精品解析：浙江台州十校联盟2025-2026学年第二学期期中联考高二年级数学学科试题

2025学年第二学期台州十校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 临海台州府城墙有四座城门（兴善门、镇宁门、靖越门、朝天门），现要求游客参观时从一个门进，从另一个门出，则不同的走法总数是（ ） A. 16个 B. 12个 C. 8个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据分步计数原理可求不同的走法种数. 【详解】由题设，入门有种选法，出的门有种选法， 故不同的走法种数为. 2. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 80 C. D. 40 【答案】A 【解析】 【详解】， 令，则， 故含的项的系数是. 3. 已知随机变量，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】因为随机变量， 则. 4. 为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】总文创产品数：，总选法：， 符合条件的选法：选 6 枚徽章 ，选 4 枚书签 ，即 ， 所以概率：． 5. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则，，. A. 6636 B. 8186 C. 8400 D. 9759 【答案】C 【解析】 【详解】由已知， 所以， 故数学分数介于75到115之间的人数为. 6. 现有台州某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从东湖、台州府城墙、神仙居、天台山、大陈岛、温岭石塘、长屿硐天这7个景点中随机选择1个作为目的地.现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择神仙居”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可得，，， 则. 7. 将数字3，4，5，6，7，9填入如图的6个圆圈中，每个圆圈填一个数字，每个圆圈中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法共有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可判断两行中的中间圆圈必须填入偶数，利用分步乘法计数原理即可求得. 【详解】根据题意，每行中相邻两个数字的奇偶性需不同．（即若一个数为奇数，则相邻的另一个数必为偶数，反之亦然）. 因为共有6个数字，其中4个奇数、2个偶数，则两行中的中间圆圈必须填入偶数，即有种排法， 其余4个圆圈只需将剩下的4个奇数进行全排即可，则有种排法， 由分步乘法计数原理，可得不同的填法共有种. 8. 2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小关系不确定 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的表达式，由此列不等式，结合数学期望的知识确定正确答案. 【详解】由题意，服从二项分布， 则，要使最大， 则且 ，解得， 又，所以当为整数时，，； 当不为整数时，，，故. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 所有项的系数之和为64 C. 含项系数为135 D. 所有项的二项式系数之和为64 【答案】BCD 【解析】 【详解】选项A：，二项式的展开式有项，故A错误. 选项B：令,得所有项的系数之和为,故B正确. 选项C：二项式展开式的通项公式为, 令得,含项的系数为，故C正确. 选项D：所有项的二项式系数和为,故D正确. 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 【答案】AD 【解析】 【分析】利用条件概率公式、全概率公式和贝叶斯公式计算可得. 【详解】设表示张同学第一天选择室内健身，表示张同学第二天选择室内健身， 表示张同学第一天选择户外运动，表示张同学第二天选择户外运动. 则，，，， 对于A，，故A正确； 对于B，因为，故B错误； 对于C，因为，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 11. 某班级准备编号为、、的三个不同礼品盒，分装两类小礼品，一类是互不相同的定制徽章，一类是完全相同的纪念糖果，按照不同分配要求，下列说法正确的是（ ） A. 将颗完全相同的纪念糖果全部放入个礼品盒，每个礼盒至少放颗、至多放颗，不同的放法种数为 B. 将枚不同的定制徽章全部放入个礼品盒，允许礼盒为空，且号礼盒至少放枚，不同的放法种数为 C. 将枚不同的定制徽章平均放入个礼品盒，每个礼盒恰好放枚，且指定的枚徽章不能同盒，不同的放法种数为 D. 将枚不同的定制徽章放入个礼品盒，每个礼盒至少放枚，且编号为的徽章不能放入号礼盒，不同的放法种数为 【答案】BD 【解析】 【分析】对个礼品盒中纪念糖果的颗数进行分类讨论，可判断A选项；对礼品盒是空盒的数量进行分类讨论，确定每个盒子所放入的徽章枚数进行分类讨论，可判断B选项；利用间接法可判断C选项；对号礼品盒所放入的徽章枚数进行分类讨论，可判断D选项. 【详解】对于A选项，根据题意可知，个礼品盒中纪念糖果的颗数分别为、、或、、， 所以不同的放法种数为，A错； 对于B选项，若有两个礼品盒为空盒，则所有的徽章都放在号礼品盒，此时只有种放法； 若有个礼品盒为空盒，有种选法，则号礼品盒的徽章枚数可以为、、， 此时不同的放法种数为种； 若三个礼品盒均不空，则号礼品盒的徽章枚数可以为或， 此时不同的放法种数为. 综上所述，不同的放法种数为种，B对； 对于C选项，利用间接法，先考虑将枚不同的定制徽章平均放入个礼品盒， 每个礼盒恰好放枚，不同的放法种数为， 接下来考虑指定的枚徽章放在同一个礼品盒，只需将另外枚徽章平分放入另外两盒， 此时不同的放法种数为. 由间接法可知，满足题设条件的放法种数为，C错； 对于D选项，对号礼品盒的定制徽章枚数进行分类讨论， 若号礼品盒的定制徽章为枚，共有种选择，然后将剩余枚徽章分为组， 此时不同的放法种数为种； 若号礼品盒的定制徽章为枚，此时有种，再把剩余枚徽章放入剩余的个礼品盒， 此时不同的放法种数为种. 综上所述，不同的放法种数为种，D对. 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______. 【答案】## 【解析】 【分析】利用条件概率公式求解即可. 【详解】由条件概率公式可得. 13. 已知随机变量的分布列为 5 0.2 0.3 0.3 0.2 若在内变化，当的数学期望取得最小值时，______. 【答案】 【解析】 【详解】由题意得， 令，根据二次函数性质可知对称轴为， 而，可得此时取得最小值. 14. 如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，，可得，结合两点分布可得，即可得结果. 【详解】设由2个并联元件组成的整体依次为系统，其损坏的元件个数为，， 则，可得， 在电路系统正常工作的条件下，可知系统均正常工作，对应概率为， 则，可得，， 则，所以. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 ，； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 . 所以 16. （1）计算：； （2）求二项式的展开式中的常数项（结果用数字作答）； （3）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，甲、乙要分到同一单位，共有多少种不同的分法. 【答案】（1）；（2）；（3）36（种） 【解析】 【分析】（1）利用排列数组合数公式求解； （2）利用二项式的通项公式求解； （3）利用分类加法原理和排列组合知识求解. 【详解】（1）； （2）的通项公式为， 当时，.当时，， 故的展开式中常数项的值为 （3）第一类按1，1，3分配，甲，乙在3人组中，共有（种）， 第二类按1，2，2分配，甲，乙自成一组，共有（种）， 因此，甲、乙要分到同一单位，共有（种）不同的分配方法. 17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数最大. 【答案】（1） （2） （3）第5项 【解析】 【分析】（1）由“第6项二项式系数最大”确定，利用赋值法计算即可求解； （2）通过赋值得，赋值代入展开式，变形后求得目标式子的值； （3）写出展开式通项，建立不等式组求解系数绝对值最大的项对应的值，确定项数； 【小问1详解】 因为展开式中第6项的二项式系数最大，所以， 令，； 【小问2详解】 令，得. 令，得， 所以； 【小问3详解】 展开式的通项. 由得 因为为整数，所以，所以的展开式中第5项系数最大. 18. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 1 8 15 【解析】 【分析】（1）设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、“所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”，结合全概率公式即可求解； （2）确定的可能取值，求得对应概率即可求解； 【小问1详解】 设“甲同学所选的题目回答正确”， 设分别表示事件“所选的题目为篮球相关知识的题目”、 “所选的题目为足球相关知识的题目”、“所选的题目为排球相关知识的题目”， 根据题意得，，， ，，； 所以 【小问2详解】 由题意可知，的可能取值为，1，8，15 则， ， ， ， 所以的分布列为： 1 8 15 所以. 19. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. （1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； （2）将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 【答案】（1）的分布列为： 0 1 2 （2）或40或41 【解析】 【分析】（1）根据，求出10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数，得到的取值，分别求出每个的取值的概率，列出分布列，根据分布列求出期望和方差. （2）由已知，女生有100人，求出喜欢春节联欢晚会的女生人数，由，求出喜欢春节联欢晚会的人数，由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生，求出他喜欢春节联欢晚会的概率，从而得到随机变量，求出，由在时取得最大值，得到，列出关于的不等式组，计算得到的值. 【小问1详解】 由， 所以10个女生中喜欢春节联欢晚会和不喜欢春节联欢晚会的人数分别为6人和4人， 故的取值为0，1，2， 则，，， 的分布列为： 0 1 2 故的期望为. 所以的方差为. 【小问2详解】 由已知，女生有100人， 所以喜欢春节联欢晚会的女生人数为60人， 又因为，所以喜欢春节联欢晚会的人数为90人， 由于样本的频率视为概率，所以从全校的学生中随机抽取1名学生， 他喜欢春节联欢晚会的概率为， 则随机变量， （） 因为在时取得最大值，所以， 令， 解得， 因为，所以或40或41. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期台州十校联盟期中联考 高二年级数学学科试题 考生须知： 1.本卷共4页满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字. 3.所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效. 4.考试结束后，只需上交答题纸. 选择题部分 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 临海台州府城墙有四座城门（兴善门、镇宁门、靖越门、朝天门），现要求游客参观时从一个门进，从另一个门出，则不同的走法总数是（ ） A. 16个 B. 12个 C. 8个 D. 4个 2. 二项式的展开式中，含的项的系数是（ ） A. B. 80 C. D. 40 3. 已知随机变量，则（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 4. 为助力校园文创节，文创社准备了60枚文创徽章（红色款）、20枚文创书签（白色款），从其中随机选取10件文创产品作为活动奖品，则其中恰有6枚徽章的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 某市高二学生参加2026年4月期中考试，数学成绩近似服从正态分布，全市共有10000名考生，据此估计，该市期中考试数学分数介于75到115之间的人数为（ ） 参考数据：若，则，，. A. 6636 B. 8186 C. 8400 D. 9759 6. 现有台州某高中组织高二年级学生研学，全年级学生需从东湖、台州府城墙、神仙居、天台山、大陈岛、温岭石塘、长屿硐天这7个景点中随机选择1个作为目的地.现从全年级中随机抽取两个班级进行调查，记事件“这两个班级选择的目的地中至少有一个选择神仙居”，事件“这两个班级选择的目的地不同”，则（ ） A. B. C. D. 7. 将数字3，4，5，6，7，9填入如图的6个圆圈中，每个圆圈填一个数字，每个圆圈中的数字均不相同，若每行中任意两个相邻数字的和为奇数，则不同的填法共有（ ） A. 72种 B. 48种 C. 36种 D. 24种 8. 2026年是丙午马年，某平台推出数字马年互动抽奖活动，每次抽奖抽中“6点幸运码”的概率为（）.小明参与活动累计抽奖次，最终恰好抽中6次“6点幸运码”，但未记录总抽奖次数.设随机变量表示抽奖次时抽中“6点幸运码”的次数，现以使得最大的值估计总抽奖次数（若有多个使概率最大，则取其中最小值），并计算.下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 与6的大小关系不确定 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式共6项 B. 所有项的系数之和为64 C. 含项系数为135 D. 所有项的二项式系数之和为64 10. 英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯定理，随机事件，存在如下关系：.张同学每天的运动计划包括两种主要方式：室内健身和户外运动.张同学第一天选择室内健身的概率为，选择户外运动的概率为.如果第一天选择室内健身，那么第二天继续选择室内健身的概率为；如果第一天选择户外运动，那么第二天选择室内健身的概率为.则张同学（ ） A. 第二天去室内健身的概率为 B. 第二天去户外运动的概率为 C. 若第二天去了室内健身，则第一天去户外运动的概率为 D. 若第二天去了户外运动，则第一天去室内健身的概率为 11. 某班级准备编号为、、的三个不同礼品盒，分装两类小礼品，一类是互不相同的定制徽章，一类是完全相同的纪念糖果，按照不同分配要求，下列说法正确的是（ ） A. 将颗完全相同的纪念糖果全部放入个礼品盒，每个礼盒至少放颗、至多放颗，不同的放法种数为 B. 将枚不同的定制徽章全部放入个礼品盒，允许礼盒为空，且号礼盒至少放枚，不同的放法种数为 C. 将枚不同的定制徽章平均放入个礼品盒，每个礼盒恰好放枚，且指定的枚徽章不能同盒，不同的放法种数为 D. 将枚不同的定制徽章放入个礼品盒，每个礼盒至少放枚，且编号为的徽章不能放入号礼盒，不同的放法种数为 非选择题部分 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，，则______. 13. 已知随机变量的分布列为 5 0.2 0.3 0.3 0.2 若在内变化，当的数学期望取得最小值时，______. 14. 如图，要用个元件组成一个电路系统，当且仅当从到的电路为通路状态时，系统正常工作.已知每个元件正常工作的概率为，在电路系统正常工作的条件下，记此时系统中损坏的元件个数为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知离散型随机变量的分布列为： 1 2 3 4 0.3 0.4 0.1 （1）求的值； （2）求； （3）求. 16. （1）计算：； （2）求二项式的展开式中的常数项（结果用数字作答）； （3）甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，甲、乙要分到同一单位，共有多少种不同的分法. 17. 已知，且展开式中有且仅有第6项的二项式系数最大. （1）求的值； （2）求的值； （3）判断的展开式中第几项系数最大. 18. “村”正盛行，它不仅是一场体育赛事，也是一场文化盛宴，更是一台经济引擎.某校为激发学生对篮球、足球、排球运动的兴趣，举行了一次有关三大球类运动的知识竞赛，海量题库中篮球、足球、排球三类相关知识题量占比分别为、、.甲同学回答篮球、足球、排球这三类问题中每个题的正确率分别为、、. （1）若甲同学在该题库中任选一题作答，求他回答正确的概率； （2）若甲同学从这三类题中各任选一题作答，每回答正确一题得5分，回答错误得分.设该同学回答三题后的总得分为分，求的分布列及数学期望. 19. 某校兴趣小组为研究本校不同性别的学生对“春节联欢晚会”的喜爱情况，特进行了一次抽样调查，分别抽取男生和女生各100名作为样本，设事件“喜欢春节联欢晚会”，“学生为女生”，据统计有：，. （1）现从这100名女生中，按喜欢春节联欢晚会与不喜欢春节联欢晚会的比例，选出10人，再从这10人中随机选出2人，设选出的2人中喜欢春节联欢晚会的学生人数为.求的概率分布列和方差； （2）将样本的频率视为概率.现从全校的学生中随机抽取名学生，设其中喜欢春节联欢晚会的学生人数为，当变化时在时取得最大值，求从全校学生中抽取的学生可能的人数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $