湖北随州市曾都区第二高级中学2026届高考数学第二次质检数学试题

**基本信息** 2026届高考数学质检卷以核心素养为导向，融合电商直播、数学史等素材，梯度设计试题，覆盖函数、几何、统计等模块，综合考查运算能力、推理意识与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|三角函数、复数、集合、立体几何|单选夯实基础，多选融入阿波罗尼斯圆历史背景| |填空题|3/15|立体几何（十二面体）、排列组合、函数零点|结合校庆安全安排等实际情境| |解答题|5/77|数列、导数、立体几何、椭圆、统计|导数证明考查逻辑推理，椭圆综合题培养数学建模，统计题关联电商直播数据|

2026届高考数学第二次质检数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟. 第一卷（选择题，共58分） 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知α为第四象限角，，则cosα＝（　　） A． B． C． D． 2．已知是纯虚数，复数z2满足，则|z2|的取值范围是（　　） A． B．[1，2] C． D．（1，2） 3．已知集合A＝{x|x2≤1}，B＝{x|x＞m}，A⊆B，则m的取值范围是（　　） A．{m|m＞1} B．{m|m＜﹣1} C．{m|m≥﹣1} D．{m|m≤﹣1} 4．P是圆（x﹣a）2+（y﹣a2）2＝1上的动点，Q是直线y＝x﹣2上的动点，则|PQ|的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．已知函数，则f[f（﹣2）]＝（　　） A． B． C．2 D．4 6．已知x＞0，y＞0，且，则（　　） A．x＜y B． C．ln（x﹣y）＜0 D． 7．已知Rt△ABC中，若∠ABC＝90°，|AB|＝2|BC|＝2，BM⊥AC，且点M在AC上，则（　　） A． B． C． D．1 8．在三棱锥P﹣ABC中，三条棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝1，PB＝2，PC＝2．若点Q为三棱锥P﹣ABC的外接球球面上任意一点，则Q到面ABC距离的最大值为（　　） A． B． C． D． 二．多项选择题（本大题共3个小题，每小题6分，共18分.在每个小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．为了研究某款新上市智能手环的直播间展示时长（单位：分钟）与即时下单量（单位：件）之间的关系，某电商平台随机记录了5场直播带货的数据，如下表所示： 直播间展示时长x 1 2 3 4 5 即时下单量y 12 18 25 30 34 若y与x的经验回归方程为，样本相关系数为r，则（　　） A．r＞0 B．回归直线过点（3，25） C． D．当直播间展示时长为10分钟时，即时下单量的值估计为63 10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A，B的距离之比为定值λ（λ≠1）的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系xOy中，A（﹣2，0），B（4，0），点P满足，则点P所构成的曲线为C为阿氏圆．下列结论正确的是（　　） A．曲线C的圆心在x轴上 B．曲线C的半径为4 C．从点（0，3）向圆C引切线，切线长是3 D．曲线C与圆C'•x2+y2+4x﹣6y﹣3＝0相外切 11．设正整数，其中ai∈{0，1}，i＝0，1，2，⋯，9，定义ω（n）＝a0+a1+⋯+a9．设集合A＝{n|ω（n）＝2}，从A中随机选取一个元素，记为X，则（　　） A．10∈A B．A中的元素个数为36 C． D． 第二卷（非选择题，共92分） 三．填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．一个十二面体共有8个顶点，其中2个顶点处各有6条棱，其它顶点处都有相同的棱，则其它顶点处的棱数为　 　 ． 13．成都石室中学举办校庆文艺展演晚会，设置有一个“传奇”主会场和“传承”、“扬辉”两个分会场．现场需要安排含甲、乙的六名安全员负责现场秩序安全，其中“传奇”主会场安排三人，剩下三人安排去“传承”、“扬辉”两个分会场（每个分会场至少安排一人）．若要求甲、乙两人不在同一个会场开展工作，则不同的安排方案有 　 　 种． 14．若函数f（x）＝|x2﹣ax+1|﹣ax恰有两个零点，则a的取值范围是　 　 ． 四．解答题（共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知数列{an}的前n项和． （1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列的前n项和为Tn，求证：． 16．（15分）已知函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1． （1）求f（x）的单调区间； （2）若f（x）在区间（1，2）内有最小值，求a的取值范围； （3）若关于x的方程f（x）＝0有两个不同的解x1，x2，求证：x1+x2＞2． 17．（15分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆心为O，母线长为6，边长为的等边△ABC内接于底面圆O，射线OE与圆O交于点M，M∉直线AO，且点D满足，． （1）求此圆锥的侧面积； （2）若，，，求证：FN∥平面ABC； （3）当E为AB中点，且二面角A﹣DB﹣C的余弦值为时，求点M到平面BCD的距离． 18．（17分）已知椭圆的左、右顶点分别为A，B，|AB|＝4，直线y＝1交C于P，Q两点，． （1）求C的方程； （2）点M在线段PQ上，直线AM，BM分别交C于D，E两点，直线AE，BD交于点N． （i）证明：MN⊥AB； （ii）判断y轴上是否存在定点T，使得|NT|+|NM|为定值．若存在，求出T的坐标；若不存在，说明理由． 19．（17分）某人形机器人行业协会为了解行业现状，对该行业所有公司生产的人形机器人进行了一次性能评估．现从中随机抽取100家公司，统计其人形机器人“性能评分”（百分制，且均为整数）及对应的“行业评级”（评级越高，代表性能越优），整理数据如下表： 性能评分x 行业评级 公司数 90≤x≤100 5 10 80≤x＜90 4 m 70≤x＜80 3 n 60≤x＜70 2 20 0≤x＜60 1 10 （Ⅰ）当m＝30时，在这100家公司中， （i）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取1家，求其行业评级为5级的概率； （ii）从性能评分不低于80分的公司中随机抽取2家，记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，求X的分布列和数学期望EX； （Ⅱ）用频率估计概率，记“从该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，这2家公司的行业评级的平均值”为Y，记“上述100家公司的行业评级的平均值”为，设“Y”的概率为p1，“Y”的概率为p2，请根据表中信息比较p1与p2的大小．（结论不要求证明） 参考答案 一．选择题 1．C． 2．B． 3．B． 4．C． 5．A． 6．D． 7．C． 8．C． 二．多选题 9．ACD． 10．ABC． 11．ACD． 三．填空题 12．4 13．88． 14．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）． 四．解答题 15．解：（1）因为， 当n≥2时，， 两式相减，得an＝n，当n＝1时，满足上式， 故数列{an}的通项公式为an＝n． 证明：（2）由（1）知an＝n，故， 所以， 由于，所以，故． 16．解：（1）由函数f（x）＝ax﹣lnx﹣1， 可得f（x）的定义域为（0，+∞），， 当a≤0时，f′（x）＜0，所以f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为． 综上，当a≤0时，f（x）的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间； 当a＞0时，f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）当时，，所以f（x）在区间（1，2）内单调递减，无最小值，不合题意． 当时，， 当时，f′（x）＜0，f（x）单调递减， 当时，f′（x）＞0，f（x）单调递增， 所以f（x）在处取得最小值． 当a≥1时，，所以f（x）在区间（1，2）内单调递增，无最小值，不合题意． 综上，a的取值范围为． （3）证明：不妨设0＜x1＜x2， 由题意得消去a得， 设x2＝tx1（t＞1），代入上式得， ， 下证， 即证（t+1）lnt﹣2t+2＞0． 设g（t）＝（t+1）lnt﹣2t+2（t＞1），则， 令，则， 所以g′（t）在区间（1，+∞）内单调递增，即g′（t）＞g′（1）＝0， 所以g（t）在区间（1，+∞）内单调递增，即g（t）＞g（1）＝0， 所以lnx1+lnx2＞0，所以x1x2＞1， 因为x1≠x2，x1，x2＞0，所以． 17．（1）解：由题意可得△ABC的边长为， 则其外接圆半径， 所以此圆锥侧面积为：S＝πrl＝6×3π＝18π； （2）证明：取OD中点G，连接GE，GN，如图， 因，所以可得PG＝3GO， 又，，，所以可得GN∥OM，GF∥OA， 又因OM⊂平面ABC，因GN⊄平面ABC，所以GN∥平面ABC， 同理可得GF∥平面ABC， 又GF∩GN＝G，所以平面GFN∥平面ABC， 又FN⊂平面GFN， 所以FN∥平面ABC； （3）解：连接OB，OC，由题可知MC底面圆的直径，点A与点C关于平面DOB对称， 作AT⊥DB交DB于点T，连接CT，则由点CT⊥BD， 则∠ATC就是二面角A﹣DB﹣C，且AT＝CT，则， 在△ATC中，由余弦定理得cos∠ATC， 解得， 连接DE，由，，， 所以S△ADBAB×DEDB×AT3 ， 即， 解得，负值舍去， 所以可得， 连接MB，由MC为底面圆的直径，则， 所以，， 设点M到平面BCD的距离为d， 所以VM﹣BCD＝VD﹣MBC，即， 即d2， 解得． 故点M到平面BCD的距离为． 18．（1）解：依题意|AB|＝2a＝4， 所以a＝2， 因为直线y＝1交C于P，Q两点，且， 所以点在椭圆上， 代入椭圆方程，得，解得b2＝3， 所以椭圆C的方程为． （2）（i）证明：设，D（x1，y1），E（x2，y2）， 设直线AM：x＝（x0+2）y﹣2，BM：x＝（x0﹣2）y+2， 联立，得， 解得y＝0或y， 所以， 而直线BD的斜率为， 所以直线， 同理联立BM和椭圆方程，可得， 直线AE的斜率为， 所以直线AE， 联立，解得，即N（x0，）， 又M（x0，1）， 所以MN⊥AB． （ii）解：假设存在点T（0，t），使得|NT|+|NM|为定值m， 则， 整理得恒成立， 所以，解得， 故存在点，使得|NT|+|NM|为定值． 19．解：（Ⅰ）（i）当m＝30时，可得性能评分不低于80分的公司有30+10＝40家， 其中行业评级为5级的公司有10家， 所以从中随机抽取1家，其行业评级为5级的概率为． （ii）由记X为这2家公司中行业评级为5级的公司数，则X的可能取值为0，1，2， 可得， ， ， 所以随机变量X的分布列为： X 0 1 2 P 所以期望为． （Ⅱ）由题意，可得10+m+n+20+10＝100，可得m+n＝60， 所有公司的行业评级总和为5×10+4×m+3×（60﹣m）+2×20+1×10＝280+m， 所以，其取值范围为∈[2.8，3.4]， 该行业所有评级为2级和5级的公司中随机抽取2家，用频率估计概率， 则两家的评级都为2级的概率为，此时y＝2， 两家的评级一家为2级，一家为5级的概率为2，平均级别为Y＝3.5； 两家的评级都为5级的概率为，平均级别为Y＝5， 因为，当且仅当Y＝2时，满足，此时， 又因为3.4＜3.5且y≤3.4＜5，当且仅当Y＝3.5或Y＝5，满足， 此时， 所以p1＜p2． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $