数列求和 课件-2027届高三数学一轮复习

第39讲 数列求和 1 1.掌握等差数列、等比数列的前 项和公式. 2.掌握一般数列求和的几种常见的方法. 课 标 要 求 2 1.分组求和法 一个数列的通项是由__________________________的数列的通项组 成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加、减. 若干个等差或等比或可求和 2.倒序相加法与并项求和法 （1）倒序相加法 如果一个数列 中，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于 ____________，那么求这个数列的前 项和即可用倒序相加法. 同一个常数 ◆ 知识聚焦 ◆ 课 前 基 础 巩 固 3 （2）并项求和法 数列 满足彼此相邻的若干项的和为特殊数列时，运用________ 求其前项和.如通项公式形如 的数列. 并项法 3.裂项相消法 把数列的通项拆成__________，在求和时中间的一些项可以相互抵 消，从而求得其和. 两项之差 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列与一个等比数列的对应项之 ____构成的，那么求这个数列的前 项和时即可用错位相减法. 积 课 前 基 础 巩 固 4 常用结论 1.常用的求和公式 （1） . （2） . （3） . （4） . 课 前 基 础 巩 固 5 2.常用的裂项公式 （1） . （2） . （3） . （4） . （5） . 课 前 基 础 巩 固 6 题组一 常识题 1.［教材改编］已知数列的前项和为，若 , ,则 _____. 190 [解析] 由题意 . ◆ 对点演练 ◆ 课 前 基 础 巩 固 7 2.［教材改编］若数列满足,则的前 项和为____. [解析] 由题得, 所以的前 项和为 . 课 前 基 础 巩 固 8 3.［教材改编］ _________. [解析] 设 ， 则 ， 两式相减得， 所以 . 课 前 基 础 巩 固 9 题组二 常错题 ◆ 索引：利用分组（或并项）求和法求和时不能准确分组或不分奇 数项与偶数项致错;利用错位相减法求和时出现符号错误或不能准确 “错项对齐”致错. 4.数列 的前100项和等于_____. 100 [解析] 数列的前100项和等于 . 课 前 基 础 巩 固 10 5.数列的前项和 _ ____________________. [解析] 当时，； 当 时， ， 则， 由 得 ， 整理得，即 . 课 前 基 础 巩 固 11 综上可得， 课 前 基 础 巩 固 12 探究点一 分组转化法求和 例1 [2023· 新课标Ⅱ卷] 已知 为等差数列， 记，分别为数列，的前 项和， ， . 课 堂 考 点 探 究 13 （1）求 的通项公式； ［思路点拨］根据已知条件，结合等差数列的性质，以及等差数列 的前 项和公式，即可求解； 解：设数列的公差为 ， ， ， 又 ，即，， ， . 课 堂 考 点 探 究 14 （2）证明：当时， . ［思路点拨］根据已知条件，求出， ，再结合作差法，并分类 讨论，即可求证. 证明：由（1）可得 . 当 为偶数时， ， 课 堂 考 点 探 究 15 当 时， ，即 ； 当 为奇数时， ， 当 时，，即 . 综上，当时， . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] （1）分组转化法求和 数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项 变形，转化为等差数列或等比数列或可求前 项和的数列求和. （2）分组转化法求和的常见类型主要有：分段型 （如 ），周期型 . 课 堂 考 点 探 究 17 变式题（1）[2025·天津卷]数列的前项和为 ，则 的前12项和为( ) A.112 B.48 C.80 D.64 √ 课 堂 考 点 探 究 18 [解析] 因为，所以当 时， ， 当 时， ， 经检验，满足上式，所以 . 令，可得，令，可得 ， 设数列的前项和为，则 ， 所以 .故选C. 课 堂 考 点 探 究 19 （2）已知等比数列的各项均为正数，且 ， . ①求 的通项公式； 解：设等比数列的公比为，则 ， 即，所以， 所以，解得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 20 ②若，求数列的前项和 . 解：由①得 ，则， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 21 探究点二 错位相减法求和 例2 [2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 解：在中取,得 ， 由得， , 即, , 是以4为首项，为公比的等比数列, . 课 堂 考 点 探 究 22 （2）设,求数列的前项和 . 解：由（1）知 ， 则 ， 则 ， 得 ， . 课 堂 考 点 探 究 23 [总结反思] （1）若数列的通项公式为,且数列 是等差数列,数 列是等比数列,则可采用错位相减法求数列的前 项和. （2）用错位相减法求和时,应注意两点:一是两边先同时乘等比数列 的公比再错位相减,错位相减后化简归纳为一个等比数列求和;二是在 写出“”与“ ”的表达式时,应将两式“错项对齐”,即将两式中指数 相同的两项对齐,以便下一步准确写出“ ”的表达式. 课 堂 考 点 探 究 24 变式题 [2025·湖南长沙模拟] 已知等比数列的前项和为 ，且 . （1）求与 ； 解：由，得 . 当时，，解得, 当 时，， 得 ，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以 ，所以 . 课 堂 考 点 探 究 25 （2）记，求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ，则， 则 ， 两式相减得 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 26 探究点三 裂项相消法求和 角度1 等差型，形如 例3 已知数列是公差不为0的等差数列，， . （1）求的通项公式及其前项和 ； ［思路点拨］直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式，进而 可得前 项和公式； 解：设数列的公差为,由， ， 得，解得或 （舍去）， 所以， . 课 堂 考 点 探 究 27 （2）若，求数列 的通项公式. ［思路点拨］利用裂项相消法求出数列 的和. 解：因为，所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 28 [总结反思] （1）数列的通项公式形如 时,可先转化为 ,再用裂项相消法求和.一般地,若 是公差为 的等差数列,则, . （2）裂项相消法求和的基本思路是变换通项公式,即把每一项分裂为 两项,裂项的目的是产生可以相互抵消的项.需要注意的是抵消后并不 一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项或 者前面剩几项,后面也剩几项. 课 堂 考 点 探 究 29 变式题 [2025·湖南部分学校联考] 已知数列的前项和为 ， ， . （1）求 的通项公式； 解：由，，可得 ， 解得 . 当时，由，可得 ， 两式相减可得，对也成立， 所以 是首项为8，公比为4的等比数列， 所以， . 课 堂 考 点 探 究 30 （2）若，求数列的前项和 . 解：因为 ， 所以 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 31 角度2 无理型，形如 例4 [2025·四川成都模拟] 已知各项均为正数的数列的前 项和 为，且 . （1）求， ； ［思路点拨］利用已知条件，通过代入和 ，结合数列 的性质，逐步求解和 ； 课 堂 考 点 探 究 32 解：在 中，令，得 ， 因为，所以 . 在中，令，得 ， 即 ， 因为，所以 . 所以， . 课 堂 考 点 探 究 33 （2）证明： 是等差数列； ［思路点拨］通过递推关系，将用和 表示，代入原方程化 简，证明 的相邻项差为常数; 证明：当时，将 代入 ， 化简得 ， 即， 所以 是首项为1，公差为1的等差数列. 课 堂 考 点 探 究 34 （3）求数列的前项和 . ［思路点拨］利用（2）中结论，通过分母有理化简化求和过程. 解：由（2）可知，因为 是各项均为正数的数列， 所以，所以. 因为 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 35 [总结反思] 当数列的通项公式形如 时,可转化为 ,此类数列适合使用裂项相消法求和. 课 堂 考 点 探 究 36 变式题（1）已知等差数列的前项和为，若， ， 则数列 的前99项和为( ) A.7 B.8 C.9 D.10 [解析] 因为,所以， 又 , 所以,所以 , 所以 , 所以所求数列的前99项和为 .故选C. √ 课 堂 考 点 探 究 37 （2）[2025·江苏泰州四模]已知等差数列 的公差大于0，且 ，若，则 ( ) A. B. C. D. √ 课 堂 考 点 探 究 38 [解析] 设等差数列的公差为， , , ， , ， , 解得, .故选B. 课 堂 考 点 探 究 39 角度3 指数型，形如 例5 [2025·山东德州模拟] 已知各项均为正数的数列的前 项和 为，，， . （1）求数列 的通项公式； ［思路点拨］由已知数列递推公式可得数列 是等差数列，且首 项为1，公差也为1，则其通项公式可求； 课 堂 考 点 探 究 40 解：， ， 当时， ， 两式相减得 ， 化简可得， 又 ，所以，即， ， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 41 （2）设，求数列的前项和 . ［思路点拨］把（1）中求得的通项公式代入 ，整理后 利用裂项相消法求数列的前项和 . 解：由（1）知，， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 42 [总结反思] 数列的通项公式形如 时，可先变形为 ，再用裂项相消法求和. 常见公式： . 课 堂 考 点 探 究 43 变式题 已知数列的前项和满足， . （1）证明：数列 为等比数列； 证明：，且 ， ， ， ， 易知， ， 数列 是首项为，公比为 的等比数列. 课 堂 考 点 探 究 （2）记，求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ， ， ， ， . 课 堂 考 点 探 究 45 【备选理由】例1考查分组求和法. 例1 ［配例1使用］已知数列的前项和为，且 ， . （1）求数列 的通项公式； 解：因为 ，所以 . 当时， ，解得或 （舍去）； 当时， ， 所以 ， 即 ，即， 即 ， 教 师 备 用 习 题 46 又，所以 ， 即 ， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以 . 教 师 备 用 习 题 47 （2）求数列的前项和 . 解：由（1）可得 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 48 例2 ［配例2使用］[2025·江苏淮安、连云港调研] 已知等比数列 为递增数列，其前项和为，， . （1）求数列 的通项公式； 解：设等比数列的公比为 ， 由，，得 ，解得或 . 当时，； 当时， . 因为为递增数列，所以， ， 所以数列的通项公式为 . 【备选理由】例2考查通项公式及错位相减法求和. 教 师 备 用 习 题 49 （2）求 的值. 解：令 ， 由（1）知， ， 则 ， 所以 ， 两式相减得 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 50 例3 ［配例3使用］[2025·山东德州模拟] 已知数列的前 项和为 ，且满足 . （1）求数列 的通项公式； 【备选理由】例3考查裂项相消法求和. 教 师 备 用 习 题 51 解：因为，所以当 时， ，所以 ， 当时， ， 所以 ， 所以，， ，， ， 累乘得 ， 所以 ， 又符合上式，所以 . 教 师 备 用 习 题 52 （2）若，求数列的前100项和 . 解：由（1）得 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 53 例4 ［配例1使用］已知数列满足 ，数 列满足对任意正整数均有 成立. （1）求数列 的通项公式； 解：因为 ， 所以当时， ， 两式相减得，所以 ， 又符合上式，所以 . 【备选理由】例4考查等差、等比数列的综合及分组（并项）求和法. 教 师 备 用 习 题 54 （2）求数列 的前99项和. 解：由（1）知 . 因为对任意的正整数 ，均有 ， 所以数列 的前99项和为 . 教 师 备 用 习 题 55 作业手册 56 1.[2023·全国甲卷]记为等差数列的前项和.若 ， ，则 ( ) A.25 B.22 C.20 D.15 [解析] 设等差数列的公差为 . 依题意可得，，即 , 又，所以 . 由①②可得,， 所以 .故选C. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 57 2.数列中，，设的前项和为 ，则 ( ) A. B.16 C. D.12 [解析] 因为， 所以 ，故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 58 3. ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 59 [解析] ， 则 ， 两式相减得 ， 所以 .故选B. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 60 4.在数列中，，，则 的前20项和 ( ) A.621 B.622 C.1133 D.1134 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 61 [解析] 设，，则， . 由题可得，，即， 所以 是以2为首项，2为公差的等差数列，则 . 由题可得，即, 所以 是以1为首项，2为公比的等比数列，则. 所以 的前20项和 . 故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 62 5.[2025·湖北十堰模拟]已知等差数列满足，，前 项和为，若，则与 最接近的整数是( ) A.5 B.4 C.2 D.1 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 63 [解析] 设的公差为，则，所以 ， 所以，所以 ， 所以， 所以，则与 最接近的整数是2.故选C. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 64 6.已知数列满足，且数列的前 项和 为,那么 ____. 99 [解析] 因为 , 所以 由,得，解得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 65 7.[2025·昆明期末] 若数列对任意 满足 ，则数列的前 项和为 ____. [解析] 由 ， 得 ， 两式相减得，所以， 又 满足上式，所以，所以. 设数列的前项和为 ， 则 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 66 8.[2025·江苏苏州三模] 已知数列的前项和为， ， ，则 ____. 24 [解析] 因为，，所以 ， 所以. 因为 ，所以， 由得 ， 所以是以3为首项，2为公差的等差数列， 是以 为首项，2为公差的等差数列， 所以， ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 67 所以，， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 9.[2024·全国甲卷] 记为数列的前项和，已知 . （1）求 的通项公式； 解：在中取,得 ， 由 得 ， 即, , 是以4为首项， 为公比的等比数列, . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 69 （2）设,求数列的前项和 . 解：方法一：由（1）知 ， 则 ， 则 ， 得 ， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 70 方法二：由（1）知, 当 时，， 两边同时减去 可得 , 故为常数列， 则 , 可得 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 71 10.[2025·河北石家庄模拟]设数列,满足 ， ，.设为数列的前 项和， 则 ( ) A.110 B.120 C.288 D.306 [解析] 由题意，得 .故选A. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 72 11.[2025·山东济南联考]将数列与数列 的公共项从小 到大排列得到新数列，则 ( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 73 [解析] 数列 是以1为首项，2为公差的等差数列， 即1,3,5,7,9,11,13， ， 数列 是以1为首项，3为公差的等差数列， 即1,4,7,10,13,16,19, ， 所以数列与 的公共项所构成的新数列 是以1为首项，6为公差的等差数列， 所以，所以 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 74 12.（多选题）已知数列满足 ， 设，记数列的前 项 和为，数列的前项和为 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 75 [解析] 对于A，由，因为 所以，，故A正确； 对于B，当 ，时， ， 因为 ，所以， 故由可得，则 ， 即数列 是公差为1的等差数列， 则，可得 ，故B正确； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 对于C，由 ， 可得 ， 上面两式相减可得 ，可得，故C错误； 对于D，由 ，，可得， 则 ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 13.（多选题）已知数列满足 ， 则( ) A. B.的前项和为 C.的前100项和为 D. 的前20项和为284 [解析] ， 当时， , 当时， ， 两式相减得， 则 ， 又满足上式，，故A正确； √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 78 ， 数列是首项为4，公差为2的等差数列， 的前 项和，故B正确； 的前100项和为，故C错误； 的前20项和为,故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 14.已知数列的前项和为， ，则 _______. [解析] 由题意得， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 80 15.已知公差不为0的等差数列中，存在， ，满足 ，，则 ______. 2027 [解析] 设等差数列的公差为， 由 ，可得 ， 因为 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 81 16.设数列的前项和为，点 均在函数 的图象上． （1）求数列 的通项公式； 解：依题意得，即. 当 时， ； 当时， ， 满足上式． 所以 ． 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 82 （2）设，是数列的前项和，求使得 对所 有都成立的最小正整数 . 解：由（1）得 ， 故 ． 因为对所有都成立， 所以 对所有 都成立， 所以，解得， 故满足要求的最小正整数 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 83 17.[2025·湖南永州二模] 已知数列满足， ，且对任 意的，都有 . （1）设，求数列 的通项公式； ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 84 解：依题意，对任意的，都有 ， 故对任意的， ， 所以对任意的，，即 ， 所以数列是公差为2的等差数列， 由，，得 ， ， 所以，解得， 所以 ，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 85 （2）设数列的前项和为，求证： . 证明：由（1）可知，， 所以当 时， ， 又符合上式，所以 ， 所以 ， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 86 则 ， 因为，所以，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 【 知识聚焦】 1.若干个等差或等比或可求和 2.（1）同一个常数 （2）并项法 3.两项之差 4.积 【对点演练】 1.190 2.<m></m> 3.<m></m> 4.100 5.<m></m> 课堂考点探究 例1（1）<m></m>.（2）证明略. 变式题（1）C （2）①</m>. ②<m></m>. 例2（1）</m>.（2）</m>. 变式题（1）<m></m>，</m>. （2）<m></m>.例3（1）<m></m>，<m></m>. （2）<m></m>. 变式题（1）<m></m>，<m></m>. （2）<m></m>. 例4（1）</m>，<m></m>.（2）证明略.（3）<m></m>. 变式题（1）C （2）B 例5（1）<m></m>.（2）<m></m>. 变式题（1）证明略. （2）<m></m>. 答 案 核 查 88 基础热身 1.C 2.A 3.B 4.C 5.C 6.99 7.<m></m> 8.24 9.（1）</m>. （2）<m></m>. 综合提升 10.A 11.A 12.ABD 13.ABD 14.<m></m> 15.2027 16.（1）<m></m>． （2）<m></m>. 能力拓展 17.（1）<m></m>. （2）证明略. 答 案 核 查 89 $