第21讲　圆周运动 讲义 -2027届高三物理一轮复习

第21讲　圆周运动 一、描述圆周运动的物理量 二、匀速圆周运动及向心力 1．匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 相等　，所做的运动叫作匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小 不变　，方向始终指向 圆心　，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小 不变　，方向始终与 速度　方向垂直且指向圆心。 2．向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的 方向　，不改变速度的 大小　。 (2)大小：Fn＝ m　＝mω2r＝ mr　＝mωv＝4π2mf2r。 (3)方向：始终沿半径方向指向 圆心　，时刻在改变，即向心力是一个变力。 (4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的 合力　提供，还可以由一个力的 分力　提供。 三、变速圆周运动 1．速度特点 线速度的大小、方向都 变化　。 2．合力特点 合力产生两个效果： (1)沿半径方向的分力 Fn　，即向心力，它改变速度的 方向　。 (2)沿切线方向的分力 Ft　，它改变速度的 大小　。 四、离心运动 1．定义：做 圆周运动　的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需 向心力　的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的 惯性　，总有沿着圆周 切线方向　飞出去的倾向。 3．受力特点 (1)当Fn＝mω2r时，物体做 匀速圆周　运动。 (2)当Fn＝0时，物体沿 切线　方向飞出。 (3)当Fn<mω2r时，物体逐渐 远离　圆心，做离心运动。 (4)当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 注意　物体做圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。 1．做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用。( × ) 2．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，周期为2 s，则速度变化率的大小为4π m/s2。( √ ) 3．在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯。( × ) 4．火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大。( √ ) 5．飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态。( √ ) 考点1　圆周运动中的运动学分析 (基础考点·自主探究) 1．匀速圆周运动的关系式 (1)线速度与角速度：v＝ωr。 (2)线速度与周期、频率、转速：v＝＝2πrf＝2πrn。 (3)角速度与周期、频率、转速：ω＝＝2πf＝2πn。 (4)向心力：Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv。 (5)向心加速度：an＝＝rω2＝＝ωv。 2．常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (2)摩擦传动和齿轮传动：如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (3)同轴转动：如图3甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 【跟踪训练】 (描述圆周运动的物理量及其关系)如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时(　　) A．角速度约为 rad/s B．线速度约为3 m/s C．转速约为 r/s D．向心加速度约为 m/s2 (同轴转动)(2024·黑吉辽卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　) A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 (齿轮传动)(2024·淮安模拟)如图所示为正在使用的修正带，大齿轮齿数为N1，小齿轮齿数为N2，A、B分别为大、小齿轮边缘上的点。下列说法正确的是(　　) A．大小齿轮转动的方向相同 B．A、B两点的线速度大小之比为N1∶N2 C．A、B两点的角速度大小之比为N2∶N1 D．A、B两点的向心加速度大小之比为N∶N 考点2　圆周运动中的动力学分析 (能力考点·深度研析) 1．对向心力的理解 (1)向心力的方向：无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心力方向均沿半径指向圆心。 (2)向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。 2．匀速圆周运动向心力来源 做匀速圆周运动的物体合力一定时刻指向圆心，合力就是向心力。 3．变速圆周运动中向心力来源 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ＝m。 ►考向1　匀速圆周运动的动力学分析 反思提升　　　　 圆周运动的动力学问题的分析思路 ►考向2　变速圆周运动的动力学分析 质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是(　　) A．秋千对小明的作用力小于mg B．秋千对小明的作用力大于mg C．小明的速度为零，所受合力为零 D．小明的加速度为零，所受合力为零 【跟踪训练】 (对向心力公式的理解)(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 (圆锥摆模型)(多选)如图所示的三幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，A、B为两相同小球，下列说法正确的是(　　) A．如图甲，小球受到重力、绳子拉力和向心力 B．如图甲，小球A、B在同一水平面内，小球A的角速度比小球B的大 C．如图乙，小球A、B在光滑且固定的圆锥筒内做匀速圆周运动，则小球A的线速度比小球B的大 D．如图丙，小球A、B的绳长相同，则小球B的周期比小球A的小 (车辆转弯问题)(多选)列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨 D．若增大α角，可提高列车安全过转弯处的速度 (一般曲线运动)化曲为圆是曲线运动的一种分解方式，如图所示，在变力作用下质量为m的物体的轨迹可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，在B点物体的受力F与速度v的夹角为θ，则物体在B点的向心加速度大小为(　　) A． B． C． D． (离心运动)如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴匀速转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的效果，下列说法正确的是(　　) A．脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当向心力 B．衣物在最低点B时脱水效果最好 C．衣物在A、B两点时的加速度相同 D．衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等 圆周运动与平抛运动的综合问题 1．问题概述 此类问题有时是一个物体做水平面内的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题的形式考查。 2．解题关键 (1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 ►考向1　圆周运动与平抛运动综合问题 (2025·安徽淮北阶段练习)一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为α＝53°，AE、BD都在竖直方向，AE距离20 m。运动员的圆轨道半径r＝30 m，运动员及其装备质量为60 kg。BC与水平面夹角为θ，且tan θ＝。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，运动员可看成质点。求： (1)速度v大小； (2)BD及EC的距离； (3)若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？ ►考向2　圆周运动与平抛运动的多解问题 (多选)如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5 m，横截面圆环半径为1 m，g取10 m/s2。π≈3.14。则(　　) A．小球下落时间为1 s B．小球进入圆筒的初速度大小可能为3.14 m/s C．小球进入圆筒的初速度大小可能为6.28 m/s D．小球进入圆筒的初速度大小可能为12.56 m/s 提能训练　练案[21] 基础巩固练 题组一　圆周运动的运动学分析 1．2023年5月28日，我国自主研制的大型客运飞机C919从上海虹桥飞抵北京首都国际机场，标志着中国造大飞机正式迈入商业运营阶段。若客机空中转弯时，在t时间内以恒定的速率沿圆弧路径飞行的路程为L，客机相对圆弧圆心转过的角度为θ，客机的质量为m，下列对客机转弯过程的分析，正确的是(　　) A．转弯半径为L B．转弯半径为 C．客机所受向心力大小为 D．客机所受向心力大小为 2．自行车用链条传动来驱动后轮前进，如图是链条传动的示意图，两个齿轮俗称“牙盘”。A、B、C分别为牙盘边缘和后轮边缘上的点，大齿轮半径为r1、小齿轮半径为r2、后轮半径为r3。下列说法正确的是(　　) A．A、B两点的角速度相等 B．B、C两点的线速度大小相等 C．大、小齿轮的转速之比为 D．在水平路面匀速骑行时，脚踏板转一圈，自行车前进的距离为2πr3 题组二　圆周运动的动力学分析 3．(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A．r B．l C．r D．l 4．(多选)一辆小车沿水平面向右做加速度a＝0.2 m/s2的匀加速直线运动，车中有甲、乙两轻绳和轻弹簧共同系着质量m＝200 g的小球，如图所示，甲轻绳竖直，乙轻绳和轻弹簧水平。甲轻绳的长度L＝20 cm，轻弹簧处于伸长状态，弹力大小F＝1 N。当小车的速度达到v＝1 m/s时，速度突然减为零，在该瞬间下列说法正确的是(　　) A．轻绳甲的张力立即减为零 B．轻绳乙的张力立即减为零 C．小球的加速度大小变为5 m/s2 D．小球的加速度大小变为5 m/s2 5．(多选)(2025·河北邯郸高三期中)竖直平面内有一半径为0.5 m的光滑圆环，质量为0.5 kg的小球(视为质点)套在圆环上，当圆环以一定的角速度绕过圆环的竖直直径的转轴OO′匀速转动时，小球相对圆环静止，此时小球与圆环圆心的连线与竖直方向的夹角为37°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是(　　) A．圆环对小球的弹力大小为5 N B．小球随圆环旋转的角速度为5 rad/s C．小球运动的线速度大小为1.5 m/s D．小球的向心加速度大小为10 m/s2 6．如图所示，甲汽车在水平路面上转弯行驶。乙汽车在倾斜路面上转弯行驶。关于两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是(　　) A．两车都受到路面竖直向上的支持力作用 B．两车都一定受平行路面指向弯道内侧的摩擦力 C．甲车可能不受平行路面指向弯道内侧的摩擦力 D．乙车可能受平行路面指向弯道外侧的摩擦力 7．智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，将带有滑轮的短杆一端穿入腰带外侧轨道，另一端悬挂一根带有配重的轻绳，将腰带水平系在腰间，通过人体扭动，配重会随轻绳做水平匀速圆周运动。其简化模型如图乙所示，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m，绳子与竖直方向夹角为θ，绳长为0.5 m，可视为质点的配重质量为0.5 kg，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．增大转速，腰带受到的合力变大 B．增大转速，则身体对腰带的摩擦力增大 C．当θ变大时，配重的运动周期变小 D．当使用者掌握好锻炼节奏后，能够使θ稳定在37°，此时配重的角速度为5 rad/s 能力提升练 8．(多选)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　　) A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹力的大小一定不变 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变大 9．(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　) A．子弹在圆筒中的水平速度为d B．子弹在圆筒中的水平速度为2d C．圆筒转动的角速度可能为π D．圆筒转动的角速度可能为3π 10．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量m＝1 kg，g取10 m/s2，则(　　) A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N 11．(2025·八省联考山西陕西卷)图(a)是某小河的航拍照片，河道弯曲的主要原因之一可解释为：河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强，外侧河堤还受到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分，如图(b)所示，假设河床水平，河水密度为ρ，河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变，水的流动速度v大小恒定，d≪R，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，求在一极短时间Δt内：(R、ρ、d、h、v、Δt均为已知量) (1)通过观测截面的流水质量Δm； (2)流水速度改变量Δv的大小； (3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。 12．(2023·福建卷)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角a始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。 (1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； (2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； (3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲　圆周运动 一、描述圆周运动的物理量 二、匀速圆周运动及向心力 1．匀速圆周运动 (1)定义：如果物体沿着圆周运动，并且线速度的大小处处 相等　，所做的运动叫作匀速圆周运动。 (2)特点：加速度大小 不变　，方向始终指向 圆心　，是变加速运动。 (3)条件：合外力大小 不变　，方向始终与 速度　方向垂直且指向圆心。 2．向心力 (1)作用效果：向心力产生向心加速度，只改变速度的 方向　，不改变速度的 大小　。 (2)大小：Fn＝ m　＝mω2r＝ mr　＝mωv＝4π2mf2r。 (3)方向：始终沿半径方向指向 圆心　，时刻在改变，即向心力是一个变力。 (4)来源：向心力可以由一个力提供，也可以由几个力的 合力　提供，还可以由一个力的 分力　提供。 三、变速圆周运动 1．速度特点 线速度的大小、方向都 变化　。 2．合力特点 合力产生两个效果： (1)沿半径方向的分力 Fn　，即向心力，它改变速度的 方向　。 (2)沿切线方向的分力 Ft　，它改变速度的 大小　。 四、离心运动 1．定义：做 圆周运动　的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需 向心力　的情况下，所做的逐渐远离圆心的运动。 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的 惯性　，总有沿着圆周 切线方向　飞出去的倾向。 3．受力特点 (1)当Fn＝mω2r时，物体做 匀速圆周　运动。 (2)当Fn＝0时，物体沿 切线　方向飞出。 (3)当Fn<mω2r时，物体逐渐 远离　圆心，做离心运动。 (4)当Fn>mω2r时，物体将逐渐靠近圆心，做近心运动。 注意　物体做圆周运动还是偏离圆形轨道完全是由实际提供的向心力和所需的向心力间的大小关系决定的。 1．做圆周运动的物体，一定受到向心力的作用，所以分析做圆周运动物体的受力，除了分析其受到的其他力，还必须指出它受到向心力的作用。( × ) 2．一物体以4 m/s的线速度做匀速圆周运动，周期为2 s，则速度变化率的大小为4π m/s2。( √ ) 3．在绝对光滑的水平路面上汽车可以转弯。( × ) 4．火车转弯速率小于规定的数值时，内轨受到的压力会增大。( √ ) 5．飞机在空中沿半径为R的水平圆周盘旋时，飞机机翼一定处于倾斜状态。( √ ) 考点1　圆周运动中的运动学分析 (基础考点·自主探究) 1．匀速圆周运动的关系式 (1)线速度与角速度：v＝ωr。 (2)线速度与周期、频率、转速：v＝＝2πrf＝2πrn。 (3)角速度与周期、频率、转速：ω＝＝2πf＝2πn。 (4)向心力：Fn＝m＝mrω2＝m＝mωv。 (5)向心加速度：an＝＝rω2＝＝ωv。 2．常见的三种传动方式及特点 (1)皮带传动：如图1甲、乙所示，皮带与两轮之间无相对滑动时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (2)摩擦传动和齿轮传动：如图2甲、乙所示，两轮边缘接触，接触点无打滑现象时，两轮边缘线速度大小相等，即vA＝vB。 (3)同轴转动：如图3甲、乙所示，绕同一转轴转动的物体，角速度相同，ωA＝ωB，由v＝ωr知v与r成正比。 【跟踪训练】 (描述圆周运动的物理量及其关系)如图所示，操场跑道的弯道部分是半圆形，最内圈的半径大约是36 m。一位同学沿最内圈匀速率跑过一侧弯道的时间约为12 s，则这位同学在沿弯道跑步时(　　) A．角速度约为 rad/s B．线速度约为3 m/s C．转速约为 r/s D．向心加速度约为 m/s2 [答案]　D [解析]　由题意知同学在沿弯道跑步时角速度约为ω＝＝ rad/s，线速度v＝ωr＝3π m/s，转速n＝＝ r/s，向心加速度a＝ω2r＝ m/s2，D项正确。 (同轴转动)(2024·黑吉辽卷)“指尖转球”是花式篮球表演中常见的技巧。如图，当篮球在指尖上绕轴转动时，球面上P、Q两点做圆周运动的(　　) A．半径相等 B．线速度大小相等 C．向心加速度大小相等 D．角速度大小相等 [答案]　D [解析]　 (齿轮传动)(2024·淮安模拟)如图所示为正在使用的修正带，大齿轮齿数为N1，小齿轮齿数为N2，A、B分别为大、小齿轮边缘上的点。下列说法正确的是(　　) A．大小齿轮转动的方向相同 B．A、B两点的线速度大小之比为N1∶N2 C．A、B两点的角速度大小之比为N2∶N1 D．A、B两点的向心加速度大小之比为N∶N [答案]　C [解析]　大小齿轮转动的方向相反，故选项A错误；A、B两点的线速度大小之比为1∶1，故选项B错误；角速度ω＝，所以A、B两点的角速度之比＝＝，故选项C正确；A、B两点的向心加速度a＝，所以向心加速度之比＝＝，故选项D错误。 考点2　圆周运动中的动力学分析 (能力考点·深度研析) 1．对向心力的理解 (1)向心力的方向：无论是匀速圆周运动还是变速圆周运动向心力方向均沿半径指向圆心。 (2)向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再添加一个向心力。 2．匀速圆周运动向心力来源 做匀速圆周运动的物体合力一定时刻指向圆心，合力就是向心力。 3．变速圆周运动中向心力来源 如图所示，当小球在竖直面内摆动时，沿半径方向的合力提供向心力，Fn＝FT－mgcos θ＝m。 ►考向1　匀速圆周运动的动力学分析 [答案]　(1)　(2) [规范答题]　 (1)对转椅受力分析，转椅在水平面内受摩擦力、轻绳拉力，两者合力提供其做圆周运动所需向心力，如图所示。 设转椅的质量为m， 则转椅所需的向心力Fn1＝mωr1(1分) 转椅受到的摩擦力f1＝μmg(1分) 根据几何关系有tan α＝(1分) 联立解得tan α＝。(1分) (2)转椅在题图(b)情况下所需的向心力 Fn2＝mωr2(1分) 转椅受到的摩擦力f2＝μN2(1分) 根据几何关系有tan β＝(1分) 竖直方向上由平衡条件有N2＋Tcos θ＝mg(1分) 水平面上有f2＝Tsin θsin β(1分) 联立解得ω2＝。(2分) 反思提升　　　　 圆周运动的动力学问题的分析思路 ►考向2　变速圆周运动的动力学分析 质量为m的小明坐在秋千上摆动到最高点时的照片如图所示，对该时刻，下列说法正确的是(　　) A．秋千对小明的作用力小于mg B．秋千对小明的作用力大于mg C．小明的速度为零，所受合力为零 D．小明的加速度为零，所受合力为零 [答案]　A [解析]　在最高点，小明的速度为0，设秋千的摆长为l，摆到最高点时摆绳与竖直方向的夹角为θ，秋千对小明的作用力为F，则对人，沿摆绳方向受力分析有F－mgcos θ＝m，由于小明的速度为0，则有F＝mgcos θ<mg，沿垂直摆绳方向有mgsin θ＝ma，解得小明在最高点的加速度为a＝gsin θ，所以A正确；B、C、D错误。故选A。 【跟踪训练】 (对向心力公式的理解)(2023·全国甲卷)一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 [答案]　C [解析]　质点做匀速圆周运动，根据题意设周期T＝，合外力等于向心力，根据F合＝Fn＝mr，联立可得Fn＝r3，其中为常数，r的指数为3，故题中n＝3，故选C。 (圆锥摆模型)(多选)如图所示的三幅图表示的是有关圆周运动的基本模型，A、B为两相同小球，下列说法正确的是(　　) A．如图甲，小球受到重力、绳子拉力和向心力 B．如图甲，小球A、B在同一水平面内，小球A的角速度比小球B的大 C．如图乙，小球A、B在光滑且固定的圆锥筒内做匀速圆周运动，则小球A的线速度比小球B的大 D．如图丙，小球A、B的绳长相同，则小球B的周期比小球A的小 [答案]　CD [解析]　由题图甲可知，小球受到重力和绳子拉力的作用，二者合力提供向心力，则mgtan θ＝mω2r，由几何关系有r＝htan θ，h为悬点与圆心的距离，解得ω＝，由于小球A、B的高度相同，故二者角速度相等，A、B错误；由题图乙可知，小球A、B在不同位置做匀速圆周运动，但两球受力情况一致，如图所示，合力提供向心力，由牛顿第二定律得＝m，解得v＝，小球A做圆周运动的轨道半径大于小球B的，则小球A的线速度比小球B的大，C正确；根据mgtan θ＝mr，sin θ＝，则T2＝，小球A的绳与竖直方向的夹角比小球B的小，小球A、B绳长相同，则小球B的周期比小球A的小，D正确。 (车辆转弯问题)(多选)列车转弯时的受力分析如图所示，铁路转弯处的圆弧半径为R，两铁轨之间的距离为d，内外轨的高度差为h，铁轨平面和水平面间的夹角为α(α很小，可近似认为tan α≈sin α)，重力加速度为g，下列说法正确的是(　　) A．列车转弯时受到重力、支持力和向心力的作用 B．列车过转弯处的速度v＝时，列车轮缘不会挤压内轨和外轨 C．列车过转弯处的速度v<时，列车轮缘会挤压外轨 D．若增大α角，可提高列车安全过转弯处的速度 [答案]　BD [解析]　列车以规定速度转弯时受到重力、支持力作用，重力和支持力的合力提供向心力，A错误；当重力和支持力的合力提供向心力时，则mgtan α＝mg ＝m，解得v＝，列车轮缘不会挤压内轨和外轨，B正确；列车过转弯处的速度v<时，列车转弯所需的向心力F<mgtan α，故此时列车内轨受挤压，C错误；若要提高列车速度，则列车所需的向心力增大，故需要增大α，D正确。 (一般曲线运动)化曲为圆是曲线运动的一种分解方式，如图所示，在变力作用下质量为m的物体的轨迹可以分为很多小段，每小段都可以看作圆周运动的一部分，在B点物体的受力F与速度v的夹角为θ，则物体在B点的向心加速度大小为(　　) A． B． C． D． [答案]　C [解析]　在B点把物体受力F分别沿着速度和垂直速度方向分解，则向心力大小为Fn＝Fsin θ，由牛顿第二定律可得物体在B点的向心加速度大小为an＝，故选C。 (离心运动)如图所示，滚筒洗衣机脱水时，滚筒绕水平转动轴匀速转动，滚筒上有很多漏水孔，附着在潮湿衣服上的水从漏水孔中被甩出，达到脱水的效果，下列说法正确的是(　　) A．脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力始终充当向心力 B．衣物在最低点B时脱水效果最好 C．衣物在A、B两点时的加速度相同 D．衣物在A、B两点时所受筒壁的力大小相等 [答案]　B [解析]　脱水过程中滚筒对衣物的摩擦力方向与速度平行，不可能充当向心力，故A错误；对衣物上的某一水滴分析，在A点有N1＋mg＝m，在B点有N2－mg＝m，可知N2>N1，则衣物在最低点B时脱水效果最好，故B正确；由于衣物随着滚筒做匀速转动，根据a＝可知，衣物在A、B两点时的加速度大小相等，方向相反，均指向圆心，故C错误；根据上述分析可知，衣物在A点所受筒壁的力小于在B点所受筒壁的力，故D错误。 圆周运动与平抛运动的综合问题 1．问题概述 此类问题有时是一个物体做水平面内的圆周运动，另一个物体做平抛运动，特定条件下相遇，有时是一个物体先做水平面内的匀速圆周运动，后做平抛运动，有时还要结合能量关系分析求解，多以选择题或计算题的形式考查。 2．解题关键 (1)明确水平面内匀速圆周运动的向心力来源，根据牛顿第二定律和向心力公式列方程。 (2)平抛运动一般是沿水平方向和竖直方向分解速度或位移。 (3)速度是联系前后两个过程的关键物理量，前一个过程的末速度是后一个过程的初速度。 ►考向1　圆周运动与平抛运动综合问题 (2025·安徽淮北阶段练习)一滑雪运动员最开始在如图所示光滑倾斜圆轨道上，沿轨道中心线FA以速度v匀速运动。随后在A点滑离圆轨道，恰好落在三角形木支架上的B点，且速度沿BC方向。已知运动员滑行轨迹FA处于同一水平面内，倾斜圆轨道与水平面的夹角为α＝53°，AE、BD都在竖直方向，AE距离20 m。运动员的圆轨道半径r＝30 m，运动员及其装备质量为60 kg。BC与水平面夹角为θ，且tan θ＝。已知重力加速度g＝10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，运动员可看成质点。求： (1)速度v大小； (2)BD及EC的距离； (3)若倾斜圆轨道粗糙，运动员离开A点速度大小是多少可以恰好落在C点？ [答案]　(1)20 m/s　(2)15 m　50 m (3)25 m/s [解析]　(1)对运动员在倾斜圆轨道上受力分析，如图所示 其做匀速圆周运动，可得向心力为 Fn＝mg·tan α Fn＝m 解得v＝20 m/s。 (2)在A点以v＝20 m/s做平抛运动，在B点相切于BC方向进入斜面，其中tan θ＝ 解得vy＝10 m/s 根据平抛运动规律可得vy＝gt 解得t＝1 s 水平方向上做匀速直线运动，故xED＝vt＝20 m 根据竖直方向上做自由落体运动可得 xBD＝xAE－gt2＝15 m 其中xCD＝＝30 m 故xEC＝xED＋xDC＝50 m。 (3)若恰好落在C点，则xEC＝vAt′ xAE＝gt′2 解得vA＝25 m/s 故运动员离开A点速度大小是25 m/s可以恰好落在C点。 ►考向2　圆周运动与平抛运动的多解问题 (多选)如图所示，有一竖直圆筒，内壁光滑，上端开口截面水平。一小球沿水平方向由A点切入圆筒内侧，沿着筒壁呈螺旋状滑落，落地点恰好位于A点正下方。已知圆筒高5 m，横截面圆环半径为1 m，g取10 m/s2。π≈3.14。则(　　) A．小球下落时间为1 s B．小球进入圆筒的初速度大小可能为3.14 m/s C．小球进入圆筒的初速度大小可能为6.28 m/s D．小球进入圆筒的初速度大小可能为12.56 m/s [答案]　ACD [解析]　小球在竖直方向做自由落体运动，则有h＝gt2，解得小球下落时间为t＝＝ s＝1 s，故A正确；设小球进入圆筒的初速度大小为v0，小球在水平方向做匀速圆周运动，根据题意有v0t＝n·2πr(n＝1,2,3，…) 解得v0＝6.28n m/s(n＝1,2,3，…) 当n＝1时，可得v0＝6.28 m/s 当n＝2时，可得v0＝12.56 m/s，故B错误，C、D正确。 提能训练　练案[21] 基础巩固练 题组一　圆周运动的运动学分析 1．2023年5月28日，我国自主研制的大型客运飞机C919从上海虹桥飞抵北京首都国际机场，标志着中国造大飞机正式迈入商业运营阶段。若客机空中转弯时，在t时间内以恒定的速率沿圆弧路径飞行的路程为L，客机相对圆弧圆心转过的角度为θ，客机的质量为m，下列对客机转弯过程的分析，正确的是(　　) A．转弯半径为L B．转弯半径为 C．客机所受向心力大小为 D．客机所受向心力大小为 [答案]　D [解析]　转弯半径为r＝，A、B错误；客机所受向心力大小为F＝mω2r，又因为ω＝，解得F＝，C错误，D正确。故选D。 2．自行车用链条传动来驱动后轮前进，如图是链条传动的示意图，两个齿轮俗称“牙盘”。A、B、C分别为牙盘边缘和后轮边缘上的点，大齿轮半径为r1、小齿轮半径为r2、后轮半径为r3。下列说法正确的是(　　) A．A、B两点的角速度相等 B．B、C两点的线速度大小相等 C．大、小齿轮的转速之比为 D．在水平路面匀速骑行时，脚踏板转一圈，自行车前进的距离为2πr3 [答案]　D [解析]　A、B两点属于皮带传动，线速度大小相等，因为半径不同，所以角速度不相等，故A错误；B、C两点属于同轴转动，角速度相等，因为半径不同，所以线速度大小不相等，故B错误；大、小齿轮的转速之比为＝＝＝，故C错误；脚踏板转动一圈，自行车前进的距离为s＝×2πr3＝2πr3，故D正确。 题组二　圆周运动的动力学分析 3．(2024·广东卷)如图所示，在细绳的拉动下，半径为r的卷轴可绕其固定的中心点O在水平面内转动。卷轴上沿半径方向固定着长度为l的细管，管底在O点。细管内有一根原长为、劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧底端固定在管底，顶端连接质量为m、可视为质点的插销。当以速度v匀速拉动细绳时，插销做匀速圆周运动。若v过大，插销会卡进固定的端盖，使卷轴转动停止。忽略摩擦力，弹簧在弹性限度内。要使卷轴转动不停止，v的最大值为(　　) A．r B．l C．r D．l [答案]　A [解析]　由题意可知当插销刚卡进固定端盖时弹簧的伸长量Δx＝，根据胡克定律可得弹力F＝kΔx＝，插销与卷轴同轴转动，角速度相同，对插销由弹力提供向心力有F＝mlω2，对卷轴有v＝rω，联立解得v＝r，A正确。 4．(多选)一辆小车沿水平面向右做加速度a＝0.2 m/s2的匀加速直线运动，车中有甲、乙两轻绳和轻弹簧共同系着质量m＝200 g的小球，如图所示，甲轻绳竖直，乙轻绳和轻弹簧水平。甲轻绳的长度L＝20 cm，轻弹簧处于伸长状态，弹力大小F＝1 N。当小车的速度达到v＝1 m/s时，速度突然减为零，在该瞬间下列说法正确的是(　　) A．轻绳甲的张力立即减为零 B．轻绳乙的张力立即减为零 C．小球的加速度大小变为5 m/s2 D．小球的加速度大小变为5 m/s2 [答案]　BC [解析]　在该瞬间，小球要绕甲绳做圆周运动，因此竖直方向的加速度为向心加速度ay＝＝5 m/s2，绳子甲的拉力和重力的合力充当向心力，因此甲的拉力不为零，小球由于惯性具有向右运动的趋势，所以轻绳乙的张力立即减为零，根据牛顿第二定律可知此时小球的水平加速度大小变为ax＝＝5 m/s2，因此合加速度为a＝＝5 m/s2。故选BC。 5．(多选)(2025·河北邯郸高三期中)竖直平面内有一半径为0.5 m的光滑圆环，质量为0.5 kg的小球(视为质点)套在圆环上，当圆环以一定的角速度绕过圆环的竖直直径的转轴OO′匀速转动时，小球相对圆环静止，此时小球与圆环圆心的连线与竖直方向的夹角为37°，取重力加速度大小g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，下列说法正确的是(　　) A．圆环对小球的弹力大小为5 N B．小球随圆环旋转的角速度为5 rad/s C．小球运动的线速度大小为1.5 m/s D．小球的向心加速度大小为10 m/s2 [答案]　BC [解析]　小球做匀速圆周运动，由所受外力的合力提供圆周运动的向心力，令圆环对小球的弹力为FN，对小球分析有FN＝＝6.25 N，故A错误；对小球进行受力分析有mgtan 37°＝mω2Rsin 37°，解得ω＝5 rad/s，故B正确；同理有mgtan 37°＝ma＝m，解得a＝7.5 m/s2，v＝1.5 m/s，故C正确，D错误。 6．如图所示，甲汽车在水平路面上转弯行驶。乙汽车在倾斜路面上转弯行驶。关于两辆汽车的受力情况，以下说法正确的是(　　) A．两车都受到路面竖直向上的支持力作用 B．两车都一定受平行路面指向弯道内侧的摩擦力 C．甲车可能不受平行路面指向弯道内侧的摩擦力 D．乙车可能受平行路面指向弯道外侧的摩擦力 [答案]　D [解析]　题图甲中路面对汽车的支持力方向竖直向上，题图乙中路面对汽车的支持力方向垂直路面斜向上，A错误；题图甲中汽车转弯所需的向心力由路面对其指向弯道内侧的摩擦力提供，C错误；题图乙中，当路面的支持力与汽车重力的合力提供向心力时，有mgtan θ＝m，解得v＝，此时路面对汽车没有摩擦力作用，若v<，则乙车受平行路面指向弯道外侧的摩擦力，B错误，D正确。 7．智能呼啦圈轻便美观，深受大众喜爱。如图甲，将带有滑轮的短杆一端穿入腰带外侧轨道，另一端悬挂一根带有配重的轻绳，将腰带水平系在腰间，通过人体扭动，配重会随轻绳做水平匀速圆周运动。其简化模型如图乙所示，悬挂点P到腰带中心点O的距离为0.2 m，绳子与竖直方向夹角为θ，绳长为0.5 m，可视为质点的配重质量为0.5 kg，重力加速度g＝10 m/s2。下列说法正确的是(　　) A．增大转速，腰带受到的合力变大 B．增大转速，则身体对腰带的摩擦力增大 C．当θ变大时，配重的运动周期变小 D．当使用者掌握好锻炼节奏后，能够使θ稳定在37°，此时配重的角速度为5 rad/s [答案]　C [解析]　运动过程中腰带可认为不动，所以腰带受到的合力始终为零，保持不变，A错误；配重的合力提供向心力，mgtan θ＝m×4π2n2(lsin θ＋r)，若增大转速，绳与竖直方向的夹角θ将增大，竖直方向mg＝Tcos θ，则拉力T变大，对腰带分析可得，竖直方向f＝Mg＋Tcos θ＝Mg＋mg，故身体对腰带的摩擦力不变，B错误；对配重，由牛顿第二定律得mgtan θ＝mω2(lsin θ＋r)，解得ω＝，当θ稳定在37°时，角速度ω＝ rad/s，T＝＝2π，由数学知识可知，当θ变大时，配重的运动周期变小，C正确，D错误。 能力提升练 8．(多选)如图，矩形金属框MNQP竖直放置，其中MN、PQ足够长，且PQ杆光滑，一根轻弹簧一端固定在M点，另一端连接一个质量为m的小球，小球穿过PQ杆，金属框绕MN轴分别以角速度ω和ω′匀速转动时，小球均相对PQ杆静止，若ω′>ω，则与以ω匀速转动时相比，以ω′匀速转动时(　　) A．小球的高度一定降低 B．弹簧弹力的大小一定不变 C．小球对杆压力的大小一定变大 D．小球所受合外力的大小一定变大 [答案]　BD [解析]　对小球受力分析，设弹簧弹力为FT，弹簧与水平方向的夹角为θ，则对小球竖直方向有FTsin θ＝mg，而FT＝k可知θ为定值，FT不变，则当转速增大后，小球的高度不变，弹簧的弹力不变，A错误，B正确；水平方向当转速较小，杆对小球的弹力背离转轴时，有FTcos θ－FN＝mω2r，即FN＝FTcos θ－mω2r，当转速较大，杆对小球的弹力指向转轴时，有FTcos θ＋FN′＝mω′2r，即FN′＝mω′2r－FTcos θ，因ω′>ω，根据牛顿第三定律可知，小球对杆的压力不一定变大，C错误；根据F合＝mω2r可知，因角速度变大，则小球所受合外力变大，D正确。 9．(多选)如图所示，直径为d的竖直圆筒绕中心轴线以恒定的转速匀速转动。一子弹以水平速度沿圆筒直径方向从左侧射入圆筒，从右侧射穿圆筒后发现两弹孔在同一竖直线上且相距为h，重力加速度为g，不计空气阻力，则(　　) A．子弹在圆筒中的水平速度为d B．子弹在圆筒中的水平速度为2d C．圆筒转动的角速度可能为π D．圆筒转动的角速度可能为3π [答案]　ACD [解析]　子弹在圆筒中运动的时间与自由下落高度h的时间相同，即t＝，则v0＝＝d，故A正确，B错误；在此段时间内圆筒转过的圈数为半圈的奇数倍，即ωt＝(2n＋1)π(n＝0,1,2，…)，所以ω＝＝(2n＋1)π(n＝0.1,2，…)，故C、D正确。 10．(多选)如图所示，一个固定在竖直平面内的光滑半圆形管道，管道里有一个直径略小于管道内径的小球，小球在管道内做圆周运动，从B点脱离后做平抛运动，经过0.3 s后又恰好与倾角为45°的斜面垂直相碰。已知半圆形管道的半径R＝1 m，小球可看作质点且其质量m＝1 kg，g取10 m/s2，则(　　) A．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是0.9 m B．小球在斜面上的相碰点C与B点的水平距离是1.9 m C．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是1 N D．小球经过管道的B点时，受到管道的作用力FNB的大小是2 N [答案]　AC [解析]　根据平抛运动的规律，小球在C点的竖直分速度vy＝gt＝3 m/s，水平分速度vx＝vytan 45°＝3 m/s，则B点到C点的水平距离x＝vxt＝0.9 m，A项正确，B项错误；在B点设管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律有FNB＋mg＝m，vB＝vx＝3 m/s，解得FNB＝－1 N，负号表示管道对小球的作用力方向向上，C项正确，D项错误。 11．(2025·八省联考山西陕西卷)图(a)是某小河的航拍照片，河道弯曲的主要原因之一可解释为：河道弯曲处的内侧与外侧河堤均受到流水重力产生的压强，外侧河堤还受到流水冲击产生的压强。小河某弯道处可视为半径为R的圆弧的一部分，如图(b)所示，假设河床水平，河水密度为ρ，河道在整个弯道处宽度d和水深h均保持不变，水的流动速度v大小恒定，d≪R，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，求在一极短时间Δt内：(R、ρ、d、h、v、Δt均为已知量) (1)通过观测截面的流水质量Δm； (2)流水速度改变量Δv的大小； (3)外侧河堤受到的流水冲击产生的压强p。 [答案]　(1)ρdhv·Δt　(2)·Δt　(3) [解析]　(1)由题可知，极短时间Δt水流的距离Δl＝v·Δt 由于横截面积为S＝dh 可得水的质量Δm＝ρ·ΔV＝ρ·dhv·Δt。 (2)由于Δt极短，可以把水的运动简化为匀速圆周运动，根据匀速圆周运动的规律可知，其加速度为 a＝ 又因为a＝ 联立解得Δv＝·Δt。 (3)根据牛顿第二定律可得F＝Δm 联立上述结论，解得F＝ 水流与河堤作用的面积S′＝Δl·h＝vh·Δt 故外侧河堤受到的流水冲击产生的压强 p＝＝＝。 12．(2023·福建卷)一种离心测速器的简化工作原理如图所示。细杆的一端固定在竖直转轴OO′上的O点，并可随轴一起转动。杆上套有一轻质弹簧，弹簧一端固定于O点，另一端与套在杆上的圆环相连。当测速器稳定工作时，圆环将相对细杆静止，通过圆环的位置可以确定细杆匀速转动的角速度。已知细杆长度L＝0.2 m，杆与竖直转轴的夹角a始终为60°，弹簧原长x0＝0.1 m，弹簧劲度系数k＝100 N/m，圆环质量m＝1 kg；弹簧始终在弹性限度内，重力加速度大小取10 m/s2，摩擦力可忽略不计。 (1)若细杆和圆环处于静止状态，求圆环到O点的距离； (2)求弹簧处于原长时，细杆匀速转动的角速度大小； (3)求圆环处于细杆末端P时，细杆匀速转动的角速度大小。 [答案]　(1)0.05 m　(2) rad/s (3)10 rad/s [解析]　(1)当细杆和圆环处于平衡状态时，对圆环受力分析得T0＝mgcos α＝5 N 根据胡克定律F＝kΔx得Δx0＝＝0.05 m 弹簧弹力沿杆向上，故弹簧处于压缩状态，弹簧此时的长度即为圆环到O点的距离x1＝x0－Δx0＝0.05 m。 (2)若弹簧处于原长，则圆环仅受重力和支持力，其合力使得圆环沿水平方向做匀速圆周运动。根据牛顿第二定律得＝mωr 由几何关系得圆环此时转动的半径为r＝x0sin α 联立解得ω0＝ rad/s。 (3)圆环处于细杆末端P时，对圆环受力分析，圆环受重力和支持力，弹簧伸长，弹力沿杆向下。根据胡克定律得T＝k(L－x0)＝10 N 圆环在竖直方向受力平衡，水平方向由合力提供向心力，则有mg＋Tcos α＝FNsin α，Tsin α＋FNcos α＝mω2r′ 由几何关系得r′＝Lsin α 联立解得ω＝10 rad/s。 学科网（北京）股份有限公司 $