第20讲　抛体运动 讲义 -2027届高三物理一轮复习

第20讲　抛体运动 一、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，其运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向： 匀速直线　运动； (2)竖直方向： 自由落体　运动。 4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝ v0t　；y＝ gt2　 合位移x合＝＝ 　，tan φ＝ 　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0　；vy＝ gt　 合速度v＝＝，tan θ＝ 　，θ为合速度v与x轴的夹角。 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0 斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向： 匀速　直线运动。 (2)竖直方向： 匀变速　直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝ v0cos θ　，v0y＝ v0sin θ　。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( × ) 2．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( × ) 3．无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。( √ ) 4．做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。( × ) 5．做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。( × ) 6．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。( × ) 7．从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。( √ ) 考点1　平抛运动的规律应用 (能力考点·深度研析) 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间 (t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 (x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 (v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改 变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 ►考向1　平抛运动基本规律的应用 (2025·贵州六盘水月考)今年贵州继“村BA”火遍全网后，“村超”(乡村足球超级联赛)又在全网爆火。某运动员在离球门正前方约6 m处训练头球攻门时，跳起后，头部高度约1.8 m，将足球以一定的初速度垂直球门水平顶出，恰好落在球门线上，足球视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．球在空中运动的时间约为1 s B．球被水平顶出时的初速度大小约为15 m/s C．球落地瞬间竖直方向的速度大小约为6 m/s D．球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角约为45° [答案]　C [解析]　由h＝gt2知t近似为0.6 s，故A选项错误；由v0＝知v0近似为10 m/s，故B选项错误；由vy＝gt知vy近似为6 m/s，故C选项正确；落地时速度与水平方向的夹角正切tan θ＝＝，故θ不是45°，故D选项错误。故选C。 ►考向2　平抛运动推论的应用 一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示。第一次出手，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角为α＝60°；第二次出手，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°。两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球、橙色篮球运动的高度之比为(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　两个不同颜色的篮球做斜抛运动，经过相同的最高点，可将其逆运动看成水平向左的平抛运动，运动轨迹如图所示。两平抛运动的水平位移相同，设为x，速度的反向延长线均过水平位移的中点，相交于同一点。 设两球下落的高度分别为h1、h2，则tan α＝，tan β＝。 解得＝＝，B选项正确。 【跟踪训练】 关于平抛运动，下列说法中正确的是(　　) A．平抛运动是一种变加速运动 B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大 C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等 D．做平抛运动的物体每秒内位移增量相等 [答案]　C [解析]　平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定，在Δt时间内速度的改变量Δv＝gΔt，因此可知每秒内速度增量大小相等、方向相同，选项A、B错误，C正确；由于水平方向的位移x＝v0t，每秒内水平位移增量相等，而竖直方向的位移h＝gt2，每秒内竖直位移增量不相等，故做平抛运动的物体每秒内位移增量不相等，选项D错误。 (2024·浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　) A． B． C． D．(＋1)D [答案]　C [解析]　 如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两小球水平抛出后，不计空气阻力，两小球落地时的水平位移分别为s和2s。重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．A、B两小球的初速度大小之比为1∶4 B．A、B两小球的运动时间之比为1∶ C．两小球运动轨迹交点的水平位移为s D．两小球运动轨迹交点的离地高度为h [答案]　D [解析]　小球做平抛运动，竖直方向有H＝gt2，解得t＝，则A球运动时间tA＝＝，B球运动时间tB＝，所以tA∶tB＝∶1；由x＝v0t得v0＝，结合两小球落地时位移之比xA∶xB＝1∶2，可知A、B两小球的初速度之比为1∶2，故A、B错误；两小球相交时，水平方向位移相同，因此有vAtA′＝vBtB′，B球下落高度hB＝gtB′2，A球下落的高度hA＝gtA′2，hA＝h＋hB，联立各式得hB＝h，tB′＝，则两小球运动轨迹交点的高度为h－h＝h，两小球运动轨迹交点的水平位移xB′＝vBtB′，2s＝vB，联立解得xB′＝，C错误，D正确。 如图所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O点正上方A、B两点向右水平抛出，B为AO连线的中点，最后两球都垂直落在斜面上，A、B两球击中斜面的位置到O点的距离之比为(　　) A．∶1 B．2∶1 C．4∶ D．4∶1 [答案]　B [解析]　设落到斜面上的位置分别为P、Q，由题意知，落到斜面上时两小球的速度与水平面夹角相等，根据平抛运动的推论知，位移AP、BQ与水平面夹角也相等，则△POA与△QOB相似，对应边成比例，B正确。 考点2　平抛运动的临界和极值问题 (能力考点·深度研析) 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 ►考向1　平抛运动的临界问题 第19届杭州亚运会，中国女排第九次摘得亚运会金牌。在某次训练中，运动员从底线中点正上方高H＝3 m处将球以速度v0水平击出，球恰好擦着球网上沿进入对方场内，已知排球场长s＝18 m、宽L＝9 m，球网高h＝2.2 m，不计空气及擦网时的阻力，g取10 m/s2，则该运动员的击球速度v0不可能超过(　　) A．22.5 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．15 m/s [答案]　B [解析]　根据平抛规律得H－h＝gt，H＝gt，解得球从水平击出到擦网的时间和球运动的总时间分别为t1＝0.4 s、t2＝ s，当运动员击出的球擦网的速度达到最大时，球恰好到对方场内的边界处，如图所示，设球击出的速度方向与球场中线的夹角为θ，则x1＝v0t1＝，x2＝v0t2＝，其中OA＝，BC＝，联立解得v0＝6 m/s，B正确，A、C、D错误。 ►考向2　平抛运动的极值问题 [答案]　 [解析]　设石子抛出时的水平速度为v0，接触水面时竖直方向的速度为vy， 竖直方向有v＝2gh 恰好可以观察到“水漂”时，有tan θ＝ 联立解得v0＝。 考点3　斜上抛运动 (能力考点·深度研析) 1．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 2．斜上抛运动的极值 物体的射高ym＝＝ 在最高点vy＝0由vy＝v0sin θ－gt得上升时间t＝ 物体落回到与抛出点同一高度时，下降时间等于上升时间，物体运动的总时间t总＝ 物体的射程xm＝v0x·t总＝v0cos θ·＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 ►考向1　斜抛运动规律的应用 (多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2 s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m [答案]　BD [解析]　将初速度分解为沿PQ方向的分速度v1和垂直PQ方向的分速度v2，则有v1＝v0cos 60°＝10 m/s，v2＝v0sin 60°＝10 m/s，将重力加速度分解为沿PQ方向的分加速度a1和垂直PQ方向的分加速度a2，则有a1＝gsin 30°＝5 m/s2，a2＝gcos 30°＝5 m/s2，垂直PQ方向根据对称性可得重物的运动时间t＝2×＝4 s，重物离P、Q连线的最远距离dmax＝＝10 m，故A、C错误；重物落地时竖直分速度大小vy＝－v0sin 30°＋gt＝30 m/s，则落地速度与水平方向夹角的正切值tan θ＝＝＝，可得θ＝60°，故B正确；从抛出到最高点所用时间t1＝＝1 s，则从最高点到落地所用时间t2＝t－t1＝3 s，轨迹最高点与落点的高度差h＝gt＝45 m，故D正确。 ►考向2　利用逆向思维研究斜抛运动 (2024·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。 [答案]　2.1 m/s [解析]　运动员起跳投篮，篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，其逆过程可以看作是平抛运动，则有h3＋h2－h1＝gt，L1－＝v0t1，代入数据解得v0＝2.1 m/s。 考点4　类平抛运动 (能力考点·深度研析) 1．受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 (多选)一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度v0滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度大小为gsin θ C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球从A处到达B处的位移大小为 [答案]　ABC [解析]　小球受重力和支持力两个力作用，合力沿斜面向下，与初速度方向垂直，小球做类平抛运动，其运动轨迹为抛物线，故A正确；根据牛顿第二定律有mgsin θ＝ma，解得a＝gsin θ，故B正确；由几何关系得，小球沿加速度方向上的位移为y0＝，根据匀变速直线运动位移与时间的关系有y0＝at2，解得t＝，故C正确；小球沿初速度方向的位移为x＝v0t＝，则小球从A处到达B处的位移大小为s＝＝，故D错误。 【跟踪训练】 (多选)如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端。若同时释放，小球a、b、c到达水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是(　　) A．t1>t3>t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′ C．t1′>t2′>t3′ D．t1<t1′、t2<t2′、t3<t3′ [答案]　AB [解析]　第一种情况：b球做自由落体运动，a、c做匀加速运动。设斜面的高度为h，对a球 ＝(gsin 30°)t，对b球h＝gt 对c球＝(gsin 45°)t，由数学知识得t1>t3>t2。 第二种情况：a、c两个球都做类平抛运动，沿斜面向下方向都做初速度为零的匀加速直线运动，a的加速度为gsin 30°，c的加速度为gsin 45°，b球做平抛运动，则有，对a球＝(gsin 30°)t1′2，对b球h＝gt2′2，对c球＝(gsin 45°)t3′2，比较可知t1＝t1′，t2＝t2′，t3＝t3′，A、B正确，C、D错误。 有约束条件的平抛运动模型 运动情境 物理量分析 vy＝gt，tan θ＝＝→t＝→求x、y x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝ tan θ＝＝→t＝ 落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ(α＝φ－θ) tan θ＝＝→t＝ 在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R±＝v0t→求t 如图所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等 ►考向1　与斜面相关的平抛运动 [答案]　D [解析]　对于小球甲的运动有tan θ＝＝＝，解得t＝，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α甲＝＝，则tan α甲＝2tan θ，对于小球乙的运动有tan θ＝＝，解得t′＝，落到斜面上时速度方向与水平方向夹角的正切值为tan α乙＝＝，甲、乙两球在空中运动的时间之比为t∶t′＝2tan2θ∶1，A错误；由h＝gt2可知甲、乙两球下落的高度之比为h∶h′＝t2∶t′2＝4tan4θ∶1，B错误；由x＝v0t可知甲、乙两球的水平位移大小之比为x∶x′＝t∶t′＝2tan2θ∶1，C错误；甲、乙两球落在斜面上瞬间的速度方向与水平方向夹角的正切值之比为2tan2θ∶1，D正确。 ►考向2　与弧面相关的平抛运动 如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． [答案]　C [解析]　设圆弧的半径为R，依平抛运动规律得x1＝v1t1，x2＝v2t2，联立得＝＝＝，两石子在竖直方向做自由落体运动，y1＝gt，y2＝gt，由两式相比得＝，其中y1＝R，y2＝R，则有＝，代入速度比关系式得＝，C项正确。 ►考向3　平抛运动与台阶面的关联问题 (2025·河北张家口调研)如图所示，小球从楼梯上以2 m/s的速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为0.25 m，取g＝10 m/s2，小球抛出后首先落到的台阶是(　　) A．第一级 B．第二级 C．第三级 D．第四级 [答案]　D [解析]　如图所示，构建一个过所有台阶边缘的斜面，显然斜面的倾角θ＝45°，小球经过斜面时必满足＝tan θ，代入数据解得t＝0.4 s，此时水平位移x＝v0t＝0.8 m，为第四级台阶上方，小球将首先落在第四级台阶上，选项D正确。 【跟踪训练】 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　) A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．PQ间距是原来间距的3倍 [答案]　B [解析]　根据tan θ＝＝，解得t＝，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍，C错误；根据x＝v0t＝知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，且PQ＝，故PQ间距变为原来间距的4倍，D错误；末速度与水平方向夹角的正切值tan β＝＝＝2tan θ，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍，因为位移与水平方向夹角不变，则末速度与水平方向夹角不变，由几何关系可知α不变，与初速度大小无关，A错误，B正确。 (2025·湖南长沙调研)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　) A． B． C． D． [答案]　A [解析]　因小球运动过程中恰好与半圆轨道相切于B点，则此刻速度与水平方向的夹角为30°，设位移与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，因为tan θ＝＝，则竖直位移y＝，而v＝2gy＝gR，又tan 30°＝，解得v0＝＝，故A正确。 如图所示，在竖直的平面直角坐标系xOy中，一无阻挡的抛物线边界y＝x2把平面分为两部分，在y轴上A处有一质点小球以v0＝2 m/s的初速度垂直于y轴射出，已知OA＝5 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2，则(　　) A．小球到达边界的时间为 s B．小球到达边界的位置为(－ m,2 m) C．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成30° D．经过足够长的时间，小球速度方向可能和y轴平行 [答案]　A [解析]　小球做平抛运动，则其坐标分别为x＝－v0t，y＝y0－gt2，其中y0＝5 m，与y＝x2联立，可得x＝－2 m，y＝4 m，t＝ s，故到达边界的位置为(－2 m,4 m)，到达边界的时间为 s，故A正确，B错误；小球下落OA高度时，竖直方向的速度大小为vy＝＝10 m/s，到达x轴时速度方向与水平方向的夹角的正切值tan θ＝＝，即θ不为30°，故C错误；根据tan θ＝可知，小球速度不可能与y轴平行，故D错误。 提能训练　练案[20] 基础巩固练 题组一　平抛运动与斜抛运动 1．(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　) 　　 [答案]　AD [解析]　 2．(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方，将青蛙的跳跃视为平抛运动。若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　) A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d [答案]　C [解析]　青蛙做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，水平位移设为x，则初速度v＝＝x，若以最小的初速度完成跳跃，即v最小，则应该使x最小、h最大，故青蛙应跳到荷叶c上，C正确。 3．(2025·湖南高三月考)图甲是消防车正在机场进行水柱灭火演练的情景，小刘模拟消防水柱的示意图如图乙所示。水在空中运动，A、B为其运动轨迹上的两点，已知水在A点时的速度大小为v＝6 m/s，速度方向与竖直方向的夹角为45°，它运动到B点时，速度方向与竖直方向的夹角为37°(sin 37°＝0.6)，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。则(　　) A．图中A点是水在空中运动过程的最高点 B．水在空中运动过程为变加速曲线运动 C．水在B点时的速度大小为8 m/s D．A、B两点间的高度差为0.7 m [答案]　D [解析]　图中A点速度方向不是水平的，则不是水在空中运动过程的最高点，选项A错误；水在空中运动过程中，加速度恒定为g，则为匀变速曲线运动，选项B错误；水在A、B两点时水平速度相同，则vAsin 45°＝vBsin 37°，解得B点时的速度大小为vB＝5 m/s，选项C错误；A、B两点间的高度差为h＝＝0.7 m，选项D正确。 4．(多选)(2024·南宁模拟)在学校组织的运动会期间，某同学参加定点投篮比赛。如图所示，篮球两次出手和进筐的位置相同，在空中的运动轨迹分别对应同一竖直平面内的a、b两条曲线。不计空气阻力，则关于该两次投篮下列说法正确的是(　　) A．轨迹为a的篮球在空中运动的加速度较大 B．轨迹为a的篮球在空中运动的时间较长 C．轨迹为a的篮球经最高点的速度较小 D．篮球两次运动的平均速度相等 [答案]　BC [解析]　篮球在空中仅受重力作用，加速度均为重力加速度，故加速度相等，故A错误；篮球做斜抛运动，水平方向上为匀速直线运动，故运动到最高点的速度即为水平方向上的分速度。两次投篮水平位移相同，但轨迹a高度更高，运动时间较长，篮球在轨迹a中最高点的速度小于篮球在轨迹b中最高点的速度，故B、C正确；两次篮球的位移相同，运动时间不同，故平均速度不相等，故D错误。 题组二　平抛运动的临界和极值问题 5．如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　) A．H＝H B．H＝h C．H＝h D．H＝h [答案]　C [解析]　将排球水平击出后排球做平抛运动，排球刚好触网到达底线时，则有＝v0，＋＝v0，联立解得H＝h，故选项C正确。 6．(2025·山东青岛月考)如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是(　　) A．水从小孔P射出的速度大小为 B．y越小，则x越大 C．x与小孔的位置无关 D．当y＝时，x最大，最大值为h [答案]　D [解析]　取水面上质量为m的水滴，从小孔喷出时由机械能守恒定律可知mgy＝mv2，解得v＝，选项A错误；水从小孔P射出时做平抛运动，则x＝vt，h－y＝gt2，解得x＝v＝2，可知x与小孔的位置有关，由数学知识可知，当y＝h－y，即y＝h时x最大，最大值为h，并不是y越小，x越大，选项D正确，B、C错误。 题组三　有约束条件的平抛运动模型 7．A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，忽略空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程(　　) A．球1和球2运动的时间之比为2∶1 B．球1和球2运动的时间之比为1∶2 C．球1和球2抛出时初速度之比为2∶1 D．球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1∶1 [答案]　D [解析]　因为AC＝2AB，所以球2的竖直位移是球1竖直位移的2倍，根据h＝gt2得t＝，解得运动的时间之比为t1∶t2＝1∶，故A、B错误；因为BD＝2CD，所以球1的水平位移是球2水平位移的2倍，根据x＝v0t得v0＝x，解得初速度之比为v01∶v02＝2∶1，故C错误；单位时间内速度变化量即为加速度，而平抛运动的加速度都为g，相同，故D正确。 8．(2025·广东高三阶段练习)如图，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O，AB为水平直径，D点为半圆形轨道的最低点，C为轨道上的一点，CO与水平直径的夹角为53°，甲、乙两小球分别从B点和C点水平抛出，两球都落到D点。不计空气阻力，小球可视为质点，sin 53°＝0.8，则甲、乙两球初速度之比为(　　) A． B． C． D． [答案]　B [解析]　依题意，设圆形轨道半径为R，对于甲球，水平方向上有R＝v1t1，竖直方向上有R＝gt，解得v1＝，对于乙球，水平方向上有Rcos 53°＝v2t2，竖直方向上有R－Rsin 53°＝gt，解得v2＝，可得＝。故选B。 能力提升练 9．(多选)(2025·广东梅州联考)如图，让小石子分别以v01、v02、v03、v04的水平速度离开水库大坝顶部，分别落在大坝上A、B和水面上C、D处。不计空气阻力。以下说法正确的是(　　) A．小石子平抛运动的时间关系为t1<t2<t3<t4 B．小石子平抛运动的初速度大小关系为v01<v02<v03<v04 C．小石子落到A、B、C、D处时，速度大小关系为vA<vB<vC<vD D．小石子落到A、B、C、D处时，速度方向都不相同 [答案]　BC [解析]　小石子做平抛运动，竖直方向满足h＝gt2，解得t＝，因为hA<hB<hC＝hD，所以t1<t2<t3＝t4，故A错误；过A点作一水平线，与各小石子轨迹相交，可知当高度相同时，运动时间相等，水平方向做匀速直线运动，满足xA<xB<xC<xD，x＝v0t，可知v01<v02<v03<v04，故B正确；竖直方向满足v＝2gh，则小石子落到A、B、C、D处时，速度v＝＝，又因为v01<v02<v03<v04，hA<hB<hC＝hD，所以vA<vB<vC<vD，故C正确；小石子落到斜面时，设斜面倾角为θ，即位移偏转角为θ，再设速度偏转角为α，则满足tan θ＝＝＝＝＝tan α，可知同一斜面，斜面倾角相等，速度与水平方向夹角相同，所以小石子落在A、B两处时速度方向相同，故D错误。故选BC。 10．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京和张家口联合举办，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成，圆弧AB的半径为R＝50 m。比赛中质量m＝50 kg的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为4.5 s，着陆坡的倾角θ＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力影响，则(　　) A．运动员从B点水平飞出的速度大小为60 m/s B．运动员从B点飞出后离斜面最远时的速度大小为45 m/s C．运动员从B点飞出后经3 s离斜面最远 D．运动员在B点对赛道的压力大小为1 400 N [答案]　D [解析]　运动员从B点水平飞出后做平抛运动，因此有y＝gt2，x＝vBt，tan 37°＝，联立解得vB＝30 m/s，A错误；运动员从B点飞出后离斜面最远时，速度方向与斜面平行，设此时速度大小为v′，则有v′＝＝37.5 m/s，B错误；运动员从B点飞出后离斜面最远时，竖直方向有vy′＝gt′＝vBtan 37°，解得t′＝2.25 s，C错误；运动员从B点飞出前做圆周运动，根据牛顿第二定律有FN－mg＝m，解得FN＝1 400 N，根据牛顿第三定律可知，运动员在B点对赛道的压力大小为1 400 N，D正确。 11．(多选)如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出的同时，小球B斜向左上方以速度v0抛出，v0与水平方向的夹角为53°。两球抛出后在同一竖直面内运动，且恰好在空中相遇。已知单独抛出小球B时，小球B能到达的最高点恰好与小球A的抛出点处于同一水平线上，且小球B的落地点位于小球A抛出点的正下方。不计空气阻力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　) A．小球A抛出的初速度大小等于2.4v0 B．小球A抛出的初速度大小等于1.8v0 C．两球抛出点的水平距离为 D．两球抛出点的水平距离为 [答案]　BC [解析]　小球B抛出时在水平、竖直方向的速度分别为vBx＝v0cos 53°＝v0、vBy＝v0sin 53°＝v0，单独抛出小球B时，小球B在空中运动的时间为t＝＝，由于单独抛出小球B时其落地点位于小球A抛出点的正下方，则两球抛出点的水平距离为x＝vBxt＝，C正确，D错误；小球A抛出高度为h＝＝，小球A、B恰好在空中相遇，若此时小球B向上运动，则x＝(vA＋vBx)t1，h＝vByt1－gt＋gt，解得小球A抛出的初速度大小为vA＝1.8v0，若此时小球B向下运动，小球A在空中运动的时间tA＝＝，小球B上升到最高点的时间tB＝＝，故小球B上升到最高点后下落时，小球A已经落地，两球无法在空中相遇，故小球A抛出的初速度大小等于1.8v0，A错误，B正确。 12．(2024·山东临沂一模)据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最初的投石机结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出。某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m＝1 kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s的速度被抛出后打在地面上，石块抛出点P离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 (1)求抛出后石块距离地面的最大高度； (2)若在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m的木板充当城墙挡住石块，求木板离石块抛出点的最近距离。 [答案]　(1)14.45 m　(2)37.2 m [解析]　(1)石块抛出时沿竖直方向的分速度为v0y＝v0sin θ＝16 m/s，则石块抛出点到最高点的高度差为h1＝＝12.8 m，抛出后石块距离地面的最大高度为H＝h1＋h＝14.45 m。 (2)当石块刚好被木板上端挡住时，木板离石块抛出点距离最近。石块从最高点到木板上端的过程中做平抛运动，竖直方向有H－L＝gt，解得t2＝＝1.5 s，石块从抛出点到最高点所用时间为t1＝＝1.6 s，石块抛出时的水平分速度为v0x＝v0cos θ＝12 m/s，则木板离石块抛出点的最近距离为x＝v0x(t1＋t2)＝37.2 m。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20讲　抛体运动 一、平抛运动 1．定义：以一定的初速度沿水平方向抛出的物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：平抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，其运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：化曲为直 (1)水平方向： 匀速直线　运动； (2)竖直方向： 自由落体　运动。 4．基本规律：以抛出点为坐标原点，水平初速度v0方向为x轴正方向，竖直向下的方向为y轴正方向，建立如图所示的坐标系，在该坐标系下，对任一时刻t，有： (1)位移：分位移x＝ v0t　；y＝ gt2　 合位移x合＝＝ 　，tan φ＝ 　，φ为合位移与x轴的夹角。 (2)速度：分速度vx＝ v0　；vy＝ gt　 合速度v＝＝，tan θ＝ 　，θ为合速度v与x轴的夹角。 二、斜抛运动 1．定义：将物体以初速度v0 斜向上方　或斜向下方抛出，物体只在 重力　作用下的运动。 2．性质：斜抛运动是加速度为g的 匀变速　曲线运动，运动轨迹是 抛物线　。 3．研究方法：运动的合成与分解 (1)水平方向： 匀速　直线运动。 (2)竖直方向： 匀变速　直线运动。 4．基本规律(以斜上抛运动为例，如图所示) 以斜抛运动的抛出点为坐标原点O，水平向右为x轴的正方向，竖直向上为y轴的正方向，建立如图所示的平面直角坐标系xOy. 初速度可以分解为v0x＝ v0cos θ　，v0y＝ v0sin θ　。 在水平方向，物体的位移和速度分别为 x＝v0xt＝(v0cos θ)t vx＝v0x＝v0cos θ 在竖直方向，物体的位移和速度分别为 y＝v0yt－gt2＝(v0sin θ)t－gt2 vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt 1．以一定的初速度水平抛出的物体的运动是平抛运动。( × ) 2．平抛运动的轨迹是抛物线，速度方向时刻变化，加速度方向也可能时刻变化。( × ) 3．无论初速度是斜向上方还是斜向下方的斜抛运动都是匀变速曲线运动。( √ ) 4．做平抛运动的物体质量越大，水平位移越大。( × ) 5．做平抛运动的物体初速度越大，落地时竖直方向的速度越大。( × ) 6．做平抛运动的物体初速度越大，在空中运动的时间越长。( × ) 7．从同一高度水平抛出的物体，不计空气阻力，初速度大的落地速度大。( √ ) 考点1　平抛运动的规律应用 (能力考点·深度研析) 1．关于平抛运动必须掌握的四个物理量 物理量 相关分析 飞行时间 (t) t＝，飞行时间取决于下落高度h，与初速度v0无关 水平射程 (x) x＝v0t＝v0，即水平射程由初速度v0和下落高度h共同决定，与其他因素无关 落地速度 (v) v＝＝，用θ表示落地时速度与x轴正方向间的夹角，有tan θ＝＝，所以落地速度也只与初速度v0和下落高度h有关 速度的改 变量(Δv) 因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度改变量Δv＝gΔt相同，方向恒为竖直向下，如图所示 2．平抛运动的两个重要推论 (1)做平抛运动的物体任一时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，如图甲所示。其推导过程为tan θ＝＝＝。 (2)做平抛运动的物体在任一时刻任一位置处，设其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移与水平方向的夹角为α，则tan θ＝2tan α。如图乙所示，其推导过程为tan θ＝＝＝＝2tan α。 ►考向1　平抛运动基本规律的应用 (2025·贵州六盘水月考)今年贵州继“村BA”火遍全网后，“村超”(乡村足球超级联赛)又在全网爆火。某运动员在离球门正前方约6 m处训练头球攻门时，跳起后，头部高度约1.8 m，将足球以一定的初速度垂直球门水平顶出，恰好落在球门线上，足球视为质点，不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A．球在空中运动的时间约为1 s B．球被水平顶出时的初速度大小约为15 m/s C．球落地瞬间竖直方向的速度大小约为6 m/s D．球落地瞬间速度方向与初速度方向的夹角约为45° ►考向2　平抛运动推论的应用 一学生用两个颜色不同的篮球做斜抛运动游戏，如图所示。第一次出手，红色篮球的初速度与竖直方向的夹角为α＝60°；第二次出手，橙色篮球的初速度与竖直方向的夹角为β＝30°。两次出手的位置在同一竖直线上，结果两篮球正好到达相同的最高点C，则红色篮球、橙色篮球运动的高度之比为(　　) A． B． C． D． 【跟踪训练】 关于平抛运动，下列说法中正确的是(　　) A．平抛运动是一种变加速运动 B．做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大 C．做平抛运动的物体每秒内速度增量相等 D．做平抛运动的物体每秒内位移增量相等 (2024·浙江卷)如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的速度大小为(　　) A． B． C． D．(＋1)D 如图所示，A、B两个小球在同一竖直线上，离地高度分别为2h和h，将两小球水平抛出后，不计空气阻力，两小球落地时的水平位移分别为s和2s。重力加速度为g，则下列说法正确的是(　　) A．A、B两小球的初速度大小之比为1∶4 B．A、B两小球的运动时间之比为1∶ C．两小球运动轨迹交点的水平位移为s D．两小球运动轨迹交点的离地高度为h 如图所示，斜面固定在水平面上，两个小球分别从斜面底端O点正上方A、B两点向右水平抛出，B为AO连线的中点，最后两球都垂直落在斜面上，A、B两球击中斜面的位置到O点的距离之比为(　　) A．∶1 B．2∶1 C．4∶ D．4∶1 考点2　平抛运动的临界和极值问题 (能力考点·深度研析) 1．平抛运动的临界问题有两种常见情形 (1)物体的最大位移、最小位移、最大初速度、最小初速度； (2)物体的速度方向恰好达到某一方向。 2．解题技巧 在题中找出有关临界问题的关键字，如“恰好不出界”“刚好飞过壕沟”“速度方向恰好与斜面平行”“速度方向与圆周相切”等，然后利用平抛运动对应的位移规律或速度规律进行解题。 ►考向1　平抛运动的临界问题 第19届杭州亚运会，中国女排第九次摘得亚运会金牌。在某次训练中，运动员从底线中点正上方高H＝3 m处将球以速度v0水平击出，球恰好擦着球网上沿进入对方场内，已知排球场长s＝18 m、宽L＝9 m，球网高h＝2.2 m，不计空气及擦网时的阻力，g取10 m/s2，则该运动员的击球速度v0不可能超过(　　) A．22.5 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．15 m/s ►考向2　平抛运动的极值问题 考点3　斜上抛运动 (能力考点·深度研析) 1．解题技巧 (1)斜上抛运动从抛出点到最高点的运动，可逆过程分析为平抛运动。 (2)分析完整的斜上抛运动，可根据对称性求解。 2．斜上抛运动的极值 物体的射高ym＝＝ 在最高点vy＝0由vy＝v0sin θ－gt得上升时间t＝ 物体落回到与抛出点同一高度时，下降时间等于上升时间，物体运动的总时间t总＝ 物体的射程xm＝v0x·t总＝v0cos θ·＝ 当θ＝45°时，sin 2θ最大，射程最大。 所以对于给定大小的初速度v0，沿θ＝45°方向斜向上抛出时，射程最大。 ►考向1　斜抛运动规律的应用 (多选)(2024·山东卷)如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20 m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10 m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是(　　) A．运动时间为2 s B．落地速度与水平方向夹角为60° C．重物离PQ连线的最远距离为10 m D．轨迹最高点与落点的高度差为45 m ►考向2　利用逆向思维研究斜抛运动 (2024·广东广州市二模)如图，运动员起跳投篮。篮球恰好垂直击中篮板“打板区”方框的上沿线中点，反弹落入篮圈，已知篮球出手时球心离地的高度h1＝2.25 m，与篮板的水平距离L1＝1.17 m，篮圈离地的高度h2＝3.05 m，“打板区”方框的上沿线离篮圈的高度h3＝0.45 m，若篮球的直径d＝0.24 m。不考虑空气作用力和篮球的转动，重力加速度g取10 m/s2。求篮球击中篮板时的速度大小。 考点4　类平抛运动 (能力考点·深度研析) 1．受力特点 物体所受的合外力为恒力，且与初速度的方向垂直。 2．运动特点 在初速度v0方向上做匀速直线运动，在合外力方向上做初速度为零的匀加速直线运动，加速度a＝。 3．求解方法 (1)常规分解法：将类平抛运动分解为沿初速度方向的匀速直线运动和垂直于初速度方向(即沿合外力的方向)的匀加速直线运动。两分运动彼此独立，互不影响，且与合运动具有等时性。 (2)特殊分解法：对于有些问题，可以过抛出点建立适当的直角坐标系，将加速度a分解为ax、ay，初速度v0分解为vx、vy，然后分别在x、y方向列方程求解。 (多选)一足够大且光滑的矩形斜面，倾角为θ，高为h，现有一小球在A处沿平行于底边的初速度v0滑上斜面，最后从B处离开斜面。已知重力加速度大小为g。下列说法正确的是(　　) A．小球的运动轨迹为抛物线 B．小球的加速度大小为gsin θ C．小球从A处到达B处所用的时间为 D．小球从A处到达B处的位移大小为 【跟踪训练】 (多选)如图所示，两个倾角分别为30°、45°的光滑斜面放在同一水平面上，两斜面间距大于小球直径，斜面高度相等。有三个完全相同的小球a、b、c，开始均静止于同一高度处，其中b小球在两斜面之间，a、c两小球在斜面顶端。若同时释放，小球a、b、c到达水平面的时间分别为t1、t2、t3。若同时沿水平方向抛出，初速度方向如图所示，小球a、b、c到达水平面的时间分别为t1′、t2′、t3′。下列关于时间的关系正确的是(　　) A．t1>t3>t2 B．t1＝t1′、t2＝t2′、t3＝t3′ C．t1′>t2′>t3′ D．t1<t1′、t2<t2′、t3<t3′ 有约束条件的平抛运动模型 运动情境 物理量分析 vy＝gt，tan θ＝＝→t＝→求x、y x＝v0t，y＝gt2→tan θ＝→t＝ tan θ＝＝→t＝ 落到斜面上时合速度与水平方向的夹角为φ，tan φ＝＝＝＝2tan θ(α＝φ－θ) tan θ＝＝→t＝ 在半圆内的平抛运动，h＝gt2，R±＝v0t→求t 如图所示，小球恰好从圆柱体Q点沿切线飞过，此时半径OQ垂直于速度方向，圆心角θ与速度的偏向角相等 ►考向1　与斜面相关的平抛运动 ►考向2　与弧面相关的平抛运动 如图所示，水平路面出现了一个大坑，其竖直截面为半圆，AB为沿水平方向的直径。一辆行驶的汽车发现情况后紧急刹车安全停下，但两颗石子分别以速度v1、v2从A点沿AB方向水平飞出，分别落于C、D两点，C、D两点距水平路面距离分别为圆半径的0.6倍和1倍。则v1∶v2的值为(　　) A．　　　　　　　　 B． C． D． ►考向3　平抛运动与台阶面的关联问题 (2025·河北张家口调研)如图所示，小球从楼梯上以2 m/s的速度水平抛出，所有台阶的高度和宽度均为0.25 m，取g＝10 m/s2，小球抛出后首先落到的台阶是(　　) A．第一级 B．第二级 C．第三级 D．第四级 【跟踪训练】 如图所示，从倾角为θ且足够长的斜面顶端P以速度v0抛出一个小球(可视为质点)，落在斜面上某处，记为Q点，小球落在斜面上的速度与斜面的夹角为α，若把初速度变为2v0，小球仍落在斜面上，则以下说法正确的是(　　) A．夹角α将变大 B．夹角α与初速度大小无关 C．小球在空中的运动时间不变 D．PQ间距是原来间距的3倍 (2025·湖南长沙调研)如图所示，一小球从一半圆轨道左端A点正上方某处开始做平抛运动(小球可视为质点)，飞行过程中恰好与半圆轨道相切于B点，O为半圆轨道圆心，半圆轨道半径为R，OB与水平方向的夹角为60°，重力加速度为g，不计空气阻力，则小球抛出时的初速度为(　　) A． B． C． D． 如图所示，在竖直的平面直角坐标系xOy中，一无阻挡的抛物线边界y＝x2把平面分为两部分，在y轴上A处有一质点小球以v0＝2 m/s的初速度垂直于y轴射出，已知OA＝5 m，不计空气阻力，g＝10 m/s2，则(　　) A．小球到达边界的时间为 s B．小球到达边界的位置为(－ m,2 m) C．小球到达x轴时速度方向与x轴负方向成30° D．经过足够长的时间，小球速度方向可能和y轴平行 提能训练　练案[20] 基础巩固练 题组一　平抛运动与斜抛运动 1．(多选)(2024·江西卷)一条河流某处存在高度差，小鱼从低处向上跃出水面，冲到高处。如图所示，以小鱼跃出水面处为坐标原点，x轴沿水平方向，建立坐标系，小鱼的初速度为v0，末速度v沿x轴正方向。在此过程中，小鱼可视为质点且只受重力作用。关于小鱼的水平位置x、竖直位置y、水平方向分速度vx和竖直方向分速度vy与时间t的关系，下列图像可能正确的是(　　) 　　 2．(2024·湖北卷)如图所示，有五片荷叶伸出荷塘水面，一只青蛙要从高处荷叶跳到低处荷叶上，设低处荷叶a、b、c、d和青蛙在同一竖直平面内，a、b高度相同，c、d高度相同，a、b分别在c、d正上方，将青蛙的跳跃视为平抛运动。若以最小的初速度完成跳跃，则它应跳到(　　) A．荷叶a B．荷叶b C．荷叶c D．荷叶d 3．(2025·湖南高三月考)图甲是消防车正在机场进行水柱灭火演练的情景，小刘模拟消防水柱的示意图如图乙所示。水在空中运动，A、B为其运动轨迹上的两点，已知水在A点时的速度大小为v＝6 m/s，速度方向与竖直方向的夹角为45°，它运动到B点时，速度方向与竖直方向的夹角为37°(sin 37°＝0.6)，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2。则(　　) A．图中A点是水在空中运动过程的最高点 B．水在空中运动过程为变加速曲线运动 C．水在B点时的速度大小为8 m/s D．A、B两点间的高度差为0.7 m 4．(多选)(2024·南宁模拟)在学校组织的运动会期间，某同学参加定点投篮比赛。如图所示，篮球两次出手和进筐的位置相同，在空中的运动轨迹分别对应同一竖直平面内的a、b两条曲线。不计空气阻力，则关于该两次投篮下列说法正确的是(　　) A．轨迹为a的篮球在空中运动的加速度较大 B．轨迹为a的篮球在空中运动的时间较长 C．轨迹为a的篮球经最高点的速度较小 D．篮球两次运动的平均速度相等 题组二　平抛运动的临界和极值问题 5．如图所示是排球场的场地示意图，设排球场的总长为L，前场区的长度为，网高为h，在排球比赛中，对运动员的弹跳水平要求很高。如果运动员的弹跳水平不高，运动员的击球点的高度小于某个临界值H，那么无论水平击球的速度多大，排球不是触网就是越界。设某一次运动员站在前场区和后场区的交界处，正对网前竖直跳起垂直网将排球水平击出，关于该种情况下临界值H的大小，下列关系式正确的是(　　) A．H＝H B．H＝h C．H＝h D．H＝h 6．(2025·山东青岛月考)如图，容量足够大的圆筒竖直放置，水面高度为h，在圆筒侧壁开一个小孔P，筒内的水从小孔水平射出，设水到达地面时的落点距小孔的水平距离为x，小孔P到水面的距离为y。短时间内可认为筒内水位不变，重力加速度为g，不计空气阻力，在这段时间内下列说法正确的是(　　) A．水从小孔P射出的速度大小为 B．y越小，则x越大 C．x与小孔的位置无关 D．当y＝时，x最大，最大值为h 题组三　有约束条件的平抛运动模型 7．A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，忽略空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程(　　) A．球1和球2运动的时间之比为2∶1 B．球1和球2运动的时间之比为1∶2 C．球1和球2抛出时初速度之比为2∶1 D．球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1∶1 8．(2025·广东高三阶段练习)如图，在竖直平面内有一半圆形轨道，圆心为O，AB为水平直径，D点为半圆形轨道的最低点，C为轨道上的一点，CO与水平直径的夹角为53°，甲、乙两小球分别从B点和C点水平抛出，两球都落到D点。不计空气阻力，小球可视为质点，sin 53°＝0.8，则甲、乙两球初速度之比为(　　) A． B． C． D． 能力提升练 9．(多选)(2025·广东梅州联考)如图，让小石子分别以v01、v02、v03、v04的水平速度离开水库大坝顶部，分别落在大坝上A、B和水面上C、D处。不计空气阻力。以下说法正确的是(　　) A．小石子平抛运动的时间关系为t1<t2<t3<t4 B．小石子平抛运动的初速度大小关系为v01<v02<v03<v04 C．小石子落到A、B、C、D处时，速度大小关系为vA<vB<vC<vD D．小石子落到A、B、C、D处时，速度方向都不相同 10．第24届冬季奥运会于2022年2月4日在北京和张家口联合举办，跳台滑雪是冬奥会中最具观赏性的项目之一，北京跳台滑雪赛道“雪如意”如图甲所示，其简化图如图乙所示，跳台滑雪赛道由助滑道AB、着陆坡BC、减速停止区CD三部分组成，圆弧AB的半径为R＝50 m。比赛中质量m＝50 kg的运动员从A点由静止下滑，运动到B点后水平飞出，落在着陆坡的C点，已知运动员在空中的飞行时间为4.5 s，着陆坡的倾角θ＝37°，重力加速度g＝10 m/s2，忽略空气阻力影响，则(　　) A．运动员从B点水平飞出的速度大小为60 m/s B．运动员从B点飞出后离斜面最远时的速度大小为45 m/s C．运动员从B点飞出后经3 s离斜面最远 D．运动员在B点对赛道的压力大小为1 400 N 11．(多选)如图所示，小球A以某一速度水平向右抛出的同时，小球B斜向左上方以速度v0抛出，v0与水平方向的夹角为53°。两球抛出后在同一竖直面内运动，且恰好在空中相遇。已知单独抛出小球B时，小球B能到达的最高点恰好与小球A的抛出点处于同一水平线上，且小球B的落地点位于小球A抛出点的正下方。不计空气阻力，重力加速度为g，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，下列说法正确的是(　　) A．小球A抛出的初速度大小等于2.4v0 B．小球A抛出的初速度大小等于1.8v0 C．两球抛出点的水平距离为 D．两球抛出点的水平距离为 12．(2024·山东临沂一模)据史载，战国时期秦楚之战中就有使用投石机的战例。最初的投石机结构很简单，一根巨大的杠杆，长端是用皮套或是木筐装载的石块，短端系上几十根绳索，当命令下达时，数十人同时拉动绳索，利用杠杆原理将石块抛出。某学习小组用如图所示的模型演示抛石过程。质量m＝1 kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时口袋位于水平面并处于静止状态。现对短臂施力，当长臂转到与竖直方向夹角为θ＝53°时立即停止转动，石块以v0＝20 m/s的速度被抛出后打在地面上，石块抛出点P离地面高度h＝1.65 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s2，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6。 (1)求抛出后石块距离地面的最大高度； (2)若在石块运动轨迹最高点左侧竖立一块长度L＝3.2 m的木板充当城墙挡住石块，求木板离石块抛出点的最近距离。 学科网（北京）股份有限公司 $