精品解析：宁夏银川市2026届高三年级下学期四月考前预测试卷数学

银川市2026届高三年级四月第三次模拟考试试卷 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 5. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 6. 设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 8. 已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ） A. B. 当角越大时，用力越省 C. 当时， D. 当时， 10. 若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在，使得四边形是平行四边形 D. 面积的最大值为 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 若平面，则动点的轨迹的长度为 D. 若，则动点的轨迹长度为 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 13. 已知数列的前n项和为，且，则________． 14. 在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）已知，求. 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 17. 已知函数. （1）若在处的切线为，求的值； （2）当时，确定在上的零点个数. 18. 已知椭圆：的短轴长为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 19. 如图，四边形是平行四边形ABCD在平面上的投影（）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知四边形是边长为的正方形，，，，，，，点和分别是和的中点，设直线DE与的交点为S． ①求证：点S在直线上； ②求平面SCD与平面的夹角的余弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 银川市2026届高三年级四月第三次模拟考试试卷 数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的. 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由解得或，故， 由，解得，故， 所以 2. 已知，把的图象向右平移个单位得到的图象，则“”是“为偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】应用三角函数平移及奇偶性结合充分必要条件定义判断. 【详解】把的图象向右平移个单位得到， 当为偶函数，则，即得，不能得出， 当时，则为偶函数， 所以“”是“为偶函数”的充分不必要条件. 3. 如图，西昭高速施工队计划在一座大山中挖通一条直隧道，需要确定隧道的长度，工程测量员测得隧道两端的两点到点的距离分别为，且，则隧道的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理计算即可得. 【详解】 ， 故隧道的长度. 4. 直线：和直线：互相平行，则的值为（ ） A. B. 3 C. 或3 D. 或1 【答案】A 【解析】 【详解】因为直线：和直线：互相平行， 所以，解得. 5. 球体被平面截得的一部分几何体称为球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截得的线段长叫做球缺的高（如图）．若球缺的底面半径为，高为，则球缺的体积．已知棱长为2的正方体的各个顶点都在球上，平面将球截成两部分，那么较小部分的体积为（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得球的半径以及平面截外接球所得圆的半径，然后求出球心与截面圆的圆心间距离，再求出球缺的高，最后代入公式求解结果. 【详解】设外接球圆心为，平面截外接球所得圆圆心为. 由题意正方体外接球的半径，平面截外接球所得圆的半径为. 到的距离，则球缺的高. 所以． 6. 设定义在上的函数的导函数为，若，，则不等式（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，根据条件得出其单调性，再将问题转化为解不等式即可. 【详解】令，则， 因为，所以， 故在上单调递减， 因为，所以， 因为，所以，即， 故不等式的解集为. 7. 如图，某校园新建了一处三层的“阶梯式绿植角”，每层从上到下依次摆放个、个、个花盆，形成三角形排列，其中有虚线连接的个花盆为“相邻花盆”，现有多个红、黄、蓝三种颜色的花盆可供选择，若规定“相邻花盆”颜色不同，且最下层不全为同色花盆，则花盆摆放的不同方式共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】C 【解析】 【分析】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、，则花盆有种颜色可选，然后对、是否同色进行分类讨论，确定、、的涂色种数，以及、、同色时的涂法种数，结合分类、分步计数原理以及间接法可得结果. 【详解】记上层花盆为，中层花盆从左到右依次为、，下层花盆从左到右依次为、、． 由题可知有种颜色可选， ①当、同色时，有种颜色可选，此时、、各有种颜色可选， 其中、、同色时有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种； ②当、不同色时，有种颜色可选，只有种颜色可选， 则有种颜色可选，只有种颜色可选，有种颜色可选， 其中、、同色时只有种颜色可选， 此时花盆摆放的不同方式有种． 综上，最下层不全为同色时，花盆摆放的不同方式共有种． 8. 已知函数的定义域为，且，，为奇函数，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意利用赋值法可得，，根据奇函数定义可得，赋值可得，分析可知函数的一个周期为4，结合周期性运算求解. 【详解】因为， 令，则，即， 且，可得， 令，则， 且不恒为0，则，即， 又因为为奇函数，则，即， 令，则，可得， 且， 令，则；令，则； 可得，可知函数的一个周期为4， 则， 所以. 二、多项选择题：共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为，两个拉力分别为，且与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是（ ） A. B. 当角越大时，用力越省 C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】对A：根据力的平衡计算即可得；对B：由A得，结合余弦函数单调性即可得；对C：由，结合计算即可得；对D：由，结合计算即可得. 【详解】对A：由题意可得，故A错误； 对B：由A得，当角越大时，越小，则越大， 故越大，故当角越大时，用力越大，故B错误； 对C：当时，， 由题意可得，故，故C正确； 对D：当时，由，则， 即有，则，由， 故，即，故D错误. 10. 若曲线由半圆和半椭圆组成，若直线与交于两点（在的左侧），，则（ ） A. B. 的最大值为 C. 存在，使得四边形是平行四边形 D. 面积的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用椭圆和圆的对称性，结合椭圆的定义、圆的性质、基本不等式、三角形面积公式逐一判断即可. 【详解】因为曲线由半圆和半椭圆组成， 所以曲线关于横轴对称，不妨研究当时的情况. A：由椭圆的标准方程可知， 所以是椭圆的焦点， 于是有，所以本选项结论正确； B：显然，所以是直角三角形，且， 所以，当且仅当时，取等号，即，此时，显然重合，不符合题意， 即，所以本选项说法不正确； C：当时， 由. 当时， 由. 假设四边形是平行四边形，因为， 所以， 即，舍去，所以存在，使得四边形是平行四边形，所以本选项说法正确； D：的面积为，当且仅当时取等号，即， 所以当时，面积的最大值为，所以本选项说法正确. 11. 如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方体表面上的一动点（含边界），则下列说法中错误的是（ ） A. 三棱锥外接球的表面积为 B. 若平面，则动点的轨迹是一条线段 C. 若平面，则动点的轨迹的长度为 D. 若，则动点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球，利用正弦定理可得的外接圆半径，再利用外接球性质可求出外接球半径，再利用表面积公式计算即可得A；取与中点，利用面面平行性质定理可得平面平面，则可得B；取靠近点的四等分点，利用线面垂直判定定理可得平面，则可得动点的轨迹为线段，计算出即可得C；由对称性，可假设平面，利用线面垂直性质定理与勾股定理可得，即可得在平面内轨迹，同理可得点所有轨迹，即可得D. 【详解】对于A，由四边形为正方形，故三棱锥的外接球即为三棱锥的外接球， 设三棱锥的外接球半径为，的外接圆半径为， ，，故， 又，则，故，解得， 因为平面，故三棱锥的外接球球心在过的外接圆圆心和平行的直线上， 则，，即， 故三棱锥的外接球的表面积为，故A正确， 对于B，取与中点、，连接、、， 由正方体性质可得，，又平面，平面， 故平面，平面，平面，故平面， 又，、平面，故平面平面， 由平面，则点的轨迹是除去点，故B错误； 对于C，取靠近点的四等分点，连接， 由正方体性质可得平面，又平面，故， 由，，故与相似， 则，故， 故，又，、平面，故平面， 又平面，故动点的轨迹为线段，，故C错误； 对于D，若平面，因为平面，平面， 故，由，则，即点的轨迹为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆，同理可得，点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 点也可为以为圆心，在平面内半径为1的四分之一圆， 故其轨迹长度为，故D错误. 三、填空题：共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 已知复数，其中为虚数单位，则复数的模为________. 【答案】 【解析】 【详解】由于，，，，故每四个连续的项之和为， ，则， 由于，，故，所以. 13. 已知数列的前n项和为，且，则________． 【答案】75 【解析】 【详解】当为奇数时，为奇数，则，故数列的奇数项均为； 当为偶数时，为偶数，则，即， 则数列的偶数项，是以为首项，公差为1的等差数列， 所以. 14. 在冷链物流中，某蔬菜的保鲜时间（单位：小时）与贮藏温度（单位：℃）之间满足：（其中，为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为的环境下保鲜时间为小时，在的环境下保鲜时间为小时.若该蔬菜运输总物流时间为小时，为保障运输安全，要求保鲜时间不少于运输时长的倍，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度的最大整数数值为________.（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】把与的值直接代入得到关于、的方程组，解出参数的值；根据保鲜的实际要求列出不等式；对其两边取自然对数转化为不等式，结合的值即可解出的取值范围，并从中确定的最大数值. 【详解】已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（，为常数）. 当时，，代入得①， 当时，，代入得②， 将①②化简可得，即，解得， 由运输要求，即， 又因，所以 ， 即 ，而， 其中 ， 所以， 代入可得，因此， 解得. 所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度最大整数值为. 四、解答题：共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）已知，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）降次作差求解数列的的通项公式即可； （2）根据（1）中的结果先确定数列，再运用裂项相消法求和. 【小问1详解】 当时， 当时，，且， 两式作差得，所以 显然符合上式， ∴ 【小问2详解】 根据（1）中的结果得，， ， 则 . 16. 某高科技公司开发了一款迎宾机器人，为了解市场销售情况，现统计了2025年10月至2026年2月该款迎宾机器人的月销量数据，如下表所示： 月份 2025年10月 2025年11月 2025年12月 2026年1月 2026年2月 月份代码 1 2 3 4 5 月销量（单位：千台） 8 10 13 20 24 （1）求出与的相关系数（保留三位小数），并根据判断该款迎宾机器人月销量与月份代码是否有较强的相关关系；（当时，相关性较强，当时，相关性一般） （2）求出关于的经验回归方程，并估计2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）假设该科技公司对购买迎宾机器人的客户每人发放2000元/个的补贴．已知甲、乙两家商户各至多购买一个迎宾机器人，且购买迎宾机器人的概率分别为，若两家商户享受的补贴总金额的期望不超过3000元，求的取值范围． 参考公式：相关系数，． 参考数据：，． 【答案】（1），与有较强的相关关系 （2），4.44万台 （3） 【解析】 【分析】（1）根据公式算出线性相关系数，并根据判断标准作出判断即可； （2）利用最小二乘法求得，进而求得关于的经验回归方程，按规律得到2026年7月对应的值，代入可得2026年7月该款迎宾机器人的销量； （3）利用概率的加法和乘法公式算出各种情况的概率，计算得到期望的表达式，根据约束条件得到的范围. 【小问1详解】 则， 故与有较强的相关关系； 【小问2详解】 ， 又，， 所以， 故经验回归方程为， 2026年7月对应的值为10， 当时，， 故可估计2026年7月该款迎宾机器人的月销量为4.44万台； 【小问3详解】 设甲、乙两商户购买迎宾机器人的个数之和为， 则的所有可能取值为， ， ， ， 所以， 依题意有，且，得， 故的取值范围为． 17. 已知函数. （1）若在处的切线为，求的值； （2）当时，确定在上的零点个数. 【答案】（1）， （2）存在个零点 【解析】 【分析】（1）借助导数的几何意义计算即可得； （2）求导后利用零点存在性定理可虚设零点，结合其单调性得到最小值小于，再利用零点存在性定理判断零点个数即可得解. 【小问1详解】 ，， 由在处的切线为，则， 故，； 【小问2详解】 当时，，， 当时，， 当时，由与都单调递增， 故单调递增， 又， ，故存在，使得成立，即有， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以当时取得最小值，即， 则， 令，则， 所以， 则在上单调递减， 故， 又， 故在上存在一个零点， 又， 故在上存在2个零点. 18. 已知椭圆：的短轴长为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）记点为椭圆的左顶点，点为椭圆的下顶点，动点是第一象限内椭圆上的一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点.证明：四边形的面积为定值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据离心率及短轴长得到方程组，求出、，即可得到椭圆方程； （2）设（，），表示出直线、的方程，即可得到、，最后根据计算可得. 【小问1详解】 因为离心率为，椭圆的短轴长为， 所以，解得，所以椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）可知点，，设（，）， 则，即①， 则直线的方程为，令，得，所以， 直线的方程为，令，得，所以， 所以， ， 所以四边形的面积为：又因为，所以 ， 所以四边形ABCD的面积为定值． 19. 如图，四边形是平行四边形ABCD在平面上的投影（）． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）已知四边形是边长为的正方形，，，，，，，点和分别是和的中点，设直线DE与的交点为S． ①求证：点S在直线上； ②求平面SCD与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）先证明线面平行，证明面面平行，最后用面面平行的判定定理证明，同理可得两组平行线段，即可证明平行四边形. （2）①先根据平行四边形和中点得到的中位线，求出为的中点，再用中位线的判定求出是的中点，可得点S在直线上. ②设空间直角坐标系，先求出两个空间向量的法向量，再用法向量夹角的余弦值的绝对值求出平面SCD与平面的夹角的余弦值. 【小问1详解】 四边形是平行四边形，， 平面，平面， 平面， 又，平面，平面， 平面， ，平面平面. 又两个平行平面被平面所截，交线为和 所以；同理， 故是平行四边形. 【小问2详解】 ①因为是正方形，所以， 又因为，所以， 平面，平面， 所以平面，平面平面于，所以， 又因为，所以为平行四边形， 因为是的中点，在中，由可得, ，即为的中点， 连接，取与的交点为， 在中，为的中点，且，所以， 又因为，此时重合，所以三点共线，点S在直线上. ②在三角形中，， 由余弦定理可得，所以， 所以，所以三角形为直角三角形， 即，所以点是在平面的投影点，又因为， 所以以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 可得，，， ，，，， 设平面的法向量， 由题意得，， 得到， 令，则，故； 设平面的法向量， 由题意得，， 可得， 令，，，所以； 设平面SCD与平面的夹角为，两平面的法向量夹角为， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $