江苏南通市海安市实验中学2026届高三下学期四月模考数学试题

高三四月模考数学试卷 一、单选题 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则复数的虚部是（ ） A. B. 1 C. D. 2 3. 若空间中三条不同的直线，，满足，，则是，，共面的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知向量，设，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线，过顶点作的一条渐近线的垂线，交轴于点，且，则的离心率为（ ） A. 3 B. 2 C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为圆锥的底面直径，为底面圆心，正三角形内接于，若，圆锥的侧面积为，则与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知点，，是与轴的交点．点满足：以为直径的圆与相切，则面积的最大值为（ ） A. B. 8 C. 12 D. 16 二、多选题 9. 从某校高一和高二年级分别随机抽取100名学生进行知识竞赛，按得分（满分100分）绘制如图所示的频率分布直方图，根据频率分布直方图，并用频率估计概率记高一年级学生得分平均数的估计值为，高二年级学生得分中位数与平均数的估计值分别为，．从高一和高二年级各随机抽取一名学生，记事件“高一年级学生得分不低于60分，高二年级学生得分不低于80分”，事件“高一年级学生得分不低于80分，高二年级学生得分不低于60分”则（ ） A. B. C. 事件，互斥 D. 10. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则（ ） A. 与的图象关于直线对称 B. 与的图象关于点对称 C. 当时， D. 当时，与的图象恰有4个交点 11. 已知函数的定义域为，且，，则（ ） A. B. ， C. 的图象关于点对称 D. 为偶函数 三、填空题 12. 已知为锐角三角形，且，，的面积为，则____________． 13. 已知函数的最小值为，则____________． 14. 如图，在的方格中放入棋子，每个格子内至多放一枚棋子，若每行都放置两枚棋子，则恰好每列都有两枚棋子的概率为____________． 四、解答题 15. 已知是等差数列，是等比数列，且，，． （1）求和的通项公式； （2）求数列的前项和． 16. 如图，三棱柱的所有棱长都为2，,是的中点，． （1）证明：平面平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）讨论的零点个数，并证明所有零点之和为0． 18. 已知抛物线，，点在上． （1）求的最小值； （2）设点的横坐标为2，过作的两条切线，分别交于，两点． （ⅰ）求直线斜率的取值范围； （ⅱ）证明直线过定点． 19. 当前，以大语言模型为代表的人工智能技术正蓬勃发展，而数学理论和方法在这些模型的研发中，发挥着重要作用．例如，当新闻中分别出现“7点钟，一场大火在郊区燃起”和“7点钟，太阳从东方升起”这两个事件的描述时，它们提供的“信息量”是不一样的，前者比后者要大，会吸引人们更多关注．假设通常情况下，它们发生的概率分别是和，用这个量来刻画“信息量”的大小，计算可得前者约为9，后者接近于0．现在假设离散型随机变量的分布列为，，．则称为的信息熵，用来刻画随机变量蕴含的信息量的大小． （1）若的分布列为，，，求的最大值； （2）证明：； （3）若，且为定值，设，证明：． 高三四月模考数学试卷 一、单选题 【1题答案】 【答案】C 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】B 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】B 二、多选题 【9题答案】 【答案】AB 【10题答案】 【答案】ACD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题 【12题答案】 【答案】7 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 四、解答题 【15题答案】 【答案】（1），； （2） 【16题答案】 【答案】（1）证明：取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 又因为三棱柱的所有棱长都是2， 所以四边形为菱形，所以，所以， 因为，且，平面，所以平面， 又因为平面，所以， 在等边中，因为为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）证明：由第（1）问知，.  令，求导得. 当，，在递减； 当，，在递增.  ，，所以存在唯一使，即.  当，，在递减； 当，，在递增，所以.  ，又，， 根据零点存在定理，在和各有一个零点，共两个零点.  设是零点，， 经计算， 所以也是零点，零点和为. 【18题答案】 【答案】（1）取最小值为 （2）（ⅰ）直线斜率的取值范围为； （ⅱ）因为，所以， 所以直线的方程为，即， 即，即， 令，则，所以直线过定点． 【19题答案】 【答案】（1）； （2） 令，则， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 所以，即， 要证，即证， 因为 （当且仅当，即时等号成立成立）， ， 所以. （3） 由题意知， 则， 由，则， 所以，则，即得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $