数列的综合问题 课件-2027届高三数学一轮复习

第40讲 数列的综合问题 1 1.能在具体的问题情境中发现数列的等差关系或等比关系,并解决相 应的问题.认识数列的函数特性,能结合方程、不等式、解析几何等知 识解决一些数列问题. 2.能依据现实的生活背景,提炼相关的数量关系,将现实问题转化为数 学问题,构造等差、等比数列模型,并加以解决. 课 标 要 求 2 探究点一 等差、等比数列的综合问题 例1 设是等差数列，其前项和为； 是等比数列， 公比大于0,其前项和为.已知, , ， . 课 堂 考 点 探 究 3 （1）求和 ； 解：设等比数列的公比为 . 由,，可得. 因为 ，所以可得,故. 所以 . 设等差数列的公差为 . 由，可得 . 由，可得，从而， ， 故，所以 . 课 堂 考 点 探 究 4 （2）若，求正整数 的值. 解：由（1），有 . 由 ， 可得, 整理得 , 解得（舍）或. 所以 的值为4. 课 堂 考 点 探 究 5 [总结反思] 解决由等差数列、等比数列组成的综合问题,首先要根据两数列的概 念,设出相应的基本量,然后充分利用通项公式、求和公式、数列的性 质等确定基本量.解综合问题的关键在于审清题目,弄懂来龙去脉,揭示 问题的内在联系和隐含条件. 课 堂 考 点 探 究 6 （1）求数列， 的通项公式； 解：因为，所以依题意得 则, ， 由得 ，解得或 . 因为，所以，所以 ， 所以 . 变式题 在等差数列中，，公差;在等比数列 中，，是和的等差中项，是和 的等差中项. 课 堂 考 点 探 究 因为, ， 所以的公比 ， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 （2）求数列的前项和 ； 解：因为， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 9 （3）记,比较与 的大小. 解：因为, ， 所以 . 当时， ， 当时， ， 所以，当时， . 课 堂 考 点 探 究 10 探究点二 数列与不等式的综合问题 角度1 数列与不等式求参问题 例2 [2026·沈阳重点中学联合体模拟] 已知数列 满足 ，，，其中为 的前项和，等比数列满足，且，， 成等差 数列. （1）求数列， 的通项公式； ［思路点拨］由等差数列的定义可得数列 为等差数列，再结合 等差数列公式求得和公差，即可得数列 的通项公式，结合等 差数列性质计算即可得数列 的通项公式； 课 堂 考 点 探 究 11 解：由，得 ， 所以数列为等差数列，设其公差为 ， 则解得 所以 . 设等比数列的公比为，因为,, 成等差数列， 所以，即， 则 ，解得或（舍去），所以 . 课 堂 考 点 探 究 12 （2）设，的前项和为，若 恒成立，求 实数 的最大值. ［思路点拨］借助等差数列求和公式可表示 ，再利用裂项相消法 可求得 ，再结合数列单调性计算即可得解. 解：由（1）可知， ， 则 ， 则 . 课 堂 考 点 探 究 13 因为 恒成立， 即 恒成立， 所以 恒成立， 易知为递增数列，所以 ， 所以，即，所以实数 的最大值为 . 课 堂 考 点 探 究 [总结反思] 数列与不等式的求参问题及求解策略 （1）判断数列问题的一些不等关系,可以利用数列的增减性比较大小 或借助数列对应的函数的单调性比较大小. （2）以数列为载体,考查不等式恒成立的问题可转化为函数的最值问题. 课 堂 考 点 探 究 15 变式题 在等差数列中，公差，，且， ， 成等比数列. （1）求数列 的通项公式； 解：由题意可得 可得 . 课 堂 考 点 探 究 16 （2）若为数列的前项和，且存在 ，使得 成立，求实数 的取值范围. 解： ， . 存在，使得成立， 存在 ，使得成立， 即存在，使得 成立. ，当且仅当 时取等号， ， 实数 的取值范围是 . 课 堂 考 点 探 究 17 角度2 数列与不等式的证明 例3 [2022·新高考全国Ⅰ卷] 记为数列的前项和，已知 , 是公差为 的等差数列. （1）求 的通项公式； ［思路点拨］直接利用数列的递推关系式求出数列 的通项公式； 课 堂 考 点 探 究 18 解：因为，所以 ， 所以数列是首项为1，公差为 的等差数列， 所以，所以 . 当时， ， 所以，即 ， 则， 又满足上式，所以的通项公式为 . 课 堂 考 点 探 究 19 （2）证明： . ［思路点拨］利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法求出数列 的和，进一步利用放缩法得出结果. 证明： . 课 堂 考 点 探 究 20 [总结反思] 与数列有关的不等式证明问题,一般采用放缩法进行证明,有时也可通 过构造函数进行证明. 课 堂 考 点 探 究 21 证明：若为调和数列，则,且 , 所以 , 即 , 所以, 则 ,所以 , 所以数列 是等差数列. 变式题 若数列每相邻三项满足,且 , 则称其为调和数列. （1）若为调和数列，证明数列 是等差数列； 课 堂 考 点 探 究 22 （2）在调和数列中，,,前项和为 ,求证： . 解：由（1）可得是等差数列，且,公差为1，所以 , 所以，所以 . 要证, 当时，上式可化为 ，不等式成立， 当时，即证 , 即证 , 即证 . 课 堂 考 点 探 究 23 令, , 则 ， 所以在 上单调递增， 所以 ， 即对 恒成立， 所以 恒成立， 所以 . 课 堂 考 点 探 究 探究点三 数列在实际中的应用 例4 2025年蛇年春晚的武汉分会场地点设在黄鹤楼，楼的外观有五 层而实际上内部有九层.为营造春节的喜庆气氛，主办方决定在黄鹤 楼的外部用灯笼进行装饰.这五层楼预计共挂186盏灯笼，且相邻两层 中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的2倍，则最中间一层需要挂灯笼 的数量为( ) A.12盏 B.24盏 C.36盏 D.48盏 ［思路点拨］各层楼的灯笼数从上至下依次成等比数列，依据公比 和前5项和可求得首项，进而可求最中间一层的灯笼数. √ 课 堂 考 点 探 究 25 [解析] 由题意知，各层楼的灯笼数从上至下成等比数列， 记为数列，第5层楼所挂灯笼数为，公比， 由 ，解得， 所以 ，即最中间一层的灯笼需要挂24盏. 故选B. 课 堂 考 点 探 究 26 [总结反思] 解决与数列有关的实际问题的一般步骤:首先要认真阅读,学会翻译 （数学化）,其次考虑用熟悉的数列知识建立数学模型,然后求出问题 的解,最后还需验证求得的解是否符合实际. 课 堂 考 点 探 究 27 变式题 [2025·北京人大附中月考]专家表示，海水倒灌原因是太阳、 月亮等星体的共同作用下，海水的自然涨落，如果天气因素造成的 涨水现象赶上潮汐高潮的时候，水位就会异常的高.某地发生海水倒 灌，未来 需要排水减少损失，因此需要紧急抽调抽水机.经测算， 需要调用20台某型号抽水机，每台抽水机需要平均工作 .而目前 只有一台抽水机可立即投入施工，其余抽水机需要从其他施工现场 抽调.若抽调的抽水机每隔 才有一台到达施工现场投入工作， 要在 内完成排水任务，指挥部至少共需要这种型号的抽水机 ( ) A.25台 B.24台 C.23台 D.22台 √ 课 堂 考 点 探 究 28 [解析] 设至少共需要台抽水机，记一台抽水机 完成的任务 为单位1，这台抽水机完成的任务依次为,, ,， . 依题意知，， 是首项为72，公差为 的等差数列， 的前项和 . 要完成所有任务，则 ， 即. 记，则 在上单调递减， 又， ， 所以时， ， 所以至少共需要24台这种型号的抽水机. 故选B. 课 堂 考 点 探 究 29 【备选理由】例1侧重考查等差与等比数列基本量计算的综合. 例1 ［配例1使用］（多选题）若，，，， 构成等差数列， 公差，，且其中三项构成等比数列，设 ， ，则下列说法错误的是( ) A. 一定大于0 B.，， 可能构成等比数列 C.若，，则 为5的倍数 D. √ √ √ 教 师 备 用 习 题 30 [解析] 对于A，取，则，， 为等比数列， ，故A说法错误； 对于B，若，， 构成等比数列， 则，即，与公差 ， 矛盾，故B说法错误； 对于C， 为5的倍数，故C说法正确； 对于D，， ，故D说法错误.故选ABD. 教 师 备 用 习 题 31 例2 ［配例1使用］已知等比数列的公比与等差数列 的公差 均为2，且，设数列 满足 ，则数列 的前20项和为( ) A. B. C. D. √ 【备选理由】例2侧重考查等差与等比数列基本量计算的综合. 教 师 备 用 习 题 32 [解析] 因为，所以，， 则 ，，则 所以数列 的前20项和为 .故选B. 教 师 备 用 习 题 33 例3 ［配例2使用］[2025·临沂模拟] 在数列中， ， ，则数列 的通项公式为 ______________ ___；若不等式对恒成立，则 的取值范 围为 _ ________. [解析] ，， 数列 是以 为首项，2为公差的等差数列， ， 【备选理由】例3根据递推关系转化不等式，考查数列的函数特性， 进而求参数的取值. 教 师 备 用 习 题 34 不等式对 恒成立， . 设，由 可得可得或， 当或 时，数列有最大项，最大项为， 故 的取值范围为 . 教 师 备 用 习 题 例4 ［配例3使用］[2025·广州二模] 已知为数列的前 项和， 且是 和8的等差中项. （1）求数列 的通项公式； 解：因为为数列的前项和，且是 和8的等差中项， 所以 ，所以，所以 ， 当时，因为，所以 ， 所以，所以 ， 所以数列 是以8为首项，公比为2的等比数列， 所以 . 【备选理由】例4考查利用放缩法和裂项相消法证明不等式. 教 师 备 用 习 题 36 （2）令，数列的前项和为 ，证明： . 教 师 备 用 习 题 37 证明：由（1）可得 ， 所以 ， 所以数列的前 项和 ， 因为在 上单调递增， 所以是递增数列，所以 ， 所以 . 教 师 备 用 习 题 38 作业手册 39 1.[2025·北京卷]已知是公差不为0的等差数列，，若 ， ，成等比数列，则 ( ) A. B. C.16 D.18 [解析] 设等差数列的公差为. 因为,, 成等比数列，且，所以， 即 ，解得或（舍去）， 所以 .故选C. √ ◆ 基础热身 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 2.[2025·江苏常州模拟]已知等比数列的前项和为，且 ， ，成等差数列，则数列的公比 ( ) A.1或 B.或 C.或2 D.1或 [解析] ，，成等差数列， ， 即 ，整理得 ， 即 ，，， 解得 或 ，故选A. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 3.已知数列既是公差为的等差数列，又是公比为 的等比数列， 首项 ，则它的前2026项和为( ) A. B. C.2026 D.0 [解析] 因为既是等差数列又是等比数列，且 ， 所以 （常数数列）， 所以其前2026项和为2026，故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 4.已知公差不为0的等差数列的前项和为，若，, , 成等比数列，则满足的 的最大值为( ) A.8 B.9 C.13 D.14 [解析] 设数列的公差为，因为，,, 成等比数列， 所以 解得 所以，所以. 令 ，得，解得， 又，所以 的最大值为14.故选D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 5.已知数列满足，在，之间插入 个1，构成数列 ,1，,1,1，,1,1,1，， ，则数列 的前100项的和 ( ) A.178 B.191 C.206 D.216 √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 [解析] 数列满足，在，之间插入 个1， 构成数列,1，,1,1，,1,1,1，， ， 所以数列中从到 的项数为 ， 当时，，当时， ， 因为 ，所以 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 6.[2025·安徽马鞍山一模]已知数列的通项公式为 ，前 项和为，则取得最小值时 的值为( ) A.6 B.7 C.8 D.9 [解析] 令，解得或， 所以当 时，，当时，， 当时，，且 ，，，， ， ， 所以，所以 取得最小值时 的值为8.故选C. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 7.已知数列满足, 为正整数，则该数列的最大项是第 ______项. 2和3 [解析] , 在 上单调递减，在上单调递增， 且, 该数列的最大项是第2项和第3项. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 8.[2025·福建南平模拟]已知数列的前项和为 ，若 ，且对任意的，都有，则实数 的取值 范围是 . [解析] 因为，且对任意的，都有 ， 所以，所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 9.[2026·重庆巴蜀中学9月月考] 已知数列为等差数列， 的前 项和为，， . （1）求数列 的通项公式； 解：设的公差为，则， ， 解得， ， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 （2）证明： . 证明：因为 ， 所以 ， 因为，所以，所以 , 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 10.[2025·广东汕头模拟]已知，，为 和2的等差中项，则 的最小值为( ) A. B.3 C. D. [解析] 因为为和2的等差中项，所以，即 ， 则， 当且仅当 时等号成立，所以的最小值为 .故选D. √ ◆ 综合提升 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 11.已知数列满足，， .记数列 的前项和为，若对任意的，都有 ， 则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 由，可得， 则 是首项为3，公比为3的等比数列， 所以，即 ， 则 ， 所以 ， 又对任意的，都有，所以 .故选A. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 12.（多选题）已知数列的前项和为，且 ，数列 满足,，记 ，则下列说法正确 的是( ) A. B. C. 恒成立 D.若，关于的不等式恰有两个解，则 的取值范围为 √ √ √ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 [解析] 当时，，即，所以 ， 当时， ， 所以，即 , 即， 因为，所以， 所以 是首项为1，公比为2的等比数列，所以 ，故A正确； 由，得，则 ， 所以数列为常数列，所以 ， 所以，故B错误； 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 ，当时，， 令，可得 ，令，可得， 令，可得 ，所以 ， 所以当或时， 取得最大值，故C正确； ,，因为关于 的不等式恰有两个解， 所以 的取值范围为 ，故D正确.故选 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 13.已知数列满足， ，则使得 成立的最小正整数 的值为___. 6 [解析] 因为，所以 ， 则， 又，所以数列{ 是首项为，公比为2的等比数列， 所以 ，所以. 由，得 ， 因为,，所以，即，则 ， 则使得成立的最小正整数 的值为6. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 57 14.[2025·北京大学附中三模] 为保证某水域内鱼类资源的可持续发 展，需根据其自身再生能力等因素制定合理的捕捞方案.记 为第年年初时该水域内的鱼类总量，根据研究，第 年 鱼类的自然繁殖量与成正比，自然死亡量与 成正比，捕捞量 与成正比，比例系数分别为,,，则和 的关系 式为_____________________________________；若, ， 要保持每年年初时鱼类总量始终不变，则一组符合条件的 为 _________________________. （答案不唯一） 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 58 [解析] 因为第年鱼类的自然繁殖量与 成正比，自然死亡量与 成正比，捕捞量与成正比，比例系数分别为,, ， 所以. 若, ，要保持每年年初时鱼类总量始终不变，即 ， 则，代入，得 ， 即， 由,，不妨取,，经检验 , 满足题意. 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 59 15.[2025·湖北十堰模拟] 已知数列的前项和为， ，且 . （1）求数列 的通项公式； 解： ①， 当时， ②， 由得 ， 在①式中，令，则， ，满足，对恒成立， 是首项为，公比为 的等比数列， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 60 （2）设数列满足，记的前 项 和为，若对任意恒成立，求实数 的取值范围. 解：由，得 ， ③， ④， 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 61 由 得 ， . 由得，即 . 当时，可得 ， 此时 ; 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 当 时，不等式显然成立; 当时，可得， ， .综上， . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.已知数列是首项为2，公差为3的等差数列，数列 满足 ， . （1）证明是等比数列，并求, 的通项公式. 解：由，得 ， 又，所以 是首项为3，公比为3的等比数列， 所以， 所以 . . ◆ 能力拓展 ◆ 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 64 （2）若数列与中有公共项，即存在, ，使得 成立.按照从小到大的顺序将这些公共项排列，得到一个新 的数列，记作，求 . 解：由，可得，， 即 ,5,8,， 时为公共项， 所以 . 作 业 手 册 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 65 课堂考点探究 例1（1）<m></m>，</m>.（2）4.变式题（1）<m></m> . <m></m>.（2）<m></m>. （3）<m></m>，当<m></m>时，<m></m>. 例2（1）<m></m>.</m>.（2）<m></m>.变式题（1）</m>. （2<m></m>. 例3（1）<m></m>.（2）证明略</m>. 变式题（1）证明略. （2）证明略. 例4 B 变式题 B 答 案 核 查 66 基础热身 1.C 2.A 3.C 4.D 5.A 6.C 7.2和3 8. 9.（1）<m></m>.（2）证明略. 综合提升 10.D 11.A 12.ACD 13.6 14.<m></m> <m></m>（答案不唯一） 15.（1）<m></m>.（2）<m>m></m>. 能力拓展 16.（1）证明略，<m></m>.</m>.（2）</m>. 答 案 核 查 67 $