江苏南通市海安市实验中学2025-2026学年高三下学期三月学情检测数学试题

2025-2026学年高三下学期三月学情检测数学试题 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若iz＝1+i，则复数z＝（　　） A．1﹣i B．1+i C．﹣1+i D．﹣1﹣i 2．已知集合A＝{0，1，2}，，则A∩B＝（　　） A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2} 3．已知△ABC所在平面内一点D满足，E为AB中点，则DC长度是DE长度的（　　） A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍 4．已知{an}是等比数列，则“数列{an}是递增数列”是“a1＜a2＜a3”的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知椭圆的左右焦点分别为F1，F2，过右焦点F2的直线与C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（　　） A． B． C． D． 6．下列命题中真命题是（　　） A．命题p：∃x＜0，ex﹣x＞1的否定￢p：∀x≥0，ex﹣x≤1 B．已知直线l⊥平面α，直线m∥平面β，则“α∥β”是“l⊥m”的必要不充分条件 C．若随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），P（ξ≤4）＝0.79，则P（ξ≤﹣2）＝0.29 D．圆x2+y2＝4上的点到直线4x﹣3y+5＝0距离为1的点恰有3个 7．已知函数f（x）＝e2x+e﹣2x﹣2，则（　　） A．f（x+1）为奇函数 B．为偶函数 C．f（x﹣1）为奇函数 D．为偶函数 8．已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，P为线段C1D1上的动点，则三棱锥P﹣BCD外接球半径的取值范围为（　　） A． B． C． D． 二．多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 （多选）9．已知a＞b＞1，c＞0，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C．log4a＞log2b D． （多选）10．已知直线y＝kx（k＞0）与双曲线交于A，B两点，F1，F2是C的左，右焦点，O为坐标原点，且∠F1AF2＝60°，|AF1|＝3|BF1|，则下列结论正确的是（　　） A．C的离心率为 B． C．F1到AB的距离为 D．O到AF1和BF1的距离之和为 （多选）11．已知数列{an}共有M项（M为不小于5的正整数），且an＞0．若对于任意正整数k≤M，有ak•aM+1﹣k＝1，则称该数列为“反比数列”．记“反比数列”{an}的前n项和为Sn，前n项乘积为Tn，则下列说法正确的有（　　） A．TM＝1 B．SM≥M C．{an}中不可能出现连续五项构成等比数列 D．当时，an＝7﹣2n，则SM的最大值为 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在（x﹣y）（x+2y+z）6的展开式中，x2y3z2的系数为　 　 ． 13．直线x﹣y+2t＝0与曲线y＝2x﹣ex相切，则t＝　 　 ． 14．四边形ABCD中，AC与BD交于点P，已知AB＝2AD＝6，且P是AC的中点，，又，则四边形ABCD的面积是 　 　 ． 四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15．（13分）某生态农场用精准农业技术种植番茄，研究两种智能灌溉系统（A型与B型）对果实品质的影响．农场随机选取200株番茄，记录灌溉类型及果实糖度达标情况，得如下列联表： 灌溉系统 糖度达标 糖度不达标 合计 A型 62 38 100 B型 45 55 100 合计 107 93 200 （1）根据小概率值α＝0.05的独立性检验，判断番茄果实糖度达标与灌溉类型是否有关联； （2）该农场同时测试无土栽培技术对产量的影响，已知单株番茄产量（kg）为X，通过测试得到使用无土栽培时X的分布列为： X 1 1.5 2 P 0.2 0.5 0.3 使用传统土壤栽培时X的分布列为： X 0.8 1.2 1.6 P 0.4 0.4 0.2 从这两种方式栽培的番茄中随机各抽取1株，若使用无土栽培技术与使用传统土壤栽培时番茄的产量相互独立，求抽到的2株番茄总产量大于3kg的概率． 附：，其中n＝a+b+c+d． α 0.05 0.01 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 16．（15分）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为的正方形，CC1⊥BC，BC＝1，AB＝2． （1）证明：平面A1BC⊥平面ABC1； （2）在线段A1B上是否存在点M，使得CM⊥BC1，若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 17．（15分）已知点是函数g（x）＝2cos（x+φ）（0＜φ＜π）的一个对称中心． （1）求g（）的值； （2）若函数f（x）＝sinx•g（x）+m的最大值为，求f（x）的最小值和单调区间． 18．（17分）已知点A（﹣3，0），点B（3，0），动点P的满足|PA|＝2|PB|． （1）若点P的轨迹为曲线C，求此曲线的方程； （2）过点Q（1，2）向曲线C作切线，求切线方程． 19．（17分）已知a＞0，设函数f（x）＝（2x﹣a）lnx+x，f′（x）是f（x）的导函数． （1）若a＝1，求曲线f（x）在点（1，f（1））处的切线方程； （2）若f（x）在区间（1，+∞）上存在两个不同的零点x1，x2（x1＜x2）． ①求实数a的取值范围； ②证明：． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C B C A D D C 二．多选题 题号 9 10 11 答案 ABD ABD AB 三．填空题 12．120． 13．． 14．． 四．解答题 15．解：（1）零假设为H0：番茄果实糖度达标与灌溉类型无关联， 则， 根据小概率值α＝0.05的独立性检验，推断H0不成立， 即认为番茄果实糖度达标与灌溉类型有关联； （2）令使用无土栽培的单株番茄产量为X1，使用传统土壤栽培的单株番茄产量为X2， 抽到的2株番茄总产量为Y，则Y＝X1+X2， 则P（Y＞3）＝P（X1＝1.5）P（X2＝1.6）+P（X1＝2）P（X2＝1.2）+P（X1＝2）P（X2＝1.6） ＝0.5×0.2+0.3×0.4+0.3×0.2＝0.28， 所以抽到的2株番茄总产量大于3kg的概率为0.28． 16．解：（1）证明：在△ABC中，AB＝2，BC＝1，AC， 有AC2+BC2＝AB2，可得AC⊥BC， 又CC1⊥BC，AC∩CC1＝C，可得BC⊥平面AA1C1C， 即有BC⊥AC1， 由四边形AA1C1C是边长为的正方形，可得A1C⊥AC1， 而BC∩A1C＝C，可得AC1⊥平面A1BC， 又AC1⊂平面ABC1，则平面A1BC⊥平面ABC1； （2）在线段A1B上存在点M，使得CM⊥BC1，且． 理由如下：由（1）可得，以C为原点， CA，CB，CC1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系， 如图所示，则A（，0，0），C（0，0，0），B（0，1，0），A1（，0，），C1（0，0，）， 设M（x，y，z），λ， 所以（x，y﹣1，z）＝λ（，﹣1，），解得xλ，y＝1﹣λ，zλ， 所以（λ，1﹣λ，λ），（0，1，），要使CM⊥BC1， 则需•0，即1﹣λ﹣3λ＝0，解得λ． 故线段A1B上存在点M，使得CM⊥BC1，且． 17．解：（1）根据是函数g（x）图象的一个对称中心， 可得g（）＝0，即2cos（φ）＝0，φkπ（k∈Z）， 结合0＜φ＜π，取k＝0，可得φ，g（x）＝2cos（x）， 可得g（）＝2cos（）＝2（coscossinsin）； （2）f（x）＝sinx•g（x）+m＝2sinxcos（x）+m ＝2sinx（cosxsinx）+msin2x（1﹣cos2x）+m＝sin（2x）+m， 所以f（x）的最大值为1+m，解得m＝1， 故f（x）＝sin（2x），f（x）的最小值为﹣1， 令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得f（x）的递增区间是[kπ，kπ]，k∈Z； 令2kπ≤2x2kπ，k∈Z，解得f（x）的递减区间是[kπ，kπ]，k∈Z． 18．解：（1）设点P坐标为（x，y） 因为|PA|＝2|PB|，点A（﹣3，0），点B（3，0）， 所以， 整理得：x2+y2﹣10x+9＝0． 此曲线的方程为：x2+y2﹣10x+9＝0，即（x﹣5）2+y2＝16． （2）由曲线C：（x﹣5）2+y2＝16可得：圆心C（5，0），半径r＝4． 当过点Q（1，2）的直线斜率不存在时，直线方程为x＝1， 此时圆心C（5，0）到直线x＝1的距离为|5﹣1|＝4＝r，满足题意． 当过点Q（1，2）的直线斜率存在时，设直线方程为y﹣2＝k（x﹣1），即kx﹣y﹣k+2＝0． 则，解得， 此时切线方程为，即3x﹣4y+5＝0． 综上可得：切线方程为x＝1或3x﹣4y+5＝0． 19．解：（1）当a＝1时，f（x）＝（2x﹣1）lnx+x， 则f′（x）＝2lnx1，且x＞0， 所以f（1）＝1，f′（1）＝2， 故函数在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣1＝2（x﹣1），即2x﹣y﹣1＝0； （2）①当x＞1时，由f（x）＝0等可得， 令，则， 当时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，当时g′（x）＞0，g（x）单调递增， 当x＞1时，， 因为f（x）在（1，+∞）上存在两个不同的零点x1，x2，则g（x）min＜0， 所以4a＜0，即． 取，则， 故，又， 所以f（x）在和上各有一个零点，故， 故a的取值范围为（4，+∞）； ②证明：因为， 所以x2f′（x2）＝2x2lnx2﹣a+3x2， 结合f（x2）＝（2x2﹣a）lnx2+x2＝0知：． 设y＝lnx﹣x+1，则，在（0，1）上y′＞0，在（1，+∞）上y′＜0， 所以函数在（0，1）上递增，在（1，+∞）上递减， 故y≤ln1﹣1+1＝0，即lnx≤x﹣1， 所以，即，当x＝e时取等号， 所以． 由①知f（x）在[x2，+∞）上单调递增，且f（x2）＝0， 所以，即a﹣2x2≥e． 因为在[e，+∞）上是减函数，且a﹣2x2≥e， 所以，得证． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/5 11:20:42；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $