迹长度为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知数据的平均数为10，方差为1，且，则下列说法正确的是（ ） A. 数据的方差为4； B. 数据的平均数为24； C. 数据的平均数为10，方差大于1； D. 若数据的中位数为，分位数为，则. 10. 已知等差数列的公差，为数列的前n项和，对给定的n且，，，则下列说法正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当，时， D. 当，时， 11. 如图，已知正方体，点，O分别为上、下底面的中心.正四面体以为轴旋转一圈，形成一个空间几何体，该几何体的轴截面的截口曲线（截面与几何体侧面的交线）为双曲线的局部，则（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成的角为45° C. 若正方体的棱长为2，则点到平面的距离为 D. 此双曲线的离心率为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 12. 已知，，若，则______. 13. 已知点在抛物线上，若点P到点的距离与点到抛物线的准线的距离相等，则______. 14. 已知函数，，有恒成立，则的取值范围是__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 15. 如图，三棱锥中，平面AOB，，，． （1）求证：平面POC； （2）求平面PAB与平面POC夹角的余弦值． 16. 如图，在中，已知，，，点M在边BC上且，AM与AC边上的中线BN相交于点P. （1）求中线BN的长； （2）求的余弦值. 17. 某商城为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为白色.抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球，规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖. （1）求中奖次数X的分布列和数学期望； （2）求第二次中奖的概率； （3）已知有位顾客进行抽奖，则其中中奖2次的人数为多少的概率最大？ 18. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，实轴长为，点到双曲线的渐近线的距离为1，过的直线与交于右支两点. （1）求双曲线的方程； （2）证明存在轴上的一点，使得为定值； （3）求的最大值. 19. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时， （i）过点可以作函数的两条切线，求b的取值范围； （ii）设A，B是图象上两个不同的点，且A，B两点到的距离相等，判断线段AB的中点在第几象限，并证明. 揭阳市2025～2026学年度高三级数学教学质量测试 （满分150分.考试用时120分钟.） 注意事项： 1.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上将对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 2.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项在答题卡中的相应位置涂黑. 【1题答案】 【答案】A 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填在答题卡的相应位置上. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】4 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.必须把解答过程写在答题卡相应题号指定的区域内，超出指定区域的答案无效. 【15题答案】 【答案】（1）证明：因为平面AOB，平面AOB， 因此，，故， 在等腰中，易知，， 由正弦定理可得， 则，在中，由余弦定理，可得， 故有，则， 因为，平面POC，且、， 所以平面POC． （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）的分布列为 0 1 2 . （2） （3）中奖2次的人数为时的概率最大. 【18题答案】 【答案】（1） （2）证明：设为半焦距，则，故， 因为与双曲线的右支相交于两个不同的点，故可设，， 由可得即， 故且，所以. 又. 设，则，， 故 为定值当且仅当，故， 故存在轴上的一点，使得为定值且定值为. （3） 【19题答案】 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （2）（i）； （ii）线段的中点在第四象限，证明如下： 设，两点的坐标分别为， 由，可得， 令，则， 当时，，则，则在上单调递减； 当时，，则，则在上单调递增； 由，不妨设． 令 ∴当时，，则， 又， 而在上单调递增，从而有，可得； ∴线段的中点的纵坐标，横坐标， 故其位置在第四象限． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $