宁夏银川市第二中学2024-2025学年高三下学期三模数学试卷

绝密★启用前 银川二中2024-2025学年第二学期高三年级三模 数 学 试 题 注意事项： 1. 本试卷共19题，满分150分.考试时间为120分钟. 2. 答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 4．设，，，则（  ） A． B． C． D． 5．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为（  ） A． B． C． D． 6. 已知样本数据的平均数为6，方差为16，样本数据的平均数为11，方差为21.现将两组样本数据合并，则新的样本数据，的方差为（ ） A. 18 B. 24 C. 26 D. 28 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且， ，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 记为等比数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 将的图象向右平移个单位长度后得的图象 D. 在区间上的值域为 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（  ） A．的周长为8 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．若线段中点坐标为，则直线的方程为 D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的 最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 13. 在直角梯形中，，，，是的中点，若,则__________. 14. 已知正方体的棱长为1，点在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励. 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2） 若一位同学答对了一道题目，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖. 已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 16.（本小题15分）记数列的前项和为，已知，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和. 17.（本小题15分）如图，在矩形中，，，为中点，将沿翻折至，使得. （1）证明：平面平面； （2）线段上是否存在一点，使得与平面所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 18.（本小题17分）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线，的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. （1）若为阿基米德三角形，求； （2）证明：切线三角形的外接圆过定点. 19.（本小题17分）已知函数． （1）当时，证明：在上单调递增； （2）当，时，求的零点； （3）当，时，若在上有2个零点，求的取值范围． ( 数学试卷 第 1 页（共4页） ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 绝密★启用前 银川二中2024-2025学年第二学期高三年级三模 数 学 试 题 注意事项： 1. 本试卷共19题，满分150分.考试时间为120分钟. 2. 答案写在答题卡上的指定位置.考试结束后，交回答题卡. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由，解得， 所以，所以或， 所以或.故选：A 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】,故选：B 3. 已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为个圆，则该圆锥的母线长为（ ） A. 4 B. C. D. 【答案】D 【详解】设圆锥的底面半径为，母线为，，解得，因为，所以.故选：D. 4．设，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为单增，所以，即.因为单增，所以，即.因为单减，所以，即.综上所述：，故选C 5．已知双曲线的右焦点为，点在双曲线的渐近线上，是腰长为的等腰三角形（为原点），，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】点A在双曲线的渐近线上，腰长为的等腰三角形（为原点），可得，即 解得 ，双曲线的焦点坐标在x轴，所得双曲线方程为：．故选C． 6. 已知样本数据的平均数为6，方差为16；样本数据的平均数为11，方差为21，现将两组样本数据合并，则新的样本数据，的方差为（ ） A. 18 B. 24 C. 26 D. 28 【答案】B【详解】由题可得， 所以 利用分层抽样的方差公式可得新的样本数据的方差为：.故选：B. 7. 在中，内角，，的对边分别为，，，且，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】因为，由余弦定理得，所以，又，所以， 因为， 所以， 即，又，所以，所以或（舍）， 所以，所以.故选：B. 8. 已知函数，若函数恰有5个零点，则实数m的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 解析：当时，，且.当时，，，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以当时，有极大值，且当时，.作出的图象，如图所示. 令，则，故或.由图象可以看出，与的图象有2个交点，即有两个实根，所以若有5个零点，则与的图象有3个交点，即方程有3个不等实根，故.故选D. 1、 选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错或不选的得0分. 9. 记为等比数列的前项和，已知，则（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD【详解】根据题意，设等比数列的公比为，则，解得. 所以，解得. 所以，. 故A错误，BC正确. 对于D，，根据函数单调性可知，在和时，取得最小值.故D正确.故答案选：BCD. 10. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. 将的图象向右平移个单位长度后得到的图象 D. 在区间上的值域为 【答案】BC 【详解】由题图可得，所以，则.所以，因为，所以2， 则，解得， 因为，所以，所以， 所以，故A错误； 当时，，所以的图象关于直线对称，故B正确； 将的图象向右平移个单位长度后， 得，故C正确； 当时，，则，所以.故D错误.故选：BC. 11. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，直线交椭圆于两点，则（   ） A．的周长为8 B．若直线经过点，则的最小值是1 C．若线段中点坐标为，则直线的方程为 D．若点M是椭圆上的任意一点，点N是圆上的任意一点，则的最大值为 【答案】BD 【详解】 对于A，若直线经过点，如图一，则的周长为， 若直线不经过点，如图二，则的周长为，故A错误； 对于B，过左焦点的椭圆焦点弦中，通径最短，即，B正确； 对于C，因为点在椭圆外，所以C错误； 对于D，设，圆心，则， 因为，所以当时，取得最大值为， 此时取得最大值为，故D正确．故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.已知随机变量．若，则__________，若，则的方差为__________． 【答案】 ①0.4（） ② 64 【详解】由题意可知：，即，所以；因为，且， 所以.故答案为：0.4；64. 13．在直角梯形中，，，，是的中点，若，则_____1_____. 14. 已知正方体的棱长为1，点P在正方体的内切球表面上运动，且满足平面，则的最小值为__________． 【答案】 【详解】由题意得，正方体内切球的球心为正方体的中心，记为点，内切球半径.∵，平面，平面， ∴平面，同理可得平面， ∵平面，，∴平面平面， ∵平面，∴平面，故点的轨迹是平面与正方体内切球的交线，此交线为圆，记圆心为. 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，，，，∴，，.设平面的法向量为，则，令，则，故， ∴点到平面的距离为， ∴圆的半径为， 由得，， ∴， ∴的最小值为. 2、 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（本小题13分）某校组织“一带一路”答题抽奖活动，凡答对一道题目可抽奖一次.设置甲、乙、丙三个抽奖箱，每次从其中一个抽奖箱中抽取一张奖券.已知甲箱每次抽取中奖的概率为，乙箱和丙箱每次抽取中奖的概率均为，中奖与否互不影响. （1）已知一位同学答对了三道题目，有两种抽奖方案供选择： 方案一：从甲、乙、丙中各抽取一次，中奖三次获得价值50元的学习用品，中奖两次获得价值30元的学习用品，其他情况没有奖励. 方案二：从甲中抽取三次，中奖三次获得价值70元的学习用品，中奖两次获得价值40元的学习用品，其他情况没有奖励. 通过计算获得学习用品价值的期望，判断该同学选择哪个方案比较合适？ （2）若一位同学答对了一道题目，他等可能的选择甲、乙、丙三个抽奖箱中的一个抽奖.已知该同学抽取中奖，求该同学选择乙抽奖箱的概率. 【小问1详解】若选择方案一，设该同学获得学习用品的价值为元，则则 ， ， ，所以 ， 若选择方案二，设该同学获得学习用品的价值为元，则 则，， ， 所以 因为，故选择方案一比较合适 【小问2详解】 设“该同学抽取中奖”为事件，“选择甲、乙、丙抽奖箱”的事件分别记为，，，则，，，所以 ，故，所以所求概率为. 16.（本小题15分）记数列的前项和为，已知，. （1）证明：数列为等差数列； （2）求数列的前项和.. 【小问1详解】 因为，当时，，两式相减得，① 则，② ②①得， 所以.因为， 又，所以当时，； 当时，，则， 所以，满足， 所以，故数列为等差数列. 小问2详解】 由（1）可知数列是首项为，公差为的等差数列， 所以，， 则， 所以17.（本小题15分）如图，在矩形中，，，为EC中点，将沿AD翻折至，使得. (1)证明：平面平面； (2)线段PB上是否存在一点，使得AT与平面PAD所成角的正弦值为，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【详解】（1）如图，设线段的中点为，线段的中点为，连接，，， 依题意，，则，由，得， 而，，是梯形的中位线，于是，，而平面，，则平面， 而平面，于是，又平面，且和一定相交，因此平面，而平面，所以平面平面. （2）依题意，，则，即， 由（1）知平面，平面，则， 由平面，，得平面，过作平面，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图： 则，， 令， 则， 由平面，得平面的法向量， 设直线与平面所成角为， 则，解得，所以当时，直线与平面所成角的正弦值为. 18.（本小题17分）抛物线的弦与弦的端点处的两条切线形成的三角形称为阿基米德三角形，由抛物线的三条切线围成的三角形称为抛物线的切线三角形.已知抛物线的焦点为，直线过点，过轴下方的一点作的两条切线，且分别交轴于点，交于点. （1）若为阿基米德三角形，求； （2）证明：切线三角形的外接圆过定点. 【小问1详解】由题意得，则，所以抛物线的方程为， 因为为阿基米德三角形，所以分别与抛物线切于点， 不妨设点在轴左侧，则.由，得， 则，所以的斜率为的斜率为1，所以，所以. 【小问2详解】由（1）可知抛物线， 设分别与抛物线切于点，，由（1）可知直线的斜率为，直线的斜率为， 所以直线的方程为.即， 直线的方程为，即， 所以. 设外接圆的圆心为，则圆心在线段的垂直平分线上， 所以，则圆的半径为， 所以圆的方程为， 又点在圆上，所以， 即，所以， 所以 整理得， 即， 令，得，所以的外接圆过定点. 19.（本小题17分）已知函数． （1）当时，证明：在上单调递增； （2）当，时，求的零点； （3）当，时，若在上有2个零点，求b的取值范围． 小问1详解】当时，，求导得，函数在上单调递减，，因此，所以在上单调递增. 【小问2详解】当，时，的定义域为，，即0是的零点，求导得，令，求导得，当时，，，函数在上单调递减，，函数在上单调递增，当时，，，函数在上单调递减，因此，所以函数有唯一零点0. 【小问3详解】当，时，，函数，求导得，令，求导得， 当时，，则， 当时，，则，当时，，函数在上单调递减，当时，，存在，使得，当时，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，而，则函数在上有唯一零点；，若，即时，在上有唯一零点，因此函数在上有2个零点；若，即，在上没有零点，函数在上有1个零点； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，则，当且仅当时取等号，函数在上有1个零； 当时，，，且， 又，则存在唯一零点，当时，，当时，，函数在上单调递增，在上单调递减，而，即函数在上有唯一零点， 又当从大于的方向趋近于时，函数的值趋近于负无穷大，，因此函数在上有1个零点，此时函数在上有2个零点，所以函数在上有2个零点，的取值范围是. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$