河北衡水中学2025-2026学年第二学期高二年级二调考试数学试卷

**基本信息** 高二二调数学试卷以盲盒促销、工厂质检等现实情境为载体，通过“拓展”数列等创新题设计，考查数学抽象、逻辑推理与数学建模，适配月考分层检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|等比数列、排列组合、导数单调性、正态分布|第7题结合区间考查导数应用，体现逻辑推理| |填空题|3题15分|隔板法、数列“拓展”操作、空盒期望|第13题“拓展”数列设计，培养数学抽象与创新意识| |解答题|5题77分|导数切线与最值、二项式定理、立体几何夹角、盲盒概率分布、质检概率模型|18题盲盒情境融合条件概率与分布列，19题工厂质检结合二项分布与正态近似，凸显数学建模与数据分析|

2025~2026学年度第二学期高二年级二调考试 数学参考答案 一、单选题 1.A2.B3.D4.C5.A6.A7.B 8.答案：B 【详】由燃意可，对任意x引，h-a小sinb虹s0 由sin bx=0→x= (keN), 当0<bs2时，有管受，所以对任意x∈0 时，sin bx≥0， 2 此时只要求Inx-a≤0今a≥lnx,即a≥n元 n元 。2≥2-n即的最小值为 22 2 2 π 时，sinbx>0, b 此时要求lnx-a≤0与a≥lnx,即a≥ln 6 在x∈ ππ b'2 时，sin bx≤0，此时要求nx-a≥0与a≤nx,即a≤1n交， 此可程a=h景，此时。_血公 b 令b"bmmn2<h≤4，求导符/'b=1-ar-n1nh--In(ex)in en, 6 b2 b2 b2 由于eπ≈8.54>4，故fb)在2<b≤4单调递减， 圆此向的小板为兰子即号的小性为好子· 二、多选题 9. 答案：AD 10.答案：BCD 解析：等差数列{an}的公差为a3-a2=4,则an=a2+4(n-2)=4n-16,令an>0,得n>4 ，故等差数列{an}的前10项中有6个正数，则X的可能取值为0,1,2,3，记 X=k(k∈N,k≤3)表示取出的3个数中有k个正数，(3-k)个非负数，则 PX=)-CC任∈N,k≤3，X不服从二项分布，X限从超儿何分布，放A不正确，B正确： PX=2)= 故c正确：E(X)=3×6_9 =二，故D正确.故选BCD. 2 105 11.答案：ABD 解断：因道机变录X服从正态分布X~N个2，， 所以D(X)）=,故A正确：E(X)=2, 则E(Y)=E(3X+1)=3E(X)+1=7,故B正确；D(Y)=D(2X+1)=4D(X)=1,故C错误； 由正态曲线关于直线-2对称得PX≤2P2≤X<》分P2≤X<)=分 所以P ””, 故D正确.故选ABD. 三、填空题 12.答案： 56 13. 答案：65 14. 答案：n-)” 解析：定义随机变量x,(i=1,2,n如下：当第i个盒子中有球时，x=0,当第i个盒子中没有 球时，戈=1.再令5-公，则三表示无球盒f的个数。 由：E2x-立E(X),所以EG)=立E(x. 因为每个球放入第1个盒子的概率为，不放入该盒子的概率为”一1， 又因为每个小球是否放入第i个盒子是相互独立的，所以n个小球均不放入第i个盒子的概率为 :八。全沙有-个小球滋入第个盒r的摄*为-片】 由此得x,的分布列如下表所示： x 0 P =o1-(-ヅ，-立=- n-1 四、解答题 15. 解析：(1)解：f'(x)=3x2+x-2, :k=f'0)=-2, 则函数f(x)在(0,1)处的切线方程为y=-2x+1; (2)由(1)知f'(x=3x2+x-2=(3x-2)(x+1), 令f川=0，解得x=名或x=-1, 3 :2-和xe仔时，了>0，f单调递端： 写引时，了<0，单调递减： 又1-2-3)方 5 函数f()在区间-2，列的最大值为亏，最小值为-1. 16. 解析：(1)an=C9+C+…+C=2”,bn=C×2=2n. (2)由1知a,bn=n2, 所以Sn=1×22+2×23+.+n2+1①， 2Sn=1×23+2×24+.+n2+2②. ②-①可得Sn=-(22+23+.+2”)+n·2+2, 可得Sn=(n-1)2"+2+4. 17. 解析：(1) 因为PC⊥底面ABC,BDC底面ABC,所以PC⊥BD, 又AB=BC,D是AC中点，故BD⊥AC, E 由于PCOAC=C,PC,ACc平面PAC,因此BD⊥平面PAC, D 因为CEc平面PAC,所以BD⊥CE, 又因为CE⊥PD,PDOBD=D,PD,BDC平面PBD,所以CE⊥平面PBD, 又因为CEc平面CEF,所以平面CEF⊥平面PBD; (2) ZA AB=BC=PC=2,如图建立空间直角坐标系： 则B(0,0,0),C(2,0,0),A0,2,0),P(2,0,2),D1,1,0), 即CD=(1,1,0)-(2,0,0)=（-1,1,0), E DP=(2,0,2)-(1,1,0)=（1,-1,2), 设 CE=CD+DE=CD+2Dp=(-1,1,0)+2(1,-1,2=(-1+元，1-2,22)， 因为CE1PD,所以CE.DP=(-1+元，1-元，2)(1，-1,2)=0→-1+元-1+元+4=0→元= 因为F在BD上，所以可设F(t,t,0),t∈[0,1]，则CF=(t-2,t,0), 由图可知平面PBC的法向量为m=(0,1,0), 设平面CEF的法向量元=（x,y,2, 正（+-0 则 CF.i=(t-2,0)(x,y,z=t-2)x+y=0 令x=-t,则y=t-2,z=2(-t),即i=-t,t-2,2(1-), 设平面CEF与平面PBC夹角为O, m.i (0,1,0)-t,t-2,2(1-t) 则：cos0= t-2 m(0,1,0-t,t-2,21-)川 W6t2-12t+8 2-t 因为t∈[0,1]，所以cos0= V62-121+8’ 1 C0s0= 2-t 令2-1=s,则V62-12t+8 V6(2-s2-12(2-s+8 6s2-12s+8, 当-时，用=2-s号0小，s-片 3 所以cos8nx= 1√6 33, V2 即平面CEF与平面PBC夹角的余弦值的最大值为V6 18. 解析：(1)设事件A为：买到新款盲盒，事件B为：买到旧款盲盒，事件C为：盲盒中出现“隐 藏款”， 则PI-P叫-PC4=gPc8= - 侧PG)©=P(AP(CIA0+P(B)P(CIB)Xg2OP(AC)=PA9= 10 (2)每个盲盒是否开出隐藏款相互独立，每个盲盒开出隐藏款的概率为， 因此随机变量X-B,己，根据二项分布的则数、方差公式： 利x灯=89=5名，0川x刘=m1-叭=x0名品 10101009 (3)当拆出全部2个隐藏款或全部4个常规款时，即可确定所有盲盒类型，停止抽取， 因此Y的可能取值为2,3,4,5，隐藏款的位置共有C2=15种等可能情况， 计算概*得：PY=2)=5(前2个均为险栽款)， P(Y=3)= 三=2（第二个隐藏在第3位，前2位有1个隐藏）， 1515 PY=4-C+!-4(第二个隐藏在第4位，或前4个均为常规款)， 1515 PY=5)=1-PW=2)-PY=3)-PY=4=1-1-2-4-8 15151515 (剩余所有情况)， Y的分布列为： 2 3 4 5 1 2 4 8 P 15 15 15 15 数学期望：E(Y)=2×1+3x2 15 55x 864 1515 19. 解析：(1)设“单件产品实际为合格品”为事件A, “单件合格品检测为合格”为事件B, “单件不合格品误判为合格”为事件C,则由全概率公式知， P(4B+7C)=P(A)P(BA)+P(P(C =0a+(1-0)B=B+(a-B)0, 即单件产品的检测结果为合格的概率为p=阝+α-B)0. (2)因为每件产品的检测结果相互独立， 所以n件产品中检测结果为合格的件数X服从二项分布Bn,p). 当X=k时，P(X=k)=Cp(1-p-k. 令f(0)=Cp(1-p)-,其中p=B+(Q-B)0, 则f'(9)=(a-B)Cp-1-p)--(n-k)(a-B)Cp'(1-p)-1 =(a-B)Cip(1-p)(k-np) =(a-B)Cp-(1-p)-t(k-nB-n(a-B)0) 令f"(0)=0,符0=-nB n(a-B'且n(a-B)>0, 所以当0∈ 时，'(0)>0， n(a-B) 所以f(0)在 k-nβ 0, 上单调递增， n(a-B) 当0e k-nB1 k-nB 上单调递减， n(a-B) 时，'(0)<0，所以f0)在 n(a-B) 所以，当0=k-nB na-B时，f(O)取得最大值因此日=k-nB n(a-B) (3)由于6为随机变量，由(2)可设日=X-B n(a-p） 且X~B(n,p),所以E(X)=p,D(X)=p(1-p). 因为a=0.9,B=0.2,所以p=0.2+0.70 mu)-) -2-02=0 因为P(6-0≥0.01s0.05,所以P6-0k0.01≥0.95， 由题知，6近似服从N(0,o）, mei9-)1s,n0 ≥0.975， 0.01 由参考数据p(1.96)≈0.975，故00≥1.96，解得o≤ 0.01 1.96 8 2025~2026学年度第二学期高二年级二调考试 数 学 试 卷 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试用时120分钟。 注意事项： 1．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试题卷和答题卡上。将条形码横贴在答题卡"条形码粘贴处"。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的。 1.可表示为(      ) A. B. C. D. 2.将、、、、这个字母排成一排，若c与e必须相邻，则不同的排法种数（   ） A． B． C． D． 3．是等比数列，且， ，则（   ） A．12 B．24 C．30 D．32 4．若（≠0），则（    ） A． B． C． D． 5．设随机变量X的分布列,则 ( ) A. B. C. D. 6．设事件为两个随机事件,已知,且,则的值为(      ) A. B. C. D. 7．已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 8．已知，，若，恒成立，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共有3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全对的得部分分，有选错的得0分。 9．下列式子求导正确的是（   ） A． B． C． D． 10．在等差数列中，，.现从数列的前10项中随机抽取3个不同的数，记取出的数为正数的个数为X.则(   ) A. X服从二项分布 B. X服从超几何分布 C. D. 11．已知随机变量X服从正态分布，，，则以下选项正确的是( ) A. B.若，则 C.若，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.将9个相同的小球放入4个编号为1,2,3,4的盒子,每个盒子都不空的方法数为________. 13．在数列的每相邻两项之间插入这两项中后一项的3倍与前一项之差，组成一个新的数列，这样的操作叫做这个数列的一次“拓展”.先将数列1，2进行拓展，第一次拓展得到；第二次拓展得到数列；第次拓展得到数列.则第6次拓展得到的数列的项数为________。 14．一组随机变量的和的期望与这组随机变量各自期望的和相等．即．利用以上定理求解下列问题：将n个不同的小球放入n个不同的盒子，设每个球落入各个盒子的可能性是相同的，则空盒子个数的数学期望是______． 四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．(本小题满分13分)已知函数． (1)求函数在处的切线方程； (2)求函数在区间的最大值和最小值． 16．(本小题满分15分)已知的展开式中各项的二项式系数和为，第二项的系数为. （1）求； （2）求数列的前n项和. 17．(本小题满分15分)如图，在三棱锥中，底面ABC， =2，D为的中点，， 垂足为E，F是线段上的点． (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值的最大值． 18．(本小题满分17分)盲盒，作为一种以随机体验为核心的商业模型，已经成为一种新型的消费现象，其核心价值在于精准把握了现代消费者对情感价值和收藏欲望的需求．商家为了在电商平台对某款盲盒进行促销，对商品进行了升级，新款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，旧款盲盒中出现“隐藏款”的概率为，商家会以3∶2的比例对新、旧款盲盒进行随机发货． (1)已知消费者买到的某个盲盒中出现“隐藏款”，求它是新款盲盒的概率； (2)小张在电商平台上购买了3个该款盲盒，设盲盒中出现“隐藏款”的个数为X，求随机变量X的数学期望和方差； (3)现有一箱装有4个“常规款”和2个“隐藏款”的盲盒，若每次从中随机取出一个盲盒拆开，取出后不放回，直到能区分出全部6个盲盒分别是“常规款”还是“隐藏款”时为止，记取出盲盒的个数为Y，求随机变量Y的分布列和数学期望． 19．(本小题满分17分)某工厂生产一批产品，其单件产品的真实合格概率为.由于质检设备存在误差，当单件产品为合格品时，被该质检设备检测为合格的概率为，当单件产品为不合格品时，被其误判为合格的概率为，且.现从该批产品中随机抽取n件，并用该质检设备进行检测，设每件产品的检测结果相互独立，检测结果为合格的件数为X. (1)求单件产品的检测结果为合格的概率p； (2)若n，k（）为定值，求取最大值时的值； (3)当n足够大时，(2)中的近似服从.设，，当时，求证：. 说明：若，则，其中为的正态密度函数.参考数据：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $