精品解析：江西景德镇一中2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

景德镇一中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人： 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上）． 1. 在等差数列中，，则公差等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，利用等差数列通项公式和求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以可得，解得. 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A：，A错误； 选项B：化简得，求导得，B正确； 选项C：，C错误； 选项D：，D错误. 3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 127 B. 63 C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设等比数列的公比为，则， 所以（舍去）， 所以 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的定义计算即可． 【详解】由题意得， 故． 5. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】当时，由图知函数减函数，则导函数，排除A，B； 又因当时，的图象趋势依次为增、减、增，则的值应依次为正、负、正，故D项不符合，C项符合． 6. 已知数列满足，且，数列的前项和为，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 15 C. 255 D. 511 【答案】C 【解析】 【分析】由递推公式经过变形可得数列是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式可求出，进一步根据对数的计算公式可求出，最后根据对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】， 所以数列是公差为1的等差数列，则， 所以，， 令， 所以的最小值为255. 7. 已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中的最大项为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列性质先得到公比和首项，即可得到所求数列的通项公式，再讨论的奇偶性分析数列性质，即可求得最大项. 【详解】设等比数列的公比为（）， 由，，知， 即，解得， 所以，， 所以. 当为奇数时，； 当为偶数时，， 所以数列的奇数项递增，偶数项递减，因此最大项一定出现在偶数项中， 则最小的偶数的对应项最大，此时， 故最大项为. 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求解的单调性，令，求解在上单调递增，在定义域上的单调性，由函数为偶函数可得到化简即可. 【详解】因为函数的定义域为， ， 所以为偶函数，又， 令，则. 因为，， 所以，所以在上单调递增. 又，所以当时，，即在上单调递增. 又函数为偶函数，所以在上单调递减， 所以不等式可化为. 又，所以， 即，， 由，得，即； 由，得，即. 综上，. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为， 则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，故B错误； 对于C，因为，所以， 所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得， 由，可得， 所以取得最小正值时为31，故D正确. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为2 C. 有四个零点 D. 曲线在处的切线斜率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助导数研究函数单调性及其极值可得A、B；利用零点存在性定理可得C；利用导数几何意义计算可得D. 【详解】对A、B：， 当或时，，当时，， 所以在、上单调递增，在上单调递减， 则极大值为，故A、B正确； 对C：由，， 时，时， 所以在、、上各有一个零点，共有3个零点，故C错误； 对D：由，则，故D正确. 11. 如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（ ） A. B. 对任意的， C. 数列的前项和为 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线求解即可；选项B：结合正三角形的性质求出坐标，代入曲线得到，根据与的关系求出，进一步判断即可；选项C：由B求出，进而求出，结合裂项相消法求和即可；选项D：由解析式代入求解即可. 【详解】选项A：由题意易知，，则，即，解得，故A正确. 选项B：易知，即， 则，即，则， 所以， 即， 又，所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以. 因为，故B错误. 选项C：，则， 所以数列的前项和为，故C正确. 选项D：，故D正确. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上．） 12. 函数在处的切线方程为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据求导公式和求导法则，结合导数的几何意义即可求解. 【详解】由题意得，， 则，又， 所以曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 13. 已知数列满足，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】分析可知数列是以为首项，3为公比的等比数列，进而可得数列的通项公式. 【详解】因为，则， 且，则， 可知数列是以为首项，3为公比的等比数列， 则，即. 14. 已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】先对原函数求导得，令得或； 当，，当，，当，. 可得在和上单调递减，在上单调递增，有极大值． 因为函数在上有最大值，需要满足， 再由函数在开区间有最大值可得且. 根据已知函数的单调性，可得当时，恒成立. 故， 求解可得， 求解即，解得. 综上得到. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的前项和； （2）记，数列的前项积为，求的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得：  ， 由得：  ， 联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； 【小问2详解】 由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ，  因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： , 即的最小值为. 16. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． （1）求的值，并确定y关于x的函数解析式； （2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 【答案】（1），， （2）销售价格元时，利润最大. 【解析】 【分析】（1）将数据代入解析式，求出a，b的值，即可得答案. （2）由（1）可得解析式，当时，利用导数求出的单调性和最值，当时，根据基本不等式，求出的最值，分析比较即可得答案. 【小问1详解】 由题意可知时，，所以， 又当时，，所以， 解得，可得， 所以. 【小问2详解】 由题意：， 当时，， 则， 则令，解得，令，解得或， 所以在上递增，在上递减， 因为， 所以当时有最大值，且； 当时，， 当且仅当，即时取等号， 所以时有最大值，因为， 所以当时，有最大值1840，即当销售价格为5.3元/千克时，店铺所获利润最大． 17. 设数列满足，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前项和为，求证：； （3）设，求数列的最大项. 【答案】（1） 由可得，，即， 又，因此是以1为公差，1为首项的等差数列. （2） 由（1）得，，， 设其前项和为，则， ， 所以， 即， 所以， 又，所以，因此． （3） 【解析】 【分析】（1）通过对已知递推公式进行变形，得到与的关系，再根据等差数列的定义证明即可. （2）根据（1）求出的表达式，结合错位相减法求出，进而得到. （3）根据（2）求出的表达式，然后通过作差法比较与的大小，判断数列的单调性，从而求出最大项. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）得，所以，， 所以. 当时，，得，即. 又因为，，，所以， 所以的最大项是. 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 【答案】（1）的极小值为0，无极大值 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求导分析单调性，根据极值的定义求解即可； （2）根据题意可得，求导，由在上单调递增，可得在上恒成立，只需，，即可求解. （3）若对任意的，总存在，使得，则当时，，即可求解. 【小问1详解】 ，求导得，， 因为时，，所以在上单调递增， 因为时，，所以在上单调递减， 又，故在处取极小值0，无极大值． 【小问2详解】 函数， 求导得，由在单调递增， 得在上恒成立，即在上恒成立，因此，， 设，，，则在上单调递增， 于是，即，所以的取值范围为. 【小问3详解】 若对任意的，总存在，使得， 则当时，， 当时，， 即在上单调递增，， 函数，，， 求导得， 由，得，函数在上单调递减， 则，因此，解得， 所以的取值范围为. 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 【答案】（1）单调递减区间为，单调递增区间为；极小值0，无极大值 （2） （3） 先证，设，则， 所以在区间上单调递减，所以，即. 所以，再证. 由（2）可知，当时等号成立， 令，则， 即， 所以， 累加可得， 所以. 【解析】 【分析】（1）求导，根据函数的单调性可得极值； （2）分情况讨论函数的单调性与最值情况，可得参数值； （3）利用放缩法，由，可知若证，即证，再根据，可得证. 【小问1详解】 当时，， 则， 当时，单调递减，当时，单调递增，所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 在处取得极小值0，无极大值. 【小问2详解】 由题意得， ①当时，，所以在上单调递增， 所以当时，，与矛盾； ②当时，当时，单调递减， 当时，单调递增， 所以， 因为恒成立，所以. 记， 当时，单调递增，当时，单调递减，所以，所以. 又，所以，所以. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 景德镇一中2025-2026学年度第二学期期中考试 高二数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 命题人： 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每一小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的，答案填写在答题卷上）． 1. 在等差数列中，，则公差等于（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 2. 下列函数的求导正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知是等比数列的前项和，若，，则（ ） A. 127 B. 63 C. D. 4. 已知函数，则（ ） A. 1 B. C. D. 5. 设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足，且，数列的前项和为，若，则的最小值为（ ） A. 8 B. 15 C. 255 D. 511 7. 已知正项等比数列的前项和为，，，则数列中的最大项为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对，，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A. B. C. 当时，取得最大值 D. 取得最小正值时为31 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在上单调递减 B. 的极大值为2 C. 有四个零点 D. 曲线在处的切线斜率为 11. 如图，有一系列正三角形，设第个正三角形的边长为，其中，在曲线上，为坐标原点，在轴上.记为数列的前项和，则（ ） A. B. 对任意的， C. 数列的前项和为 D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分，答案填写在答题卷上．） 12. 函数在处的切线方程为________． 13. 已知数列满足，，则______． 14. 已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的前项和； （2）记，数列的前项积为，求的最小值. 16. 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，）满足：当时，，（为常数）；当时，．已知当销售价格为2元/千克时，每日可销售出该商品800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克． （1）求的值，并确定y关于x的函数解析式； （2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该商品所获利润最大． 17. 设数列满足，，. （1）证明：数列为等差数列； （2）若数列的前项和为，求证：； （3）设，求数列的最大项. 18. 已知函数，． （1）求的极值； （2）若在单调递增，求实数a的取值范围； （3）当时，若对任意的，总存在，使得，求实数a的取值范围． 19. 已知函数. （1）当时，求的单调区间与极值； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $