精品解析：陕西宝鸡市2026届高三下学期高考考前模拟检测数学试题

2026年宝鸡市高考模拟检测试题（三） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】根据纯虚数的定义列出式子即可求出. 【详解】因为是纯虚数， 所以，则，所以. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：已知集合， ， ． 3. 已知与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得. 4. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由题可知， 又，，即， 解得． 5. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 的最小值为0 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 【答案】D 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式化简函数，再利用余弦函数的性质逐项判断即可. 【详解】依题意，函数， 对于A，是偶函数，A错误； 对于B，函数的最大值为1，因此函数的最小值为，B错误； 对于C，，函数的图象关于直线不对称，C错误； 对于D，当时，，则函数在单调递减， 因此函数在上单调递增，D正确. 6. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 22 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列的性质可得，进而得到，再结合求解． 【详解】解：在等差数列中，， ，解得， ． 7. 2026年3月15日我省分类招生考试圆满结束．在我市三所高中报名参加今年高考的学生中，分别有的学生报名参加了分类招生考试．若这三所学校报名参加今年高考的人数之比为9：6：5，则下列说法正确的有（ ）个 ①从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，则此人参加分类招生考试的概率为 ②从这三个高中报名参加今年高考的人中任意选取100人，平均参加分类招生考试的人数为14人 ③从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，这个人来自A学校且参加分类招生考试的概率为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式，条件概率公式即可求解. 【详解】设事件分别表示三所高中报名参加今年高考，事件表示报名参加分类招生， 则，， 设事件D，表示从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，则此人参加分类招生考试， 所以 ，故①正确； 从这三个高中报名参加今年高考的人中任意选取100人， 平均参加分类招生考试的人数为人，故②正确； 从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人， 这个人来自A学校且参加分类招生考试的概率为 ，故③错误. 8. 已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的运算法则先求导，再根据导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得：，所以， 所以， 根据导数的几何意义得， 所以. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥展开图中圆心角为 D. 若，一只蚂蚁沿着表面从爬到则最短距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，得到圆锥的高，利用圆锥体积公式及侧面积公式可判断AB；用底面周长除以母线长得到侧面展开图中圆心角判断C；把侧面沿展开，利用余弦定理计算即可判断． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 体积，故A正确； 圆锥的侧面积，故B错误； 底面周长为，则圆锥展开图中圆心角为，故C正确； 如图，侧面沿展开， 所以，则， ，则最短距离为，故D错误． 10. 已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数可求解，根据自变量即可代入求值判断B,结合函数的图象即可判断CD. 【详解】由对于一切恒成立得，代入得，故A正确， ，所以，故B错误， 当时，，画出其图象（如图），当时，，进而根据奇函数可得时，，令，则，令，则， 要使值域为，最小，则或者故的最小值为；故C正确， 要使值域为，最大，则或者故的最大值为；故D正确 故选：ACD 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两个不同的点．则下列选项正确的有（ ） A. B. 设三点的横坐标分别为，则成等比数列 C. 若的面积为4，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设准线为，则，过点作于点，过点作于点，利用相似三角形即可判断A，设直线的方程为，与抛物线方程联立即可判断B，根据的面积求出即可判断C，设，则，利用，解出即可判断D. 【详解】设准线为，则，， 过点作于点，过点作于点， 所以， 显然，所以，故A正确； 设直线的方程为， 所以，消元整理得， 设，所以， 又，所以，即成等比数列，故B正确； 由， 点到直线的距离为： ， 所以， 解得，即，故C错误； 设，所以， 又， 在中有：， 同理在中有：， 又，所以， 所以，即， 化简整理得：，即， 所以，所以， 即，所以，故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数为__________. 【答案】20 【解析】 【分析】由二项式展开式的通项分前面括号内取1和分别求解即可. 【详解】展开式的通项是， 分别令得， 所以展开式中项为， 所以展开式中的系数为. 故答案为：20. 13. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 【答案】 【解析】 【分析】由正、余弦定理求出底面的外接圆半径，利用圆心与球心的连线垂直于底面构成直角三角形即可求出外接球的半径，进而可得其表面积. 【详解】在底面中，，， 由余弦定理，可得， 设的外接圆圆心为，半径为，三棱锥外接球的球心为，半径为， 在中，由正弦定理可得，解得， 因为平面，平面，且球心到点的距离相等， 所以球心到底面的距离为， 在中，， 故该三棱锥外接球的表面积为， 故答案为： 14. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____． 【答案】 【解析】 【详解】分析：由正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理化简已知等式可得，根据范围B∈（0，π），可求B的值． 由余弦定理可得AC2=13﹣12cosD，由△ABC为直角三角形，可求，, S△ADC=3sinD，由三角函数恒等变换的应用可求四边形的面积为，利用三角函数化一公式得到最值时的角C值. 详解： ，由正弦定理得到 在三角形ACD中由余弦定理得到，三角形ABC的面积为 四边形的面积为 当三角形面积最大时， 故答案为 点睛：本题主要考查了正弦定理，两角和的正弦函数公式，三角形内角和定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用以及正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为考察某种国产芯片和进口芯片的质量，随机抽取了500颗同规格芯片，对两种芯片的良品、次品进行对比，得到如下不完整的列联表： 项目 良品 次品 合计 国产芯片 10 250 进口芯片 230 合计 470 30 500 （1）完成上面的表格中的空缺部分填空，以频率估计概率，估计国产芯片的次品率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断国产芯片与进口芯片质量有差异？ 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 附：，其中为样本容量． 【答案】（1） 项目 良品 次品 合计 国产芯片 240 10 250 进口芯片 230 20 250 合计 470 30 500 ， （2）没有充分证据表明国产芯片与进口芯片质量有差异 【解析】 【分析】（1）完善列联表，计数频率即可求解； （2）计算出的观测值，结合临界值表可得出结论. 【小问1详解】 表格中的空缺部分填空如下表， 项目 良品 次品 合计 国产芯片 240 10 250 进口芯片 230 20 250 合计 470 30 500 样本中国产芯片次品的频率为 ， 由此估计国产芯片的次品率为 ； 【小问2详解】 假设：国产芯片与进口芯片质量无差异， 因为 ， 由， 所以没有充分证据表明国产芯片与进口芯片质量有差异. 16. 如图，在矩形中，为的中点，将沿折起，使得，连接． （1）求证：平面平面． （2）求二面角的正弦值． （3）当绕边在空间旋转时，设在平面内的投影为，求的轨迹的长度． 【答案】（1）证明：因为在矩形中，，，所以，．又因为为的中点，所以，从而． 在原矩形中，，且，所以．将沿折起时，自身的形状和大小不变，因此折起后仍有． 又由题意，折起后．因为平面，平面，且，所以平面． 因为平面，所以平面平面． （2） （3）． 【解析】 【分析】1）先由矩形边长和中点条件得到，并得，折叠不改变中的长度和垂直关系，再结合题设，利用线面垂直的判定证明平面，进而证明两个平面垂直． （2）方法一可取垂直于棱的截面，将二面角的平面角转化为中的角；方法二可先证明平面，再直接得到，从而确定平面角；方法三可建立空间直角坐标系，利用两个面的法向量验证结果． （3）设为点到的垂足．旋转过程中，点固定，且不变，点在以为圆心、为半径的圆上运动；该圆正射影到平面后为一条线段，再求该线段长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：在原矩形中，，．又，所以，因此． 折起后，线段和的位置不变，所以仍有． 又题设给出，且，平面，平面，所以平面，从而． 二面角的棱为．在平面内，直线；在平面内，直线． 因此，或其补角是二面角的平面角．由于两个角互补时正弦值相等，只需求． 在中，，，所以，且．故二面角的正弦值为． 方法二：过点作平面．因为，且在平面内，所以平面与平面的交线可取为所在直线． 又因为，且在平面内，所以平面与平面的交线可取为所在直线． 因此二面角的一个平面角为或其补角，正弦值仍为． 由，，得，所以二面角的正弦值为． 方法三：以点为原点，以所在直线为轴，以所在直线为轴，以过点且平行于的直线为轴建立空间直角坐标系，则可取，，． 因为原平面中，且由原矩形位置确定，所以可取． 平面的一个法向量可取．设平面的一个法向量为，由，，得，，故可取． 于是，所以两个平面所成角的正弦值为，即二面角的正弦值为． 【小问3详解】 设为点到的垂足．由上面的计算可知，在中，，，且，所以是等腰直角三角形，点为斜边的中点． 由直角三角形面积相等可得，所以． 当绕边在空间旋转时，边保持不动，所以点保持不动； 又，且的长度保持为，所以点在以为圆心、为半径的圆上运动，且该圆所在平面与垂直． 因为平面，所以这个圆正射影到平面后，落在过点且垂直于的直线上． 当点转到圆上与平面距离为的两个位置时，投影点到的距离分别达到最大值，且在这两个端点之间的所有位置都能取到． 因此点的轨迹是一条线段，其长度为． 17. 已知数列的各项均为正数，，其前项和满足其中为常数且． （1）求证：数列为等比数列 （2）若，数列满足，数列满足，求数列的前项和 【答案】（1） 由，得， 两式相减得：， 又，则， 又，则，其中为常数且， 所以数列为等比数列； （2） 【解析】 【分析】（1）利用等比数列的定义即可得证； （2）由题意得，利用等比数列前项和公式和等差数列前项和公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， 由知： 当时；当时， 所以， 当时，， 当时，， 即. 18. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为. （i）求直线的斜率； （ii）求椭圆的方程. 【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）（ⅰ）.（ii）. 【解析】 【分析】根据的面积为列出一个关于的等式，削去求出离心率；根据关系巧设直线的方程，与直线FP的方程联立解出焦点的坐标，利用|FQ|=解出斜率，把直线FP的方程与椭圆方程联立，解出点坐标，分别求出和的面积，利用四边形的面积为，解出，得出椭圆的标准方程. 【详解】（Ⅰ）设椭圆的离心率为e.由已知，可得.又由，可得，即.又因为，解得. 所以，椭圆的离心率为. （Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线FP的方程为，则直线FP的斜率为. 由（Ⅰ）知，可得直线AE的方程为， 即，与直线FP的方程联立， 可解得，即点Q的坐标为. 由已知|FQ|=，有， 整理得，所以，即直线FP的斜率为. （ii）解：由，可得，故椭圆方程可以表示为. 由（i）得直线FP的方程为， 与椭圆方程联立消去， 整理得，解得（舍去） 或.因此可得点，进而可得，所以. 由已知，线段的长即为与这两条平行直线间的距离， 故直线和都垂直于直线. 因为，所以，所以的面积为，同理的面积等于，由四边形的面积为，得，整理得，又由，得. 所以，椭圆的方程为. 【点睛】列出一个关于 的等式，可以求离心率；列出一个关于 的不等式，可以求离心率的取值范围.“减元”思想是解决解析几何问题的重要思想，巧设直线方程利用题目条件列方程求解斜率，求椭圆方程的基本方法就是待定系数法，根据已知条件列方程通过解方程求出待定系数. 19. 已知，函数的导函数为． （1）若，求的极值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若存在实数，使得“”是“”的充要条件，求的取值范围，并求的最小值． 【答案】（1）极小值为，极大值为． （2） 因为，所以的定义域是，定义域关于原点对称． . ，且， 所以曲线关于点对称，即曲线是中心对称图形． （3）的取值范围是的最小值为． 【解析】 【分析】（1）利用导数分析当时，的单调性，从而得到的极值； （2）利用中心对称的代数表达，求得函数的对称中心，从而证得曲线是中心对称图形； （3）“”是“”的充要条件，等价于“当时，，当时，”．通过对进行分类讨论，求得的取值范围及的最小值. 【小问1详解】 当时，， 当或时，单调递减；当时，单调递增. 故的极小值为，极大值为． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 “”是“”的充要条件，即当时，，当时，． ①若，则，所以在上单调递减， 若“”是“”的充要条件，则． 设， 则是增函数． 所以，当时取等号， 即的最小值为． ②若，由，得， 此方程有两个正根，， 故在上单调递减，在上单调递增， 所以． 此时若存在，使得对任意，则必有， 与“当时，”矛盾，故不符合条件． 综上，的取值范围是的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年宝鸡市高考模拟检测试题（三） 数学 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将所有答案写在答题卡上，在本试卷上答题无效．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 注意事项： 1．答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上． 2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，书写要工整、笔迹清楚，将答案书写在答题卡规定的位置上． 3．所有题目必须在答题卡上作答，在试卷上答题无效． 第I卷（选择题共58分） 一、单项选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．） 1. 若复数是纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知与的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 设双曲线，椭圆的离心率分别为，若，则（ ） A. 2 B. C. 3 D. 5. 已知函数，则以下结论正确的是（ ） A. 函数是奇函数 B. 的最小值为0 C. 函数的图象关于直线对称 D. 函数在区间上单调递增 6. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. B. 18 C. D. 22 7. 2026年3月15日我省分类招生考试圆满结束．在我市三所高中报名参加今年高考的学生中，分别有的学生报名参加了分类招生考试．若这三所学校报名参加今年高考的人数之比为9：6：5，则下列说法正确的有（ ）个 ①从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，则此人参加分类招生考试的概率为 ②从这三个高中报名参加今年高考的人中任意选取100人，平均参加分类招生考试的人数为14人 ③从这三所高中报名参加今年高考的人中任选一人，这个人来自A学校且参加分类招生考试的概率为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 8. 已知函数的图象如图所示，若，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．） 9. 如图，已知圆锥的底面直径，母线，则下列说法正确的是（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面积为 C. 圆锥展开图中圆心角为 D. 若，一只蚂蚁沿着表面从爬到则最短距离为 10. 已知且对于一切恒成立，在上的值域为，则（ ） A. B. C. 的最小值为 D. 的最大值为 11. 已知抛物线的焦点为，准线与轴交于点，过点的直线与抛物线交于两个不同的点．则下列选项正确的有（ ） A. B. 设三点的横坐标分别为，则成等比数列 C. 若的面积为4，则直线的斜率为 D. 若，则直线的斜率为 第Ⅱ卷（非选择题共92分） 三、填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 的展开式中的系数为__________. 13. 在三棱锥中，平面，，，，则该三棱锥外接球的表面积为_________ 14. 如图，设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且若点D是外一点，，，则当四边形ABCD面积最大值时，____． 四、解答题：（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 为考察某种国产芯片和进口芯片的质量，随机抽取了500颗同规格芯片，对两种芯片的良品、次品进行对比，得到如下不完整的列联表： 项目 良品 次品 合计 国产芯片 10 250 进口芯片 230 合计 470 30 500 （1）完成上面的表格中的空缺部分填空，以频率估计概率，估计国产芯片的次品率； （2）根据小概率值的独立性检验，能否判断国产芯片与进口芯片质量有差异？ 0.05 0.01 0.001 3.841 6.635 10.828 附：，其中为样本容量． 16. 如图，在矩形中，为的中点，将沿折起，使得，连接． （1）求证：平面平面． （2）求二面角的正弦值． （3）当绕边在空间旋转时，设在平面内的投影为，求的轨迹的长度． 17. 已知数列的各项均为正数，，其前项和满足其中为常数且． （1）求证：数列为等比数列 （2）若，数列满足，数列满足，求数列的前项和 18. 已知椭圆的左焦点为，右顶点为，点的坐标为，的面积为. （1）求椭圆的离心率； （2）设点在线段上，，延长线段与椭圆交于点，点，在轴上，，且直线与直线间的距离为，四边形的面积为. （i）求直线的斜率； （ii）求椭圆的方程. 19. 已知，函数的导函数为． （1）若，求的极值； （2）证明：曲线是中心对称图形； （3）若存在实数，使得“”是“”的充要条件，求的取值范围，并求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $