第23章 《一次函数》单元提优练习章节测试卷 2025-2026学年八年级数学下册人教版

第23章 《一次函数》单元提优练习 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（2025•盐城一模）点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．5 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出b＝3a﹣2，再将其代入（6a﹣2b+1）中，即可求出结论． 【解答】解：∵点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上， ∴b＝3a﹣2， ∴6a﹣2b+1＝6a﹣2（3a﹣2）+1＝5． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记“直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y＝kx+b”是解题的关键． 2．（2025春•望花区期末）在一次函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小，则点P（3，k）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【分析】因为在正比例函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小，所以k＜0，再根据象限的坐标特征可得答案． 【解答】解：∵在正比例函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小， ∴k＜0， ∴一次函数y＝kx+2的图象经过第二、四象限． ∴点P（3，k）在第四象限． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 3．（2024春•单元）已知一次函数y＝kx+b的图象如图，当x＜1时，y的取值范围是（　　） A．﹣2＜y＜0 B．﹣4＜y＜0 C．y＜﹣2 D．y＞﹣2 【分析】先待定系数法求出一次函数解析式，再求出x＝1时y的值，根据函数图象可知，当x＜1时y的取值范围． 【解答】解：将点（0，﹣4）和（2，0）代入y＝kx+b， 根据图象可知，， 解得， ∴函数关系式为y＝2x﹣4， 当x＝1时，y＝2﹣4＝﹣2， 根据函数图象可知，当x＜1时，y＜﹣2， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的图象，待定系数法求函数解析式，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 4．（2024秋•即墨区期中）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），在同一平面直角坐标系中，函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据一次函数的性质可依次作判断． 【解答】A、由两图象都过第一二三象限可知：a＞0，b＞0，且x＝1时，y1＝y2＝a+b，两结论不矛盾，故符合题意； B、如果过第一二四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＞0，两结论相矛盾，不符合题意； C、如果与y轴交点在上面的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＞0；由y2的图象可知，a＞0，b＜0，两结论相矛盾，不符合题意； D、如果过第二三四象限的图象是y1，由y1的图象可知，a＜0，b＜0；由y2的图象可知，a＜0，b＞0，两结论相矛盾，不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它的性质才能灵活解题．一次函数y＝kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、三象限； ②当k＞0，b＜0，函数y＝kx+b的图象经过第一、三、四象限； ③当k＜0，b＞0时，函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限； ④当k＜0，b＜0时，函数y＝kx+b的图象经过第二、三、四象限． 5．（2025春•东明县期中）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．x＜0 D．x＜1 【分析】根据图象过点 （﹣1，0），且 k＞0，即可确定不等式的解集． 【解答】解：根据函数图象可知，不等式 kx+b＜0的解集是：x＜﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键． 6．（2025•铜山区一模）如图，直线y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，1），当kx+b≥﹣x时，则x的取值范围为（　　） A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 【分析】直线y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，1），直线y＝﹣x也经过点（﹣1，1），根据函数的图象即可写出不等式的解集． 【解答】解：直线y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，1），直线y＝﹣x也经过点（﹣1，1）， 根据图象可得：kx+b≥﹣x时，x的取值范围是：x≥﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式．数形结合是解决本题的关键． 7．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 【分析】根据图象可知进水的速度为5（L/min），再根据第16分钟时容器内水量为35L可得出水的速度，进而得出第24分钟时的水量，从而得出a的值． 【解答】解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min）， 出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min）， 第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L）， a＝24+45÷3.75＝36． 故选：C． 【点睛】此题考查了一次函数的应用，解题时首先正确理解题意，利用数形结合的方法即可解决问题． 8．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．下列结论：①乙比甲晚出发1小时；②甲比乙晚到B地3小时；③甲的速度是5千米/时；④乙的速度是20千米/小时；根据图象信息，你认为错误的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据图象可知，甲比乙早出发1小时，但晚到2小时，从甲地到乙地，甲实际用4小时，乙实际用1小时，从而可求得甲、乙两人的速度． 【解答】解：由图象知，甲出发1小时后乙才出发，甲比乙晚到B地2小时．故①结论正确，②结论错误； 甲的速度是：20÷4＝5（km/h），故③结论正确； 乙的速度是：20÷1＝20（km/h），故④结论正确； 所以错误的结论个数是1个． 故选：A． 【点睛】本题考查了函数图象，观察图象，得到A、B两地的距离以及甲乙两人从A地到达B地的时间，从而求出两人的速度是解题的关键． 9．（2026•立山区开学）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接BC，过点C作CD⊥BC，与线段AB交于点D，若CD＝CB，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D．（﹣8，2） 【分析】由直线求出点B坐标，得出OB＝6，过点D作DE⊥AC于点E，证明△BCO≌△CDE，得CE＝BO＝6，CO＝DE，设点C（a，0），则E（a﹣6，0），DE＝﹣a，得出D（a﹣6，﹣a），代入，求出a的值即可． 【解答】解：∵，当x＝0时，y＝6， ∴B（0，6）， ∴OB＝6， 过点D作DE⊥AC于点E，如图， 则∠DEC＝90°， ∴∠CDE+∠DCE＝90°， 由条件可知∠DCB＝90°， ∴∠BCO+∠DCE＝90°， ∴∠CDE＝∠BCO， 在△BCO与△CDE中， ， ∴△BCO≌△CDE（AAS）， ∴CE＝BO＝6，CO＝DE， 设点C（a，0），则E（a﹣6，0），DE＝﹣a， ∴D（a﹣6，﹣a）， 由条件可得， 解得a＝﹣2， ∴EO＝EC+CO＝6+2＝8，DE＝2， ∴点D的坐标为（﹣8，2）． 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 10．（2025春•黄石期末）一次函数y1＝ax﹣b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法： ①ab＜0； ②M1（x1，y1），N（x2，y2）是直线y1＝ax﹣b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0； ③a﹣b＞c+d； ④3a﹣b＝3c+d； ⑤当m＞3时，am﹣b＞cm+d． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【分析】根据一次函数y＝kx+b中的k，b与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【解答】解：①根据一次函数y＝kx+b的性质：若k＞0，则y随x的增大而增大， 若k＜0，则y随x的增大而减小． y＝kx+b的图象与y轴交于正半轴时b＞0，与y轴交于负半轴时b＜0． 观察图象可知，a＜0，﹣b＞0，即b＜0． 所以ab＞0． 故①不正确． ②因为M，N是直线y1上不重合的两点， 由y1＝ax﹣b的图象可知，当x1＞x2时，y1＜y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 当x1＜x2时，y1＞y2，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0． 故②不正确． ③将x＝1分别代入y1和y2得， y1＝a﹣b，y2＝c+d． 观察图象不难发现点（1，a﹣b）在点（1，c+d）的上方， 所以a﹣b＞c+d． 故③正确． ④观察图象发现，y1与y2交点的横坐标为3． 即表示：当x＝3时，两者的函数值相等． 所以3a﹣b＝3c+d． 故④正确． ⑤观察图象发现，在直线x＝3的右侧，y2的图象在y1图象的上方， 即当x＞3时，cx+d＞ax﹣b． 所以当m＞3时，cm+d＞ax﹣b． 故⑤不正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，以及用数形结合的思想解决问题． 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 　（，2）　 ． 【分析】根据一次函数图象上点的坐标特征可求出点A、B的坐标，由BC＝OC利用等腰三角形的性质可得出OC、OE的值，再利用勾股定理可求出CE的长度，此题得解． 【解答】解：∵直线yx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，4）． 过点C作CE⊥y轴于点E，如图所示． ∵BC＝OC＝OA， ∴OE＝BE＝2， ∵OC＝3， ∴CE， ∴点C的坐标为（，2）． 故答案为：（，2）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质以及勾股定理，利用等腰直角三角形的性质结合勾股定理求出CE、OE的长度是解题的关键． 12．如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 　（﹣2，4﹣2）　 ． 【分析】先根据一次函数的解析式，可以求得点A和点B的坐标，依据等腰三角形的性质以及全等三角形的判定和性质，即可得到点P的坐标． 【解答】解：∵一次函数y＝x+4与坐标轴交于A、B两点， y＝x+4中，令x＝0，则y＝4；令y＝0，则x＝﹣4， ∴AO＝BO＝4， ∴△AOB是等腰直角三角形， ∴∠ABO＝45°， 过P作PD⊥OC于D，则△BDP是等腰直角三角形， ∵∠PBC＝∠CPO＝∠OAP＝45°， ∴∠PCB+∠BPC＝135°＝∠OPA+∠BPC， ∴∠PCB＝∠OPA， 在△PCB和△OPA中， ， ∴△PCB≌△OPA（AAS）， ∴AO＝BP＝4， ∴Rt△BDP中，BD＝PD2， ∴OD＝OB﹣BD＝4﹣2， ∵PD＝BD＝2， ∴P（﹣2，4﹣2）， 故答案为（﹣2，4﹣2）． 【点睛】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征以及等腰三角形的性质，结合等腰三角形的性质，判定全等三角形是解决问题的关键． 13．（2024春•龙南市期末）如图，平行四边形OABCDE的一边在坐标轴上，点B的坐标为（6，2），直线MN：y＝kx+b把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点（6，0），则k值为（　　） A． B． C．3 D．﹣3 【分析】设直线MN交OA于点D，交BC于点E，交x轴于点F，交y轴于点G，连接BF，易证△DOG≌△EBF（AAS），利用全等三角形的性质，可得出OG的长，进而可得出点G的坐标，由点F，G的坐标，利用待定系数法，即可求出k值． 【解答】解：设直线MN交OA于点D，交BC于点E，交x轴于点F，交y轴于点G，连接BF，如图所示． ∵点B的坐标为（6，2），点F的坐标为（6，0）， ∴BF∥y轴， ∴∠OGD＝∠BFE，∠BFC＝90°． ∵OA∥BC， ∴∠AOC＝∠BCF， ∵∠AOG+∠AOC＝90°，∠CBF+∠BCF＝90°， ∴∠AOG＝∠CBF，即∠DOG＝∠EBF． ∵直线MN：y＝kx+b把平行四边形的面积分成相等的两部分， ∴OD＝BE． 在△DOG和△EBF中， ， ∴△DOG≌△EBF（AAS）， ∴OG＝BF， ∴点G的坐标为（0，2）． 将F（6，0），G（0，2）代入y＝kx+b得：， 解得， ∴k的值为． 故选：B． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质以及待定系数法求一次函数解析式，利用全等三角形的性质，求出直线MN与y轴的交点坐标是解题的关键． 14．（2024秋•浠水县月考）如图，直线y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交DO的延长线于点F，则线段DF的最小值是　　 ． 【分析】设C（m，2m+4），则D（m，﹣2m﹣4），求出直线DF解析式为，则可求出F（﹣m，2m+4），利用勾股定理得到，利用偶次方的非负性推出，则或（舍去），据此可得答案． 【解答】解：设C（m，2m+4）， ∴D（m，﹣2m﹣4）， 设直线DF解析式为y＝kx（k≠0）， ∴mk＝﹣2m﹣4， ∴， ∴直线DF解析式为， 在中，当时，x＝﹣m， ∵CF∥x轴， ∴F（﹣m，2m+4）， ∴DF2＝（﹣m﹣m）2+[2m+4﹣（﹣2m﹣4）]2 ＝20m2+32m+64 ， ∵， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴DF的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，勾股定理，坐标与图形变化—轴对称，熟练掌握以上知识点是关键． 15．（2023春•民权县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴交于点A，一次函数y﹣x+5的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P，直线l3过点A且与x轴垂直．若l3上有一动点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°，则点C的坐标为 　（2，﹣5）或（2，13）．　 ． 【分析】首先求得A、P的坐标，然后过点P作PE⊥l3于点E，由勾股定理求得AP，由2∠PCA+∠PAB＝90°和直角三角形的性质可得∠PAE＝2∠PCA，分两种情况讨论：①当点C1在x轴下方时，②当点C2在x轴上方时，由等腰三角形的性质求解即可． 【解答】解：令y＝0，得x0， 解得x＝2， ∴A（2，0）， 联立，解得， ∴P（﹣1，4）． 过点P作PE⊥l3于点E， ∵P（﹣1，4），A（2，0）， ∴E（2，4）， ∵l3⊥x轴， ∴∠AEP＝∠EAO＝90°， ∴PE＝2﹣（﹣1）＝3，AE＝4， 在Rt△AEP中， AP5， ∵2∠PCA+∠PAB＝90°，∠PAE+∠PAB＝90°， ∴∠PAE＝2∠PCA， ①当点C1在x轴下方时，连接PC1， ∵∠PAE＝∠PC1A+∠APC1＝2∠PC1A， ∴AC1＝AP＝5， ∴C1（2，﹣5）， ②当点C2在x轴上方时，连接PC2， ∵∠PC2A＝∠PC1A， ∴PC1＝PC2， 又∵PE⊥C1C2， ∴EC1＝EC2， ∵EC1＝AE+AC1＝4+5＝9， ∴EC2＝9， ∴AC2＝AE+EC2＝4+9＝13， ∴C2（2，13）， 综上，存在，C（2，﹣5）或C（2，13）． 故答案为：（2，﹣5）或（2，13）． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，等腰三角形的性质，分类讨论思想的运用是解题的关键． 三．解答题（共7小题，共50分） 16．（7分）（2025秋•沛县期末）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 【分析】（1）根据题意和题目中的数据，可以写出y关于x的函数解析式； （2）根据该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，可以得到相应的不等式，从而可以得到x的取值范围，再根据（1）中的函数关系式和一次函数的性质，即可得到当购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润为多少． 【解答】解：（1）由题意可得， y＝100x+150（100﹣x）＝﹣50x+15000， 即y关于x的函数解析式为y＝﹣50x+15000； （2）∵B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍， ∴100﹣x≤3x， 解得x≥25， ∵y＝﹣50x+15000，k＝﹣50＜0， ∴y随x的增大而减小， ∴当x＝25时，y取得最大值，此时y＝13750，100﹣x＝75， 答：该商店购进A型25台、B型电脑75台时，才能使销售总利润最大，最大利润为13750元． 【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的函数关系式和不等式，利用一次函数的性质解答． 17．（8分）（2023春•樊城区期末）在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程，小峰对函数y的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 a b … a＝　3　 ；b＝　3　 ． （2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有 　②③④　 ． ①函数图象关于x轴对称； ②此函数无最小值； ③此函数有最大值，且最大值为3； ④当x＜1时，y随x的增大而增大． （3）若函数y与直线y1＝x+b的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出b的取值范围为 b＜2　 ． 【分析】（1）分别把x＝1，x＝2代入函数解析式即可得到a，b的值，再利用描点法画图即可； （2）结合函数图象可得答案； （3）当直线y1＝x+b经过点（1，3）时，b＝2，结合函数图象可得答案． 【解答】解：（1）当x＝1时，y＝2x+1＝3， ∴a＝3； 当x＝2时，y＝3， ∴b＝3； 画出函数图象如图所示： （2）由图象可知，①函数图象不关于x轴对称，故①错误； ②此函数无最小值，故②正确； ③此函数有最大值，且最大值为3，故③正确； ④当x＜1时，y随x的增大而增大，故④正确； 故答案为：②③④． （3）如图， 直线y1＝x+b经过点（1，3），则1+b＝3， ∴b＝2， ∴直线y1＝x+b与函数y始终有两个交点， 则b＜2． 【点睛】本题考查利用一次函数研究方法研究新函数，利用图象法判断两个函数的交点情况等知识，熟练的利用图象是解题的关键． 18．（7分）（2025•海淀区模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 【分析】（1）先根据直线平移时k的值不变得出k＝1，再将点A（1，2）代入y＝x+b，求出b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）根据点（1，2）结合图象即可求得． 【解答】解：（1）∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由直线y＝x平移得到， ∴k＝1， 将点（1，2）代入y＝x+b， 得1+b＝2，解得b＝1， ∴一次函数的解析式为y＝x+1； （2）把点（1，2）代入y＝mx，求得m＝2， ∵当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝x+1的值， ∴1≤m≤2． 【点睛】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数与系数的关系，数形结合是解题的关键． 19．（7分）（2023春•同安区期末）已知菱形ABCD的四个顶点分别为A（0，b），B（m，m﹣3），D（m，m+3）且m＞0． （1）若直线y＝3x+1经过点A，D，求点C的坐标； （2）已知点E（10﹣m，﹣m﹣3），连接DE，求点D与点E的最短距离． 【分析】（1）依据题意，将A、D两点坐标代入y＝3x+1，然后依据中点坐标公式即可得解； （2）依据题意，根据两点之间距离公式，求出DE，再求出最小值即可得解． 【解答】解：（1）由题意，分别将A、D两点坐标代入y＝3x+1， ∴3×0+1＝b，3m+1＝m+3． ∴b＝1，m＝1． ∴A（0，1），B（1，﹣2），D（1，4）． ∴BD的中点为（，），即（1，1）． 设C（x，y）， ∵菱形对角线互相平分， ∴AC中点为（1，1）． ∴1，1． ∴x＝2，y＝1． ∴C（2，1）． （2）由题意，∵D（m，m+3）， 又E（10﹣m，﹣m﹣3）， ∴DE22． ∵当m＝1时，2（m﹣1）2+32取最小值为32． ∴当m＝1时，DE取最小值为8． 【点睛】本题主要考查了一次函数上点的坐标特征及菱形的性质，解题时要熟练掌握并理解． 20．（7分）（2025春•无为市期末）在平面直角坐标系中．过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做公正点．例如．图中过点P分别作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是公正点． ①判断点M（1，2），N（﹣4，4）是否为公正点，并说明理由； ②若公正点P（m，3）在直线y＝﹣x+n（n为常数）上，求m，n的值． 【分析】（1）计算1×2≠2×（1+2），4×4＝2×（4+4）即可； （2）当m＞0时，根据（m+3）×2＝3m，求出a，进一步求出n；当m＜0时，根据（﹣m+3）×2＝﹣3m求出m进一步求出n． 【解答】解：（1）∵1×2≠2×（1+2），4×4＝2×（4+4）， ∴点M不是公正点，点N是公正点． （2）由题意得：①当m＞0时， ∵y＝﹣x+n，P（m，3）， ∴3＝﹣m+n， ∴n＝m+3． ∴（m+3）×2＝3m， ∴m＝6， 点P（m，3）在直线 y＝﹣x+n上，代入得：n＝9 ②当m＜0时，（﹣m+3）×2＝﹣3m， ∴m＝﹣6， 点P（m，3）在直线y＝﹣x+n上，代入得：n＝﹣3， ∴m＝6，n＝9或m＝﹣6，n＝﹣3． 【点睛】本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，理解题意并根据题意进行计算是解此题的关键． 21．（7分）（2024春•大同期末）阅读下列两则材料，回答问题． 我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式计算． 例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 解：∵y＝﹣2x+5， ∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5， ∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 根据以上材料解答下列问题： （1）求点Q（﹣1，3）到直线2x﹣y+6＝0的距离； （2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 【分析】（1）直线2x﹣y+6＝0中，A＝2，B＝﹣1，C＝6，利用点到直线的距离公式可求出点Q到直线2x﹣y+6＝0的距离； （2）由直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线y＝﹣x+2，在直线上任取一点，利用点到直线的距离公式可求出这两条平行直线之间的距离． 【解答】解：（1）∵直线2x﹣y+6＝0中，A＝2，B＝﹣1，C＝6， ∴点Q（﹣1，3）到直线2x﹣y+6＝0的距离为：， ∴点Q（﹣1，3）到直线2x﹣y+6＝0的距离为； （2）直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线：y＝﹣x+2， 当x＝0时，y＝﹣x+2＝2， 即点（0，2）在直线y＝﹣x+2上， ∴点（0，2）到直线y＝﹣x即x+y＝0的距离为：， ∵直线y＝﹣x与y＝﹣x+2平行， ∴这两条直线之间的距离为． 【点睛】本题考查一次函数图象与几何变换，一次函数的性质，两条直线相交或平行问题，掌握点到直线的距离公式是解题的关键． 22．（7分）（2024•龙江县模拟）A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度； （2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）． 【分析】（1）由ABC三地之间的路程关系求得A，B两地的路程，根据“甲车的速度＝甲车从出发到停止行驶的路程÷行驶的时间”求出甲车的速度即可； （2）A地到C地与C地到B地路程相等，且匀速行驶，故乙车从B地到C地与从C地到A地所用时间相等，从而求得乙车从B地到达C地所用的时间，再利用待定系数法求函数关系式即可． 【解答】解：（1）∵AC＝BC＝180， ∴AB＝360， ∴A，B两地的路程是360千米； 甲车的速度是180×3÷（5.5﹣1）＝120（千米/小时）． （2）∵A地到C地与C地到B地路程相等，且匀速行驶， ∴乙车从B地到C地与从C地到A地所用时间相等，均为6÷2＝3（小时）． 设乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为y＝kx+b（k、b为常数，且k≠0）． 将坐标（3，0）和（6，180）分别代入y＝kx+b， 得， 解得， ∴乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式为y＝60x﹣180． 【点睛】本题考查一次函数的应用，掌握速度、时间、路程之间的关系及待定系数法求函数关系式是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第23章 《一次函数》单元提优练习 （满分：100分 时间：90分钟） 一．选择题（共10小题，每题3分，共30分） 1．（2025•盐城一模）点P（a，b）在函数y＝3x﹣2的图象上，则代数式6a﹣2b+1的值等于（　　） A．﹣1 B．﹣3 C．3 D．5 2．（2025春•望花区期末）在一次函数y＝kx+2中，y的值随着x值的增大而减小，则点P（3，k）在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024春•单元）已知一次函数y＝kx+b的图象如图，当x＜1时，y的取值范围是（　　） A．﹣2＜y＜0 B．﹣4＜y＜0 C．y＜﹣2 D．y＞﹣2 4．（2024秋•即墨区期中）已知一次函数y1＝ax+b和y2＝bx+a（a≠b），在同一平面直角坐标系中，函数y1和y2的图象可能是（　　） A． B． C． D． 5．（2025春•东明县期中）如图，一次函数y＝kx+b（k＞0）的图象过点（﹣1，0），则不等式kx+b＜0的解集是（　　） A．x＜﹣2 B．x＜﹣1 C．x＜0 D．x＜1 6．（2025•铜山区一模）如图，直线y＝kx+b（k＞0）经过点P（﹣1，1），当kx+b≥﹣x时，则x的取值范围为（　　） A．x≤﹣1 B．x≥﹣1 C．x＜﹣1 D．x＞﹣1 7．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（　　） A．32 B．34 C．36 D．38 8．甲、乙两人沿相同的路线由A地到B地匀速前进，A，B两地间的路程为20km．他们前进的路程为s（km），甲出发后的时间为t（h），甲、乙前进的路程与时间的函数图象如图所示．下列结论：①乙比甲晚出发1小时；②甲比乙晚到B地3小时；③甲的速度是5千米/时；④乙的速度是20千米/小时；根据图象信息，你认为错误的结论个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（2026•立山区开学）如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C为x的负半轴上的一点，连接BC，过点C作CD⊥BC，与线段AB交于点D，若CD＝CB，则点D的坐标为（　　） A． B． C． D．（﹣8，2） 10．（2025春•黄石期末）一次函数y1＝ax﹣b与y2＝cx+d的图象如图所示，下列说法： ①ab＜0； ②M1（x1，y1），N（x2，y2）是直线y1＝ax﹣b上不重合的两点，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0； ③a﹣b＞c+d； ④3a﹣b＝3c+d； ⑤当m＞3时，am﹣b＞cm+d． 其中正确的个数有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 二．填空题（共5小题，每小题4分，共20分） 11．如图，在平面直角坐标系中，直线yx+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，点C在第二象限，若BC＝OC＝OA，则点C的坐标为 　 　 ． 12．如图，一次函数y＝x+4与坐标轴分别交于A，B两点，点P，C分别是线段AB，OB上的点，且∠OPC＝45°，PC＝PO，则点P的坐标为 　 　 ． 13．（2024春•龙南市期末）如图，平行四边形OABCDE的一边在坐标轴上，点B的坐标为（6，2），直线MN：y＝kx+b把平行四边形的面积分成相等的两部分，且与x轴交于点（6，0），则k值为（　　） A． B． C．3 D．﹣3 14．（2024秋•浠水县月考）如图，直线y＝2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，C为线段AB（端点除外）上一动点，点D与点C关于x轴对称，过点C作x轴的平行线交DO的延长线于点F，则线段DF的最小值是　 ． 15．（2023春•民权县期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象l1与x轴交于点A，一次函数y﹣x+5的图象l2与x轴交于点B，与l1交于点P，直线l3过点A且与x轴垂直．若l3上有一动点C，使得2∠PCA+∠PAB＝90°，则点C的坐标为 　 　 ． 三．解答题（共7小题，共50分） 16．（7分）（2025秋•沛县期末）某商店销售一台A型电脑销售利润为100元，销售一台B型电脑的销售利润为150元．该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的3倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元． （1）求y关于x的函数解析式； （2）该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润为多少？ 17．（8分）（2023春•樊城区期末）在一次函数的学习中，我们经历了列表，描点，连线画函数图象，结合图象研究函数的性质并对其性质进行应用的过程，小峰对函数y的图象和性质进行如下探究，请同学们认真阅读探究过程并解答： （1）列出表格，请同学们求出a，b，并在平面直角坐标系中画出该函数图象； x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … ﹣5 ﹣3 ﹣1 1 a b … a＝　 　 ；b＝　 　 ． （2）根据函数图象，以下判断该函数性质的说法，正确的有 　 　 ． ①函数图象关于x轴对称；②此函数无最小值；③此函数有最大值，且最大值为3； ④当x＜1时，y随x的增大而增大． （3）若函数y与直线y1＝x+b的图象始终有两个交点，请你结合所画函数图象，直接写出b的取值范围为 ． 18．（7分）（2025•海淀区模拟）在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象由函数y＝x的图象平移得到，且经过点（1，2）． （1）求这个一次函数的解析式； （2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx（m≠0）的值小于一次函数y＝kx+b的值，直接写出m的取值范围． 19．（7分）（2023春•同安区期末）已知菱形ABCD的四个顶点分别为A（0，b），B（m，m﹣3），D（m，m+3）且m＞0． （1）若直线y＝3x+1经过点A，D，求点C的坐标； （2）已知点E（10﹣m，﹣m﹣3），连接DE，求点D与点E的最短距离． 20．（7分）（2025春•无为市期末）在平面直角坐标系中．过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做公正点．例如．图中过点P分别作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是公正点． ①判断点M（1，2），N（﹣4，4）是否为公正点，并说明理由； ②若公正点P（m，3）在直线y＝﹣x+n（n为常数）上，求m，n的值． 21．（7分）（2024春•大同期末）阅读下列两则材料，回答问题． 我们知道一次函数y＝kx+b（k≠0，k、b是常数）的图象是一条直线，到高中学习时，直线通常写成Ax+By+C＝0（A≠0，A、B、C是常数）的形式，点P（x0，y0）到直线Ax+By+C＝0的距离可用公式计算． 例如：求点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 解：∵y＝﹣2x+5，∴2x+y﹣5＝0，其中A＝2，B＝1，C＝﹣5， ∴点P（3，4）到直线y＝﹣2x+5的距离． 根据以上材料解答下列问题： （1）求点Q（﹣1，3）到直线2x﹣y+6＝0的距离； （2）如图，直线y＝﹣x沿y轴向上平移2个单位得到另一条直线，求这两条平行直线之间的距离． 22．（7分）（2024•龙江县模拟）A，B，C三地在同一条公路上，C地在A，B两地之间，且到A，B两地的路程相等．甲、乙两车分别从A，B两地出发，匀速行驶．甲车到达C地并停留1小时后以原速继续前往B地，到达B地后立即调头（调头时间忽略不计），并按原路原速返回C地停止行驶，乙车经C地到达A地停止行驶．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距C地的路程y（单位：千米）与所用的时间x（单位：小时）之间的函数图象如图所示，请结合图象信息解答下列问题： （1）直接写出A，B两地的路程和甲车的速度； （2）求乙车从C地到A地的过程中y与x的函数关系式（不用写自变量的取值范围）． 1 学科网（北京）股份有限公司 $