福建厦门第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高一数学试卷

福建省厦门第一中学2025一2026学年度 第二学期期中考试 高一年数学试卷 满分：150分考试时间：120分钟 命题：张帆审核：周翔 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的， 1.若球的表面积扩大到原来的9倍，那么该球的体积扩大到原来的多少倍 A.9 B.27 C.81 D.729 2.如图所示，己知正方形OAB'C的边长为1，它是水平放置的一个平面图形斜二测画法的直观图，则其原图形 的周长为 A.4 B.8 C.2W2 D.2+2W5 3.已知平面a,直线m,n满足文a,nCa,则l∥n”是“m∥a'的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.复数1 2i的值是 22 A.-1 B.1 C.-i D.i 5.己知向量a=a,5,=3,且向量a在向量6上的投影向量为}b,则ā-6= A.1 B.2 c.5 D.19 6 6.如图，O和O分别为圆台上下底面中心，且OO=V3,在轴截面ABBA中， △4B,O为正三角形.若AB=4,则圆台的表面积为 A.6π B.9π C.10元 D.11元 (第6题图) 7.在△ABC中，AB=AC,D是AC中点，中线BD=3,则△ABC面积的最大值是 A.3 B.4 C.6 D.8 8.如图，点C在以AB为直径的圆上，其中AB=10,过A向点C处的切线作垂线， 垂足为P,则AC.PB的最大值是 B A.9 B.16 C.25 D.36 (第8题图) 二、多项选泽题：本题共3小题，每小题6分，其18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要 求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分， 9.如图，正四棱台ABCD-AB,CD中，下列说法正确的是 A B A.AD和BC异面 B.BB和DD共面 C.平面ABDW平面CCD D.平面ABD与平面CB,D相交 (第9题图) 10.一货轮在A处，测得灯塔S在它的北偏东30°方向，之后它以每小时24nile的速度继续沿正北方向匀速航 行，40分钟后到达B处，此时测得货轮与灯塔S相距8√2ile,则灯塔S可能在B处的 A.北偏东15方向 B.南偏东15°方向 C.北偏东75°方向 D.南偏东75°方向 11.满足下列条件的四面体存在的是 A.1条棱长为√5，其余5条棱长均为1B.1条棱长为1，其余5条棱长均为√ C.2条棱长为√5，其余4条棱长均为1 D.2条棱长为1，其余4条棱长均为 三、摸空题：本题共3小题，每小题5分，其15分. 12.已知i是虚数单位，3-2i是关于x的方程x2++b=0(其中a,bER)的一个根，则a+b=▲ 13.某校学生兴趣小组想要测量校内一座雕像的高度，他们选取与雕像底部O在同一平面内的三个在一条直线上 的测量基点AB,C,且在AB.C处测得雕像顶点P的仰角分别为石本，AB=8C=10米，侧雕像高OP为A 米。 (第13题图) (第14题图) 14.蜜蜂将巢造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂 巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若A五=xAB+yAF,则x+y=_ ▲；若引AB=2,则AL·D=▲一· 四。解答题：本题共5小题，共77分.解窖应写出文字说朋、证明过程或演算步骤. 15.在复平面内，复数z对应的点为Z(m2-3+2,2-4+3)(∈R) (1)若z为纯虚数，求m的值： (2)设O为坐标原点，A为虚轴负半轴上任意一点，若向量OA与O2的夹角为锐角，求m的取值范围. 16.如图，在正四棱柱ABCD-ABCD中，AB=2,A4=3,H,G,E分别为AD,AB,BC的中点. (1)求证：C,E∥平面BD,HG: D C (2)求点B到平面CDE的距离 A G 17.现有一几何体由上，下两部分组成，上部是正四棱锥P-AB,CD,下部是正四棱柱ABCD-ABCD(如图 所示)，O,O分别是上、下底面的中心，且满足OO=4PO=8. (1)若AB=6,求该几何体的体积 p D (2)若正四棱锥的侧面是正三角形 ①求正四棱锥P-AB,C,D的侧面积 01 ②若Q,N分别是线段AB,PB上的动点，求AQ+QN+NC的最小值. 18.在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质四棱锥模型E-ABCD,△ABD为正三角形， BC=CD=2,∠BCD=120°，M为线段AE的中点. (1)求证：DMI∥平面BCE; (2)过点M,D,C的平面a交EB于点N,沿平面α将木质四棱锥模型切割成两部分，在 实施过程中为了方便切割，请你完成以下两件事情： ①在木料表面应该怎样画线？（在答题卡的图上画线要保留辅助线，并写出作图步骤） M ②在木质四棱锥模型中确定V点的位置，求BX 的值. BE 19.在平面几何中，三角形的“莱莫恩点”是一个具有优美性质的特殊点，其定义如下：记△ABC的内角A,B,C所 对的边分别为ab.c,三角形内一点K到三边BC,C4AB的距离d,d,d满足==4=k,称点K为△ABC a b c 的“莱莫恩点” (1)若在△ABC中，a=5,b=3,c=4,求常数k的值： (②)求证：A-bAB+c4C a2+b2+c2 (3)若A区⊥BC,试判断△ABC的形状，并说明理由， 厦门一中2025-2026学年第二学期高一年期中考试 数学参考答案 一、单项选择题：1.B2.B3.A4.A5.C6.D7.C8.C 6因为a80为正三角形.o0=5,所以oA=1,又因为A8=4,所以o=h叫=4=2， 即圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，圆的高为V5,可得圆台的母线长为√2-1+(3)=2， 所以圆台的表面积为S=兀×12+兀×22+兀×1+2)×2=11π.故选：D. 7.解法1：令AB=2AD=2a,在△ABD内由余弦定理，可知BD2=AB2+AD2-2AB.AD.cosA,化简得： 9三50-4rcos4,故aE54cosA△1BC的面积S=2anA78smA 5-4cos4' 令。s加4=1，所以 5-4cosA 50=sinA+4c0sA=V1+1sn(4+所以25f≤1+16，所以t≤写所以S=18≤6 A 解法2：如图，做4BLBC,垂足为E,交BC于G,则G是△4BC的重心，BG=2BD=2, 3 设∠GBC=B,所以GB=2sin0,BE=2cos6,故△BEG的面积等于sin28, △ABC的面积S=6S△B6=6sin28≤6 D 解法3：如图，做AE⊥BC,垂足为E,以E为原点，BC为x轴建系.设B(-2a,0),A(0,2b), 则D(ab),BD'=9a+b=9,△ABC的面积S=4b=43ab≤29a2+b)=6 3 3 E 8.解法1：如图所示，易知AC⊥BC,AP⊥PC,OC⊥PC, 过点A作AD IOC于点D,则四边形ADCP为矩形， AC.PB=AC.(+)=(A+pc).Pa+ac.(AC+CB)--Ap+Ac-Pc-AD-o-OD. 又o而∈[0,5]，AO=5所以Ac.PB=4⊙-DD°∈[0,25]，即Ac.Ps的最大值为25， 故选：C. 解法2：同解法1可知，AC.PB=PC,设∠CA0=6,则∠ACP=90°-0.在Rt△ACP 中，PC=AC.cos(90°-6)=AB.cos6.cos(90°-)=5sin28≤5，故AC.PB=pC≤25， 当且仅当0=45°时等号成立. 二、多项选择题：9.ABD10.BC11.BCD 11.选项A:设四面体有1条棱长为a,5条棱长为1， 如图1，四面体ABCD满足AB=BC=CA=BD=CD=1,AD=a, 取BC的中点B,连接AB,DB,则AB=DB=5 2 由三角形的三边关系知，AE-DE<AD<AE+DE, 所以0<AD<√3，即a∈(0，√3)，故A错误； 选项B:与选项A同理可得，当四面体有1条棱长为a,5条棱长为V5时， 图1 因为a∈(0,3)，所以B正确： 选项C:设四面体有2条棱长为a,4条棱长为1，分两种情况： ①当长为α的两条棱为相对棱时， 如图2，不妨设为BC=AD=A,AB=AC=BD=CD=1, 取BC的中点E,连接AE,DE,则AE=DE=√AB2-BE= 由三角形的三边关系知，AE-DE<AD<AE+DE, 图2 所以0<a<21-(2,解得0<a<V2,不符合题意： ②当长为a的两条棱有公共顶点时，如图3，不妨设BD=CD=a,AB=BC=AC=AD=1 取BC的中点E,连接AE,DE, 则D8=vBD-证-位-令-口-牙B=a-证5 由三角形的三边关系知，AD-AE<DE<AD+AE, 所19F子1银海5a5 4 2 综上可知，ae(0,V2+√5). 图3 因为V∈(0，V2+√)，所以C正确：选项D:与选项C同理可得， 当四面体有2条棱长为a,4条棱长为5时，0<a<V6+3√5，因为1∈(0，W33+6),所以D正确.故选：BCD, 三、填空题：12.713.5√614.7-2 14. 7 -2 观察图形可知，F,E,L三点共线，且EZ=2FE,因为AL=AF+FZ, FL=3FE=3FA+AB+BE)=3(-AF+AB+2AF)=34B+3AF,AL=AF+34B+3AF=34B+4AF, 所以x=3,y=4,即x+y=7: 由正六边形的性质可得D=匠+HG+GF+FE+ED=EF+FA+AB+F陀+AB=2AB-AF, 所以AL·D=(3AB+4AF(2AB-AF）=6AB2+5AB.AF-4AF =6网+12w-4a=62-5x2x2〔》4-2做答案为：7：-之 四、解答题 15.(1)由已知得z=m2-3m+2+(2-4m+3)i, ”为纯虚数，÷m-3加+2=0 r2-4m+30解得m=2. …5分 (没有不等式，也没有检验的，扣1分) (2)设A(0,t)t<0),则OA=(0,t),又OZ=(m2-3m+2,m2-4+3), t(m2-4m+3）>0 由OA,Oz夹角为锐角得：OA.Oz>0,且OA与Oz不共线，. 2-3m+2≠0 解得1<m<3且m≠2，故的取值范围为(1,2)U(2,3).… …13分 (遗漏“不共线”条件，缺少≠2的扣2分) 16.(1)连接HE,因为四边形ABCD是正方形，且H,E分别为AD,BC的中点 所以HE/ICD且HE=CD,又CD,I/CD且CD=CD, 0 C 所以HE/ICD且HE=C,D,所以四边形CD,HE为平行四边形，… …B …2分 A1 所以CE/1DH,… ……3分 又CE文平面BDHG,D,HC平面B,DHG, 所以CE∥平面BDHG;……… …6分 (2)由题设Sa=8z.CD=1, 在△CDE中DB=V5,CE=V10,CD=V13, 7分 得cos∠CBD= EC2+ED2-CD210+5-13√2 2EC,·ED 2×V10x5-101 sim<CBD=-cos”∠CBD=72 10 Saa号E.C.Bn.∠GBD-x5x而x25- …11分 102 设点B到平面CDE的距离为h,又g-GgD=%-Bg,…13分 所以写5 CC,则=3，从面A-9 …15分 (能运用等体积思想，计算错误的要酌情给分，最高不超过第2问的一半；用其他方法求解的亦可) 17.(1)由条件可知，正四棱柱的高OO=8, 所以正四棱柱的体积为6×6×8=288，… …2分 三棱锥P-4B,C,D的体积为号x6x6×2=24, 6 3 所以该几何体的体积为288+24=312；……。 ……… …5分 (2)①设A8=a,OB=5 a,因为P0=2,所以a=2√2， 2 正四棱锥P-A4CD,侧面的高为5。 a=√6， 2 所以正因旋锥的侧质积为4兮2×6=86： … …9分 ②将长方形ABBA,△PAB,和△PB,C1展开在一个平面， PA=PB,=PC1=AB=B,.C1=2W2,AB,=V82+8=6√2， 记c0s8=4g=22=,所以0>60 …12分 当，N在B,时，AQ+W+WC最短，…13分 所以A0+N+NC的最小值为AB+B,C=8V万…15分 (若未注意到展开后的角度超过180°，则计算的结果为√88+16√6，酌情扣1分.) 18.(1)记F为AB的中点，连接DF,MF,如图， 因为F,M分别为AB,AE的中点，所以MF为△ABE的中位线， 所以MF/EB,因为MFt平面EBC,EBC平面EBC,所以MF∥平面EBC: ·2分 又因为△ADB为正三角形，所以∠DBA=60°， 又F为AB中点，所以DF⊥AB, 又△BCD为等腰三角形，∠BCD=120°，所以∠DBC=30°， 所以∠ABC=∠DBA+∠DBC=90°，即BC⊥AB, 所以DFIIBC,又DFZ平面EBC,BCC平面EBC,所以DF∥平面EBC: …4分 又DMOMF=F,DMC平面DMF,MFC平面DMF, 故平面DF∥平面EBC,.… 。。。。。。。。。。。。。。。。。 …6分 又因为DMC平面EBC,故DM∥平面BEC.… …7分 (2)①延长DC、AB相交于点P,连接PM交BE于点N,连接CN, …10分 ②过点N作NOI∥AE交AB于点2，如图， 因为DM∥平面ECB,DMc平面PDM,平面PDM∩平面ECB=CN, 所以DMIICN,此时D,M,N,C四点共面， …12分 由(1)可知：BC=CD=2,∠PCB=180°-∠BCD=60°，CB⊥BP, 得∠CPB=30°，PC=4… 14分 故XCP4名，又因为OAB,所以PN PM DP 6 3 AM PM3 …16分 2w*数0 则有9_Lx21 …17分 BE AE 3 19.(1)因为a=5,b=3,c=4,所以a2=b2+c2, 所以4=55e=c=6, 2 连接KA,B,KC,将△ABC分割为△KBC,△KCA,△KAB, 根据“莱莫恩点的定义，点K到三边的距离分别为da=ka,d。=b,d。=C 所以8e=及+8a+5s0d+b4+分d ()() 代入已知数据，得6=(5+4)，故&=8 ……5分 (2)由(1)可知，点K到三边的距离分别为d。=ha,d。=b,d。=c, S.re:S.rc=a:b2:c2 如图，延长AK交BC于点D,根据面积法可知 BD S.AnD= DC S.ACD SEAC b2 所以和-+。(c-)6+c c2 …8分 b2+c2 另一方面，因为△KBC与△ABC同底，所以K,A到BC的距离之比等于三角形面积之比， ASar++e,所以=1-Db+c 即DS a …10分 AD AD a2+b2+c2 所以4R=4D=+c2AB+e'AC_bAB+cAC 11分 AD -a2+b2+c2b2+c2 a2+b2+c2 (本题中用平行四边形法则，结合解三角形的相关知识也可以求解) (3)△ABC为等腰三角形或直角三角形，理由如下： 13分 由A区⊥BC可知AK.BC=0, 由@与6还(c-周-0：6-6网ac-=0, 展开得b2AB.AC-b2ABP+cACP-c2ACAB=0, 又因为AB=c,AC=b,所以(b2-c2)AB.AC-bc2+c2b=(b-c2)AB.AC=0.… …15分 因为b,c>0,所以有以下两种情况： 当b2-c2=0时，即b=c,此时△ABC为等腰三角形：… …16分 当AB.AC=0时，即AB上AC,此时△ABC为直角三角形. 17分 综上所述，△ABC为等腰三角形或直角三角形.