精品解析：四川成都市天府新区2025-2026学年度下学期初三阶段性测试数学试题

四川成都市天府新区2025-2026学年度下学期初三阶段性测试数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷含三个大题，18个小题，满分100分；B卷含两个大题，8个小题，满分50分．全卷共150分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上均无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔准确填涂作答；A卷的第Ⅱ卷和B卷用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在相应各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（ ） A. 12 B. C. D. 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 5. 2026年，成都市农业农村局将“宜香优2115”列为全市粮油作物重大品种推广目录．该品种由四川农业大学选育，具有优质、高产、抗病等特点．为考察该品种在成都某示范田的长势，农技人员随机抽取了5株测量其株高（单位：cm），数据分别为116，118，120，115，121，这组数据的中位数是（ ） A. 115 B. 116 C. 118 D. 120 6. 如图，在菱形 中，对角线与 相交于点 ，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 该图象的对称轴是直线 B. 此次飞行无人机飞行的最大高度为 C. 当时，该无人机飞行的高度为 D. 该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则的值为______． 10. 2025年12月16日，成都地铁首座“无柱车站”-13号线幸福梅林站一期开通．该站采用大跨度弧形拱顶设计，站厅内无一根立柱，空间通透开阔．该弧形拱顶的横截面可近似看作一个扇形，已知扇形的圆心角为，半径为米，则该扇形弧长为_____米． 11. 已知两点都在反比例函数的图象上，且，则____．（填“>”或“<”或“=”） 12. 如图， 绕点 逆时针旋转得到 ，点 正好在线段 上， ，则 的度数为______． 13. 如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，的长为半径作弧，交线段于点 ；②分别以C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点 ；③连接 并延长交 延长线于点 ，交线段 BC于点．若，则线段 的长为_____． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 15. 四川是一个充满想象力的省份，数千年来，生活在这片土地上的人们凭借智慧创造了众多非物质文化遗产，截至目前，已有9项入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为了让学生更加了解四川非遗文化，天府新区某学校组织了非遗文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（A： ，B：，C：，D：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次参加测评人数为_______人，并补全条形统计图； （2）若该校九年级共有800人，成绩为80分及以上记为优秀，请估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数； （3）现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加非遗汇报，从这四名同学中随机抽取两位参加汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少？ 16. 四川天府新区天府数字文创城“雁之羽”规划展示厅是天府新区公园城市建设的标杆之作．建筑以“大雁展翅”为设计灵感，舒展的对称飞檐成为新区的标志性城市景观．在一次数学综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用太阳光对该建筑飞檐顶点的高度进行了实地测量．如图是其飞檐结构的平面示意图，已知，且 ， 两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好经过点 照射到 点正下方 处时，太阳光与地面的夹角为 ．求飞檐顶点 到地面的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：） 17. 如图，等腰三角形 中， ，以 为直径的交 于点 ，交 于点 ，点 是上一点，且 ，连接 与 交于点 ． （1）求证： ； （2）若，求和 的长． 18. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点 是反比例函数第三象限图象上一点，过点 作直线 交轴于点 ． ①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接 ， ，求 的面积； ②是否存在点 ，使得 与 相似，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，则代数式的值是______． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 21. 如图，在中，是斜边 边上一点，以 为圆心的半圆与 ， 边分别相切于点D，E，已知，半圆半径为4，则图中两部分阴影面积的和为_____． 22. 一个三位正整数，若任意两个数位上的数字之差的绝对值不小于 ，则称这个三位数为一个“离位数”，例如是一个“离位数”．根据定义回答：最小的“离位数”是____，将这些“离位数”从小到大进行排列，则第个“离位数”为____． 23. 如图，在等边 中，D，E分别为边 上一点，且，连接 ，以 为边在 上方作等边为 中点，连接 交 的延长线于点，若，则线段的长为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时． （1）求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ （2）某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？ 25. 在中，， 为射线 上一点，且 ，，过点 作交射线 于点 ，过点 作交 于点G， 与 所在直线交于点． （1）如图1，当点 在线段 上时，求证：； （2）如图2，当点 在线段 上，且时，求的值； （3）如图3，当点 在线段 延长线上时，若，求的值．（用含 的代数式表示） 26. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与轴分别交于两点，交轴于点 ，记拋物线顶点为点 ． （1）求 ， 的值及顶点 的坐标； （2）连接， ，平移直线交拋物线于点 ，交线段 于点 ，若，求点 的坐标； （3）过 中点作直线交拋物线于E，F两点，试探究，拋物线上是否存在定点 （不与E，F两点重合），使得始终成立？若存在，请求出定点 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川成都市天府新区2025-2026学年度下学期初三阶段性测试数学试题 注意事项： 1．全卷分A卷和B卷，A卷含三个大题，18个小题，满分100分；B卷含两个大题，8个小题，满分50分．全卷共150分，考试时间120分钟． 2．考生必须在答题卡上作答，答在试题卷、草稿纸上均无效． 3．在答题卡上作答时，考生需首先准确填写自己的姓名、准考证号，并用2B铅笔准确填涂好自己的准考证号．A卷的第Ⅰ卷为选择题，用2B铅笔准确填涂作答；A卷的第Ⅱ卷和B卷用0.5毫米黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．请按照题号在相应各题目对应的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效． 4．保持答题卡面清洁，不得折叠、污染、破损等． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 2026年3月20日是春分，这一天全球昼夜等长，白昼时长为12小时．则数据12的倒数是（ ） A. 12 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：的倒数是. 2. 右图是我们生活中常用的“空心卷纸”，其主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．看不见的棱要用虚线表示．找到从前面看所得到的图形即可． 【详解】解：卷纸的主视图应是： ， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据同底数幂的乘法、同类项合并、同底数幂的除法、积的乘方运算法则，逐一判断即可． 【详解】解：对于选项A，∵同底数幂相乘，底数不变，指数相加， ∴，A错误； 对于选项B，∵ 与不是同类项，不能合并， ∴，B错误； 对于选项C，∵同底数幂相除，底数不变，指数相减， ∴，C错误； 对于选项D，∵积的乘方等于各因式乘方的积，幂的乘方底数不变，指数相乘， ∴，D正确． 4. 在平面直角坐标系中，将点向左平移5个单位长度得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】平面直角坐标系中平移的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减． 【详解】解：∵点向左平移5个单位长度， ∴新点的横坐标为，纵坐标不变，仍为 ， ∴平移后得到的点的坐标为． 5. 2026年，成都市农业农村局将“宜香优2115”列为全市粮油作物重大品种推广目录．该品种由四川农业大学选育，具有优质、高产、抗病等特点．为考察该品种在成都某示范田的长势，农技人员随机抽取了5株测量其株高（单位：cm），数据分别为116，118，120，115，121，这组数据的中位数是（ ） A. 115 B. 116 C. 118 D. 120 【答案】C 【解析】 【分析】先将数据按从小到大排序，再根据数据个数的奇偶性确定中位数，数据个数为奇数时，中位数是排序后位于中间位置的数． 【详解】解：∵ 原数据为116，118，120，115，121，将数据按从小到大排序得： ∵ 数据共有 个， 是奇数，中位数为排序后第 个数 ∴ 这组数据的中位数为． 6. 如图，在菱形 中，对角线与 相交于点 ，下列说法正确的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，掌握“菱形的四条边相等，对角线互相垂直平分”是解题的关键． 【详解】A．菱形的对角线互相垂直但不一定相等，仅当菱形为正方形时 ，故A错误； B．在菱形 中， ，，但不一定等于，故B错误； C．菱形的内角度数不确定， 不一定等于，故C错误； D．根据菱形的性质，对角线互相垂直， ，故D正确． 7. 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，列二元一次方程组． 【详解】解：设有x人，y辆车， 依题意得： ， 故选B． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解决问题的关键是找出题中等量关系． 8. 成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（ ） A. 该图象的对称轴是直线 B. 此次飞行无人机飞行的最大高度为 C. 当时，该无人机飞行的高度为 D. 该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】C 【解析】 【分析】先根据图象可得，和 时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】解：由图象可得，和 时，， ∴对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当 时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 ，故D正确，不符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9. 已知，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的求值，将所求分式变形后，整体代入已知条件计算即可. 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：. 10. 2025年12月16日，成都地铁首座“无柱车站”-13号线幸福梅林站一期开通．该站采用大跨度弧形拱顶设计，站厅内无一根立柱，空间通透开阔．该弧形拱顶的横截面可近似看作一个扇形，已知扇形的圆心角为，半径为米，则该扇形弧长为_____米． 【答案】 【解析】 【详解】解：该扇形弧长为 11. 已知两点都在反比例函数的图象上，且，则____．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】< 【解析】 【分析】本题根据反比例函数的性质，先判断比例系数 的符号，得到函数在 时的增减性，再结合给定的的大小关系比较的大小． 【详解】反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随 的增大而增大， ，即两点都在第二象限， ． 12. 如图， 绕点 逆时针旋转得到 ，点 正好在线段 上， ，则 的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到  ，，利用等边对等角及三角形内角和定理求出 的度数即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ，， ∵点 在线段 上，  ∴在 中， ， ∴， ∴， 由图可知，点在 上，即， ∴． 13. 如图，在矩形 中，按以下步骤作图：①以点 为圆心，的长为半径作弧，交线段 于点；②分别以C，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点；③连接 并延长交 延长线于点，交线段 BC于点．若，则线段 的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据矩形性质得出，．由作图步骤①可知 ，由步骤②可知直线 是线段 的垂直平分线，根据等腰三角形三线合一性质得出 平分，从而求出 ．在 中，利用等角对等边得出，结合求出 的长，最后利用勾股定理计算 的长． 【详解】解：如图，连接 ， ∵四边形 是矩形，  ∴，， 由作图步骤①可知： ，由作图步骤②可知：直线 是线段 的垂直平分线， ∵ ， ∴点 在线段 的垂直平分线上， ∴直线 平分， ∴， ∵点在 的延长线上， ∴， 在 中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， 在 中，由勾股定理得：． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14. 计算： （1）； （2）解不等式组：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先代入三角函数、计算绝对值、零指数幂和算术平方根，再计算加减即可； （2）分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共解集，即可得出答案． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 15. 四川是一个充满想象力的省份，数千年来，生活在这片土地上的人们凭借智慧创造了众多非物质文化遗产，截至目前，已有9项入选联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录．为了让学生更加了解四川非遗文化，天府新区某学校组织了非遗文化知识测评，从九年级学生中随机抽取部分学生参加测评，对测评成绩（单位：分）进行统计分析，成绩分为四个等级（A： ，B：，C：，D：），并绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图： （1）本次参加测评人数为_______人，并补全条形统计图； （2）若该校九年级共有800人，成绩为80分及以上记为优秀，请估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数； （3）现有成绩为A等级的两位同学和B等级的两位同学共四人报名参加非遗汇报，从这四名同学中随机抽取两位参加汇报，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的概率是多少？ 【答案】（1）100，补全条形统计图如下： （2）600人 （3） 【解析】 【分析】（1）根据C组的人数和占比可以算出总人数，再根据D组的占比可以计算出D组的人数，用总人数减去其他组的人数即可求出B组人数； （2）成绩80分及以上为优秀，包括A、B两组的合计，根据A,B两组的合计占比就可以估计该校九年级学生测试成绩为优秀的学生人数； （3）设A等级同学为，B等级同学为，画出树状图统计出所有可能的总数，再根据概率计算公式即可求解． 【小问1详解】 根据C等级人数 人占总人数 ，可得总人数为： ， D等级占 ，对应人数为， B等级人数为， 【小问2详解】 解： 成绩80分及以上为优秀，即A、B等级合计占比： ， 该校九年级共800人，估计优秀人数为： 【小问3详解】 设A等级同学为，，B等级同学为。 从四人中随机抽取两人，所有可能组合如下图： 共12种， 抽到一名成绩为A等级同学和一名成绩为B等级同学的组合有8种， 所求概率为： ． 16. 四川天府新区天府数字文创城“雁之羽”规划展示厅是天府新区公园城市建设的标杆之作．建筑以“大雁展翅”为设计灵感，舒展的对称飞檐成为新区的标志性城市景观．在一次数学综合与实践活动中，某数学兴趣小组利用太阳光对该建筑飞檐顶点的高度进行了实地测量．如图是其飞檐结构的平面示意图，已知，且 ， 两点到地面的距离相等，B，C两点间的距离为，当太阳光恰好经过点 照射到 点正下方 处时，太阳光与地面的夹角为 ．求飞檐顶点 到地面的距离．（结果精确到0.1m；参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】如图，易得四边形、、都是矩形，根据等腰三角形三线合一的性质得，，解 求出 ，易得是等腰直角三角形，则，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作于点M，过点C作于点N，连接 ，过点A作 于点G，连接 ， 根据题意得，，，， ∵ ， 两点到地面的距离相等， ∴ ， 又∵，，， ∴四边形是矩形， ∴， ，， 又∵ ， ∴， ∴、 、 三点共线， ∴四边形、都是矩形， ∵ ， ， ∴，， ∴， 在 中，， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 17. 如图，等腰三角形 中， ，以 为直径的交 于点 ，交 于点，点是上一点，且 ，连接 与 交于点． （1）求证： ； （2）若，求和的长． 【答案】（1） 证明：∵ 是的直径， ，， ， ， ， ， ． ∵ ， ， ． （2） ， 【解析】 【分析】（1）利用直径所对圆周角为直角得 ，结合 和等腰三角形性质证 ，从而证明 ，推出比例式； （2）先在 中用勾股定理求 ，再在 中求；证明 ，可得，再求出，分别过点D，F作 ，垂足分别为M，N，则 ，可得 ，可得，求出，可得 ，设 ， ，则 ，可得，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ， 设 ，则 ． 在 中，， 在中，， ， 解得 ，即 ． ， ． 由（1）知 ， ， ． ∵ (同弧上圆周角相等)， 又 ， ， ， 在中，， 如图，分别过点D，F作 ，垂足分别为M，N，则 ， ∴ ， ∴， ∵ ， 即 ， 解得：， 同理 ， ∴， 设 ， ，则 ， ， 解得：，， 即． 18. 如图，在平面直角坐标系 中，一次函数 的图象与反比例函数的图象交于点，与 轴交于点． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点 是反比例函数第三象限图象上一点，过点 作直线 交轴于点 ． ①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接 ， ，求 的面积； ②是否存在点 ，使得 与 相似，若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的表达式为： ，反比例函数的表达式为：； （2）①；②存在，或 【解析】 【分析】（1）将点代入 ，得出一次函数的表达式，先求出点 坐标，再求反比例函数表达式即可得解； （2）①连接 ，设直线 交 轴于点，根据题意设出直线的解析式，进而联立反比例函数解析式，根据直线与反比例函数的图象只有一个交点，得出，，再求得直线 的解析式，根据，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况讨论，情形一：，情形二： ，根据相似三角形的性质进行分析，即可求解． 【小问1详解】 解：将点代入 得， 解得： ∴一次函数的表达式为： 将代入 ∴ 解得： ， ∴， 将代入得， ， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①解：如图，连接 ，设直线 交 轴于点， ∵直线 ∴设直线的解析式为 联立 ∴ 即 ∵直线与反比例函数的图象只有一个交点， ∴ 又∵ ∴ ∴直线的解析式为 当 时， ∴ 设直线 的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线 的解析式为 当时 ∴ ∵ ∴ ②解：如图，过点 作轴于点，过点 作 轴于点 ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴ ， ∴ 与 相似，点 与点 对应，分两种情况讨论， 情形一：， ∴ ∴ ∴ 设 ，则 ∴ ∴，代入 解得： （负值舍去） ∴ 情形二： ，则 过点 作轴于点 ，过点 作于点 ， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ，则 依题意， 解得： ∴, ∴ 综上所述：存在， 或 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，则代数式的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题先根据分式的运算法则化简原式，再结合已知等式变形，整体代入化简后的式子计算即可得到结果． 【详解】解： ， ， 移项得：， 将代入， 可得：原式． 20. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】用方程组中的两个方程相减得出，再根据，即可得关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：， 得， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 解得 ． 21. 如图，在中，是斜边 边上一点，以 为圆心的半圆与 ， 边分别相切于点D，E，已知，半圆半径为4，则图中两部分阴影面积的和为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接 ， ，证明四边形 是正方形，证明，可求出 ；分别求出，，，再根据求解即可． 【详解】解：连接 ， ， ∵半圆与 ， 边分别相切于点D，E， ∴，，， 又 ， ∴四边形 是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得： ； ∴，；， ∴． 22. 一个三位正整数，若任意两个数位上的数字之差的绝对值不小于 ，则称这个三位数为一个“离位数”，例如是一个“离位数”．根据定义回答：最小的“离位数”是____，将这些“离位数”从小到大进行排列，则第个“离位数”为____． 【答案】 ①. 135 ②. 482 【解析】 【分析】先根据离位数定义，从高位到低位依次取最小满足条件的数字得到最小离位数，再按百位分类计算每个百位对应的离位数个数，推导得到第个离位数所在的百位，进而得到结果． 【详解】解：要得到最小的三位离位数，百位优先取最小正整数 ． 根据定义，任意两个数位数字差的绝对值不小于 ，因此十位满足 ，得，最小十位为 ． 个位需要满足 ，得，最小个位为 ． 因此最小的离位数为 ． 按百位从小到大分类计算每个百位对应的离位数个数： 百位为 ：排除与 差绝对值小于 的数字 ， ， 剩余个可选数字，选 个不同数字排列共种，减去两个数字差绝对值为 的 种有序对，得个离位数． 百位为 ：排除与 差绝对值小于 的数字 ， ， 剩余个可选数字，总有序对个，差绝对值为 的有序对 个，故可得共 个离位数． 百位为 ：排除与 差绝对值小于 的数字 ， ，剩余个可选数字，总有序对个，差绝对值为 的有序对 个，故可得共 个离位数． 百位为：排除与差绝对值小于 的数字 ，， 剩余个可选数字，共 个离位数，最大的即为所求． 总共个，第个是，往会倒推第个是482． 23. 如图，在等边 中，D，E分别为边 上一点，且，连接 ，以 为边在 上方作等边为 中点，连接交 的延长线于点，若，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点作，交 于点 ，交 于点 ，证明为等边三角形，一线三等角证明，得到，同理得到，进而推出，等边对等角结合三角形的外角的性质，求出，作于点 ，延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接，根据三线合一，结合30度角的直角三角形的性质，求出 的长，中位线定理得到，，进而推出三点共线，证明，得到，进而得到，根据线段的和差关系，求出 的长，勾股定理求出 的长，进而求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：过点作，交 于点 ，交 于点 ， ∵ 为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴ ， ∴， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 为 的角平分线， 作于点 ，延长 交 于点 ，取 的中点 ，连接， 则， ∴，，，，即， ∵为 的中点， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 2025年9月，第十一届四川农业博览会在成都举行，农博会上亮相的AI行株间除草机器人、割草机器人、蔬果采摘机器人等各类农业智能机器人成为全场关注的焦点．已知一台小番茄采摘机器人每小时的采摘量是一名熟练采摘工人每小时采摘量的1.5倍，采摘600千克小番茄，一名熟练采摘工人所需时间比一台小番茄采摘机器人采摘所需时间多10小时． （1）求一名熟练采摘工人每小时采摘多少千克小番茄？ （2）某果园计划安排熟练采摘工人和小番茄采摘机器人同时采摘小番茄，4小时采摘量不低于920千克，且熟练采摘工人数量是小番茄采摘机器人数量的2倍还多1，求该果园至少需要多少台小番茄采摘机器人？ 【答案】（1）20千克 （2）3台 【解析】 【分析】（1）设熟练采摘工人每小时采摘量为未知数，根据采摘600千克的时间差列分式方程求解即可； （2）设小番茄采摘机器人的数量为未知数，根据4小时总采摘量不低于920千克列一元一次不等式，结合数量为正整数求出最小值即可． 【小问1详解】 解：设一名熟练采摘工人每小时采摘 千克小番茄，则一台小番茄采摘机器人每小时采摘千克小番茄， 根据题意列方程得，  解得 ， 检验：当 时，，所以 是原方程的解，符合题意． 答：一名熟练采摘工人每小时采摘20千克小番茄； 【小问2详解】 解：设该果园需要台小番茄采摘机器人，则熟练采摘工人数量为名， 由（1）得，一台采摘机器人每小时采摘量为（千克）， 根据题意列不等式得 ， 解得， 因为为正整数，所以的最小值为3． 答：该果园至少需要3台小番茄采摘机器人． 25. 在中，，为射线 上一点，且 ，，过点 作交射线 于点，过点 作交 于点G， 与 所在直线交于点． （1）如图1，当点在线段 上时，求证：； （2）如图2，当点在线段 上，且时，求的值； （3）如图3，当点在线段 延长线上时，若，求的值．（用含 的代数式表示） 【答案】（1） 证明：∵， ∴ ， 在和中，，， ∴， ∴， ∴； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）证明，即可得到，则； （2）延长 与 交于点 ，连接， ，由，得到 ， ， ，即可证明，再证明得到，，接着证明四边形是菱形，得到，接着证明 和 是等边三角形，得到，即可得到，，代入计算即可； （3）由（2）可得，，由，设，，根据四边形是平行四边形，得到，，，，过 作于 ，证明，得到，则，证明，得到，求出 ，最后根据，得到，代入计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：延长 与 交于点 ，连接， ， ∵， ∴ ， ， ， ∴ ， ，， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，，， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∵，， ∴为 中点， ∴， ∴ 是等边三角形， ∴， ∴，， ∴ 是等边三角形， ∴， ∵， ∴ 垂直平分 ， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由（2）可得，， ∵， ∴设，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， 过 作于 ， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴，， ∵ ，，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 26. 如图，在平面直角坐标系 中，抛物线与 轴分别交于两点，交轴于点 ，记拋物线顶点为点 ． （1）求 ， 的值及顶点 的坐标； （2）连接， ，平移直线交拋物线于点 ，交线段 于点 ，若，求点 的坐标； （3）过 中点作直线交拋物线于E，F两点，试探究，拋物线上是否存在定点（不与E，F两点重合），使得始终成立？若存在，请求出定点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，， （2）或 （3）存在，定点 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线中，即可求解b，c的值，再将抛物线化为顶点式，由此可求解顶点坐标； （2）先由勾股定理求解 的长度，由此可得 的长度，求解直线 与直线 的函数解析式，设出点M的坐标，添加适当的辅助线，利用相似三角形的性质可得的长度，由此可表示出点N的坐标，再将点N的坐标代入直线 中即可求解； （3）先设出点E的坐标，点F的坐标，点G的坐标，再由待定系数法求解直线的函数解析式，求解出中点H的坐标，将点H的坐标代入直线的函数解析式，再求解直线 与直线 的函数解析式，根据垂直求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线与 轴分别交于两点， 可得：，解得：， ∴抛物线的解析式为， 即， ∴抛物线的顶点 的坐标为； 【小问2详解】 解：∵抛物线为， 当 时，可得：， ∴点 的坐标为， ∵点 的坐标为， ∴，， ∴在 中，， ∵， ∴， 设直线 的解析式为， 可得：，解得：， ∴直线 的解析式为， 设直线 的解析式为， 可得：，解得： ∴直线 的解析式为， 过点M作轴，过点N作，如图，则， ∵点M在拋物线上，设点， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴点，即点， ∵点N在直线 上， ∴， 整理可得，，解得 或， 当 时，点；当时，点； 【小问3详解】 解：存在定点（不与E，F两点重合），使得始终成立，如图， ∵点E，点F，在抛物线上， 设点，点，点， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵点，点， ∴BD中点的坐标为， ∵点在直线上， ∴，可得， 设直线 的解析式为， ∴，解得， ∴直线 的解析式为， 同理可得直线 的解析式为， ∵，即， ∴， ∴， 由①②可得，， ∵点G为顶点，即与e和f无关， ∴， 由，可得， 由，可得或， ∴，即定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $